概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性习题课

8. 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) c(2 y 0x), ,0x1 ,其 0y 它 x
(1)求c的值;
(2)求两个边缘密度.
y
yx
o
x1 x
f(x,y) c(2 y 0x), ,0x1 ,其 0y 它 x
解 (1)
f(x,y)dxdy
1x
[ c(y2x)d]ydx
00
y
yx
fX(x)20x,,0其 x它 1 y
x 1 y 2x
(1,2)
fY(y)12y,0 y2 0, 其它
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) o
1
x
在图中阴影区域内不成立， X与Y不相互独立.
(3) Z = X+Y, 求Z的概率密度.
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
fZ(z)f(x,zx)dx
所 f ( x ,y ) 以 f X ( x ) f Y ( y ) 又 fX (x)2 1 π σe(x 2 σ a 2 )2, x ;
fY(y)21b, byb, 0, 其他 .
得f(x,y)1
1
(xa)2
e2σ2 ,
2b 2πσ
其 x 中 , b y b .
当 y b 时 , f(x ,y ) 0 .
o
x
f(x,y)dxdy1
y
yx
yx
1cdxdy
1 y1
G
x
c1dxdy
o
G
c SG
c121 c 2
故c1.
(2) fX(x)f(x,y)dy yx y
yx
当 1x0时 ,
1 y 1
1
fX(x)
1d y 1x
x
当0x1时 ,
o
x
fX(x)
1
1d y 1x
x
当 x1或 x1时 ,fX(x)0.
（k令 nm）
e14(7.1)4m(6.8)6k
m!
k0 k!
e14(7.14)me6.86
m!
e7.14(7.14)m, m 0,1,2,. m!
7. 设随机变 X和 量Y相互独,并 立且 X服从 N(a,σ2),Y在(b,b)上服从均 分布 ,求(X,Y)的联合概率 . 密度
解 由于X 与Y 相互独立,
C
2 6
2 pj
C
2 3
C
2 5
C
2 6
C
2 6
0
C
1 1
C
1 5
C
2 6
C
2 3
1
C
2 6
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
(3 )P (X 1 ,Y 1 )
1 P (X 2 ,Y 0 )
1
C
2 3
C
2 6
4
5
1只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球， X与Y分别表示取到的红球数与白球数.
n!
n!
n0,1,2,.
以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记
其中的男婴个数.
P(Ym)P(Xn,Ym)
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm nm m !(nm)!
e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
（k令 nm）
P(Ym)e14(7.1)4m(6.8)6nm
m !
nm(nm)!
(1)求 与 应满足;的条件 (2若 ) X与 Y相互,求 独 与 立 的.值
解 将(X,Y)的分布律改写为
Y X
1
2
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
pi P{Xxi}
1 3
1
3
p•j P{Yyj}1
2
1 9
1 18
2
3
(1)由分布律的性质知 0,0,2 1,
3
故与应满足的条:件是
0,0且 1.
第三章 习题课
1. 已知X,Y的联合分布如下
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立. 试确定常数 a与b. 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得
a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1}
(3) X与Y不相互独立.
1x,1 x0
fX(x)1x, 0,
0 x1 其他.
yx
y
1
yx y 1
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
o
x
1, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
在图中阴 f(x,影 y)区 fX(x)域 fY(y)内 .
(4)
设G1
(x,
y)
x
1, 2
y
12.
G2
(x,
y)
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
P (X i,Y j) P (X i)P (Y j),
特别地，
i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
P ( X 1 , Y 2 ) P ( X 1 ) P ( Y 1 )
191319
2 9
,
又 1, 得 1.
3
9
3. 袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，
(
ey
y
exd)x dy
0
0
y
yx
(
ey(ex)y)dy
0
0
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
(1)确定常数c；
(2)求两个边缘密度;
(3)判断X与Y是否相互独立，说明理由.
(4)求 PX1Y1. 2 2
c, xy,0y1
f(x,y)0,
其它
解(1) 设 G { ( x ,y )x y ,0 y 1 }
y
yx
yx
1
当x0,|x|yxy
y1
当x0,|x|yxy
= P{X=0, Y=1} 得
(0.4+b)(a + b) = b (2)
由(1) (2) 得 a = 0.1 b = 0.4
YX 0 1 0 0.4 a
1 b 0.1
2. 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(2,2)
(2,3)
2.4x2(2x)
o
x1 x
注意积分定限
2.4x2(2x), 0x1
fX(x)
0,
其它
fY(y)f(x,y)dx
当 y 0 或 y 1 时 ,f Y ( y ) 0 .
当 0y1时 ,
y
fY(y)
124y(2x)dx y5
52
2o
y( 2y )
24 3
y
2
yx
x1 x
fY(y) 254 y(2 32yy22), 0y1
P (mX ,a Y ) x0 )(P (X 0 ,Y 0 )
1 Biblioteka Baidu2
,
P (mX ,a Y )x 1 )(
P ( X 1 , Y 0 ) P ( X 0 , Y 1 ) P ( X 1 , Y 1 )
212 212 212
3 22
XY 0 1
0
1 22 1 22
1
1 22 1 22
0,
其它
9. 设(X,Y)的概率密度是
f(x,y) 10,, 0x1,0y其 2x它
求
y
(1)X,Y的边缘概率密度; (2)判断X,Y是否相互独立；
x 1 y 2x
(1,2)
(3)Z = X+Y的概率密度.
o
1
x
解(1)
fX(x)f(x,y)dy
当 x0或 x1时 , fX(x)0
当 0x1时 ,
列表如下
P(X=2, Y=1)=3/8
P(X=3, Y=0)=1/8
从表中不难求得:
P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,
P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) =3/8+3/8=6/8,
P(Y=3) = P(X=0, Y=3) + P(X=3, Y=3) =1/8+1/8=2/8.
从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别
表示取到的红球数与白球数. （1）求X与Y的联合分布律； （2）求（X,Y）的边缘分布律；
（3）求P (X 1 ,Y1 ).
X 01
Y
0
C
2 2
C
1 3
C
1 2
C
2 6
C
2 6
1
C
1 1
C
1 2
C
1 3
C
1 1
C
2 6
C
2 6
pi
C
2 3
C
2 6
C
1 3
C
1 3
3
当 1z3时 ,
z
z 3x
3
(1,3)
zx
1
z
fz(z) z1dx 1 3
3
1
(1,1)
o
x 1
x
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
3y2z
f(zy,y) 1 ,0 0 z ,y 1 ,0y 其 2 (z 它 y)
解2
fZ(z)f(zy,y)dy
m0 m!(nm)!
P(Xn)m n 0e14 (7 m .1!(n )4m (6 m .8 )!)6nm
e 14n n!
(7 .1)m 4 (6 .8)n 6 m
n! m 0m !(nm )!
en 1 !4m n 0Cn m(7.1)4 m(6.8)6 nm
e14(7.146.86)n e14 (14)n,
y
PX1Y 1 2 2
12. P
X 1 ,Y 2
P Y 1
1 2
2
f ( x, y) d x d y 1 d x d y
G1
G1 G
f ( x, y) d x d y 1 d x d y
G2
G2 G
(4) PX1Y 1
2
2 yx
1 d x d y
G1 G
1 d x d y
c1[x2(2x)/2]dx 0
= 5c/24=1 c =24/5
o
x1 x
f(x ,y) 4 .8y(2 0 x ,),0x 1 其 ,0y 它 x
(2)
fX(x)f(x,y)dy
当 x 0 或 x 1 时 ,f X ( x ) 0 . y
yx
当 0x1时 ,
x
fX(x)04.8y(2x)dy
当 z 0 或 z 3 时 ,f Z ( z ) 0 .
z
当 0z1时 ,
3
fZ(z)
2z
3 1dy
0
2z 3
1
当 1z3时 ,
2z
z
fz(z)
3 1dy
z1
1
3
o
3y 2z
z y1
(2,3)
zy
y
2z ,0 z 1 3
fZ
(z)
1
z 3
0,
,1
z 其他
3
10. 设(X,Y)的概率密度是
G2 G
111
1
2
1
2
1
2
1
1
8 3
1 6
2 24
y x1
12
o
yx
y 1
y1 2
x
11. 随机变量X和Y相互独立，其密度分别为
ex,x0
ey,y0
fX(x) 0 ， 其它 fY(y) 0 ， 其它
参 , 数 0 ， 且 ，
引入随机变量Z
y
yx
Z 10,,当 当XXYY
o
x
求Z的分布律.
fX(x) 0 1dy2x
y
2x
fX(x)20x,,0其 x它 1
o
x 1 y 2x
(1,2)
1
x
fY(y)f(x,y)dx
当 y0或 y2时 ,fY(y)0y
当 0y2时 ,
fY ( y)
y11dy
2
1
y 2
fY(y)12y,0y2 o 0, 其它
x 1 y 2x
(1,2)
1
x
(2) f(x,y) 10,, 0x1,0y其 2x它
如下表所示
6. 以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记 其中的男婴个数. 设X和Y的联合分布律为 P(Xn,Ym )e1(47.1)4 m(6.8)6 nm,
m !(nm )!
m0,1,2,,n;n0,1,2,.
求边缘分布律.
解 P(Xn)P(Xn,Ym)
m
n
e14 (7.1)4m(6.8)6nm
解 由独立性
1,当X Y
f(x ,y ) fX (x )f Y (y ) Z0,当XY
exy,x0,y0
0,
其它
P { Z 1 } P { X Y } f(x, y)dxdy
xy
y
yx
y
dy
exydx
0
0
(
ey
y
exd)x dy
o
0
0
x
P { Z 1 } P { X Y }
fZ(z)f(zy,y)dy
解1
fZ(z)f(x,zx)dx
f(x,y) 1,00 ,x1,0其 y2x它
f(x,zx) 1, 0 0 , x1,0z其 x2它 x
解1
fZ(z)f(x,zx)dx
当 z 0 或 z 3 时 ,f Z ( z ) 0 .
当 0z1时 ,
z
2z
fZ(z) z1dx 3
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
1x,1 x0 fX(x)1x, 0x1
0, 其他.
fY(y)f(x,y)dx
y
yx
yx
当0y1时 ,
1 y 1
x
y
fY ( y)
1d y 2y
y
o
当 y0或 y1时 ,fY(y)0.
2y, 0y1
fY(y)
0,
其他 .
f(x,y)10,,
xy, 0y1 其它
4. 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 概率分布，
X0 1
P 0.5 0.5
试:求 ZmaX,x Y)(的分. 布律
解 因为 X与Y相互独 , 立
所 P { X i , Y 以 j } P { X i } P { Y j }.
XY 0 1
0
(1 2)2 (1 2)2
1
(1 2)2 (1 2)2
故ZmaX x,(Y)的概率分布为
Z0 1
P1
3
4
4
5. 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中 正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布 .
解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8