一级倒立摆的Simulink仿真.docx

单级倒立摆稳定控制

直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。

mg θ

杆长为λ

2u

图1 直线一级倒立摆系统

图2 控制系统结构

假设小车质量M =0.5kg ，匀质摆杆质量m=0.2kg ，摆杆长度2l =0.6m ，x (t )为小车的水平

位移，θ为摆杆的角位移，2

/8.9s m g =。控制的目标是通过外力u (t)使得摆直立向上（即

0)(=t θ）。该系统的非线性模型为：

u

ml x m M ml mgl x ml ml J +=++=++22)sin ()()cos (sin )cos ()(θθθθθ

θθ&&&&&&&&&，其中2

31

ml J =。

解：

一、 非线性模型线性化及建立状态空间模型

因为在工作点附近（0,0==θθ&

）对系统进行线性化，所以

可以做如下线性化处理：

3

2

sin ,cos 13!

2!θθθθθ≈-

≈-

当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后， 可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’^2≈0；

因此模型线性化后如下： （J+ml^2）θ’’+mlx ’’=mgl θ (a)

ml θ’’+(M+m) x ’’=u (b) 其中2

31ml J =

取系统的状态变量为,

,,,4321θθ&&====x x x x x x 输出T

x y ][θ=包括小车位移和摆杆

的角位移.

即X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡''θθx x Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x 由线性化后运动方程组得

X1’=x ’=x2 x2’=x ’’=m m M mg 3)(43-+-x3+m m M 3)(44

-+u

X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=ml l m M g m M 3)(4)(3-++x3+ml l m M 3)(43

-+-u

故空间状态方程如下：

X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-03)(4)(300100003)(4300001

0ml l m M g m M m m M mg ⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+ml l m M m m M 3)(43

03)(440

u

X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-01818.3100100006727.20000

1

⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5455.408182.10 u

Y= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣

⎡01000001 ⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x 二、通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。

（1）判断可控性

代码：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0; 0 0 0 1; 0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455];

P=ctrb(A,B); n=rank(P); 运行了得n= 4

所以P 为满秩，系统能控

（2）判断可观性 代码：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0; 0 0 0 1; 0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455]; C=[1 0 0 0;

0 0 1 0]; P=obsv(A,C); n=rank(P); 运行了得n= 4

所以P 为满秩，系统能观。

三、能否通过状态反馈任意配置系统的极点？若能，通过Matlab 仿真确定反馈控制规律K （如图2），使得闭环极点配置在

j

±-=-=-=1,2,14.321λλλ上。并给出系统在施加一个单位脉冲输入时

状态响应曲线；

答： 因为系统完全能控，所以能通过状态反馈任意配置系统的极点。 要将闭环极点配置在

j

±-=-=-=1,2,14.321λλλ上，所以期望特征方程为

|λI —(A-BK)|=（λ+1）*（λ+2）*(（λ+1）^2+1） =λ^4+5λ^3+10λ^2+10λ+4

Matlab求解K如下：

A=[0 1 0 0;

0 0 -2.627 0;

0 0 0 1;

0 0 31.1818 0];

B=[0;1.8182;0;-4.5455];

J=[-1 -2 -1+i -1-i];

K=place(A,B,J);

运行得：

K=[ -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894];

未加入极点配置。

仿真图：

未进行极点配置仿真电路图（1）X的响应图：

Θ的响应图：

配置后：

加入极点配置仿真图（2）X的响应图：