09 变化的电磁场

(1) 定义求解:
i
L
E感 dl
若导体不闭合, 则
i
L
E感 dl
该方法只能用于E感为已知或可求解的情况. (2) 法拉第电磁感应定律求解:
d d i dt dt
SB dS
若导体不闭合, 需作辅助线.
例题7. 已知半径为R的长直螺线管中的电流随时间变化, 若 管内磁感应强度随时间增大, 即 分布. 解: 选择一回路L, 逆时针绕行
动生电动势方向: aO
三、感生电动势 蜗旋电场
1．蜗旋电场的产生和性质 由法拉第电磁感应定律： d d B i B dS dS S S dt dt t 问题: 是不是洛仑兹力? 导线不运动 v 0,
f qv B 0 结论: 不是洛仑兹力.
3 h R 2 h cos r
解2: 法拉第电磁感应定律求解 连接 Oa, Oc , 形成闭合回路 Oac
E感 半径 Oa cO 0
B E内
o
E外
Oac Oa ac cO ac
通过 Oac 的磁通量:
R
S
B
n
i i
N N N
SS
B
N
n
i
S NN S S
例题 1. 导线 ab 弯成如图形状 , 半径 R=0.10m, B=0.50T, n =360转/分. 电路总电阻为1000. 求: 感应电动势和感应电 流以及最大感应电动势和最大感应电流.
2π n -1 解: 120 π rad/s 60 π r2 cos t Φ B S BS cos B 2 2 dΦ Bπ r i sin t dt 2 1 2 im Bπ r 2.96 V 2 i Bπ r 2 Bπ r 2 Ii sin t I im 2.96 mA R 2R 2R
π 当 0 t 时， cos t 0, i 0 为逆时针转向 2 π 当 t π 时， cos t 0, i 0 为顺时针转向 2
例题3. 某空间区域存在垂直向里且随时间变化的非均匀磁 场B=kxcost. 其中有一弯成角的金属框COD,OD与x轴重 合, 一导体棒沿x方向以速度v匀速运动. 设t =0时x =0, 求框 内的感应电动势. y B C 解: 设某时刻导体棒位于l 处 任取 d S yd x x tan d x v

i 1 dΦi 感应电流: I i R R dt t2 1 2 1 感应电量: qi I i dt d i ( 2 1 ) t1 R 1 R
d 1. i 与 有关, 与 无关, 与回路的材料无关. dt 2. i 的存在与回路是否闭合无关, 而Ii的存在与回路是 否闭合有关.
0
l
dS
O

x
dx
lD
x
l vt
1 32 i kv t tan ( t sin t 3 cos t ) 3
例题4. 在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半径为 0.1m的小线 圈, 在小线圈所包围的面积内磁场近似均匀 . 设在亥姆霍 兹线圈中通以交变磁场 5.010-3(sin100t). 求小线圈中的 感应电动势.
Φ B dS
S
1 3 kl tan cos t 3 根据法拉第电磁感应定律： dΦ 1 3 2 dl i kl tan sin t kl tan cos t dt 3 dt
kx cos t x tan dx
• 楞次定律 电磁感应现象产生的感应电 流的方向 , 总是使感应电流的 磁场通过回路的磁通量阻碍原 磁通量的变化. 感应电流的效果总是反抗 引起感应电流的原因.
v
b B I
c
a
d
楞次定律符合能量守恒和 转换定律.
（超导演示1） （超导演示2）
2．法拉第电磁感应定律 当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生 的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率 成正比. d “-”号反映感应电动势的方 i 向与磁通量变化之间的关系. dt
vBdl vBl
电动势方向 AB 解2:
d i Blx dt d dx i Bl i vBl dt dt
电动势方向 AB
例题6. 长为L的铜棒,在均匀磁场B中以角速度在与磁场方 向垂直的平面上作匀速转动.求棒的两端之间的感应电动势.
解1: i
h
E内
a
b
c
Φm B dS B( S Oab S扇 ) B( 3 3 π R 2 ) S 12
d Φm 3 3 π 2 dB R 12 dt dt
a () , c ( )
2．蜗电流及其应用 当大块导体放在变化的磁场中 , 在导体内部会产生感应电流 , 由于 这种电流在导体内自成闭合回路 , 故称为涡电流.
E感
dB π R2 r R， E感 2 π r dt
R 2 dB E感 2 r dt
r dB E感 2 dt
例题8. 在上题长直螺线管一截面内放置长为 2R的金属棒, ab=bc=R, 求棒中感生电动势. B r dB 解1: 定义法
2 dt 感生电场分布: R 2 dB E外 2 r dt c b 感 ab bc E dl E dl
例题2. 一长直导线通以电流 i I 0 sin t , 旁边有一个共面 的矩形线圈abcd. 求: 线圈中的感应电动势.
r l1 0i l d x 解: Φ B d S 2 S r 2π x 0 I 0l2 r l1 sin t ln 2π r d 0 I 0 r l1 i l2 cos t ln dt 2π r
一、电磁感应现象及其基本规律
1．电磁感应现象 楞次定律 • 实验演示 当条形磁铁插入或拔出线 圈回路时 , 在线圈回路中会 产生电流; 而当磁铁与线圈 保持相对静止时 , 回路中不 存在电流.
结论:当穿过闭合回 路的磁通量发生变化时, 不管这种变化是由什么 原因的,回路中有电流产 生 . 这一现象称为电磁 感应现象. 电磁感应现象中产生的电流称为感应电流 , 相应的电 动势称为感应电动势. 电磁感应现象的本质由感应电动势反映。
a b
E 内
o

r
r E

E外
内
a
2 2
b dl
R 2 r h (l ) 2
dl
c

b
a
2 c R dB r dB dl cos dl cos b 2 dt 2r dt
感
2 2 R R h dB h dB 1 dl dl 0 2 dt R 2 dt h 2 (l R ) 2 2 3 2 dB πR 2 dB 3 3 π 2 dB a ( ), c ( ) R R 4 dt 12 dt 12 dt R
a
1. 动生电动势存在于运动导体上 ; 不动的导体不产生电动 势, 是提供电流运行的通路. 2. 没有回路的导体, 在磁场中运动, 有动生电动势但没有感 应(动生)电流.
3. 导线切割磁感线时才产生动生电动势.
• 动生电动势的计算 两种方法: 1. 公式求解:
i
b
a
( v B ) dl
“-”的含义:负右手螺旋
B t
(1) 变化的磁场能够激发电场. (2) 感生电场的性质: S E感 dS 0 B L E感 dl S t dS 无源、非保守(涡旋)场
E感
(4) 对场中电荷的作用力: F感 qE感
• 感生电动势的计算
B Br
B Br , t
磁通量发生变化的原因
d dt
1．动生电动势
导线运动时,内部 自由电子受到向下洛 伦兹力:
Fm e( v B )
导体内部上、下端 正、负电荷的积聚 , 形成静电场 . 自由电 子受到向上的静电 力.
2. 法拉第电磁感应定律求解:
i
d dt
若回路不闭合, 需增加辅助线使其闭合. 计算时只计大小, 方向由楞次定律决定.
例题5. 一矩形导体线框, 宽为l, 与运动导体棒构成闭合回 路. 如果导体棒以速度v作匀速直线运动, 求回路内的感应 电动势.
解1:
i
l 0
b
a
( v B ) dl
单位: 亨利(H)
自感系数L取决于回路线圈自身的性质(回路大小、形状、 周围介质等).
• 自感电动势: 根据法拉第电磁感应定律 dΨ i d ( LI ) dI dL L ( L I ) dt dt dt dt dI 如果回路自身性质不随时间变化, 则: L L dt 物理意义 dI dI L L L L dt dt • 当线圈中电流变化率为一个单位时, 线圈中自感电动势 的大小. • 负号: L总是阻碍 I 的变化. • 描述线圈电磁惯性的大小的物理量.
dB = 恒量 >0 , 求感生电场 dt E感
E感 L
感生电场的方向如图: dB L E感 dl S dt dS
dB E感 2 π r dS S dt dB 2 πr r R ， E感 2 π r dt
解:
B 5.0 10 3 sin 314t
2
I
I B
Φ πr B
0.1 π 5 10 sin 314t
dΦ i 0.05 cos 314t dt