第8章 离散信号处理系统设计分析

故截尾误差满足： 故截尾误差满足： (2−b − 2−b ) ≤ ET ≤ 0, x < 0
1
第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
若有限字长为b=2，当经过某种运算处理后字长增为 例8-1 若有限字长为 ， b1=4，若采用截尾处理，试分别求出原码负数 ，若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反 、 码负数1.1100和补码负数 和补码负数1.1010引起的误差。 引起的误差。 码负数 和补码负数 引起的误差 原码负数x=1.1001表示 表示-0.5625, QT[x]=1.10表示 表示-0.5 解: (1)原码负数 原码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为 ET = −0.5 − (−0.5625) = 0.0625 (2)反码负数 反码负数x=1.1100表示 表示-0.1875, QT[x]=1.11表示 表示0 反码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为
第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
1. 系数量化对滤波器零点、极点位置的影响 系数量化对滤波器零点、
ak , bk 是系统直接型结构的无限精度系数，若实际系统的量 是系统直接型结构的无限精度系数， 化为： ˆ 化为：ˆ , b a
k k
ak = ak − ∆ak ˆ ˆ bk = bk − ∆bk
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②对于反码负数
b
x = −1 + 2− b1 + ∑ ai 2− i
i =1
b1
ET = QT [ x] − x = −1 + 2 + ∑ ai 2 − (−1 + 2
−b −i i =1
− b1
+ ∑ ai 2 ) = − ∑ ai 2− i + 2− b − 2− b1
表示系统量化造成的误差。 其中 ∆ak , ∆bk 表示系统量化造成的误差。实际滤波器的系统 M 函数为： 函数为： ˆ −k
ˆ H ( z) =
∑b z
k =0 N k k =0
ˆ 1 − ∑ ak z − k
ET = 0 − (−0.1875) = 0.1875 > 0
(3)补码负数 补码负数x=1.1010表示 表示-0.375, QT[x]=1.10表示 表示-0.5 补码负数 表示 表示 所以截尾处理引起的误差为
ET = −0.375 − (−0.5) = −0.125 < 0
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2.定点误入误差 定点误入误差 所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则， 所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则，逢1进1， 进 ， 舍去。 逢0舍去。 舍去 当有限字长b=2时，用逢 进1，逢0舍去的原则，试 舍去的原则， 例8-2 当有限字长 时 用逢1进 ， 舍去的原则 求给下列数带来的舍入误差。 求给下列数带来的舍入误差。 (1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010 舍去0.0001， 解：若x=0.1001, QR [ x] = 0.10舍去0.0001，
第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
第8章 离散信号处理系统设计分析和 有限字长效应
8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真 8.2 数字信号处理中的有限长效应
第 8章离散信号处理系统设计分析和有限字长效应
8.1 离散信号处理系统的设计分析与仿真
8.1.1 离散信号处理系统的设计步骤 数字信号处理系统的设计分析可分为5大类 数字信号处理系统的设计分析可分为 大类 1. 连续信号的离散化处理分析 2. 设计离散时间信号处理器 3. 离散信号的连续化 4. 设计系统的实现 5. 检验
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8.2.4 数字滤波器的系数量化效应 设系统只有单极点， 设系统只有单极点，理想低通的系统函数可表示为
H ( z) = B( z ) = A( z )
M M
∑ bk z
k =0 N k =1
−k
1 + ∑ ak z
=
−k
bk z − k ∑
k =0
(1 − pr z −1 ) ∏
1 1
i = b +1
i = b +1
ai
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所以有
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−(2− b − 2− b1 ) ≤ ET ≤ 0
x>0
表示截尾后最小码位的值， 令 ∆ = 2− b , ∆ 表示截尾后最小码位的值，称为量化宽度 或者量化步阶。 或者量化步阶。 (2) 负数的截尾误差 ①对于原码负数
x = − a0 + ∑ ai 2− i
i =1
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2. 误差的基本概念 (1)溢出 溢出 对定点二进制， 对定点二进制，无论采用原码表示还是采用补码或反码 表示， 表示，这些表示在整个运算过程中所有运算结果的绝对值 都不能超过1，否则就会产生运算错误，称为溢出。 都不能超过 ，否则就会产生运算错误，称为溢出。 (2)截尾及截尾误差 截尾及截尾误差 定点数每次乘法运算后需要进行尾数处理， 定点数每次乘法运算后需要进行尾数处理，使计算结果 保持b位字长 一种简单的处理方法就是除超过字长b的所 位字长， 保持 位字长，一种简单的处理方法就是除超过字长 的所 有尾数值，这种处理方法称为截尾， 有尾数值，这种处理方法称为截尾，由截尾处理带来的误 差称为截尾误差。 差称为截尾误差。 (3)舍入及舍入误差 舍入及舍入误差 对定点乘法运算尾数处理的另一个方法是舍入， 对定点乘法运算尾数处理的另一个方法是舍入，它相当 于十进制中的四舍五入近似法处理， 于十进制中的四舍五入近似法处理，在舍去超过字长的位 数时， 数时，若舍掉部分的值大于或等于保留部分最低位的权值
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8.2.1 二进制的表示及误差基本概念 定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变， 定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变，小数点 左边为整数部分，右边为小数部分。 左边为整数部分，右边为小数部分。 1. 定点二进制数的编码方式 (1)原码 原码 a0 原码也称“符号—幅度码 幅度码” 表示正数， 原码也称“符号 幅度码”，最高符号位 = 0 表示正数， a0 = 1 表示负数，尾数值 a1a2 ...ab 表示绝对值大小。原码定义 表示负数， 表示绝对值大小。 如下 x 0 ≤ x <1
ER = QR [ x] − x = −0.0001 = −2−4 舍去0.0001， 若x=0.1011, QR [ x] = 0.11 舍去 ， −4 ER = QR [ x] − x = 0.0001 = 2
此时既可作舍去处理，也可作上入处理。 若x=0.1010, 此时既可作舍去处理，也可作上入处理。 ER = QR [ x] − x = −0.001 = −2−3；若上入，则上入 若舍去0.001， 若上入， 若舍去 ， E 0.001， R = QR [ x] − x = 0.001 = 2−3。但是按照十进制中的四舍 ， 五入规则上入0.001，则 ER = 0.001 = 2−3 五入规则上入 ，
1
后的量化值 QT [ x] 表示为 QT [ x] = ∑ ai 2 i =1 b 截尾量化误差为： 截尾量化误差为： = Q [ x] − x = − ET ai 2− i ∑ T
−i
1
i =1
b
由于x为正数， 由于 为正数，截尾后QT [ x] < x 故 ET ≤b0 ，当被截尾 为正数 ET 均为1时 截尾误差达到最大： 均为 时，截尾误差达到最大：max = − ∑ ai 2−i = −(2−b − 2−b )
0 ≤ x <1 −1 < x ≤ 0
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
x = −a0 (1 − 2− b ) + ∑ ai 2− i
i =1 b
(3)补码 补码 补码定义如下： 补码定义如下：
[ x ]反
x = 2- x
0 ≤ x <1 −1 < x ≤ 0
b
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
−i i =1 i = b +1
b1
b1
故截尾误差满足： 故截尾误差满足：
0 ≤ ET ≤ (2− b − 2− b1 ), x < 0
0 ≤ ET < ∆, x < 0 即 ③对于补码负数 b
1
x = −1 + ∑ ai 2− i
i =1
b b1 b1 i =1 i =1 i = b +1
ET = QT [ x] − x = −1 + ∑ ai 2− i − (−1 + ∑ ai 2− i ) = − ∑ ai 2− i
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的一半，则给留下的部分的最低位加1， 的一半，则给留下的部分的最低位加 ，由舍入处理带来的 误差称为舍入误差。 误差称为舍入误差。 8.2.2 定点表示的量化误差 假定运算前定点数字长度为b，运算后增加的为b 假定运算前定点数字长度为 ，运算后增加的为 1，需 要对尾数进行量化处理使字长从b 减小为b。 要对尾数进行量化处理使字长从 1减小为 。 1. 定点制截尾误差 (1)正数的误差 (1)正数的误差 b 截尾后为 字长， 截尾 设x是b1位的正数，x = ∑ ai 2−i ，截尾后为b字长，对x截尾 是 位的正数， 字长
x = ∑ ai 2− i
i =1
b1
ET = QT [ x] − x = ∑ ai 2− i − (−∑ ai 2− i ) =
i =1 i =1
b
b1
i = b +1
∑
b1
ai 2− i
故截尾误差满足： 故截尾误差满足：
0 ≤ ET ≤ (2− b − 2− b1 ), x < 0
即
0 ≤ ET ≤ ∆, x < 0
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A/D转换的量化效应 8.2.3 A/D转换的量化效应 模拟信号经过A/D转换为 位数字信号， 模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即 A/D
ˆ x[k] = x[k] + e[k]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， 分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长 以满足信噪比指标。 以满足信噪比指标。
y ( n)
xa (t )
前置预 滤波器
A/D 转换器
x( n)
数字信号 处理器
D/A 转换器
ya (t )
数字信号处理系统方框图
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8.2
数字信号处理中的有限长效应
有限长字效应：在实际的处理过程中，数字信号和系统都 有限长字效应：在实际的处理过程中， 不是无限精度的，而是有限精度， 不是无限精度的，而是有限精度，精度的大小则有字长的 大小决定，正是由于有限精度， 大小决定，正是由于有限精度，从而给原有的数字信号处 理系统带来了影响， 理系统带来了影响，这种影响称为数字信号处理中的有限 字长效应。 字长效应。 有限字长效应主要在以下三个方面进行影响 (1)将模拟信号量化为数字信号过程中的 将模拟信号量化为数字信号过程中的A/D量化效应。 量化效应。 将模拟信号量化为数字信号过程中的 量化效应 (2)将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应。 将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应。 将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应 (3)在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理。 在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理。 在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理
x ]原 = [ 1 + x −1 < x ≤ 0
b
所代表的十进制数值为： 所代表的十进制数值为：
x = (−1) a0 ∑ ai 2− i
i =1
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(2)反码 反码 反码定义如下： 反码定义如下：
[ x ]反
x = (2-2-b )- x
r =1
N
因此字长有限， 因此字长有限，滤波器系数 ak , bk 量化后产生误差 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。 严重时，使系统失去稳定。