概率论与数理统计 第二讲 随机数的产生数据的统计描述.ppt

例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数， 2行5列的随机数。
命令：(1) y1=unifrnd(2,8) (2) y2=unifrnd(2,8,1,10) (3) y3=unifrnd(2,8,2,5)
y1=7.7008
y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726 4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926
p为正面向上的概率，n为试验次数 (1)模拟产生n个0-1分布随机数randnum(n)
(2)对模拟产生的随机数， xrandnum (i)表示 第i次试验的结果，1表示正面向上，0表示反 面向上。
(3)统计前i次试验中正面向上的次数， 并计算频率
（4）作图(关于频率和试验次数的图像）
在Matlab中编辑.m文件输入以下命令：
mean1=mean(x) median1=median(x) std1=std(x) var1=var(x) rang1=range(x)
3.表示分布形状的量—偏度和峰度
E( X E( X ))3
分布偏度： g1
3
其估计量为：
G1
1 n
n i 1
(Xi

X )3
s3
其中
1
下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法
1、整理资料： 把样本值x1，x2，…，xn进行分组，先 将它们依大小次序排列，得
பைடு நூலகம் 1、均匀分布U(a,b)
1)unifrnd (a,b)产生一个[a,b] 均匀分布的随机数 2)unifrnd (a,b,m, n)产生m行n列的均匀分布随机数矩
当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不 知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在
何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
命令 (1) y1=binornd(10,0.8) (2) y2=binornd(10,0.8,1,15) (3) y3=binornd(10,0.8,3,6)
20、其他分布随机数的产生方法
定理 设X的分布函数为F(x)，连续且严格单调上升， 它的反函数存在，且记为F-1(x)，
则① F(X)~U(0,1) ② 若随机变量U~U(0,1),则F-1(U) 的分布函数为F(x)。

[1 n1
n i1
(Xi

X )2]
它是各个数据与均值偏离程度的度量
标准差：是方差的开方
极差：样本中最大值与最小值之差.
标准差：std(x) 方差：var(x) 极差：range(x)
例7：产生5组正态分布随机数，每组100个， 计算均值、中位数、标准差、极差、方差。
x=normrnd(0,1,100,5);
此定理给出的构造分布函数为F(x)的随机 数的产生方法为：
取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2…),令Xi=F-1(Ui),则 Xi ,(i=1,2…),就是F(x)随机数，如果Ui独立，则 Xi也互相独立。
（一）直接抽样法（反函数法）
（1）连续分布的直接抽样法
设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
平均值（或均值，数学期望）：X
0
FX
(
x)


x
1
x0 0 x 1，
x1
生成Y min{ X1, X2 ,, Xn }的随机数
解：Y的分布函数为
FY ( y) 1 1 FX ( y)n 1 1 yn
其反函数为
FY1( y) 1 n (1 y)
设 U ~ U(0,1)
s n
( Xi X )2
正态分布偏度为0，偏度反映分布的对称性， g1 >0称为右偏态，此时数据位于均值右边的 比位于左边的多；g1 <0称为左偏态，情况相 反；而g1接近0则可认为分布是对称的.
命令：y=skewness(x) 若x为矢量，返回样本偏度，若x为矩阵， 结果为行向量，每个元素对应x中列元素 的样本偏度。
function binomoni(p,n) pro=zeros(1,n); %频率向量 randnum = binornd(1,p,1,n);%产生二项分布随机数 a=0; for i=1:n
a=a+randnum(1,i);%频数 pro(i)=a/i;%频率 end pro=pro; num=1:n; plot(num,pro,num,p)
0.0207 0.1974 0.1616 0.1301 0.4182 0.0809]
排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、 故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。
指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指 数分布
指数分布的均值为1/0.1=10。 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个
y3=[6.7516 6.4292 4.4342 7.5014 7.3619； 7.5309 3.0576 7.6128 4.4616 2.3473]
2、正态分布随机数
1)R = normrnd(μ, σ,)：产生一个正态分布随机数 2)R = normrnd(μ, σ,m,n)产生m行n列的正态分布随机数
调用格式：
1、y=random(‘name’, A1, A2, A3, m, n) 其中：’name’为相应分布的名称，A1, A2, A3为分布 参数，m为产生随机数的行数，n为列数。
2、直接调用。 如： y=binornd(n, p, 1,10) 产生参数位n，p的1行10 列的二项分布随机数
则产生随机数的方法为： 取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2…),令Xi=F(Ui),则Xi ,(i=1,2…), 就是F(x)随机数，如果Ui独立，则Xi也互相独立。
（2）离散分布的直接抽样法
设分布律为P(X=xi)= pi , i=1, 2, ...，其分布函数为F(x) ① 产生均匀随机数R，即R~U(0,1)
总体分布函数的近似
定义： 设x1，x2，…，xn是总体的容量为n的样
本值，将其按由小到大的顺序排列，并 重新编号，记为
x1* x2* xn*
则经验分布函数为：
0
Fn
(
x)


k n
1
x x1*
x
* k

x

x* k 1
x

x
* n
2、频率直方图——近似概率密度函数
单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客. 顾 客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
4、二项分布随机数
1) R = binornd(n, p)：产生一个二项分布随机数 2) R = binornd(n,p,m,n)产生m行n列的二项分布随机数
例4、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数， 3行6列的随机数。
机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点 与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等， 都可近似看成服从正态分布。
3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
命令：y=kurtosis(x) 若x为矢量，返回x的样本峰度，若x为矩 阵，结果为行向量，每个元素对应x中列 元素的样本峰度。
例8：产生5组正态分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
x=normrnd(0,1,100,5);
skewness1=skewness(x) kurtosis1=kurtosis(x)
例2、产生N(10,4)上的一个随机数，10个随机数， 2行5列的随机数.
命令 (1) y1=normrnd(10,2) (2) y2=normrnd(10,2,1,10) (3) y3=normrnd(10,2,2,5)
当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认 为该对象服从正态分布。
1
则 RandY 1 (1 U ) n
生成n=20的1行10列随机数
命令： U=unifrnd(0,1,1,10); Y=1-(1-U).^(1/20);
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例6 频率的稳定性
1、 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n
次试验中事件A发生的次数。 频率 f=m/n
2.频率的稳定性 在重复试验中，事件A的频率总在一个定值附近摆动， 而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度 越来越小，呈现出一定的稳定性.
掷一枚硬币，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。
②
X


xi x1
若F ( xi1 ) R F( xi ),(i 2,3, 若R F( x1 )
则X~F(x)
（二）变换抽样法 （三）值序抽样法 （四）舍选抽样法 （五）复合抽样法（合成法） （六）近似抽样法
详见：高惠璇 北京大学出版社《统计计算》
例5、 设X分布函数为
命令 (1) y1=exprnd(0.1) (2) y2=exprnd(0.1,1,20) (3) y3=exprnd(0.1,2,6)
结果
(1) y1=0.0051
(2) y2=[0.1465 0.0499 0.0722 0.0115 0.0272
0.0784 0.3990 0.0197 0.0810 0.0485 0.0233] (3) y3=[0.1042 0.4619 0.1596 0.0505 0.1615 0.0292；

1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置
的那个数值.
平均值：mean(x) 中位数：median(x) 若x为矢量，返回平均值和中位数，若x为 矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中 列元素的平均值和中位数
2、表示变异（离散）程度的统计量
—方差、标准差、极差
样本方差：
S2
概率论与数理统计实验
实验2
随机数的产生 数据的统计描述
实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。
3、计算统计描述的命令。
4、计算实例。
一、随机数的产生
定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
x=exprnd(10,100,5);
skewness1=skewness(x) kurtosis1=kurtosis(x)
三、分布函数的近似求法（直方图） 1、经验分布函数（累计频率直方图） Empirical Cumulative Distribution Function
分布峰度
E( X E( X ))4
g2
4
其估计量为：
1
G2 n
( Xi X )4 s4
其中
s 1
n
( Xi X )2
峰度是分布形状的另一种度量，正态分布 的峰度为3，若g2比3大很多，表示分布有沉 重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的 数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的 尺度之一
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用 分布的随机数，命令如下：
函数名 binornd chi2rnd exprnd
frnd gamrnd geornd hygernd normrnd poissrnd
trnd unidrnd unifrnd
对应分布的随机数 二项分布的随机数 卡方分布的随机数 指数分布的随机数 f分布的随机数 伽玛分布的随机数 几何分布的随机数 超几何分布的随机数 正态分布的随机数 泊松分布的随机数 学生氏t分布的随机数 离散均匀分布的随机数 连续均匀分布的随机数