混沌及应用读书报告

混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，特殊是在计算机技术浮现和普遍应用的基础上发展起来的一门新兴交叉学科。混沌学属于非线性科学的范畴，而非线性科学是近代才发展起来的、解决传统线性科学不能解决的问题的科学。要了解混沌理论的重要性和意义，有必要回顾一下线性科学的特点及其不足。

线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。于是在经典物理学中，首先考察的是没有磨擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或者局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的弱小扰动来讨论非线性效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的发展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。

线性科学的长期发展，也形成为了一种扭曲的认识或者“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才干建立普通原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或者采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说，线

性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长

期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。

然而，线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征：

(1)从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或者可还原性，部份之和

等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；于是描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方

程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部份之和，叠加原理失效。

(2)从运动形式上看，线性现象普通表现为时空中的平滑运动，可以用性能

良好的函数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规

则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。

(3)从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，

成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的弱小变化往往导致运动形式

质的变化，浮现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成

和维持。正是非线性作用，才形成为了物质世界的无限多样性、丰富性、蜿蜒性、奇妙性、复杂性、多变性和演化性。

在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段，线性方法曾经是十分有效的。线性关系容易思量，容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察，然后再

一块块地拼合起来。而非线性问题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强的，很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采

取特殊的处理方法。所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大

量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或者发

现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或者加以舍弃，使之“线性化”。

到20 世纪60 年代以后，情况才有了改变。由于电子计算机的广泛应用和由

此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无穷多自由度的非线性偏微分方程中，在浅水波方程中发现了“孤子”，并得

出了一套一些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研

究中，发现了确定性动力系统中存在着对初值极其敏感的混沌运动。人们越来越

明白地认识到，“大自然无情地是非线性的。”在现实世界中，能解的、有序的线

性系统才是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄。要真正进一步认识这个世界，必须研究非线性现象。这样，就逐渐形成为了贯通物理学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”。

每一门科学有它自己的非线性问题，并形成各自的非线性学科分支。非线性科学不是各门非线性学科的简单综合，它研究浮现于各种具体的非线性现象中的那些共性。这些共性有的已可以用适当的数学工具描述，表现为一些数学定律，但有的还难找到相应的数学描述，没有严格的数学理论。非线性科学着眼于定量的规律，主要用于自然科学和工程技术，对社会科学的应用普通还局限在类比和猜测，难以有实质性的定量结果。

普通认为非线性科学应包括以下3 个主要部份：孤立波，混沌，分形。孤立波是在传播中形状不变的单波，有些孤立波在彼此碰撞后仍能保持原形，带有粒子的性质，称为孤立子，它们在不少自然现象和工程问题中遇到，如光导纤维通信技术的改进需要对光学孤立子性质有进一步的了解。混沌是一种由确定性规律支配却貌似无规的运动过程。近几十年通过数值实验、物理观测和数学分析得到确认并在自然和工程系统里找到许多有趣的例子。分形是一个几何概念，它由像云彩、海岸线、树枝、闪电等不规整但具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。上述3 项内容在一个具体的非线性课题里又往往是联系着的。如耗散系统的混沌过程往往可用相空间里一个分形描述。又如近代前沿课题图型动力学里，某一系统的整体空间图型可能是分形，而局部的时间动态又要用混沌过程刻划。再如在分岔理论里，要考虑系统怎样由于其参量改变而导致性态发生定性的变化，它除了引用传统的平衡、振动、稳定性等概念外，也考虑涉及混沌动态和分形图型的分岔问题。