第4讲 电磁场的位函数

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第四讲 电磁场的位函数
问题三：如何引入电磁场的位函数？ 根据电磁场的性质引入。
静态电场：有散无旋场
标量电位 (rv)
静态磁场：无散有旋场
矢量磁位 Av(rv)
时变电磁场：
动态标量位(rv, t)
动态矢量位Av(rv, t)
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
➢ 静态电场——无旋场
r
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
➢ 几种典型电荷的静电位
• 无限长线电荷的电位
v E
l 2 0
evr
P
l 2 0
(ln
Q
ln
P )
E
P'
Q
P
电位参考点Q不能位于无穷远点，否则表达式无意义。
根据表达式最简单原则，选取ρ=1柱面为电位参考面，则
P
l 2 0
ln
rP
（电位零点）。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点 的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
电位参考点选取原则 • 应使电位表达式有意义。 • 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电位 参考点。 • 同一个问题只能有一个参考点。
电磁场位函数特性与电磁场性质相关。
第四讲 电磁场的位函数
问题二：为什么要引入电磁场的位函数？
引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。
r r
1
E(r )
4π 0
V
(rr) R3
r RdV
Br (rr ) 0 4π
V
r J
(rr) R3
r RdV
矢量积分，计算较难
ε0 aε
介质球
q
r E
(rr
Qv v
P'
v E
q
40r 2
evr
Qv v
vQ
E
P'
v l
P Q
Egdl
P
(
P
)Egdl
P'
q
q
4 0
Q P'
evr r2
gdrv
q
4 0
(1 rP
1 rQ
)
O
P
选取Q点为电位参考点，遵循最简单原则，Q应在无穷远处
(r) q 4 0 r
点电荷在空间中产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
➢ 位函数的规范条件
在前述定义中，磁位函数 A的散度未规定，导致位函数解的不 确定性。通过恰当地规定 A的散度可简化位函数满足的方程。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即
r A
0
t
对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用库仑规范条件，即
A 0
第四讲 电磁场的位函数
二、位函数的物理意义
➢ 标量电位函数的物理意义
gAv(rv)
v
0 J
0
vv (gA) 2 A
v
v
2 A 0J
v
0 J
• 磁位边界条件
无源区：2
v A
0
rr
A1 A2
ern
(
1
1
r A1
1
2
r A2
)
r JS
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
3、动态位函数的求解
➢ 动态位函数方程
r
2
r A
2 A t 2
r J
2
v C
R
面电流：(rv)
v Js
(rv')dS
v C
线电流：
4 (rv)
S
I
(Rrv')dl
v C
4 l R
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
2、矢量磁位函数的求解
➢ 矢量磁位方程及其边界条件
•
磁位方程
v
vv
v B
Av(rv)
vv
B 0H
A (gA) 2 A
v A
无限长线电流在空间中产生的电位
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
➢ 几种典型电荷的静电位
• 体分布电荷的电位
Er (rr ) 1
4π r E
Vr
(rr) R3
r RdV
R ( 1 )
R3
R
式中：R rv rv'
z
Vi V M
rr (rr) rr
o
y
(rr )
x
1
r
rr
r
E E dl dl d
Qr r
Q
P E dl P d (P) (Q)
电场力做的功
➢ 矢量磁位函数的物理意义？
r
r
B A
P、Q 两点间的电位差
➢ 动态位的物理意义？
r
r
B A
r E
r A
t
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
➢ 静电位参考点——电位零点 为使空间各点电位具有确定值，须选定空间某一点作为参考点
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
思考
a) 在什么情况下可选无限远处为电位参考点？ b) 导体接地与导体的电位为零（选为电位参考点）是相
同的吗？ c) 不同电位参考点的问题能否叠加？
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
➢ 几种典型电荷的静电位
• 点电荷的电位
1、标量电位函数的求解
➢ 电位方程及电位边界条件
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
2、矢量磁位函数的求解
➢ 无限大均匀电介质中的矢量磁位
Br (rr ) 4π
V
r J r
(rr) R3
r RdV
r
r
B A
式中：R
rvRR3rv'
( 1 ) R
Ar (rr )
4π
V
r J
(rr)dV
E
0
r E
(rv)
0
标量电位函数
➢ 静态磁场——无散场
v
gB v
g( A)
0
0
v B
Av(rv)
矢量磁位函数
➢ 时变电磁场：
r B
0
r B
Ar (rv,
t
)
动态矢量位
r Ε
r B t
r (Ε
r A) t
0
r E
Ar (rv, t
t)
(rv,
t)
动态标 量位
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
4π
V
(rr)dV C
R
面电荷：(rv) 1
s (rv')dS c
4 0
线电荷：(rv) 1
S
l
(Rrv')dV
c
40 l R
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
r
E1 1
21
介质1 1
电荷区
n 21 0
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➢ 电位方程及电位边界条件
介质2
r
2
22 0
E2 2
• 电位方程
r
r
电位的泊松方程
D
E
r
E
g
/0
2 / 0
在无源区域( 0 )
2 0 电位的拉普拉斯方程
• 电位边界条件
E1t D1n
E2t 0
D2n
t
(1
S
1
1
n
2 ) 2
0
2
n
1 S
2
理想介质
2
2
n
1
1
n
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
第四讲 电磁场的位函数
第四讲
电磁场的位函数
第四讲 电磁场的位函数
本讲拟讨论的问题
• 什么是电磁场的位函数？ • 为什么要引入位函数？ • 怎样引入位函数？ • 位函数有何物理意义？ • 如何计算位函数？
第四讲 电磁场的位函数
问题一：什么是电磁场的位函数？
电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便 于求解，根据电磁场性质引入的辅助函数。