同济第六版高数第一章习题课PPT课件

解 16x2 0,
x10,
x11,
x 4
x 1
x
2
1x2及 2x4,
即定义: 域 (1,2为 )(2,4).
-
7
例2 设 f(x ) f(x 1 ) 2 x ,其 x 0 中 ,x 1 .求 f(x ). x
解 利用函数表示法的无关特性
令t
x 1 ,
x
即x 1 , 1 t
f( 1 )f(t) 2 ,
第一章 习题课 一、主要内容
• 函数概念及性质； • 极限概念与性质,求极限的方法； • 连续函数的概念、性质及应用．
-
1
(一)函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
-
2
j4
函数的分类
1t
1t
代入原方程得
即f(x)f( 1 ) 2 , 1x 1x
令 1 u1, 即 x 1 , 代入上式得
1x u
1 u
f( 1)f(u1)2(u1), 即 f( 1)f(x1)2 (x1 ),
1u u u
1x x
x
联 立 方 程 组
f f
( x) ( x)
f f
x1 ()
x 1 () 1 x
6．利用夹挤定理; 利用单调有界准则及解方程．
7．利用两个重要极限公式．
8．利用等价无穷小代换．
9．利用函数的连续性．
10.利用递推公式;合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧．
1 .利 1l n ix 用 m n A l n ix m 1 x 2 n x n A .
n
-
9
例4 求lim(1tanx)x13. (1 型).
x0 1sinx
解 原 式 li[m 1(1taxn 1)x ]13 lim [1taxnsinx]x13
x 0 1sixn
x 0
1sinx
lxi m 01ta1xnsisnxinxta1n xssixnixnta1n xssixnixnx13
原 l式 i(1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) (1 x 2 n )
n
1 x
li(m 1x2)1 (x2)1 (x4) (1x2n)
n
1x
(1x2n)(1x2n)
lim
n
1x
1 x2n1 lim n 1 x
1. 1 x
( 当 x1时 ,lim x2n10)
当x1时,
limf(x)
x1
xl im 1(1x)2
.
2
x 1, x
limf(x)
1 lim
cosx
x1
x1
limp(x)1,求 p(x). x0 x
xx2,以及
解 lx im p(xx)2x3 2,
p(x)x3与2x2等价无穷大
p(x)x32x2o(x2)2x2axb
显然p(x)x3为二次多项 . 式
可p(设 x)x32x2a xb(其a,中 b为待)定
又limp(x) 1, p (x ) x 3 2 x 2 a b x ~ x (x 0 ) x0 x
有理整函数(多项式函数) 有
理
代 数
函 有理分函数(分式函数) 数
函
初 等
数
无理函数
函
数
函
超越函数
数
非初等函数(大多的分段函数,有无穷多项等函数)
-
3
(二)极限
数列极限
函数极限
ln im xn a
lim f(x)A
x
limf(x)A
xx0
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
x1 x1的连续 . 性
解 将f (x)改写成
1 x, x 1
f
(
x)
cos
x
2
,
1
x
1
x 1, x 1
显 f(x 然 )在 (, 1 )(, 1 ,1 )(1 ,,)内 .连 续
关键f考 (x)在 察 x1, x1两点是. 否连
-
12
1 x, x 1
f ( x) cosx , 1 x 1
从而 b得 0,a1. 故 p(x)x32x2x.
问 p:(若 x)x3改 ~2x2l动 x i 0m p ( p x (x 条 x )2 ) xx 33 件 2 ,2 是 x2 为 o(否 x2 ,结 ). 可 论 ?行
p(x)x32x2,且无需其-他条件 .
11
例6
讨论 f(x) cxos12x, ,
1 .利 2li用 f m (x ) A lif m (x ) A .
x x 0
x x 0
13.利ln i用m f函(数xn极)限A 与;或 数x l 列 极 if 限( m 的x ) 关 系A - , ,即n l 若 ix x l n m x i0 fm (x ) A n l , ln i if x n m ( m x n x ) 0 ( 5x n A .x 0 )
பைடு நூலகம்
lxi m 0ta1 xnsisn xin xx13 lxi m 0(s1inxs(1in x)ccooxxs)sx13
lx i0m sx ix n 1x c2o xs(1si1 x n )co xs12
1
原 式 e2 .
-
10
例5 设 p(x)是 多 项 ,且lx i式 m p(xx)2 x3 2,
2x
2 1 x
(1) (2)
f
(1 1
) x
f
(
x 1) x
2( x 1) x
(3)
-
(1)(2)(3)得 , : f(x)x1 1 1.
x 1x
8
例3 当 x 1 时 ,求 li( 1 m x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(三)连续
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
间断点定义
第一类 第二类
可跳 去跃 间间 断断 点点
无振 穷荡 间间 断断 点点
初等函数 的连续性
闭区间上 连续函数的性质
-
6
二、典型例题
例1 求函y数 lo(gx1)(16x2)的定义 . 域
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
极限 的性质
求极限的常用方法
极限的运算
-
4
求极限的一般方法
1．利用极限的定义求证极限.
2．利用极限的四则运算法则及复合运算法则.
3．利用无穷小的运算法则． 4．利用无穷小与无穷大的关系． 5 .利 lif ( m 用 x ) A f ( x ) A (l i0 ) m .