运筹学思考练习题答案

3
2 4
3
3
4
0
0
3
5
1
54 2
3 5
1
5 2
4
7. 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 MinZ xai (xai 为人工变 i 量)，但也可写为 MinZ ki xai ，只要所有 ki 均为大于零的常数。(✓) i
8. 对一个有 n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为 Cnm 个。 ()
相应的目标函数值将增大 5k；()
(8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 xi 0 ，又 xi 所在行的元素全部大于
或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(✓)
(9) 若线性规划问题中的 bi，cj 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与 对偶问题均为非可行解的情况；()
12
1
—
1
差
—
1
额
—
7
—
—
—
—
用位势法求空格检验数：
丙
17
13
12 60
60,0 1 1 1 5 5 —
丁
12 10
15
9 70
80 3 3 3 3 3 3
戊
0 90
0
0
90，0 0 0 — — — —
产量
差额
100 10
12 12 2 2 5 12
100 50,0
5 8 5 — ——
150 130,70
5
1
0
4
2
5
1
0
4
2
4
0
0
3
B 1 3 7 5 2 1 0 2 6 4 1 0 1 5 4 0
6
2
4
1
5
1
5
1
3
0
4
5
0
2
0
3
0 5 7 4 7
0 5 7 4 7 0 4 6 4 6
1 1 1
4 2 1 3 4 2 1 3
0 3 1 0 2
2
4
14
17
12
0
1
10
90
3
5
2
50
8
13
15
50
0 1
17
7
12
9
0
3
70
10
70
0
vj
4
7
12
9
-3
三、针对目标规划模型：
MinZ P1d1 P2d3 P3d2
x1 x1 x1
2 x2 2 x2 2 x2
d1 d2 d3
d1
d
2
d3
4 4 8
3
x1
2
x2
12
x1 ,x2 0;di ,di 0,i 1,2,3
(10)在线性规划问题的最优解中，如某一变量 xj 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它 在目标函数中的系数 cj 或在各约束中的相应系数 aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有 变化外，将不会引起其他列数字的变化。(✓)
2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中 x4、x5 为松弛变 量。
答案：
3
(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。 由题意已知原线性规划问题目标函数为 Max（因 σj≤0 为最优），且 c4、c5 为 0（松弛变
量目标函数系数为 0）。
根据
j
cj
CBB1Pj
知：
c2 0
1 2 1 2
c3
1 2
c3
1 6
0
1 3
但考虑非基变量 x23 的检验数 σ23=0，该问题有无穷多最优解，用闭回路法调整得另一最 优解： x14 10 ， x15 90 (就地贮存)， x21 50 ， x23 50 ， x32 70 ， x33 10 ， x34 70 ，其 余 xij 0 。(见下表)
甲
乙
丙
丁
戊
ui
18
第二种资源应要价至少为 2（影子价格），否则不如自己组织生产。
4
第三章运输问题、第四章目标规划练习题答案
一、判断下列说法是否正确
1．表上作业法实质上就是求运输问题的单纯形法。(✓)
n源自文库
m
2．在运输问题中，只要任意给出一组含(m+n-1)个非零的{xij}，且满足 xij ai ， xij bj ，
-5/7
0
-6/7
所有检验数
j
0
，已得最优解：
X*
12 7
, 15 7
,0 , 19 7
T
,0
，
MinZ
120 7
。
2
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案
1．判断下列说法是否正确：
(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(✓)
(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题
9. 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。() 10. 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数
的最优解。() 二、求得 L.P 问题
MaxZ 2x1 3x2
x1 2x2 x3
8
4 x1
x4 16
4 x2
x5 12
xj 0; j 1,2, ,5
答案：
(1)用图解法求出问题的满意解。 (2)若将目标函数改为：
MinZ P1d1 P2d2 P3 d3 d3
满意解会如何变化。
(1) 满意解为图中 A(4,0)、B(6,1)、C(2,3)所围成的区域。
x2 3x1 2x2 12 x1 2x2 4
d1 C(2,3)
x1 2x2 4 d1
Max i
{
bi
/
air
| air
0}
br
Min{ i
bi
/
air
| air
0} ，其中： air
B1
。则：
ir
Max{
5 2
1 2
}
b1
Min{
5 2
(
1 6
)}
，即
5
b1
15
，则 0
b1
20
(4)以单价 2.5 购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即 2.5<4），可盈利；
(5) 已知 yi* 为线性规划的对偶问题的最优解，若 yi* 0 ，说明在最优生产计划中第 i 种资源已
完全耗尽；(✓)
(6) 已知 yi* 为线性规划的对偶问题的最优解，若 yi* 0 ，说明在最优生产计划中第 i 种资源一
定有剩余；()
(7) 若某种资源的影子价格等于 k，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5 个单位时，
第一章 L.P 及单纯形法练习题答案
一、判断下列说法是否正确
1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域的范围一般将扩大。(✓)
2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。() 3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。(✓) 4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有
答案：
MaxZ 5x1 4 x2
x1 2x2 x3 6
化为标准型：
s .t . 52x1x13 xx22
x4 x5
4 15
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
得初始单纯形表并求解：
cj
5
4
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
i
0
x3
6
1
2
1
0
06
0
x4
4
2
-1
0
1
0 2
答案：
1
基解：X⑴、X⑵、X⑷、X⑺，可行解：X⑴、X⑶、X⑹、X⑺，基可行解：X⑴、X⑺，非．基．可行解： X⑶、X⑹(或非．基可行解：X⑵、X⑶、X⑷、X⑸、X⑹)。 三、求解下列线性规划问题：
MinZ 5x1 4x2
x1 2x2 6
s.t.52x1x13xx22
4 15
x1 , x2 0
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
答案：
工作
工人
A
B
CD
E
甲
94
6
8
5
乙
85
9 10
6
丙
97
3
5
8
丁
48
6
9
5
戊
10 5
3
6
3
设原矩阵为 A，因求极大问题，令 B=[M-aij]，其中 M=Max{aij}=10，则：
1 6 4 2 5 1 0 5 3 1 4 0 4 2 1 3
2
7
7
2
2
3
9
甲
乙
丙
丁
戊
ui
18
14
17
12
0
1
11
4
2
10
90
3
5
8
13
15
0
2
50
50
0
5
2
1
17
7
12
9
0
3
13
20
60
70
3
0
vj
4
7
12
9
-3
5
所有空格检验数 σij≥0，表中已得最优解：x14 10 ，x15 90 (就地贮存)，x21 50 ，x22 50 ， x32 20 ， x33 60 ， x34 70 ，其余 xij 0 ；最小运费： Z* 2260 。
x2 2x3 5 s.t.3x1 x2 x3 10
x1 , x2 , x3 0
Min 5 y1 10 y2
3 y2 6
s.t
.
y1 2 y1
y2 y2
2 10
y1 , y2 0
(2)直接由表写出对偶问题得最优解为：Y* 4,2
(3)令原解 xi (X B )i (B-1b)i bi ，得br 的变化范围为：
c1 c1 c1
4
4 ，得： cc21 c3
2
6 2 10
根据
B1
A
|
b
0 1
1 2
12
1 0
1 2
1 6
0
1 3
5 5
2 2
，得：
A
|
b
0 3
1 1
2 1
1 0
0 1
5
10
则原线性规划问题的数学模型为： 其对偶问题的数学模型为：
MaxZ 6 x1 2x2 10x3
0
x5
15
5
3
0
0
13
j cj zj
0
5
4
0
0
0
0
x3
4
0
5/2
1
-1/2
0 8/5
5
x1
2
1
-1/2
0
1/2
0—
0
x5
5
0
11/2
0
-5/2
1 10/11
j cj zj
-10
0 13/2 0
-5/2
0
0
x3 19/11 0
0
1
7/11 -5/11 19/7
5
x1 27/11 1
0
0
3/11 1/11 9
4
x2 10/11 0
1
0 -5/11 2/11 —
j c j z j -175/11
0
0
0 5/11 -13/11
0
x4 19/7
0
0
11/7
1
-5/7
5
x1
12/7
1
0
-3/7
0
2/7
4
x2 15/7
0
1
5/7
0
-1/7
j c j z j -120/7 0
0
答案：因该问题为产销不平衡问题，总产量 350 (100+100+150)大于总销量 260 (50+70+60+80)，
故假想一销地“戊”，其销量为 90 (350-260)，形成产销平衡问题，并用 Vogel 法求得初始解：
销地 产地
1
甲 18
乙 14
5
8
2
50
50
17
7
3
20
销量 50，0 70,20,0
一个基变量的值为负。(✓) 5. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表
中删除，而不影响计算结果。(✓)
6. 若 X 1 、X 2 分别是某一线性规划问题的最优解，则 X 1 X 1 2 X 2 也是该线性规划问 题的最优解，其中 1 、 2 为正的实数。()
XB
ｂ
x1
x2
x3
x4
x5
x3 5/2 0 1/2 1 1/2 0
x1 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3
σj
0
-4
0
-4
-2
要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解；
(3)其它条件不变时，约束条件右端项 b1 在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价 2.5 购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？
d
3
d
3
d
2
B(6,1)
d
2
O
(2) 满意解为 B(6,1)、C(2,3)线。
A(4,0)
x1 2x2 8 x1
6
第五章整数规划练习题答案
一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
的解如下：
X⑴=(0,3,2,16,0)T;
X⑵=(4,3,-2,0,0)T;
X⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T;
X⑷=(8,0,0,-16,12)T; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T; X⑹=(3,2,1,4,4)T; X⑺=(4,2,0,0,4)T。
要求：分别指出其中的基解、可行解、基可行解、非基可行解。
无可行解时，其原问题具有无界解；()
(3) 设 ˆx j ， ˆyi 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解， x*j ， yi* 分别为其最优解，则恒
有
n
c j ˆx j
n
c j x*j
m
bi
yi*
m
bi ˆyi
；(✓)
j 1
j 1
i1
i1
(4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；(✓)
j 1
i1
就可以作为一个初始可行解。()
3．建立目标规划模型时，正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。()
4．线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。(✓)
二、用表上作业法求解下表最小运费方案
销地 产地
甲
乙
丙
丁
产量
1
18
14
17
12
100
2
5
8
13
15
100
3
17
7
12
9
150
销量
50
70
60
80