同济第六版高数第一章习题课PPT课件
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同济六版高数第一册第一单元.ppt
定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济六版高等数学第一章第七节课件
无穷大量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于无穷大，则称f(x) 为无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关 系
两者之间存在密切的联系，无穷小量是无穷 大量的极限状态，而无穷大量则是无穷小量 的极限状态。
03
导数的概念与性质
导数的定义与几何意义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，即函数在该点的变化率。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行不定积分， 将其中一个函数作为u，另一个函数
作为v'，然后进行不定积分。
换元积分法
通过引入新的变量替换原函数中的自 变量，将不定积分转化为容易计算的
形式。
积分的应用
求面积
不定积分可以用来计算平面曲线下方的面积。
求长度
不定积分可以用来计算曲线在某个区间上的 长度。
物理应用
于这个值时的极限为A。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局部 保号性等。这些性质对于理
解和应用极限非常重要。
极限的计算
包括直接代入法、因式分解 法、等价无穷小替换法等， 这些方法可以帮助我们计算 函数的极限。
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义
如果当x趋于某值时，函数f(x)趋于0，则称f(x) 为无穷小量。
同济六版高等数学第 一章第七节课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 函数与极限 • 导数的概念与性质 • 导数的应用 • 不定积分 • 定积分 • 总结与回顾
01
引言
本章概述
01
本章主要介绍极限的概念、性质及其在数学分析中的基础地位。
02
通过本章学习，学生将了解极限在研究函数、导数、积分等数
学概念中的作用。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
2．函数的单调性:
x1,x2I, 当 x1 x2时,
若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调增加函数； 若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调减少函数；
如 yx,yx3 单增
yx2?
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21
3．函数的奇偶性:
设 D关于原, 对 点 于 对 xD 称 , 有
f(x)f(x)
o
x
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27
（2）单值函数的反 一函 定数 是不 单值函数
如y ： x2
反函数x： y. （3）若y f(x)单调增（减），
其反函数也单调增（减 ）。
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28
六、基本初等函数
1.幂函数
yx (是常)数
y
y x2
yx
1
y x (1,1)
o1
x
y 1 x
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29
2.指数函数 yax (a0,a1) y e x
（1）子集； （ 2）集合相等； （3）空集；
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2
（ 4）集合运算： 如A B {xx A 且 x B }
AB{xxA 或x者 B }
3、常用数的集合：
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
数集间的关系:
R----实数集
N Z ,Z Q ,Q R .
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第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
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1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性}质
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
同济高等数学第六版上册第一章ppt精编版
k
k
lim x 2 k 1 1;
lim x 2 k 1
目录
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结束
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
目录
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结束
第三节 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
n (1) n 1 n
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 设 q 1 , 证明等比数列 1 , q , q 2 , , q n 1 , 的极限为0 . 证:
n 1
n 1
n 1
xn 0 q
,;
n ( 1) { n
n 1
}
3 , 3 3 , , 3 3 3 ,
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注 意： 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f ( n).
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第一章
( 2) x x 0 (3) x x0 本节内容 :
k
lim x 2 k 1 1;
lim x 2 k 1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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第三节 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
n (1) n 1 n
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 设 q 1 , 证明等比数列 1 , q , q 2 , , q n 1 , 的极限为0 . 证:
n 1
n 1
n 1
xn 0 q
,;
n ( 1) { n
n 1
}
3 , 3 3 , , 3 3 3 ,
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注 意： 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f ( n).
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第一章
( 2) x x 0 (3) x x0 本节内容 :
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
同济高等数学第六版上册第一章ppt.
第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限∞第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(x f y =对0)1(x x →+→0)2(x x -→0)3(x x ∞→x )4(+∞→x )5(-∞→x )6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限x 0定理2 .若在0x 的某去心邻域内0)(≥x f )0)((≤x f , 且,)(lim 0A x f x x =→则.0≥A )0(≤A 证:用反证法.则由定理1,0x 的某去心邻域,使在该邻域内,0)(<x f 与已知所以假设不真, .0≥A (同样可证0)(≤x f 的情形)思考:若定理2 中的条件改为,0)(>x f 是否必有?0>A 不能!lim 2=→x x 存在如假设A < 0, 条件矛盾,故时,当0)(≥x fyX-xX直线y= A为曲线的水平渐近线.第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=±)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f ±证: 因,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小)于是)()()()(βα+±+=±B A x g x f )()(βα±+±=B A 由定理1 可知βα±也是无穷小,再利用极限与无穷小BA ±=的关系定理, 知定理结论成立.定理3 .若推论:若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==且),()(x g x f ≥则.B A ≥( P46 定理5 ))()()(x g x f x -=ϕ利用保号性定理证明.说明:定理3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理4. 若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论1 .)(lim )](lim[x f C x f C =( C 为常数)推论2 .nnx f x f ])(lim [)](lim[=( n 为正整数)例2.设n 次多项式,)(10nn n x a x a a x P +++= 试证).()(lim 00x P x P n n x x =→证:=→)(lim 0x P n x x 0a x a x x 0lim 1→+++ nx x n xa 0lim →)(0x P n =BA =。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济六版高等数学第一章第二节课件
4. 如何判断数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 是发散 的？
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铃
内容小结 1. 数列极限的 “ e N 定义及应 用 2. 收敛数列的性质 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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n
lim xn = a e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
数列极限的几何意义 任意给定a的e邻域(a-e, ae),
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-e, ae)外
•当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-e, ae)内
( ) ae
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二、收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. •讨论 1. 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 发散 的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
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n
lim xn = a e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0. 证明 因为e 0, N=[ log|q|e 1]N, 当nN时, 有 |qn-1-0|=|q|n-1<e ,
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定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 { xn} 收敛于 a, 那么它的任一子数列也收敛 , 且极限也是a. •讨论
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内容小结 1. 数列极限的 “ e N 定义及应 用 2. 收敛数列的性质 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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n
lim xn = a e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
数列极限的几何意义 任意给定a的e邻域(a-e, ae),
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-e, ae)外
•当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-e, ae)内
( ) ae
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二、收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. •讨论 1. 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 发散 的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
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n
lim xn = a e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e .
例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0. 证明 因为e 0, N=[ log|q|e 1]N, 当nN时, 有 |qn-1-0|=|q|n-1<e ,
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定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 { xn} 收敛于 a, 那么它的任一子数列也收敛 , 且极限也是a. •讨论
同济六版高等数学第一章第五节课件PPT课件
x x
解: sixn1
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
limsinx 0. x x
说明 : y = 0 是
y sin x 的渐近线 . x
y
y sin x x
o
x
第4页/共17页
❖极限的四则运算法则 •定理3
如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么
(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB >>> (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB
x x 0 u u 0
例例 9 9 l x 求 3 x x 2 3 9 i m 解 解 y x 2 9 y 是 u 由 u 与 x 2 9 复 合 而 成 的
x 3 x 3 因 为 l x 2 9 i 6 m 所 以 lx 2 i 9 l m u i 6 m
例例 6 6 求 x l 2 3 x x 3 2 2 x 2 x i 5 1 m
解
先用x3去除分子及分母 然后取极限
x l 2 3 i x x 3 2 2 x m 2 x 5 1 x l 3 x 2 i x 1 2 2 m 5 x 1 3 0 2 0 x x 3
x x 0 u u 0
•说明
把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果
第12页/共17页 下页
❖定理6(复合函数的极限运算法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且l 在f x[ 0g 的( x ) 某i 去l 心邻f ( ] u 域m ) 内i A g (x)u0m 则
解: sixn1
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
limsinx 0. x x
说明 : y = 0 是
y sin x 的渐近线 . x
y
y sin x x
o
x
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❖极限的四则运算法则 •定理3
如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么
(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB >>> (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB
x x 0 u u 0
例例 9 9 l x 求 3 x x 2 3 9 i m 解 解 y x 2 9 y 是 u 由 u 与 x 2 9 复 合 而 成 的
x 3 x 3 因 为 l x 2 9 i 6 m 所 以 lx 2 i 9 l m u i 6 m
例例 6 6 求 x l 2 3 x x 3 2 2 x 2 x i 5 1 m
解
先用x3去除分子及分母 然后取极限
x l 2 3 i x x 3 2 2 x m 2 x 5 1 x l 3 x 2 i x 1 2 2 m 5 x 1 3 0 2 0 x x 3
x x 0 u u 0
•说明
把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果
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❖定理6(复合函数的极限运算法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且l 在f x[ 0g 的( x ) 某i 去l 心邻f ( ] u 域m ) 内i A g (x)u0m 则
高等数学(同济第六版)课件 第一章 2.数列的极限
得: n g ( ) 取 N [ g ( )]
n 1 （ lim 用定义证明： 1） n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
lim 一般地：若数列{yn}有界， xn 0 n
小
结（二）
3.数列极限的性质： （1）唯一性 （2）有界性 （3）不等式性质 （4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量
4.常用的结论：
（ lim C C 1）
n
（其中C为常数）
1 （2） lim p 0, （其中p为大于零的常数） n n
（3） q n 0, 其中 q 1. lim
重要极限Ⅱ
(e 2.71828)
例4 求下列极限
1 n (1) lim(1 ) n n 2 1 ( n 2 ) 2 lim(1 ) n n 2
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
1 n 2 lim(1 ) e n n 2 e 1 2 1 lim(1 ) n n 2
1 n ( 2) lim(1 ) n n n1 n n n 1 lim( ) lim( ) n n n 1 n n n lim ( ) n n 1 1 1 1 n 1 n 1 1 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n1 n1 n1 1 e
n sin n! (4) lim 2 n n 1
n 1 3 n 4 ( 3) lim( ) n n
6n n (5) lim n （ n cos ） n 7 5 2
同济高数第一章习题课
0 2.做变量替换转化为 型 0
3.其他方法。罗比达法则。
4.“0·∞”型未定式 转化为
0 型或 型 0
5.“∞- ∞”型未定式 通过通分、分子有理化或倒数替换将其转化
0 为 型或型 0
5.幂指数函数极限的求法 幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x)1)的函数 （1）利用两个重要极限的第二个。 （2）若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b, 则
lim u( x )
v( x )
a .
b
6.n项求和及乘积的极限 求和时
1.分子和分母同乘一个因子，然后拆项求和。
2.夹逼准则。
乘积时
1.夹逼准则 例 求极限 lim n 1n 2n 3n .
n
lim 3 x 9 x 例 求极限 x
1 x
例. 求 lim (1 2
证明数列{xn}的极限存在, 并求其极限.
7.确定极限中的参数
0 由于极限为常数，故常为 型 或 型 ，利用 消去零因子来求出常数。 0
2 n 1
例 设 f ( x ) lim
x
n
ax b 为连续函数, 求a, b. 2n x 1
例. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b ) 0 x
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2
3
1 x
(1) x 3
( 2) x 3
1
1 x
3 f (x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .
同济大学《高等数学》第六版：D1习题课PPT文档共28页
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
同济大学《高等数学》 第六版：D1习题课
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
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lxi m 0ta1 xnsisn xin xx13 lxi m 0(s1inxs(1in x)ccooxxs)sx13
lx i0m sx ix n 1x c2o xs(1si1 x n )co xs12
1
原 式 e2 .
-
10
例5 设 p(x)是 多 项 ,且lx i式 m p(xx)2 x3 2,
当x1时,
limf(x)
x1
xl im 1(1x)2
.
2
x 1, x
limf(x)
1 lim
cosx
x1
x1
第一章 习题课 一、主要内容
• 函数概念及性质； • 极限概念与性质,求极限的方法； • 连续函数的概念、性质及应用．
-
1
(一)函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
-
2
j4
函数的分类
n
-
9
例4 求lim(1tanx)x13. (1 型).
x0 1sinx
解 原 式 li[m 1(1taxn 1)x ]13 lim [1taxnsinx]x13
x 0 1sixn
x 0
1sinx
lxi m 01ta1xnsisnxinxta1n xssixnixnta1n xssixnixnx13
(三)连续
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
间断点定义
第一类 第二类
可跳 去跃 间间 断断 点点
无振 穷荡 间间 断断 点点
初等函数 的连续性
闭区间上 连续函数的性质
-
6
二、典型例题
例1 求函y数 lo(gx1)(16x2)的定义 . 域
从而 b得 0,a1. 故 p(x)x32x2x.
问 p:(若 x)x3改 ~2x2l动 x i 0m p ( p x (x 条 x )2 ) xx 33 件 2 ,2 是 x2 为 o(否 x2 ,结 ). 可 论 ?行
p(x)x32x2,且无需其-他条件 .
11
例6
讨论 f(x) cxos12x, ,
原 l式 i(1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) (1 x 2 n )
n
1 x
li(m 1x2)1 (x2)1 (x4) (1x2n)
n
1x
(1x2n)(1x2n)
lim
n
1x
1 x2n1 lim n 1 x
1. 1 x
( 当 x1时 ,lim x2n10)
6．利用夹挤定理; 利用单调有界准则及解方程．
7．利用两个重要极限公式．
8．利用等价无穷小代换．
9．利用函数的连续性．
10.利用递推公式;合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧．
1 .利 1l n ix 用 m n A l n ix m 1 x 2 n x n A .
有理整函数(多项式函数) 有
理
代 数
函 有理分函数(分式函数) 数
函
初 等
数
无理函数
函
数
函
超越函数
数
非初等函数(大多的分段函数,有无穷多项等函数)
-
3
(二)极限
数列极限
函数极限
ห้องสมุดไป่ตู้
ln im xn a
lim f(x)A
x
limf(x)A
xx0
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
x1 x1的连续 . 性
解 将f (x)改写成
1 x, x 1
f
(
x)
cos
x
2
,
1
x
1
x 1, x 1
显 f(x 然 )在 (, 1 )(, 1 ,1 )(1 ,,)内 .连 续
关键f考 (x)在 察 x1, x1两点是. 否连
-
12
1 x, x 1
f ( x) cosx , 1 x 1
limp(x)1,求 p(x). x0 x
xx2,以及
解 lx im p(xx)2x3 2,
p(x)x3与2x2等价无穷大
p(x)x32x2o(x2)2x2axb
显然p(x)x3为二次多项 . 式
可p(设 x)x32x2a xb(其a,中 b为待)定
又limp(x) 1, p (x ) x 3 2 x 2 a b x ~ x (x 0 ) x0 x
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
极限 的性质
求极限的常用方法
极限的运算
-
4
求极限的一般方法
1．利用极限的定义求证极限.
2．利用极限的四则运算法则及复合运算法则.
3．利用无穷小的运算法则． 4．利用无穷小与无穷大的关系． 5 .利 lif ( m 用 x ) A f ( x ) A (l i0 ) m .
解 16x2 0,
x10,
x11,
x 4
x 1
x
2
1x2及 2x4,
即定义: 域 (1,2为 )(2,4).
-
7
例2 设 f(x ) f(x 1 ) 2 x ,其 x 0 中 ,x 1 .求 f(x ). x
解 利用函数表示法的无关特性
令t
x 1 ,
x
即x 1 , 1 t
f( 1 )f(t) 2 ,
2x
2 1 x
(1) (2)
f
(1 1
) x
f
(
x 1) x
2( x 1) x
(3)
-
(1)(2)(3)得 , : f(x)x1 1 1.
x 1x
8
例3 当 x 1 时 ,求 li( 1 m x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
1 .利 2li用 f m (x ) A lif m (x ) A .
x x 0
x x 0
13.利ln i用m f函(数xn极)限A 与;或 数x l 列 极 if 限( m 的x ) 关 系A - , ,即n l 若 ix x l n m x i0 fm (x ) A n l , ln i if x n m ( m x n x ) 0 ( 5x n A .x 0 )
1t
1t
代入原方程得
即f(x)f( 1 ) 2 , 1x 1x
令 1 u1, 即 x 1 , 代入上式得
1x u
1 u
f( 1)f(u1)2(u1), 即 f( 1)f(x1)2 (x1 ),
1u u u
1x x
x
联 立 方 程 组
f f
( x) ( x)
f f
x1 ()
x 1 () 1 x