高等数学同济七版一PPT课件
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1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
同济七版高等数学上册 1.3 函数的极限 ppt
限接近”. f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
最新同济大学高等数学第七版上册定积分精品课件
则有
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
2
三、小结
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。
作业
P254 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 6; 7 (4), (9), (10)
2 2arctant 1 2 .
0
2
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f ( x 1)dx . 0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
2xdx
0 1 x dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 ) dx
0
1
1 x
1 1 2 ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
T f ( x)dx .
a
0
aT
证 a f ( x)dx
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f ( x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
同济第七版高等数学总复习ppt课件
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )( 2 )
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
《高数同济》课件
引发学生对下一次课程的兴趣，告知学生需要进行的预习，以便更好地理解和掌握。
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
最新同济高等数学第一章第一节课件资料
显然, NZ, ZQ, QR.
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY,
对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
说明:
Rf 是在R的几一何个上真, 这子个集映. 射表示将平面上一个圆心在原点 的单位对圆于周Rf中上的的元点素投y影, 除到yx轴0外的,区它间的[原-1像, 1不]上是. 唯一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2.
(AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
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结、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY,
对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
说明:
Rf 是在R的几一何个上真, 这子个集映. 射表示将平面上一个圆心在原点 的单位对圆于周Rf中上的的元点素投y影, 除到yx轴0外的,区它间的[原-1像, 1不]上是. 唯一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2.
(AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
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结、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
同济七版高等数学上册 大一上学期 映射与函数 ppt
于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运 算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示 的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x
高等数学第七版上册总复习PPT课件.ppt
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
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10
11
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(三)连续与间断
14
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第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
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第三章 中值定理和导数的应用
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28
29
30
31
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第四章 不定积分
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四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较 PPT
1 - cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有 2
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
lim (x
x0
a)(x 1) exb
a 1b
0
a 0,b1
x 1 为可去间断点 , lim ex b 极限存在
x1 x (x 1)
lim(ex b) 0
x1
b limex e
x1
例4. 设 f (x) 定义在区间 ( , ) 上 , 且对任意实数
x, y 有 f (x y) f (x) f ( y) , 若 f (x) 在 x 0 连续,
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
例1. 设 f (x) f ( xx1) 2x , 其中 x 0 , x 1 ，求 f (x).
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
f (D1)
5. 初等函数
有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与
复合而成的一个表达式的函数.
思考与练习
1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?
(1) f (x) cos(2arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
相同
(2)
f
(x)
ax
, ,
x x
a a
与 ( x)
1a
2
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
阅读与练习
P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6
P74 题*6. 证明: 若 f (x) 在 ( , )内连续, lim f (x)
5)],
x8 x8
Hale Waihona Puke , 求 f (5) .6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
5.
已知
f
(x)
x f
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
习题课 函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C[X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
,
代入原方程得
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
f
(11x)
f
(x)
2 1 x
令
1 1 x
uu1 ,
即
x
1 1u
,
代入上式得
f (uu1)
f
(11u )
2(u1) u
,
即
f ( xx1)
f
(11x)
2( x1) x
画线三式联立
f (x) x 1 1 1 x 1 x
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
cos x , 提示: (2) y
sin x ,
0
x
π 4
π 4
x
π 2
3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
x2
(2) f (x) 11,,
x0 x0
x2 , x
x0
y⑵
1
O 1 x
y⑶
4
2
O1
x
(3)
f
(x)
2, 4,
x x
1 1
3
1, 1,
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (10 3) f (7) f [ f (12) ]
f (12 3 ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
O
D
x
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
D
g g(D)D1
f g f
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2) ln b
x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
例3. 设函数
f (x) ex b (x a)(x 1)
有无穷间断点
x0
及可去间断点 x 1,试确定常数 a 及 b .
解: x 0 为无穷间断点, 所以
lim ex b x0 (x a)(x 1)