第8章 离散信号处理系统设计分析

第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
第8章 离散信号处理系统设计分析和 有限字长效应
8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真 8.2 数字信号处理中的有限长效应
第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真
8.1.1 离散信号处理系统的设计步骤 数字信号处理系统的设计分析可分为5大类 数字信号处理系统的设计分析可分为 大类 1. 连续信号的离散化处理分析 2. 设计离散时间信号处理器 3. 离散信号的连续化 4. 设计系统的实现 5. 检验
1
后的量化值 QT [ x] 表示为 QT [ x] = ∑ ai 2 i =1 b 截尾量化误差为： 截尾量化误差为： = Q [ x] − x = − ET ai 2− i ∑ T
−i
1
i =1
b
由于x为正数， 由于 为正数，截尾后QT [ x] < x 故 ET ≤b0 ，当被截尾 为正数 ET 均为1时 截尾误差达到最大： 均为 时，截尾误差达到最大：max = − ∑ ai 2−i = −(2−b − 2−b )
ER = QR [ x] − x = −0.0001 = −2−4 舍去0.0001， 若x=0.1011, QR [ x] = 0.11 舍去 ， −4 ER = QR [ x] − x = 0.0001 = 2
此时既可作舍去处理，也可作上入处理。 若x=0.1010, 此时既可作舍去处理，也可作上入处理。 ER = QR [ x] − x = −0.001 = −2−3；若上入，则上入 若舍去0.001， 若上入， 若舍去 ， E 0.001， R = QR [ x] − x = 0.001 = 2−3。但是按照十进制中的四舍 ， 五入规则上入0.001，则 ER = 0.001 = 2−3 五入规则上入 ，
ET = 0 − (−0.1875) = 0.1875 > 0
(3)补码负数 补码负数x=1.1010表示 表示-0.375, QT[x]=1.10表示 表示-0.5 补码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为
ET = −0.375 − (−0.5) = −0.125 < 0
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0 ≤ x <1 −1 < x ≤ 0
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
x = −a0 (1 − 2− b ) + ∑ ai 2− i
i =1 b
(3)补码 补码 补码定义如下： 补码定义如下：
[ x ]反
x = 2- x
0 ≤ x <1 −1 < x ≤ 0
b
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
x = ∑ ai 2− i
i =1
b1
ET = QT [ x] − x = ∑ ai 2− i − (−∑ ai 2− i ) =
i =1 i =1
b
b1
i = b +1
∑
b1
ai 2− i
故截尾误差满足： 故截尾误差满足：
0 ≤ ET ≤ (2− b − 2− b1 ), x < 0
即
0 ≤ ET ≤ ∆, x < 0
2.定点误入误差 定点误入误差 所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则， 所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则，逢1进1， 进 ， 舍去。 逢0舍去。 舍去 当有限字长b=2时，用逢 进1，逢0舍去的原则，试 舍去的原则， 例8-2 当有限字长 时 用逢1进 ， 舍去的原则 求给下列数带来的舍入误差。 求给下列数带来的舍入误差。 (1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010 舍去0.0001， 解：若x=0.1001, QR [ x] = 0.10舍去0.0001，
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A/D转换的量化效应 8.2.3 A/D转换的量化效应 模拟信号经过A/D转换为 位数字信号， 模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即 A/D
ˆ x[k] = x[k] + e[k]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， 分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长 以满足信噪比指标。 以满足信噪比指标。
表示系统量化造成的误差。 其中 ∆ak , ∆bk 表示系统量化造成的误差。实际滤波器的系统 M 函数为： 函数为： ˆ −k
ˆ H ( z) =
∑b z
k =0 N k k =0
ˆ 1 − ∑ ak z − k
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的一半，则给留下的部分的最低位加1， 的一半，则给留下的部分的最低位加 ，由舍入处理带来的 误差称为舍入误差。 误差称为舍入误差。 8.2.2 定点表示的量化误差 假定运算前定点数字长度为b，运算后增加的为b 假定运算前定点数字长度为 ，运算后增加的为 1，需 要对尾数进行量化处理使字长从b 减小为b。 要对尾数进行量化处理使字长从 1减小为 。 1. 定点制截尾误差 (1)正数的误差 (1)正数的误差 b 截尾后为 字长， 截尾 设x是b1位的正数，x = ∑ ai 2−i ，截尾后为b字长，对x截尾 是 位的正数， 字长
x ]原 = [ 1 + x −1 < x ≤ 0
b
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
x = (−1) a0 ∑ ai 2− i
i =1
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(2)反码 反码 反码定义如下： 反码定义如下：
[ x ]反
x = (2-2-b )- x
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8.2.1 二进制的表示及误差基本概念 定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变， 定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变，小数点 左边为整数部分，右边为小数部分。 左边为整数部分，右边为小数部分。 1. 定点二进制数的编码方式 (1)原码 原码 a0 原码也称“符号—幅度码 幅度码” 表示正数， 原码也称“符号 幅度码”，最高符号位 = 0 表示正数， a0 = 1 表示负数，尾数值 a1a2 ...ab 表示绝对值大小。原码定义 表示负数， 表示绝对值大小。 如下 x 0 ≤ x <1
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8.2.4 数字滤波器的系数量化效应 设系统只有单极点， 设系统只有单极点，理想低通的系统函数可表示为
H ( z) = B( z ) = A( z )
M M
∑ bk z
k =0 N k =1
−k
1 + ∑ ak z
=
−k
bk z − k ∑
k =0
(1 − pr z −1 ) ∏
1 1
i = b +1
i = b +1
ai
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所以有
−(2− b − 2− b1 ) ≤ ET ≤ 0
x>0
表示截尾后最小码位的值， 令 ∆ = 2− b , ∆ 表示截尾后最小码位的值，称为量化宽度 或者量化步阶。 或者量化步阶。 (2) 负数的截尾误差 ①对于原码负数
故截尾误差满足： 故截尾误差满足： (2−b − 2−b ) ≤ ET ≤ 0, x < 0
1
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若有限字长为b=2，当经过某种运算处理后字长增为 例8-1 若有限字长为 ， b1=4，若采用截尾处理，试分别求出原码负数 ，若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反 、 码负数1.1100和补码负数 和补码负数1.1010引起的误差。 引起的误差。 码负数 和补码负数 引起的误差 原码负数x=1.1001表示 表示-0.5625, QT[x]=1.10表示 表示-0.5 解: (1)原码负数 原码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为 ET = −0.5 − (−0.5625) = 0.0625 (2)反码负数 反码负数x=1.1100表示 表示-0.1875, QT[x]=1.11表示 表示0 反码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为
−i i =1 i = b +1
b1
b1
故截尾误差满足： 故截尾误差满足：
0 ≤ ET ≤ (2− b − 2− b1 ), x < 0
0 ≤ ET < ∆, x < 0 即 ③对于补码负数 b
1
x = −1 + ∑ ai 2− i
i =1
b b1 b1 i =1 i =1 i = b +1
ET = QT [ x] − x = −1 + ∑ ai 2− i − (−1 + ∑ ai 2− i ) = − ∑ ai 2− i
r =1
N
因此字长有限， 因此字长有限，滤波器系数 ak , bk 量化后产生误差 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。 严重时，使系统失去稳定。
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②对于反码负数
b
x = −1 + 2− b1 + ∑ ai 2− i
i =1
b1
ET = QT [ x] − x = −1 + 2 + ∑ ai 2 − (−1 + 2
−b −i i =1
− b1
+ ∑ ai 2 ) = − ∑ ai 2− i + 2− b − 2− b1