图像复原
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T
设: α＝x - x0(t), β= y - y0(t)
则： x =α+ x0(t), y = β+ y0(t) 代入上式，有
（一）连续图像退化的数学模型
G u, v f , exp j 2 (u )dd 0 exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
g ( x , y ) H f ( x , y )
一幅连续的输入图像f(x,y)可以看作是由一系列点 源表示，即有：
f ( x, y )
f , x , y dd
（一）连续图像退化的数学模型 经过非理想线性移不变系统，输出为：
T源自文库
F u, exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
0
T
F u, exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
0
T
（一）连续图像退化的数学模型
令：
H u, exp j 2 ux0 t y0 (t )dt
g( x, y) f ( x, y) * h( x, y) n( x, y)
图像 f(x,y)
退化系统 或h(x,y)
噪声信号 n(x,y)
降质图像 g(x,y)
（一）连续图像退化的数学模型
在频率域上，有：
G (u, ) F (u, ) H (u, ) N (u, )
退化过程 T{ f }→ g 或 F → G 恢复过程 T-1{ g}→ f 或 G → F ?
g x, y H f x, y H f , x , y dd
f , H x , y dd f , h x , y dd
几种典型的退化模型 光学散焦造成的图像退化
小孔衍射造成的模糊
图像退化效果
散焦对应的点扩展函数
（一）连续图像退化的数学模型
光学散焦系统的传递函数为：
J1 (d ) H (u, ) d
(u )
2 2
d是散焦点扩展函数的直径, J1(•)是第一 类贝塞尔函数。
目标相对运动造成的图像退化
运动形成的模糊示例
图像退化效果
对应的点扩展函数
（一）连续图像退化的数学模型
目标相对运动降质的传递函数
假设照相机或摄像机的曝光介质所产 生的图像退化除受相对运动影响之外，不 考虑其它因素的变化。
（一）连续图像退化的数学模型
讨论：消除匀速直线运动模糊 设物体f(x,y)在一平面运动，令x(t)和y(t)分别是 物体在x和y方向上的分量，t表示运动的时间。 记录介质的总曝光量是在快门打开到关闭这段 时间的积分。则模糊后的图像为：
图像复原技术的应用
天文成像领域:
一方面，对地面上的成像系统来说，由于受到射线及大气的影响，会造成图像的 退化;另一方面，在太空中的成像系统，由于宇宙飞船的速度远远快于相机快门的 速度，从而造成了运动模糊；
湍流退化图像复原：
目标通过大气湍流的成像是诸如宇航卫星、天文观测、精确制导等宇航光电探
测成像系统必然会遇到的问题； 交通智能监控领域：电子眼（车速超过60km/小时）；
g x, y f x x0 t , y y0 t dt
T 0
（一）连续图像退化的数学模型 对上述式两边求傅立叶变换：
G u, v FFT g x, y g x, y exp j 2 (ux y )dxdy
0
T
上式可表示成：
Gu, F u, H u,
（一）连续图像退化的数学模型
H u, exp j 2 ux0 t y0 (t )dt
0
T
这就是匀速直线运动所造成的图像 模糊系统的传递函数，进行傅立叶反变 换就可以得出系统的点扩展函数。
（一）连续图像退化的数学模型
M-1 A-1
B-1
M-1
（二）离散图像退化的数学模型
fe(x)、he(x)均是长度为M的周期性离散函数，其 卷积为
ge ( x ) f e (m )he ( x m )
m 0 M 1
x 0,1,2, , M 1
ge(x)也是长度为M的周期性离散函数。
（二）离散图像退化的数学模型
T f x x0 (t ), y y0 (t )dt exp j 2 (ux y )dxdy 0
（一）连续图像退化的数学模型
G u, v f x x0 (t ), y y0 (t )exp j 2 (ux y )dxdy dt 0
f ( x, y ) * h( x, y )
（一）连续图像退化的数学模型
经过理想线性移不变系统，输出保持不变
g x, y H f x, y H f , x , y dd
利用周期性：he(x)=he(x+M)
（二）离散图像退化的数学模型
he ( M 1) he ( M 2) he (0) h (1) he (0) he ( M 1) e H he (2) he (1) he (0) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he (1) he (2) he (3) he (0)
T
（一）连续图像退化的数学模型 大气湍流造成的图像退化
2 H u, exp C u
5 2 6
C是与湍流性质有关的常数。
（二）离散图像退化的数学模型 一维离散情况退化模型
g x f x h x
设f(x)、h(x)分别具有A个和B个采样点。
公安领域：
指纹自动识别，手迹、人像、印章的鉴定识别，过期档案文字的识别等，都与 图像复原技术密不可分；
其它领域:
诸如对老照片的处理、对由于散焦或运动造成的图像模糊等，都必须用图像复原 技术。
图像复原方法的分类
图像复原大致可以分为两种方法： 一种方法适用于缺乏图像先验知识的情况，此时可
对退化过程建立模型进行描述，进而寻找一种去除
若把fe(x)、 ge(x) 表示成向量形式：
f [ f e (0), f e (1), , f e ( M 1)]
T T
g [ ge (0), ge (1), , ge ( M 1)]
循环卷积写成矩阵形式：
g Hf
H是M*M的矩阵。
（二）离散图像退化的数学模型
he (1) he (2) he (0) h (1) he (0) he (1) e H he (2) he (1) he (0) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he (0)
图像复原：根据图像畸变或退化的原因， 进行模型化处理，将质量退化的图像重建 或恢复到原始图像，即恢复退化图像的本 来面目，忠实于原图像。因此必须根据一 定的图像退化模型来进行图像复原。
图像复原(图像恢复)
目的： 尽量减少或去除获取图像或处理图像过程 中的图像降质(图像退化)，恢复其本来面目。 方法： 要弄清楚降质或退化的原因，分析引起降 质或退化的因素，建立相应的数学模型，并沿 着图像降质的逆过程恢复图像。
H ( x , y ) ( x , y )
对于一个非理想(频带)的线性移不变系统， 当输入是δ函数时，有：
H ( x , y ) h( x , y )
（一）连续图像退化的数学模型
当输入是图像f(x,y)时，其输出表示为：
（二）离散图像退化的数学模型
离散循环卷积是针对周期函数定义的，为避 免离散循环卷积的周期性序列之间发生相互重叠现 象（卷绕效应），分别对f(x)、h(x)进行填0延伸成 M＝A＋B－1的周期函数。
f ( x) 0 x A 1 fe ( x) A x M 1 0 h( x ) 0 x B 1 he ( x ) B x M 1 0
循环矩阵：方阵，每一行是前一行循环 右移一位的结果。
（二）离散图像退化的数学模型
二维离散情况退化模型
二维空间f(x,y)、h(x,y)均匀采样，样本数分别 为A×B，C×D。周期性地延拓成M×N样本。
f ( x, y ) 0 x A 1和0 y B 1 f e ( x, y ) A x M 1和B y N 1 0 h( x, y ) 0 x C 1和0 y D 1 he ( x, y ) C x M 1和D y N 1 0
法、贝叶斯方法、蒙特卡罗方法等；
频谱外推法：哈里斯外推法、长球波函数外推法；
反卷积恢复方法：盲复原方法。
一、图像降质的数学模型
（一）连续图像退化的数学模型
图像f(x,y)
退化系统 或 降质系统
降质图像g(x,y)
假设：
系统是线性的； 噪声不存在该系统中；
（一）连续图像退化的数学模型 描述一个系统的性能通常用： 冲激响应函数或者传递函数
冲激响应函数 h(x,y)
传递函数
H(u,v) 傅立叶变换对关系
（一）连续图像退化的数学模型
对于非线性、空间变化系统，当输入是δ 函数时，有：
H ( x , y ) h( x, y, , )
这类系统，求解、分析都非常困难。不在 我们考虑范围之内。
（一）连续图像退化的数学模型 对于一个理想的线性移不变系统(全通系 统)，当输入是δ函数时，有：
图像复原
图像降质
如何实现恢复？
运动形成的模糊
复原后图像
图像降质
离焦形成的模糊
原始图像
图像降质
噪声等形成的降质
运动引起的降质
图像的降质 或者退化
亚采样引起的降质
图像增强与图像复原
图像增强：旨在改善图像质量。提高图像 的可懂度。更偏向主观判断，即要突出所 关心的信息，满足人的视觉系统，具有好 的视觉结果。
或消弱其影响的过程，是一种估计方法； 另一种方法是针对原始图像有足够的先验知识的情 况，对原始图像建立一个数学模型并根据它对退化 图像进行拟合，能够获得更好的复原效果。
从方法和应用角度的分类
频域图像恢复方法：逆滤波、维纳滤波等；
线性代数恢复方法：线性代数滤波方法、空间域滤波
方法等；
非线性代数恢复方法：投影法、最大熵法、正约束方
如果只有x方向的匀速运动，在T时间里物体运动 水平位移为a，则在任意t时间里物体在x方向上的 分量x0(t)=at/T,则图像系统的传递函数为：
H u, v exp j 2ux0 (t )dt
0
T
at exp j 2u dt T 0 jT (e j 2ua 1) 2ua
f , H x , y dd f , x , y dd
f ( x, y)
考虑系统受到加性噪声n(x,y)的影响，对于线性 移不变系统，最一般的数学表达式为：
设: α＝x - x0(t), β= y - y0(t)
则： x =α+ x0(t), y = β+ y0(t) 代入上式，有
（一）连续图像退化的数学模型
G u, v f , exp j 2 (u )dd 0 exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
g ( x , y ) H f ( x , y )
一幅连续的输入图像f(x,y)可以看作是由一系列点 源表示，即有：
f ( x, y )
f , x , y dd
（一）连续图像退化的数学模型 经过非理想线性移不变系统，输出为：
T源自文库
F u, exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
0
T
F u, exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
0
T
（一）连续图像退化的数学模型
令：
H u, exp j 2 ux0 t y0 (t )dt
g( x, y) f ( x, y) * h( x, y) n( x, y)
图像 f(x,y)
退化系统 或h(x,y)
噪声信号 n(x,y)
降质图像 g(x,y)
（一）连续图像退化的数学模型
在频率域上，有：
G (u, ) F (u, ) H (u, ) N (u, )
退化过程 T{ f }→ g 或 F → G 恢复过程 T-1{ g}→ f 或 G → F ?
g x, y H f x, y H f , x , y dd
f , H x , y dd f , h x , y dd
几种典型的退化模型 光学散焦造成的图像退化
小孔衍射造成的模糊
图像退化效果
散焦对应的点扩展函数
（一）连续图像退化的数学模型
光学散焦系统的传递函数为：
J1 (d ) H (u, ) d
(u )
2 2
d是散焦点扩展函数的直径, J1(•)是第一 类贝塞尔函数。
目标相对运动造成的图像退化
运动形成的模糊示例
图像退化效果
对应的点扩展函数
（一）连续图像退化的数学模型
目标相对运动降质的传递函数
假设照相机或摄像机的曝光介质所产 生的图像退化除受相对运动影响之外，不 考虑其它因素的变化。
（一）连续图像退化的数学模型
讨论：消除匀速直线运动模糊 设物体f(x,y)在一平面运动，令x(t)和y(t)分别是 物体在x和y方向上的分量，t表示运动的时间。 记录介质的总曝光量是在快门打开到关闭这段 时间的积分。则模糊后的图像为：
图像复原技术的应用
天文成像领域:
一方面，对地面上的成像系统来说，由于受到射线及大气的影响，会造成图像的 退化;另一方面，在太空中的成像系统，由于宇宙飞船的速度远远快于相机快门的 速度，从而造成了运动模糊；
湍流退化图像复原：
目标通过大气湍流的成像是诸如宇航卫星、天文观测、精确制导等宇航光电探
测成像系统必然会遇到的问题； 交通智能监控领域：电子眼（车速超过60km/小时）；
g x, y f x x0 t , y y0 t dt
T 0
（一）连续图像退化的数学模型 对上述式两边求傅立叶变换：
G u, v FFT g x, y g x, y exp j 2 (ux y )dxdy
0
T
上式可表示成：
Gu, F u, H u,
（一）连续图像退化的数学模型
H u, exp j 2 ux0 t y0 (t )dt
0
T
这就是匀速直线运动所造成的图像 模糊系统的传递函数，进行傅立叶反变 换就可以得出系统的点扩展函数。
（一）连续图像退化的数学模型
M-1 A-1
B-1
M-1
（二）离散图像退化的数学模型
fe(x)、he(x)均是长度为M的周期性离散函数，其 卷积为
ge ( x ) f e (m )he ( x m )
m 0 M 1
x 0,1,2, , M 1
ge(x)也是长度为M的周期性离散函数。
（二）离散图像退化的数学模型
T f x x0 (t ), y y0 (t )dt exp j 2 (ux y )dxdy 0
（一）连续图像退化的数学模型
G u, v f x x0 (t ), y y0 (t )exp j 2 (ux y )dxdy dt 0
f ( x, y ) * h( x, y )
（一）连续图像退化的数学模型
经过理想线性移不变系统，输出保持不变
g x, y H f x, y H f , x , y dd
利用周期性：he(x)=he(x+M)
（二）离散图像退化的数学模型
he ( M 1) he ( M 2) he (0) h (1) he (0) he ( M 1) e H he (2) he (1) he (0) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he (1) he (2) he (3) he (0)
T
（一）连续图像退化的数学模型 大气湍流造成的图像退化
2 H u, exp C u
5 2 6
C是与湍流性质有关的常数。
（二）离散图像退化的数学模型 一维离散情况退化模型
g x f x h x
设f(x)、h(x)分别具有A个和B个采样点。
公安领域：
指纹自动识别，手迹、人像、印章的鉴定识别，过期档案文字的识别等，都与 图像复原技术密不可分；
其它领域:
诸如对老照片的处理、对由于散焦或运动造成的图像模糊等，都必须用图像复原 技术。
图像复原方法的分类
图像复原大致可以分为两种方法： 一种方法适用于缺乏图像先验知识的情况，此时可
对退化过程建立模型进行描述，进而寻找一种去除
若把fe(x)、 ge(x) 表示成向量形式：
f [ f e (0), f e (1), , f e ( M 1)]
T T
g [ ge (0), ge (1), , ge ( M 1)]
循环卷积写成矩阵形式：
g Hf
H是M*M的矩阵。
（二）离散图像退化的数学模型
he (1) he (2) he (0) h (1) he (0) he (1) e H he (2) he (1) he (0) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he (0)
图像复原：根据图像畸变或退化的原因， 进行模型化处理，将质量退化的图像重建 或恢复到原始图像，即恢复退化图像的本 来面目，忠实于原图像。因此必须根据一 定的图像退化模型来进行图像复原。
图像复原(图像恢复)
目的： 尽量减少或去除获取图像或处理图像过程 中的图像降质(图像退化)，恢复其本来面目。 方法： 要弄清楚降质或退化的原因，分析引起降 质或退化的因素，建立相应的数学模型，并沿 着图像降质的逆过程恢复图像。
H ( x , y ) ( x , y )
对于一个非理想(频带)的线性移不变系统， 当输入是δ函数时，有：
H ( x , y ) h( x , y )
（一）连续图像退化的数学模型
当输入是图像f(x,y)时，其输出表示为：
（二）离散图像退化的数学模型
离散循环卷积是针对周期函数定义的，为避 免离散循环卷积的周期性序列之间发生相互重叠现 象（卷绕效应），分别对f(x)、h(x)进行填0延伸成 M＝A＋B－1的周期函数。
f ( x) 0 x A 1 fe ( x) A x M 1 0 h( x ) 0 x B 1 he ( x ) B x M 1 0
循环矩阵：方阵，每一行是前一行循环 右移一位的结果。
（二）离散图像退化的数学模型
二维离散情况退化模型
二维空间f(x,y)、h(x,y)均匀采样，样本数分别 为A×B，C×D。周期性地延拓成M×N样本。
f ( x, y ) 0 x A 1和0 y B 1 f e ( x, y ) A x M 1和B y N 1 0 h( x, y ) 0 x C 1和0 y D 1 he ( x, y ) C x M 1和D y N 1 0
法、贝叶斯方法、蒙特卡罗方法等；
频谱外推法：哈里斯外推法、长球波函数外推法；
反卷积恢复方法：盲复原方法。
一、图像降质的数学模型
（一）连续图像退化的数学模型
图像f(x,y)
退化系统 或 降质系统
降质图像g(x,y)
假设：
系统是线性的； 噪声不存在该系统中；
（一）连续图像退化的数学模型 描述一个系统的性能通常用： 冲激响应函数或者传递函数
冲激响应函数 h(x,y)
传递函数
H(u,v) 傅立叶变换对关系
（一）连续图像退化的数学模型
对于非线性、空间变化系统，当输入是δ 函数时，有：
H ( x , y ) h( x, y, , )
这类系统，求解、分析都非常困难。不在 我们考虑范围之内。
（一）连续图像退化的数学模型 对于一个理想的线性移不变系统(全通系 统)，当输入是δ函数时，有：
图像复原
图像降质
如何实现恢复？
运动形成的模糊
复原后图像
图像降质
离焦形成的模糊
原始图像
图像降质
噪声等形成的降质
运动引起的降质
图像的降质 或者退化
亚采样引起的降质
图像增强与图像复原
图像增强：旨在改善图像质量。提高图像 的可懂度。更偏向主观判断，即要突出所 关心的信息，满足人的视觉系统，具有好 的视觉结果。
或消弱其影响的过程，是一种估计方法； 另一种方法是针对原始图像有足够的先验知识的情 况，对原始图像建立一个数学模型并根据它对退化 图像进行拟合，能够获得更好的复原效果。
从方法和应用角度的分类
频域图像恢复方法：逆滤波、维纳滤波等；
线性代数恢复方法：线性代数滤波方法、空间域滤波
方法等；
非线性代数恢复方法：投影法、最大熵法、正约束方
如果只有x方向的匀速运动，在T时间里物体运动 水平位移为a，则在任意t时间里物体在x方向上的 分量x0(t)=at/T,则图像系统的传递函数为：
H u, v exp j 2ux0 (t )dt
0
T
at exp j 2u dt T 0 jT (e j 2ua 1) 2ua
f , H x , y dd f , x , y dd
f ( x, y)
考虑系统受到加性噪声n(x,y)的影响，对于线性 移不变系统，最一般的数学表达式为：