初三数学提优专题( 图形旋转)

第十三节图形旋转

讲方法

一、构造旋转全等三角形

1.见60°,旋60°,如图1

2.见90°,旋90°,如图2,图

3.

图1 图2 图3

旋转全等必备条件:共顶点,等线段

旋转全等操作技巧:边怎么旋转,边所在的三角形也怎么旋转.

二、旋转最值

1.如图4,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则|a-b|

2.如图5,点C在⊙A上运动,点B为一定点,则BC的最大值是BC2的长度,最小值是BC1的长度

图4 图5

三、旋转与中点综合

在几何压轴题中,中点一般会有四个思考方向:

1.将中线延长,变成原来的二倍

2.中位线

3.斜边中线

4.三线合一

学思路

铺垫

如图6,P是等边△AB C内的一点,且PA=4,PB=23,PC=2.则

⑴∠BPC,∠APB的度数分别是______________；

⑵S△ABC=______________

思路

①有等线段共端点

②已知长度的三条边共顶点,只有借助变换,转移线段方可求解

图6

压轴题

已知:在△ABC中,∠BAC=600

⑴如图7,若AB=AC,点P在△ABC内,且PB=5,PA=3,PC=4,直接写出∠APC的度数；

⑵如图8,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;

⑶如图9,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=3,PB=5,∠APC=1200,直接写出PC的长

提能力

1.（1）下面是一道例题及其解答过程,请补充完整：

如图10，在等边△ABC内部,有一点P,若∠A PB=1500.求证：AP2+BP2=CP2

证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP/B, 连接PP/,则△APP为等边三角形

∴∠APP/=60°,PA=PP/,PC=______________

∵∠APB=150°,∴∠BPP/=90°

∴P/P2+BP2=，即AP2+BP2=CP2

(2)如图11,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,内部有一点P,若∠APB=1350，判断线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明;

(3)如图12,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点P在直线AB上方,且∠A PB=60°,满足(kPA)2+PB2=PC2,请直接写出k的值.

2.如图13,已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合).求证:BD+DC>AD

下面的证法供你参考

把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接ED,如图14,则有△ACD≌△AB E,DC=EB

∵AD=AE,∠DAE=60°

∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD.

(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题

如图15,点D是等腰直角三角形ABC边上的点(点D不与B、C重合).

求证:BD+DC>2AD

(2)已知:如图16,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.

图13 图14 图15 图16

3.（山东烟台中考)

(1)如图17,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF、EF

①求∠EAF的度数;

②DE与EF相等吗?请说明理由；

(2)如图18,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的900角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于00且小于450),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,在线段AB 上取点E使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果:

①∠EAF的度数;

②线段AE,ED,DB之间的数量关系

4.如图19,点O为正方形ABCD的中心.

(1)将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°,点E的时应点为点F,连EF,AE,BF,请依题意补全图3-3-19(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)；

(2)根据图19中补全的图形，猜想证明AE与BF的关系

(3)如图20，点G是OA中点,△EGF是等腰直角三角形, H是EF的中点,AB=8,GE=4,△EGF绕G点逆时针方向旋转,请真接写出旋转过程中BH的最大值.

5.(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.

①∠AEE的度数为______________

②猜想线段AD、BE之间的数量关系为: ______________

(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E 在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请求出∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系.