概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
3-1概率论与数理统计PPT课件
随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？ 取这些值相应的概率是多少？
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
概率论与数理统计课件(1PPT课件
1.生日问题：n个 人的班级里没有 两人生日相同的 概率是多少？
10
第10页/共129页
理学院李建峰
概率论与数理统计课件
三、概率的几何定义
Definition 1.8 若试验具有下列两个特征：
样本空间的元素有无限个；
每个样本点的发生具有某种等可能性.
则称此试验为几何概型试验。
Definition 1.9 设试验的每个样本点是等可能落 入区域Ω上的随机点M ，且D ( Ω ) ，则M点落 入子区域D(事件A)上的概率为:
乘法原理:设完成一件事需分两步,第一步有n1种 方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2 种方法.
从n个中抽取k个的排列组合公式:
排列:Pkn=Akn(无重复) ,nk(有重复); 组合:Ckn
Note:
李
建
峰
1.计算时一定要认清 试验结果(基本事件) 是等可能性的本质. 例：掷二枚骰子,求 事件A为出现点数之
Note:
李
建
峰
1.牵涉到排列组合 的概率问题一般 都是古典概型， 可按定义求解概 率。
Example 1.5 一口袋装有 a 只白球,b 只红球,求 无放回取球中第k次取出的是白球的概率.
2. 抽签原理：抽 到签与抽签的次 序无关。
Example 1.6 设有 N 件产品,其中有 M 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k M ) 件次 品的概率是多少(不放回抽样)?
推广到多个事件：当P(A1A2…An-1)>0时， P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2…An-1)
Example 1.14 小明忘记电话号码的最后一个数 字，因而任意地按最后一个数，试求： ⑴不超过三次能打通电话的概率；
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性02
求Z=X+Y的概率密度.
解 X ~ N (0,1), f X ( x)
z2
2
2
FZ
(z)
1
exp
z2
2 2
,
z
0
0,
其它
f
Z
(z)
z2
exp
z2
2
2
,
z
0
0,
其它
Z服从参数为 ( 0)的瑞利(Rayleigh)分布.
例7 已知(X,Y) ~ f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.
132 12 12 12
12 2 12 12 12
X Y 0
1
P
1
4
12 12
3
5
2
235
1
2 22
12 12 12 12
例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为
X1 3
Y2 4
PX 0.3 0.7
PY 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以
k 0
X, Y 相互独立
n
p(k)q(n k), n 0,1,2,... k 0
n
P{Z n} p(k)q(n k), n 0,1,2,... k 0
例4 设X ,Y是相互独立的随机变量，X ~ (1 ), Y ~ (2 ),则X Y ~ (1 2 ).
被积函数 的非零域
0,
其 他.
0 x 10 0 z x 10
概率论与数理统计课件第三章随机向量及其独立性习题课
如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为
P ( X n, Y m )
e
14
(7.14) (6.86) m! ( n m )!
m
n m
,
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
求边缘分布律. 解 P ( X n)
当 y b 时,
8.
设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
(1)求c的值; (2)求两个边缘密度.
y
yx
o
x 1
x
cy( 2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其它
试求 : Z max( X , Y ) 的分布律. 解 因为X与Y相互独立, 所以 P{ X i , Y j } P{ X i }P{Y j }.
X 0
Y
0
(1 2)
2 2
1
(1 2)
2
1
(1 2)
(1 2) 2
1 P (max( X , Y ) 0) P( X 0,Y 0) 2 , 2
第三章 习题课
1.
已知X,Y的联合分布如下 Y X 0 0 0.4 1 b 1 a 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1} = P{X=0, Y=1} 得 (0.4+b)(a + b) = b (2) 由(1) (2) 得 a = 0.1
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-第四节-相互独立的随机变量
则称 (X1, X2,L , Xm )和 (Y1,Y2,L ,Yn) 是相互独立的。
概率统计
X1, X2,L , Xn
关于独立性的三个结果：
定理1 若连续型随机向量（X1, …,Xn）的概率密度 函数 f (x1, …, xn)可表示为 n 个函数 g1, …,gn 之积，其中gi 只依赖于 xi，即:
1
e ,
(
x1
2
2 1
)2
2 1
fY ( y)
1
e
(
y 2
2
2 2
)2
2 2
x
y
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么?
概率统计
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么?
解: Q fX ( x) fY ( y)
(
1
e ) (
(
x
1
2
2 1
)2
1
e )
(
例1. 设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为:
X
01
Y 123
P
2 3
1 3P
1 4
2 4
1 4
求: (X,Y) 的联合分布律.
解: Q X ,Y 相互独立
Pi j P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j )
从而： P01 P( X 0, Y 1) P( X 0) P(Y 1) 21 2 3 4 12
概率统计
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量
X 和Y相互独立
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
注 同一维随机变量的独立性，类似有：
fX Y ( x y) fX ( x), fY X ( y x) fY ( y)
概率统计
X1, X2,L , Xn
关于独立性的三个结果：
定理1 若连续型随机向量（X1, …,Xn）的概率密度 函数 f (x1, …, xn)可表示为 n 个函数 g1, …,gn 之积，其中gi 只依赖于 xi，即:
1
e ,
(
x1
2
2 1
)2
2 1
fY ( y)
1
e
(
y 2
2
2 2
)2
2 2
x
y
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么?
概率统计
问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么?
解: Q fX ( x) fY ( y)
(
1
e ) (
(
x
1
2
2 1
)2
1
e )
(
例1. 设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为:
X
01
Y 123
P
2 3
1 3P
1 4
2 4
1 4
求: (X,Y) 的联合分布律.
解: Q X ,Y 相互独立
Pi j P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j )
从而： P01 P( X 0, Y 1) P( X 0) P(Y 1) 21 2 3 4 12
概率统计
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量
X 和Y相互独立
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
注 同一维随机变量的独立性，类似有：
fX Y ( x y) fX ( x), fY X ( y x) fY ( y)
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
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m0 m!(nm)!
P(Xn)m n 0e14 (7 m .1!(n )4m (6 m .8 )!)6nm
e 14n n!
(7 .1)m 4 (6 .8)n 6 m
n! m 0m !(nm )!
en 1 !4m n 0Cn m(7.1)4 m(6.8)6 nm
e14(7.146.86)n e14 (14)n,
n!
n!
n0,1,2,.
以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记
其中的男婴个数.
P(Ym)P(Xn,Ym)
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm nm m !(nm)!
e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
（k令 nm）
P(Ym)e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
c1[x2(2x)/2]dx 0
= 5c/24=1 c =24/5
o
x1 x
f(x ,y) 4 .8y(2 0 x ,),0x 1 其 ,0y 它 x
(2)
fX(x)f(x,y)dy
当 x 0 或 x 1 时 ,f X ( x ) 0 . y
yx
当 0x1时 ,
x
fX(x)04.8y(2x)dy
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
1x,1 x0 fX(x)1x, 0x1
0, 其他.
fY(y)f(x,y)dx
y
yx
yx
当0y1时 ,
1 y 1
x
y
fY ( y)
1d y 2y
y
o
当 y0或 y1时 ,fY(y)0.
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
C
2 6
2 pj
C
2 3
C
2 5
C
2 6
C
2 6
0
C
1 1
C
1 5
C
2 6
C
2 3
1
C
2 6
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
(3 )P (X 1 ,Y 1 )
1 P (X 2 ,Y 0 )
1
C
2 3
C
2 6
4
5
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
G2 G
111
1
2
1
2
1
2
1
1
8 3
1 6
2 24
y x1
12
o
yx
y 1
y1 2
x
11. 随机变量X和Y相互独立，其密度分别为
ex,x0
ey,y0
fX(x) 0 ， 其它 fY(y) 0 ， 其它
参 , 数 0 ， 且 ，
引入随机变量Z
y
yx
Z 10,,当 当XXYY
o
x
求Z的分布律.
3
当 1z3时 ,
z
z 3x
3
(1,3)
zx
1
z
fz(z) z1dx 1 3
3
1
(1,1)
o
x 1
x
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
3y2z
f(zy,y) 1 ,0 0 z ,y 1 ,0y 其 2 (z 它 y)
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别
表示取到的红球数与白球数. （1）求X与Y的联合分布律； （2）求（X,Y）的边缘分布律；
（3）求P (X 1 ,Y1 ).
X 01
Y
0
C
2 2
C
1 3
C
1 2
C
2 6
C
2 6
1
C
1 1
C
1 2
C
1 3
C
1 1
C
2 6
C
2 6
pi
C
2 3
C
2 6
C
1 3
C
1 3
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
P (X i,Y j) P (X i)P (Y j),
特别地，
i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
P ( X 1 , Y 2 ) P ( X 1 ) P ( Y 1 )
191319
2 9
,
又 1, 得 1.
3
9
3. 袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，
0,
其它
9. 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) 10,, 0x1,0y其 2x它
求
y
(1)X,Y的边缘概率密度; (2)判断X,Y是否相互独立；
x 1 y 2x
(1,2)
(3)Z = X+Y的概率密度.
o
1
x
解(1)
fX(x)f(x,y)dy
当 x0或 x1时 , fX(x)0
当 0x1时 ,
如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为 P(Xn,Ym )e1(47.1)4 m(6.8)6 nm,
m !(nm )!
m0,1,2,,n;n0,1,2,.
求边缘分布律.
解 P(Xn)P(Xn,Ym)
m
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm
P (mX ,a Y ) x0 )(P (X 0 ,Y 0 )
1 22
,
P (mX ,a Y )x 1 )(
P ( X 1 , Y 0 ) P ( X 0 , Y 1 ) P ( X 1 , Y 1 )
212 212 212
3 22
XY 0 1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
解 由独立性
1,当X Y
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) Z0,当XY
exy,x0,y0
0,
其它
P { Z 1 } P { X Y } f(x, y)dxdy
xy
y
yx
y
dy
exydx
0
0
(
ey
y
exd)x dy
o
0
0
x
P { Z 1 } P { X Y }
(3) X与Y不相互独立.
1x,1 x0
fX(x)1x, 0,
0 x1 其他.
yx
y
1
yx y 1
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
o
x
1, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
在图中阴 f(x,影 y)区 fX(x)域 fY(y)内 .
(4)
设G1
(x,
y)
x
1, 2
y
12.
G2
(x,
y)
当 z 0 或 z 3 时 ,f Z ( z ) 0 .
z
当 0z1时 ,
3
fZ(z)
2z
3 1dy
0
2z 3
1
当 1z3时 ,
2z
z
fz(z)
3 1dy
z1
1
3
o
3y 2z
z y1
(2,3)
zy
y
2z ,0 z 1 3
fZ
(z)
1
z 3
0,
,1
z 其他
3
10. 设(X,Y)的概率密度是
所 f ( x ,y ) 以 f X ( x ) f Y ( y ) 又 fX (x)2 1 π σe(x 2 σ a 2 )2, x ;
fY(y)21b, byb, 0, 其他 .
得f(x,y)1
1
(xa)2
e2σ2 ,
2b 2πσ
其 x 中 , b y b .
当 y b 时 , f(x ,y ) 0 .
o
x
f(x,y)dxdy1
y
yx
yx
1cdxdy
1 y1
G
x
c1dxdy
o
G
c SG
c121 c 2
故c1.
(2) fX(x)f(x,y)dy yx y
yx
当 1x0时 ,
1 y 1
1
fX(x)
1d y 1x
x
当0x1时 ,
o
x
fX(x)
1
1d y 1x
x
当 x1或 x1时 ,fX(x)0.
fX(x)20x,,0其 x它 1 y
x 1 y 2x
(1,2)
fY(y)12y,0 y2 0, 其它
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) o
1
x
在图中阴影区域内不成立， X与Y不相互独立.
(3) Z = X+Y, 求Z的概率密度.
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
fZ(z)f(x,zx)dx
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它(1)确定常数c；(2)求两个边缘密度;
(3)判断X与Y是否相互独立，说明理由.
(4)求 PX1Y1. 2 2
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
解(1) 设 G { ( x ,y )x y ,0 y 1 }
y
yx