信号与系统 拉普拉斯变换ppt课件
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第四章 拉普拉斯变换
u
.
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
.
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
0
L t0 tesd t t1 全s域平面收敛
Lt t00 t t0.e sd tt e s0t15
4．tnu(t)
Ltn tnesd t t 0
1stest 0 0esd t t
t n e st s
n 0s
tn1estdt
0
1s1sest 0s12
n tn1estdt
.
20
时移特性例题
【例1】 已知 ft tu t 1 ,求 F s
F s L t t u 1 L t 1 u t 1 u t 1
1 s2
1es s
【例2】
已f知 (t)＝ 2co ts π ut,求 F(s)。
4
ft2 cto cs π o s2 stisn π i n cto sstin
s0
所以 Ltn nLtn1 s
n2
Lt2 2Lt2 12
s
s s2 s3
n3
n1
Lt testdt 0
Lt3 3Lt2 3 26
s
s s3 s4
1
t
dest
s 0
. 所以
L tn
n!
16
sn1
5.复指数函数 es0t, s00j0
e F(s) e s0testdt (ss) 0
1
σj
F
s
es td s
2π j σj
正变换 逆变换
记 :ft 作 F sft称为原 F函 s称数 为， 象函
.
6
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lif m (t)e σ t 0
t
σ σ 0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
.
7
部分s平面收敛的情况： u
0
.
8
u
.
9
0
0
.
10
整个s平面收敛的情况：
例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。
F b(s) 1 1 1e sd t tes se s ,
这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大 ，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。
(ss0)t 0
1, ss0
0
0
.
17
4.3 拉氏变换的基本性质
u
.
18
u u
uu
u
u
.
19
“周期信号”的拉氏变换
LT
f1(t)F1(s)
第一周期的拉氏变换
时移特性
LT
f1(tnT ) esnF T1(s)
无穷级数求和
n 0f(tn)T LT F 1(s)n 0esn T1F 1e (ss)T
F 1 F f ( t) e t f(t)et ejtdt
f(t)e(j)tdt F(j)
令:js,具有频率 ,称 的为 量复 纲频率
则
Fsftestdt
.
4
2．拉氏逆变换
F j f t e j td t F s f t e s td t
ftL1ft
1
σj
Fs
estds
2πj σj
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
.
14
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu(t) 1esd t t 1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
Leαt eαtesd t t eα st
0
αs
1 α s
σα
3.单位冲激信号
整个s平面都不收敛的情况：
例5 下列信号的拉氏变换：
0
0
且，故在整个 s 平面都不收敛。
.
11
:
u
u
u
u
u
u
.
12
F (s)
F (s)
F (s) F (s)
.
13
考 虑 到 实 际 信 号 都 是 有起 因 信 号 ：
所以
Fω
f
t
ejωtdt
0
采用0系统,相应的单边拉氏变换为
FsLft0 ftestdt
iL(t) L vL(t)
vL(t)
LdiL(t) dt
设
L i L ( t ) I L ( s ) L v , L ( t ) V L ( s )
两边取拉氏变换：
s 2 Y ( s ) s ( 0 ) y y ( 0 ) 5 [ s ( s ) Y y ( 0 ) 6 Y ] ( s ) 2 F ( s )
整理得：
2 F (s) (s 5 )y(0 )y(0 ) Y (s)s2 5 s 6 s2 5 s 6
.
26
电感元件的s域模型
4
4
Fs1 ss21 1s2 . 1 s s1 2
21
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
L fs(t)0 f(n)T (t n)e T sd tt f(n)e T nsT
0
n 0
抽样信号 拉的 氏变换可表 s域示的为级数。
例f如 (t)eαtu(t)则 ,
Lfs(t) eαnTesnT
对f于 tet是 Fj的傅里叶逆变换
fte t1 F jejtd 2π 两边同以 乘et
ft1 F jejtd
2π
其:s中 j;若 取 常 则 ds数 jd ，
积分 限 : ： 对 对 s: j
j
所以
f
t
1 .
2πj
jj Fsestds5
3．拉氏变换对
Fs
L
f
t
f
tes
tdt
f t L1 f t
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信f号 (t)乘 , 以衰 e减 t(为 因 任 子 意 )后实 容数 易
绝对可 ,依 积傅 条氏 件变 : 换定义
n0
1
1 eαsT
.
22
.
23
复频移特性举例
求eαt coωs0t的拉氏变换
已:知 Lcoω s0tu(t)s2 sω 02
所e 以 tco ω 0ts u (t) s s α 2 α ω 0 2 同:e理 tsiω n 0tu(t) sα ω 0 2ω 0 2
.
24
.
25
例： y ( t) 5 y ( t) 6 y ( t) 2 f( t)
u
.
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
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2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
0
L t0 tesd t t1 全s域平面收敛
Lt t00 t t0.e sd tt e s0t15
4．tnu(t)
Ltn tnesd t t 0
1stest 0 0esd t t
t n e st s
n 0s
tn1estdt
0
1s1sest 0s12
n tn1estdt
.
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时移特性例题
【例1】 已知 ft tu t 1 ,求 F s
F s L t t u 1 L t 1 u t 1 u t 1
1 s2
1es s
【例2】
已f知 (t)＝ 2co ts π ut,求 F(s)。
4
ft2 cto cs π o s2 stisn π i n cto sstin
s0
所以 Ltn nLtn1 s
n2
Lt2 2Lt2 12
s
s s2 s3
n3
n1
Lt testdt 0
Lt3 3Lt2 3 26
s
s s3 s4
1
t
dest
s 0
. 所以
L tn
n!
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sn1
5.复指数函数 es0t, s00j0
e F(s) e s0testdt (ss) 0
1
σj
F
s
es td s
2π j σj
正变换 逆变换
记 :ft 作 F sft称为原 F函 s称数 为， 象函
.
6
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lif m (t)e σ t 0
t
σ σ 0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
.
7
部分s平面收敛的情况： u
0
.
8
u
.
9
0
0
.
10
整个s平面收敛的情况：
例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。
F b(s) 1 1 1e sd t tes se s ,
这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大 ，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。
(ss0)t 0
1, ss0
0
0
.
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4.3 拉氏变换的基本性质
u
.
18
u u
uu
u
u
.
19
“周期信号”的拉氏变换
LT
f1(t)F1(s)
第一周期的拉氏变换
时移特性
LT
f1(tnT ) esnF T1(s)
无穷级数求和
n 0f(tn)T LT F 1(s)n 0esn T1F 1e (ss)T
F 1 F f ( t) e t f(t)et ejtdt
f(t)e(j)tdt F(j)
令:js,具有频率 ,称 的为 量复 纲频率
则
Fsftestdt
.
4
2．拉氏逆变换
F j f t e j td t F s f t e s td t
ftL1ft
1
σj
Fs
estds
2πj σj
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
.
14
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu(t) 1esd t t 1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
Leαt eαtesd t t eα st
0
αs
1 α s
σα
3.单位冲激信号
整个s平面都不收敛的情况：
例5 下列信号的拉氏变换：
0
0
且，故在整个 s 平面都不收敛。
.
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:
u
u
u
u
u
u
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12
F (s)
F (s)
F (s) F (s)
.
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考 虑 到 实 际 信 号 都 是 有起 因 信 号 ：
所以
Fω
f
t
ejωtdt
0
采用0系统,相应的单边拉氏变换为
FsLft0 ftestdt
iL(t) L vL(t)
vL(t)
LdiL(t) dt
设
L i L ( t ) I L ( s ) L v , L ( t ) V L ( s )
两边取拉氏变换：
s 2 Y ( s ) s ( 0 ) y y ( 0 ) 5 [ s ( s ) Y y ( 0 ) 6 Y ] ( s ) 2 F ( s )
整理得：
2 F (s) (s 5 )y(0 )y(0 ) Y (s)s2 5 s 6 s2 5 s 6
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电感元件的s域模型
4
4
Fs1 ss21 1s2 . 1 s s1 2
21
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
L fs(t)0 f(n)T (t n)e T sd tt f(n)e T nsT
0
n 0
抽样信号 拉的 氏变换可表 s域示的为级数。
例f如 (t)eαtu(t)则 ,
Lfs(t) eαnTesnT
对f于 tet是 Fj的傅里叶逆变换
fte t1 F jejtd 2π 两边同以 乘et
ft1 F jejtd
2π
其:s中 j;若 取 常 则 ds数 jd ，
积分 限 : ： 对 对 s: j
j
所以
f
t
1 .
2πj
jj Fsestds5
3．拉氏变换对
Fs
L
f
t
f
tes
tdt
f t L1 f t
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信f号 (t)乘 , 以衰 e减 t(为 因 任 子 意 )后实 容数 易
绝对可 ,依 积傅 条氏 件变 : 换定义
n0
1
1 eαsT
.
22
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23
复频移特性举例
求eαt coωs0t的拉氏变换
已:知 Lcoω s0tu(t)s2 sω 02
所e 以 tco ω 0ts u (t) s s α 2 α ω 0 2 同:e理 tsiω n 0tu(t) sα ω 0 2ω 0 2
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例： y ( t) 5 y ( t) 6 y ( t) 2 f( t)