基本不等式练习题及答案.doc
基本不等式练习题(基础、经典、好用)
基本不等式一、选择题1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．42．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．2 2 C．4 D．54．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的()A．充分条件不必要条件B．必要条件不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4 C.92 D.112二、填空题6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．三、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 （x －2）·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时等号成立， ∴a ＝3.【答案】 C2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 【答案】 B 3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥441ab ·ab ＝4. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立， 因此1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.【答案】 C4．【解析】 1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc ，当abc ＝1时， ∴bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )] ＝a ＋b ＋c .故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c . 反过来，取a ＝b ＝1，c ＝4有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 【答案】 A5．【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x 2x ＋2>0， ∴0<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2 （x ＋1）·9x ＋1－2＝4， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1. 【答案】 B二、填空题 6．【解析】 因为|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥8ab ＝20，当且仅当a 2＝4b 2时取等号，所以|a ＋2b |的最小值是20.【答案】 207．【解析】 由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.故当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.【答案】 18 8．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立． 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】 20三、解答题9．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.10．【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2 b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴1a ＋1b ＋1c ≥9.11.【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得(8－x －251×0.2)x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.D. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2 D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的最小值为 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.12 12.3600 13. 14.对 三、解答题15 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
不等式题目及答案
不等式题目及答案【篇一：基本不等式练习题及答案】教a版教材习题改编)函数y＝x＋xx＞0)的值域为( )．a．(－∞，－2]∪[2，＋∞)c．[2，＋∞)b．(0，＋∞) d．(2，＋∞)a＋b12．下列不等式：①a2＋1＞2a；②2；③x2＋≥1，其中正确的个数是 x＋1ab( )．a．0b．1c．2d．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．1a.2b．1 c．2 d．4a．1＋2b．1＋3c．3d．4t2－4t＋15．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． t考向一利用基本不等式求最值11【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2x________． x＋1【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1的最小值为________． x－12(2)已知0＜x＜5y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式bccaab【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：abca＋b＋c.．【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.111求证：a＋b＋c≥9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？双基自测d．(2，＋∞)答案 c2．解析①②不正确，③正确，x2＋112(x＋1)＋1≥2－1＝1.答案 b x＋1x＋11的最小值是( )． a?a－b?13．解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2ab，即ab≤2答案 a4．解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＝3，即a＝3.答案 ct2－4t＋115．解析∵t＞0，∴y＝＝t＋tt－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案－2【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，112x＋y2x＋yy2xy2x∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋y3＋22.当且仅当xy 时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝2x221＝1≤2＝1，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．答x＋1x＋x案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋1＋1≥2＋1＝3 当且仅当xx－11?5x＋2－5x?2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，－5x＞0，∴5x(2－5x)≤?52??1128即x＝5时，ymax＝5.(3)由2x＋8y－xy ＝0，得2x＋8y＝xy，∴y＋x＝1，4yx当且仅当xyx＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y ＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.1答案 (1)3 (2)5(3)18bcca【例2】证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2bcabcaab＝2b；acb＋c≥2 bccabcab＝2c；aba＋c≥2caab?bccaab?＋c≥2(abc＝2a.以上三式相加得：2?ab?bccaab＋b＋c)，即abca＋b＋c.【训练2】111a＋b＋ca＋b＋c证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝aba＋b＋cbcacab?ba?ca?cb?a＋b＋?ac＋?bc 3＋3＋caabbcc??????1≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．xx解析若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即x＋3x ＋1x＋3x＋1可，因为x＞0，所以y＝x＝x＋3x＋1111x＝1时115x＋x32 xx ?1??1?取等号，所以a的取值范围是?5，＋∞?答案 ?5? ????【训练3】解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案 1016当且仅当x＝x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【训练3】解 (1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为80元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n＋180?80??*100－100－?－100n(n∈n)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)?－100n n)?n＋1?n＋1???9?9n＋1＋≤520(万元)．当且仅当n＋1＝＝1 000－80?， n＋1??n ＋1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【示例】．正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，12?12b2a∴a＋b＝?a＋b(a＋b)＝1＋2＋ab3＋2 ??b2aab3＋22. a＋b＝1，??当且仅当?b2a??ab ?a＝2－1，12即?时，ab3＋22. ?b＝2－22 11112【试一试】尝试解答] a＋ab＝a－ab＋ab＋ab＋a(a－b)＋a?a－b?a?a－b?11＋ab＋ab≥2 1a?a－b?2 1abab2＋2＝4.当且仅当a(a－a?a－b?a?a－b?b)＝1a?a－b?且ab＝1aba＝2b时，等号成立．答案d【篇二：初中数学不等式试题及答案】t>a卷2?x7x??1的解集为_____________。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
基本不等式练习题
基本不等式练习题一、选择题1. 若a、b均为正数，则下列不等式中正确的是（）A. (a+b)/2 ≥ √(ab)B. (a+b)/2 ≤ √(ab)C. a^2 + b^2 ≥ 2abD. a^2 + b^2 ≤ 2ab2. 已知x > 0，则下列不等式中正确的是（）A. x + 1/x ≥ 2B. x + 1/x ≤ 2C. x 1/x ≥ 0D. x 1/x ≤ 03. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=1，则下列不等式中正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1/3B. a^2 + b^2 + c^2 ≤ 1/3C. a^3 + b^3 + c^3 ≥ 1/3D. a^3 + b^3 + c^3 ≤ 1/3二、填空题1. 若a、b均为正数，且a+b=1，则a^2 + b^2 的取值范围是______。
2. 已知x > 0，则x + 1/x 的最小值是______。
3. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=abc，则a+b+c 的最小值是______。
三、解答题1. 设x、y均为正数，证明：x^2 + y^2 ≥ 2xy。
2. 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：(a^2 + b^2) / (a + b) ≥ 1/2。
3. 设x、y、z均为正数，证明：(x+y+z) / (1/x + 1/y + 1/z)≤ (x^2 + y^2 + z^2) / (x + y + z)。
4. 已知a、b、c均为正数，且a+b+c=3，求证：a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3。
5. 设x、y均为实数，证明：(x+y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)。
四、应用题1. 在一个矩形中，长比宽大2厘米，如果矩形的周长不超过20厘米，求矩形面积的最大值。
2. 某企业生产两种产品A和B，生产每吨A产品可获利1000元，生产每吨B产品可获利1500元。
若企业每月的生产能力为生产A产品10吨和B产品8吨，且每月的总利润不少于12000元，求该企业每月生产A、B产品的最佳利润分配方案。
必修一 基本不等式练习(精选典题)含答案
必修一基本不等式练习(精选典题)一．选择题（共19小题）1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为（）A．5B．C．D．22．若关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式bx2+ax﹣1＜0的解集是（）A．B．{x|x＜﹣1或C．D．或x＞1}3．若a，b∈R+，且a+b=1，则的最小值为（）A．B．5C．D．254．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．15．若a＞0，b＞0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为（）A．3+3B．3﹣3C．3+D．76．下列说法正确的是（）A．的最小值为2B．的最小值为4，x∈（0，π）C．x2+1的最小值为2xD．4x（1﹣x）的最大值为17．不等式的解集为（）A．[0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣4=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．49．已知a＜b，则的最小值为（）A．3B．2C．4D．110．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2+b2＞2ab D．（）2＞12．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）13．若m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|﹣n＜x＜m}B．{x|x＜﹣n或x＞m}C．{x|﹣m＜x＜n}D．{x|x＜﹣m或x＞n} 14．关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4=0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（4，5]B．[3，6]C．（5，]D．[）15．若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．﹣5D．﹣316．若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）17．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0的解集为（）A．B．C．D．18．已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣19．若不等式（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．二．解答题（共7小题）20．解下列不等式：（1）x4﹣x2﹣2≥0；（2）．21．解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0（a∈R）．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，求a+b的值；（Ⅱ）若a∈[﹣1，0]，b=0，求f（x）＞0的解集．23．（1）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证：；（2）解关于x的不等式：ax2﹣2≥2x﹣ax（a＜0）．24．若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}．（1）求证：b+c=﹣7a；（2）求不等式cx2+bx+a＜0的解集．25．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．26．已知关于x的不等式：x2﹣mx+m＞0，其中m为参数．（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）当x＞1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．不等式练习参考答案一．选择题（共19小题）1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．D；；12．C；13．A；14．C；15．C；16．D；17．B；18．B；19．D；二．解答题（共7小题）20．【解答】解：（1）将原不等式因式分解得（x2+1）（x2﹣2）≥0，∵x2+1＞0，所以，x2﹣2≥0，解得x≤或x≥，因此，原不等式的解集为{x|x≤或x ≥}；（2）由，得，化简得，等价于，解得x＜﹣4或x≥﹣1，因此，原不等式的解集为{x|x＜﹣4或x≥﹣1}．21．【解答】解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0化为（x﹣1）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为a和1；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[a，+∞）；当a=1时，不等式的解集为R，当a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[1，+∞）．22．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）由f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，即方程ax2﹣（a2+1）x+a+b的两个根分别为﹣1，3．∴a＞0∴，解得：a=1，b=﹣4．则a+b=﹣3．（Ⅱ）由b=0，可得f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a=（ax﹣1）（x﹣a）∵a∈[﹣1，0]，∴当a=0时，可得f（x）=﹣x，则f（x）＞0，即﹣x＞0，∴x＜0∴解集为{x|x＜0}；∴当即a=﹣1时，f（x）＞0，可得（x﹣a）2＜0．此时无解；当a∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，即（ax ﹣1）（x﹣a）＞0．∵∴解集为{x|＜x＜a}；综上可得：当a∈（﹣1，0）时，不等式的解集为{x|＜x＜a}；当a=﹣1时，不等式的无解；当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}．23．【解答】解：（1）∵a+b+c=1，代入不等式的左端，∴====．∵a，b，c∈（0，+∞），∴．∴．∴（当且仅当时，等号成立）．（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．∵a＜0，∴．1°当﹣2＜a＜0时，；2°当a=﹣2时，x=﹣1；3°当a＜﹣2时，．综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；当a＜﹣2时，解集为．24．【解答】解：（1）证明：关于x的一元二次不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴a＜0，且﹣3，2是一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根，∴=﹣3+2=﹣1，=﹣3×2=﹣6；∴b=﹣a，c=﹣6a；∴b+c=﹣7a；（2）b=﹣a，c=﹣6a代入不等式cx2+bx+a ＜0，得﹣6ax2﹣ax+a＜0，又a＜0，则﹣6x2﹣x+1＞0，化为6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜；∴所求不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．25．【解答】解：（1）当a=2时f（x）≤0可化为2x2﹣5x+2≤0，可得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得，∴f（x）≤0的解集为；（2）不等式f（x）≤0可化为ax2﹣（2a+1）x+2≤0，a＞0时，则不等式为a（x﹣）（x﹣2）≤0；①当时，有，解不等式得：；②当时，有，解不等式得：x=2；③当时，有，解不等式得：；综上：①时，不等式的解集为；②时，不等式的解集为{x|x=2}；③时，不等式的解集为．26．【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+m＞0的解集为R，则△＜0，即m2﹣4m＜0；）解得0＜m＜4，∴m的取值范围是0＜m＜4；（2）当x＞1时，关于x 的不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，等价于m＜恒成立，设f（x）=，x＞1；则f（x）=（x﹣1）++2≥2+2=4，当且仅当x=2时取“=”；∴m的取值范围是m＜4．。
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( C )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析： y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( A )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；w w w .x k b 1.c o m④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.7．若xy ＞0，则对 x y ＋yx说法正确的是( B )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定8．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．24-+=x xee y [解析] x<0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x<π2，∴0<cosx<1，∴y ＝cosx ＋1cosx ≥2中等号不成立，故B 错；∵x2＋2≥2，∴y ＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得nm a a ＝4 a 1，则1m＋4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D ．不存在[解析] 由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q ，则a6q ＝a6＋2a6q ，∴q2－q －2＝0，∵q>0，∴q ＝2，∵aman ＝4a1，∴a12·qm＋n －2＝16a12，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32， 等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．11． “a＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( A )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[解析] ∵a ＝14，x>0时，x ＋ax ≥2x·a x ＝1，等号在x ＝12时成立， 又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 12．设a ，b ∈R ，则“a＋b ＝1”是“4ab≤1”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b≥2ab 得4ab≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab≤a ＋b 24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为____1____．2．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：34．已知x ≥2，则当x ＝_2___时，x ＋4x有最小值__4__．5．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t 的最小值为__-2_____．[解析] y ＝t2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t>0，y ＝t ＋1t－4≥2t·1t －4＝－2.,等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 [答案] [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c 同时成立时成立,即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．7.已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是____112____．[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 三、解答题1．已知f (x )＝12x＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.2．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值．解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.D. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的最小值为 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.12 12.3600 13. 14.对 三、解答题15 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对x y ＋y x 说法正确的是()A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是()A ．400B ．100C ．40D ．203．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．4．已知f (x )＝12x ＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是()A ．32－3B ．－3C ．62D ．62－33．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是()A ．200B ．100C ．50D ．204．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x?＝－2.其中正确的推导过程为()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．56．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有()A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．9．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：244.解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·?－4x ?＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1.答案：C2.解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3.解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5.解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6.解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7.答案：18.解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大1169.解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10.解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.11.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12.解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
(完整版)基本不等式练习题(带答案)
Ａ． 1 Ｂ． a2 b2 Ｃ．2ab Ｄ．a 2
3. 设 x>0,则 y 3 3x 1 的最大值为 x
（ ）
Ａ．3 Ｂ． 3 3 2 Ｃ． 3 2 3 Ｄ．－1
4. 设 x, y R, 且x则 y 5, 3x 3y 的最小值是(
2
2
2
2
10. 下列函数中，最小值为 4 的是
（ ）
Ａ． y x 4 x
Ｂ． y sin x 4 (0 x ) sin x
Ｃ． y ex 4ex
Ｄ． y log3 x 4 logx 3
11. 函数 y x 1 x2 的最大值为
.
The shortest way to do many things is
（）
A． a2 b2 c2 2
B． (a b c)2 3
111 C． 2 3
abc
D． a b c 3
7. 若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是
（）
A．
x
1
y
1 4
B． 1 1 1 xy
C． xy 2
D． 1 1 xy
8. a,b 是正数，则 a b , ab, 2ab 三个数的大小顺序是 （ ）
12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2 的造价为
200 元和 150 元，那么池的最低造价为
元.
13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是
.
14.
若 x, y 为非x2
8( x y
y ) 15 的值恒为正，对吗？答 x
)
A. 10
B. 6 3
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
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双基自测11．( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y ＝ x ＋ x ( x ＞0) 的值域为 ( ) ．A ．( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ )B ．(0 ，＋∞)C ．[2 ，＋∞ )D ．(2 ，＋∞)2a ；② a ＋b2＋ 2 1 ≥ ，其中正确的个数是．下列不等式：① a ＋ ＞≤2；③x212x1ab＋1() ．A ．0B ．1C ．2D ．3．若 a ＞ ，b ＞ ，且 a ＋ 2 b － ＝ ，则 ab 的最大值为 ( ) ．3 0 0 2 0B ．1C ．2D ． 4．·重庆 若函数 f x ＝ x ＋ 1 x ＞ 在 x ＝ a 处取最小值，则 a ＝． 4 (2011 )( )x －2(2)()A ．1＋ 2 B．1＋3 C ．3 D ．4．已知 t ＞ ，则函数 y ＝ t 2－ t ＋ 15 0 t 的最小值为 ________．考向一 利用基本不等式求最值1 1【例 1】?(1) 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋y ＝1，则 x ＋y 的最小值为 ________； x(2) 当 x ＞0 时，则 f ( x) ＝x 2＋1的最大值为 ________．1【训练 1】 (1) 已知 x ＞1，则 f ( x) ＝ x ＋ x － 1的最小值为 ________． 已知 ＜x 2 x － x 2 的最大值为(2) ＜ ，则 y ＝________．0 5 2 5(3) 若 x ，y ∈ (0 ，＋∞ 且 2 x ＋ y － xy ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为 ． ) 8 0________考向二 利用基本不等式证明不等式bc ca ab【例 2】?已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a ＋b ＋c.．【训练 2】 已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，且 a ＋ b ＋c ＝1.1 1 1求证： a ＋b ＋c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题x【例 3】?(2010 ·山东 ) 若对任意 x ＞0，x 2＋ 3x ＋1≤a 恒成立，则 a 的取值范围是 ________．【训练 3】 (2011 ·宿州模拟 ) 已知 x ＞ ， y ＞ ， xy ＝x ＋ y ，若 xy ≥ m － 2 恒成0 0 2 立，则实数 m 的最大值是 ________．考向三利用基本不等式解实际问题【例 3】?某单位建造一间地面面积为212 m 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过．房屋正面的造价为400 元2，房屋5 m/m侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练 3】 (2011 ·广东六校第二次联考 ) 东海水晶制品厂去年的年产量为10 万件，每件水晶产品的销售价格为100 元，固定成本为 80 元．从今年起，工厂投入 100 万元科技成本． 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本． 预计产量每年递增 1 万件，每件水晶产品的固定成本 g n 与科技成本的投入次数 n( )g n ＝80 . 若水晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为的关系是 ( )n ＋1f ( n) 万元．(1) 求出 f ( n) 的表达式；(2) 求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？211 【试一试】 (2010 ·四川 ) 设 a ＞b ＞0，则 a ＋ab ＋aa －b 的最小值是 () ．? ?A ．1 B．2C ．3D ．4双基自测D ．(2 ，＋∞)答案C2．解析①②不正确，③正确，1 1x 2＋ x 2 ＋1＝( x 2＋ 1) ＋ x 2＋1－1≥2－ 1＝ 1. 答案B13．解析∵ a ＞ 0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴ a ＋2b ＝2≥2 2ab ，即 ab ≤2. 答案 A．解析 当 x ＞ 2 时，x － ＞ ，f x ＝ x － 2) ＋ 1 ＋ ≥ x － × 1 ＋4 2 0 ( ) ( x －22 2 ? 2? x － 212＝4，当且仅当 x －2＝x －2( x ＞ 2) ，即 x ＝3 时取等号，即当 f ( x) 取得最小值时，x ＝ ，即 a ＝3. 答案C3t 2－ t ＋1 1．解析 ∵t ＞ ，∴ y ＝4时取＝1 5tt4242等号．答案－ 2【例 1】解析(1) ∵x ＞0，y ＞0，且 2x ＋ y ＝ 1，1 1x ＋y 2 x ＋ yyxyx∴ x ＋ y ＝ x ＋ y ＝ 3＋ x ＋ y ≥3＋ 2 2. 当且仅当 x ＝ y 时，取等号．x 2 2 1(2) ∵ ( 1 0 ) x ＋ 1 1 2 1 xx ＋ x案 (1)3＋2 2 (2)11【训练 1】．解析(1) ∵x ＞1，∴f ( x) ＝( x －1) ＋ x － 1＋1≥2＋ 1＝3 当且仅当x ＝ 时取等号． y ＝ x － 2 － x 1 － x2 x 2 (2)x ＝x (2 ＝ ·5x ·(2，∵ ＜x ＜ ，∴2 5 5 ) 5 5 ) 0 5 5＜－ x ＞ ，∴ x － x 5x ＋2－5x21 x ＝ － x ，2,2≤＝1，∴ y ≤ ，当且仅当5 0 5 (2 5 )255 2 5112 8即 x ＝5时， y max ＝5.(3)由 2x ＋ 8y －xy ＝0，得 2x ＋8y ＝ xy ，∴ y ＋ x ＝ 1，8 2 y x 4y x y x＋y ≥10＋2×2× ∴ x ＋ y ＝ ( x ＋y) x ＋y ＝ 10＋ x ＋ y ＝ 10＋2 xx · y ＝18，y xx ＝ yx ＋ y － xy ＝ ，∴ x ＝ ，y ＝ ，当且仅当 x ＝y ，即2 时取等号，又 2 80 12 6∴当 x ＝12，y ＝ 6 时， x ＋y 取最小值 18.1答案(1)3 (2) 5(3)18【例 】证明 a ＞ ，b ＞ ，c ＞ ，∴ bc cabc cabc ab ≥∵222 00 0 a bab2a cbc abca ab ca abbc ca ab a · c ＝ 2b ； b ＋ c ≥2b ·c ＝ 2a. 以上三式相加得： 2a ＋b ＋ cbc ca ab≥ 2( a ＋b ＋c) ，即 a ＋ b ＋ c ≥ a ＋ b ＋ c.【训练 2】证明 ∵ a ＞ 0，b ＞0，c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，∴1＋1＋1＝a ＋b ＋c ＋ a ＋ b ＋ c ＋ a b c a b a ＋b ＋cb c a c a bb ac ac bc＝3＋a ＋a ＋b ＋b ＋c ＋c ＝3＋ a ＋b ＋ a ＋c ＋ b ＋c1≥3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9，当且仅当 a ＝b ＝c ＝3时，取等号．解析若对任意 x ＞ ， 2 x ≤ a 恒成立，只需求得 y ＝ 2 x 的最大值0 x ＋3x ＋1 x ＋3x ＋ 1x111即可，因为 x ＞0，所以 y ＝ x 2 ＋x ＋＝1 ≤＝ ，当且仅当 x ＝131x ＋15x ＋3 2 x · x时取等号，所以 a 的取值范围是1，＋∞ 答案 1，＋∞55【训练 】解析由 x ＞ ，y ＞ ，xy ＝x ＋y ≥ 2 xy ，得 xy ≥ ，于是由 m － 3 0 0 2 2 82≤ xy m m m 的最大值为 10. 答案 10 恒成立，得 －2≤8， ≤10，故由题意可得，造价 y ＝ 3(2 x × 12 400)900 x ＋ 16 【例 ．解 ＋ × ＋ ＝ ＋ 3 150 x 5 800 x5 800(0 ＜ x ≤ 5) ，则 y ＝ 900 x ＋16＋ 5 800≥ ×2x × 16＋ 5 800 ＝13 x 900 x000( 元) ，当且仅当 x ＝ 16 4 米时，总造价最低．x ，即 x ＝4 时取等号．故当侧面的长度为【训练 】 解 (1) 第 n 次投入后，产量为 (10 n 万件，销售价格为 100 元， 3 ＋ ) 固定成本为 80 元，科技成本投入为 n 万元．所以，年利润为 f n ＝(10 100 ( ) n ＋180－ 100n( n ∈ N *) ．(2) 由 (1) 知 f ( n) ＝ (10 ＋n)100－80 ＋ n) 100－－n ＋ 1n ＋1100nn ＋ ＋ 99＝ 1 000 － 801≤ 520(万元 ) ．当且仅当 n ＋ ＝，n ＋1n ＋1即 n ＝8 时，利润最高，最高利润为 520 万元．所以，从今年算起第 8 年利润最高，最高利润为 520 万元．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且 a ＋b ＝1，1 2 1 2b aba＝ ＋∴ ＋ ＝＋( a ＋ b ＝ ＋ ＋ ＋a ·ba ba b ) 1 2 a b ≥3＋ 2322.a ＋b ＝ ，a ＝ － ，121 2当且仅当 b a即 3＋2 2.时， ＋ 的最小值为， b ＝ － a b＝2a b2211211 【试一试】尝试解答 ]a＋ab ＋a a －b ＝a －ab ＋ab ＋ ab ＋a a －b＝a( a －b)????11 11 ＋a a －b ＋ ab ＋ab ≥2 a?a －b?·a a －b ＋2 ab ·ab ＝ 2＋2＝4. 当且仅 ? ? ? a a －b ＝ 1 且 ab ＝ 1 ，即 a ＝ b 时，等号成立．答案 D 当 ( ) a?a －b? ab 2。