复平面的拓扑
复数与复平面ppt课件
来表 . 示 y zxiy
y
P(x,y)
z r
o
x
x
复数的模(或绝对值): 向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2.
.
25
模的性质
x z, y z, zxy, zzz2z2. 三角不等式 (1 )z1 z2z1 z2;(2 )z1 z2z1z2. 复数的辐角:
在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
.
5
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元 n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在 复数域内我们就可以定义负数的对数。
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg. 当 z0时 , z0,而辐角 . 不
任何一 z0有 个无 复穷 数 . 多个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么 z角 的全部辐角
Ar zg12kπ(k为任意 ). 整数
.
26
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
.
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复变函数已成为我校的精品课程，其网址是：
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第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数
第五章 留数 第六章 保形映射
单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类
单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类(摘要)本文主要介绍了单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.我们说两个变换f:X→X和g:Y→Y是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:X→Y使得h∘f=g∘h,这里∘是映射的复合.单连通区域主要包括:复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面.关于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska得到了更一般的结论,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类.具体地讲,如果仿射算子f(x)=Ax+b有一个不动点,那么f拓扑共轭于它的线性部分A;如果仿射算子f:U→U无不动点,我们证明f拓扑共轭于一个仿射算子g:U→U,这里U是g 的不变子空间V和W的正交直和,g在V上的限制g|V是一个拥有如下形式的V的标准正交基底的仿射算子(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n),ε=±1,它是由f唯一确定的,g在W上的限制g|W是一个通过幂零Jordan矩阵给出的W的标准正交基底的线性算子,是由f唯一确定的.对于扩充复平面上的分式线性变换的拓扑共轭分类问题, Rybalkina和S ergeichuk已经给出了相应的结果.我们在此整理并总结了复平面和扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭之前没有得到完全的分类,本文将就这一问题给出答案.我们通过旋转理论及构造同胚的方法,证明了:上半平面上（单位圆盘）所有无不动点的全纯自同构之间都是拓扑共轭的;两个有不动点的全纯自同构f和g是拓扑共轭的当且仅当ρ(f)=±ρ(g),mod Z;无不动点的全纯自同构与有不动点的全纯自同构之间是不拓扑共轭的.关键词:拓扑共轭,全纯自同构,单位圆盘,上半平面,复平面,扩充复平面.Topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on simple connected domains(Abstract)In this paper,we are interested in the topologically conjugate classifications of the holo-morphic isomorphisms on simple connected domains.We said that two transformations f: X→X and g:Y→Y are topologically conjugate if there exists a homeomorphism h:X→Y such that h∘f=g∘h,where∘is the composition of mappings.Simple connected do-mains includes:complex plane,extended complex plane,unit disk and upper half plane. For the problem of topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on complex plane,Budnitska gave more general result.He obtained the topologically conjugate classifications of affine operators onfinite dimensional vector space.Specifically speaking if the affine operator f(x)=Ax+b has afixed point,then f is topologically conjugate to its linear part A.If the affine operator f:U→U has nofixed point,f is topologically conjugate to an affine operator g:U→U,where U is an orthogonal direct sum of g-invariant subapaces V and W,the restriction g|V is an affine operator with the form(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n) under the orthogonal basis of V,ε=±1,and it is uniquely determined by f.The restriction g|W is a linear operator with a nilpotent Jordon form under the orthogonal basis of W,and it is uniquely determined by f.For the problem of topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on extended complex plane,Rybalkina and Sergeichuk have given the answer.It is not known of the completely classifications for the holomorphic isomorphisms on unit disk or upper half plane before.Now we will solve the problem.By rotation theory and some constructions of homeomorphisms,we prove that all holomorphic automorphisms on upper half plane(or unit disk)having nofixed points are topologically conjugate;two holo-morphic automorphisms f and g havingfixed points are topologically conjugate if and only if ρ(f)=±ρ(g),mod Z;a holomorphic automorphism with nofixed points and a holomorphic automorphism withfixed points are not topologically conjugate.Key Words:topological conjugacy,holomorphic automorphism,unit disk,upper half plane, complex plane,extended complex plane.目录摘要 (i)Abstract (ii)第1章引言 (1)第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (5)2.1有不动点的仿射算子 (6)2.2无不动点的仿射算子 (8)第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (13)3.1线性算子的拓扑分类 (13)3.2定理3.1的证明 (16)3.3推论3.2的证明 (17)第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (18)4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构 (18)4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (20)第5章结论 (23)参考文献 (24)作者简介及在学期间所取得的科研成果 (26)致谢 (27)第1章引言拓扑动力系统是指一个偶对(X,f),这里X是一个完备度量空间,f:X→X是X上的一个连续映射.我们关心空间中点在迭代作用f n下轨道的渐进性态,这里f n= f∘f∘···∘f,∘是映射复合.其中,拓扑共轭分类问题是该系统领域中的核心问题.定义1.1设X,Y是两个完备度量空间,f:X→X和g:Y→Y分别是X和Y上的连续（全纯,线性）自映射.如果存在（全纯,线性）同胚映射h:X→Y使得h∘f=g∘h.则称f和g是拓扑（全纯,线性）共轭的.一般而言,完全的拓扑共轭分类很难获得,但对于一些特殊的系统,我们已知如下结果:Poincare给出了圆周上旋转映射的拓扑共轭分类[1];Walters考察了n维环面T n和紧交换拓扑群上仿射变换的拓扑共轭分类[2,3];Robbin和Kuiper研究了有限维向量空间上线性自同态的拓扑共轭分类[4,5].本文我们将给出单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.记C为复平面,ˆC C∪{∞}为扩充复平面,H为上半平面,D为单位开圆盘.进而用Aut(C),Aut(ˆC),Aut(H)和Aut(D)分别表示复平面,扩充复平面,上半平面和单位开圆盘上的所有全纯自同构构成的集合.本文我们将给出在复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类.对于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska[6]给出了更一般的形式,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类问题.一个仿射算子f:V→V是一个形如f(x)=Ax+b的映射,这里A:V→V是一个线性算子并且b∈V.为了简便我们通常令V=F n,其中F=C或R,那么f:F n→F n有如下形式:f(x)=Ax+b,A∈M n×n(F), b∈F n.这里M n×n(F)是数域F上的n×n阶矩阵.两个仿射算子f,g:F n→F n是共轭的,如果存在一个双射h:F n→F n使得g=h−1f h,(1)我们说(a)如果h在(1)中是一个线性算子,那么它是线性共轭.(b)如果h是一个仿射算子,那么它是仿射共轭.(c)如果h是一个双射,那么它是双正则共轭,这意味着h和h−1有如下形式(x1,...,x n)→(ϕ1(x1,...,x n),...ϕn(x1,...,x n))(2)在这里所有的ϕi都是F上的多项式.(d)如果h是一个同胚,那么它是拓扑共轭,这意味着h和h−1是连续的双射.线性共轭蕴含着仿射共轭蕴含着双正则共轭蕴含着拓扑共轭.下面简单介绍一下(a)−(d)仿射算子共轭分类的结果.在(a)中一个线性共轭y=Ax+b的变换相当于一个在F n上的基底的变换,形式为(A,b)→(S−1AS,S−1b),S∈F n×n是非奇异(3)关于这些变换的仿射算子的规范形式是很容易构造的:如果F=C,我们令A是Jordan标准形式,然后通过(3)中的变换来化简b,因此S随着Jordan矩阵A变换,它的形式在[7]中给出.在(b)中一个仿射共轭的变换相当于一个在F n上的基底的仿射变换.我们说仿射算子x→Ax+b是非奇异的如果它的矩阵A是非奇异的.Blanc[8]证明了非奇异的仿射算子x→Ax+b和x→Cx+d在特征值为0的代数闭域上是仿射共轭的,当且仅当它们的矩阵A和C是相似的,即对于一些非奇异的S有S−1AS=C.在(c)中Blanc[8]也给出了特征值为0的代数闭域K上非奇异仿射算子的双正则共轭分类.两个K上有不动点的非奇异仿射算子是双正则共轭的,当且仅当它们的矩阵是相似的.一个无不动点的非奇异仿射算子f:K n→K n双正则共轭于一个对角的仿射算子.(x1,x2,...,x n)→(x1+1,λ2x2,...,λn x n)(4)在这里1,λ2,...,λn∈K∖0是矩阵的特征值,仿射算子(4)是由f唯一确定的.在(d)中R2上的仿射算子的拓扑共轭分类由E phramowitsch[9]给出.在本文中我们将给出R n和C n上的仿射算子的分类.对于扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,我们主要考虑Mobius变换[10]. Mobius变换是一个在扩充复平面上的如下形式的线性分式变换:f(z)=az+bcz+d,ad−bc 0,a,b,c,d∈C(5)Mobius变换的理论基础可参见[11]和[12].a,b,c,d同时乘以任意一个非零的数,f不变,变换(5)可以写成矩阵的形式M f:=1√ad−bc⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.(6)它的行列式为1并且是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子.变换的复合相当于矩阵的乘积M f g=M f M g(7)矩阵A的迹记做tr A.两个Mobius变换f和g是共轭的,如果存在一个Mobius变换h使得g=h−1f h:两个Mobius变换f和g是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:ˆC→ˆC,使得g=h−1f h.如果两个Mobius变换是共轭的,那么它们是拓扑共轭,因为每一个Mobius变换都是一个同胚.共轭的标准形式很容易从[11]中获得,不同的Mobius变换f和g是共轭的当且仅当tr M f=±tr M g,因此共轭的Mobius变换是由相似矩阵给出的至多差一个-1的乘子.我们给出变换矩阵M h使得M g是M h的Jordan形式.由于det M f=det M g=1,M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ001/λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ ±1,0)或者M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ10λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ=±1)(8)矩阵M g是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子和(8)中第一个矩阵对角元素λ和1/λ的交换.因此f共轭于z→λ2z,或者z→(1/λ2)z,或者z→z+1,我们从[11]中获得了规范形式.每个Mobius变换恰好共轭于如下形式mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(9)在这里µ是由1/µ确定的.µ1=µ和µ1=1/µ被叫做f的乘子.它们是由Riemann面上的全纯映射决定的[13];对于不同的Mobius变换f它们能通过下面的公式计算µi=f′(z i z i ∞,i=1,2µi=limz→∞1f′(z),z i=∞,i=1,2这里z1和z2是f的不动点.第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,Budnitska[6]给出两种不同形式的仿射算子:（1）有不动点并且没有以1的根为特征值的仿射算子.有不动点的仿射算子的拓扑共轭分类问题是所有线性算子的拓扑共轭分类问题.实际上每一个线性算子x→Ax可以看作是一个有不动点x=0的仿射算子x→Ax+0.相反的,如果仿射算子是拓扑共轭的,那么每一个有不动点的x→Ax+b都能被它的线性部分x→Ax代替,因为有下面的引理2.1我们证明它们是拓扑共轭的.Kuiper和Robbin[5,4]给出了在R上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式,在定理2.2中我们将标准扩展到C上，给出在R和C上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式.为了简便我们不考虑以1的根为特征值的线性算子;像这种算子的拓扑分类问题已经由Kuiper和Robbin[5,4],Cappell和Shaneson [14,15,16,17,18],Hsiang和Pardon[19],Madsen和Rothenberg[20],和Schultz[21]给出.（2）无不动点的仿射算子.在定理2.3中我们证明了在F=C或R上的无不动点的仿射算子恰好共轭于一个如下形式的仿射算子x→(I k⊕J0)x+[1,0,...,0]T,如果当F=R时,x→(I k⊕[−1]⊕J0)x+[1,0,...,0]T,在这里k≥1并且J0是一个幂零的Jordan矩阵由f唯一确定.对任意一个F∈{C,R}上的方阵A,都有一个非奇异的矩阵A*和一个F上的幂零矩阵A0,使得A相似于A*⊕A0(10)在下面的定理中我们总结了仿射算子拓扑共轭的条件.定理2.1令f(X)=Ax+b和g(X)=Cx+d是F=C或R上的仿射算子.（1）假设f和g有不动点,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当x→Ax和x→Cx是拓扑共轭的.（2）假设f有一个不动点,g无不动点,那么f和g不拓扑共轭.（3）假设f和g无不动点:如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0.如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A*和C*的行列式有相同的迹并且A0相似于B0.2.1有不动点的仿射算子在这一部分我们将给出一个有不动点的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭的标准形式,这里矩阵A没有相同的特征值.我们可以仅仅考虑线性算子,因为在下面的引理中我们把有不动点仿射算子的分类问题化简为线性算子的分类问题.引理2.1一个C或R上的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭于它的线性部分f lin(X)= Ax,当且仅当f有一个不动点.如果p是f的一个不动点,那么f lin=h−1f h,h(x):=x+p.证明.如果f(p)=p,那么Ap+b=p并且(h−1f h)(x)=(h−1f)(x+p)=h−1(A(x+p)+b)= h−1(Ax+(p−b)+b)=h−1(Ax+p)=Ax=f lin(x).相反的,如果f和f lin是拓扑共轭的,那么f和f lin有相同的不动点,因为f lin(0)=0,f也有一个不动点.对任意的λ∈C,我们记J n(λ):=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ 01λ···... ............ 0···1λ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦对于每一个n×n复矩阵A=[a kl+b kl i],a kl,b kl∈R,我们记¯A=[akl−b kl i](11)并且通过A的实化A R来表示:通过用块⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a kl−b klb kl a kl⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(12)来代替每一个元素a kl+b kl i,由A得到了一个2n×2n的实矩阵.每一个在F∈{C,R}的方阵A相似于A0⊕A01⊕A1⊕A1∞,(13)在这里所有A0（A01A1,A1∞)的特征值λ都满足λ=0(0<|λ|<1,|λ|=1,|λ|>1).A0和(10)中的一样,A01⊕A1⊕A1∞和(10)中的A*相似.定理2.2(a)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子,令A0,...,A1∞和B0,...,B1∞像(13)中的一样,分别对应A和B的分解.（i）如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,这里size是矩阵维数的意思,det(A01B01)>0,A1相似于B1，size A1∞=size B1∞，det(A1∞B1∞)>0,(14)（ii）如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(15)(b)每一个F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子拓扑共轭于一个线性算子,它的矩阵是一个由直和项的置换唯一确定的直和.（i）当F=R直和项的数字为J k(0),[1/2],J k(λ)R,[2](16)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.至多一个1×1的直和项[-1/2]至多一个1×1的直和项[-2]（ii）当F=CJ k(0),[1/2],J k(λ),[2](17)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.证明.（a）结论（i）已经由Kuiper和Robbin[5,4]证明,下面我们来证明（ii）关于加法的阿贝尔交换群V=C n可看做是C上的n维矢量空间V C和R上的2n维矢量空间V R.进一步的,我们可以将V C看做一个有标准正交基底的酉空间e1=[1,0,...,0]T,e2=[0,1,...,0]T,...,e n=[0,0,...,1]T,(18)将V R看做一个有标准正交基底的欧式空间e1,ie1,e2,ie2,...,e n,ie n(19)对每一个v=(α1+β1i)e1+...+(αn+βn i)e n∈V,αkβk∈R它在V C和V R的长度是相同的:+β21+...+α2n+β2n)1/2|v|=(α21因此映射h:V→V是V C的一个同胚当且仅当h是V R的一个同胚.(20)每一个线性算子f:V C→C定义一个线性算子f R:V R→R两个线性算子f,g:V C→C是拓扑共轭的当且仅当f R,g R:V R→R是拓扑共轭的.(21)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V C上没有相同特征值的线性算子,显然A和B是它们的有正交基底的矩阵.考虑f和g在V R上的线性算子f R和g R,我们发现f R和g R的基底是A和B 的实化A R和B R.因为S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞对于一些非奇异的S,我们有(S R)−1A R S R=A R0⊕A R01⊕A R1⊕A R1∞类似的B R相似于B R0⊕B R01⊕B R1⊕B R1∞通过(21)和定理2.2（a）的结论（i）f和g是拓扑共轭的当且仅当f R和g R是拓扑共轭的当且仅当A R 0相似于B R,size A R01=size B R01,det(A R01B R01)>0,A R 1相似于B R1,size A R1∞=size B R1∞,det(A R1∞B R1∞)>0,(22)对于每一个复矩阵M,它的实化M R相似于M⊕¯M,因为⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a−bb a⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a+bi00a−bi⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因为A0的Jordan标准形式是一个幂零的Jordan矩阵,¯A0相似于A0.因此条件A R相似于B R0,等价于条件A0⊕¯A0相似于B0⊕¯B0等价于条件A0相似于B0.条件size A R01=B R01等价于条件size A01=B01.条件det(A R01B R01)>0保持不变,因为det(A R01B R01)=det(A01B01)R=det(A01B01⊕A01B01)>0类似的我们考虑(22)中剩下的三个条件,得到(22)等价于(15),这就证明了（ii）结论.2.2无不动点的仿射算子在这一部分,我们将证明下面的定理,它给出了拓扑共轭的标准,并且给出了无不动点的仿射算子的拓扑共轭的标准形式.定理2.3(a)令f (x )=Ax +b 和g (x )=Cx +d 是F =C 或R 上的无不动点的仿射算子,令A *,A 0和C *,C 0像（10）中那样,分别对应A 和C 的分解.（b ）每一个F =C 或R 上的无不动点的仿射算子f 拓扑共轭于一个如下形式的仿射算子x →(I k ⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(23)或者当F =R 时x →(I k ⊕[−1]⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(24)在这里k ≥1并且J 0是一个由f 唯一确定的幂零Jordan 矩阵.我们通过对(A ,b )给出一个仿射算子f (x )=Ax +b ，写成f =(A ,b ).对于两个仿射算子f :F m →F m 和g :F n →F n ,我们通过(f ⊕g )⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦:=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f (x )g (y )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦定义f ⊕g :F m +n →F m +n 因此(A ,b )⊕(C ,d )=(⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣A 00C ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣b d ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)当f 和g 在F 上拓扑共轭时,我们记做f ∼F g 进一步我们有f ∼F f ′和g ∼F g ′=⇒f ⊕g ∼F f ′⊕g′(25)在这一部分,我们将继续通过拓扑共轭变换把F =C 或R 上的无不动点的仿射算子化简为(23)或者(24)的形式.第一步:将y =Ax +b 化简为如下的形式:p ⨁︁i =1(J m i (1),a i )⊕r ⨁︁i =p +1(J m i (1),a i )⊕(J 0,s )⊕(B ,c )(26)在这里J 0是A 0的Jordan 标准形式,1和0不是B 的特征值,每一个a 1,...,a p 都有一个非零的第一坐标,每一个a p +1,...,a r 都有一个零的第一坐标.我们是通过F 上的(3)中的线性共轭的变换来化简的.第二步:把(26)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),a i)⊕r⨁︁i=p+1(J mi(1),0)⊕(J0,0)⊕(B,0)(27)在这里每一个a i都有一个非零的第一坐标,我们是通过(25)来进行化简的,共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),0),(J0,s)∼F(J0,0),(B,c)∼F(B,0)(28)在这里a的第一坐标是0,共轭(28)通过引理2.1保持不变,因为(J0,s)和(B,c)有不动点.记p≥1因为(27)是一个有不动点为0的线性算子,但是f没有不动点.第三步:把(27)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(29)在这里e1=[1,0,...,0]T和C:=⨁︀ri=p+1J mi(1)⨁︀B是非奇异的.我们用的共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),e1)(30)在这里a的第一坐标是0,a被下面的形式代替a=b[1,a2,...,a n]T,b 0,这个共轭是线性的,它保持不变因为(S J m(1)S−1,S e1)=(J m(1)a)S=b ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 0a21······...a3a21···... ...............a n...a3a21⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第四步:把(29)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(I mi,e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(31)我们用的共轭是(J m(1),e1)∼F(I m,e1)(32)第五步:把(31)化简成如下的形式:(I 1,[1])⊕(D ,0)⊕(J 0,0)(33)在这里D :=I ⊕C 是非奇异的.我们用的共轭是p ⨁︁i =1(I m i ,e 1)∼F (I p ,[1,...,1]T )⊕(I q ,0)∼F (I 1,[1])⊕(J q +p −1,0)最后的共轭保持不变,因为(I 2,[1,1]T )∼F (I 2,e 1),它有如下的形式(S −1I 2S ,S −1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)=(I 2,e 1),S :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1011⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第六步:我们把（33）化简到（23）,（24）的形式,在这里我们分两方面来考虑.当F =R ,我们有共轭f ∼Fg ,f :=(I 1,[1])⊕(εF ,0),g :=(I 1,[1])⊕(εI m ,0)(34)实际上,g =h −1f h 对于映射h :R m +1→R m +1是由h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 决定的.因为hg ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1εy ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1ε2F x +1y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦映射h 是连续的,因为级数F x=exG=1+xG +(xG )22!+(xG )33!+...(35)收敛半径是无穷的,这里G 是实矩阵使得F =e G.逆映射h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF −x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 也是连续的.这就证明了(34).应用线性共轭(3)到(33)的变换,我们化简D 到P ⊕(−Q )的形式,这里P 是一个非奇异的实的没有负的实特征值的p ×p 矩阵,Q 是一个非奇异的实的有正的实特征值的q ×q 矩阵.这里线性算子(33)有如下形式(I 1,[1]⊕(P ,0)⊕(−Q ,0)⊕(J 0,0);它拓扑共轭于(I 1,[1]⊕(I p ,0)⊕(−I q ,0)⊕(J 0,0)(36)在(34)中令ε=1,F=−I2,我们得到(I1,[1]⊕(−I2,0)∼R(I3,e1)应用这个共轭多次,我们把(36)化简为(23),(24)的形式,我们证明了在R上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23)或(24).当F=C,让我们证明f∼C g,f:=(I1,[1])⊕(D,0),g:=(I1,[1])⊕(I m,0)(37)在这里D是一个非奇异的m×m复矩阵,实际上,g=h−1f h,这里h:C m+1→C m+1是由h:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xy⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xD x y⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x∈C,y∈C m决定的.映射h是一个同胚因为D x被(35)中的F:=D代替了.这就证明了(37),用它我们把(33)化简为(23),我们证明了在C上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23).第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于Mobius变换的拓扑共轭分类由Rybalkina在[10]中给出.定理3.1对于任意的非奇异的Mobius变换f,g:ˆC→ˆC,下面的四条是等价的.（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）M f的迹和M g的迹不属于[-2;2],或者trM f=±trM g;（iii）如果λ是M f的任意特征值,λ′是M g的任意特征值,那么|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′;（iv）如果µ是f的任意乘子,ν是g的任意乘子,那么|µ|,|ν| 1,或者µ=ν,或者µ=¯ν;（9）中的标准形式被用到下面的定义中:一个非奇异的Mobius变换被叫做双曲如果它解析共轭于z→µz同时1 µ∈R;斜驶如果它解析共轭于z→µz同时µ R并且|µ| 1;椭圆如果它解析共轭于z→µz同时|µ|=1并且µ 1;抛物如果它解析共轭于z→z+1.一个Mobius变换的拓扑共轭的标准形式很容易从定理3.1中（i）到（iv）的等价形式中获得:推论3.1（a）每一个双曲或斜驶的Mobius变换拓扑共轭于z→2z.（b）每一个椭圆的Mobius变换拓扑共轭于z→µz,它是由µ通过¯µ的替换唯一确定的.（c）每一个抛物的Mobius变换拓扑共轭于z→z+1.两个线性算子A,B:C2→C2是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:C2→C2使得B=h−1Ah.Mobius变换的线性算子x→M f x(x∈C2)是由-1的乘子决定的,我们得到了一个ˆC上的Mobius变换和C2上的行列式值为1的线性算子的一一对应.推论3.2下面的两个条件对于Mobius变换f和g是等价的（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）在C2上的线性算子x→M f x拓扑共轭于x→M g x或−x→M g x.3.1线性算子的拓扑分类在本小节我们将给出一些关于线性算子的拓扑分类[5,4].对于每一个复方阵A=[a i j],我们定义矩阵¯A=[¯a i j]是矩阵A的复共轭,利用矩阵的直和构造一个A的分解S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞(S是非奇异的矩阵）(38)在这里所有A0的特征值λ满足λ=0分别的A01,A1,A1∞的特征值λ满足0<|λ|<1,|λ|= 1,|λ|>1.两个线性算子f,g:R n→R n是共轭的,如果存在一个同胚h:R n→R n使得g=h−1f h.算子f具有周期性,如果对于一些自然数k有f k是恒等映射.Kuiper和Robbin[5]证明了如果假设两个周期的线性算子是拓扑共轭的当且仅当它们是线性共轭的.定理3.2令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V=R m或C m上的线性算子,令A0,A01,A1,A1∞和B0,B01,B1,B1∞像（38）中一样,分别对应A和B的分解.（i）如果V=R m同时m≤5,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,det(A01B01)>0,A1相似于B1,size A1∞=size B1∞,det(A1∞B1∞)>0,（ii）如果V=C m同时m≤2,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(39)推论3.3令f(x)=Ax和g(x)=Bx是C2上的两个非奇异的线性算子,矩阵A和B的行列式为1并且是对角矩阵.令λ和λ′是A和B的特征值,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=λ′或者λ=¯λ′.证明.线性算子的共轭意味着它们拓扑共轭,因此我们假设f(x)=Ax和g(x)=Bx的矩阵由它们的Jordan形式给出:A=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ ±1,0下面我们分四种情况来讨论:第一种:|λ| 1并且|λ′| 1.那么在（38）中A01⊕A1∞=[λ]⊕[λ−1],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的.第二种:|λ|=|λ′|=1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B1⊕¯B1=[λ′]⊕[¯λ′]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的,当且仅当λ=λ′或者λ=¯λ′第三种:|λ|=1并且|λ′| 1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g不是拓扑共轭的.第四种:|λ| 1并且|λ′|=1,那么f和g不是拓扑共轭的.引理3.1Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的当且仅当|a|,|b| 1或a=b或a=¯b(40)证明.⇐=.假设f和g满足(40)如果f和g满足|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(41)那么通过定理3.2的（ii）在C上的线性映射z→az和z→bz通过同胚η:C→C是拓扑共轭的,因此f和g通过同胚h:ˆC→ˆC是拓扑共轭的,定义成如下形式h(z):=η(z)如果z∈C并且h(∞):=∞.如果f和g不满足(41)（但是满足(40)）,那么|a|<1并且|b|>1或者|a|>1并且|b|<1.假设|a|<1并且|b|>1.那么|1/b|<1并且通过(41)f拓扑共轭于g−1z=(1/b)z,通过ˆC上的同胚z→1/z拓扑共轭于g.=⇒.令ˆC上的Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的,那么存在着一个同胚h:ˆC→ˆC,使得hg(z)=f h(z)z∈ˆC.(42)因为h把所有g的不动点转换成f的不动点,他们的不动点是0和∞,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:h(∞)=∞并且h(0)=0.通过(42)线性算子z→az和z→bz在C上是拓扑共轭的,通过h到C上的限制同胚.定理3.2的（ii）确定|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(43)第二种情形:h(∞)=0并且h(0)=∞.Mobius变换f−1(z)=(1/a)z和g(z)=bz是拓扑共轭的,通过同胚h1:=ϕh在这里ϕ(z):=1/z.因为h1(∞)=∞,我们有(43),在这里a被1/a代替.上面的两种情形a和b都满足(40).3.2定理3.1的证明我们记f和g是两个非恒等映射的Mobius变换,记λ和λ′分别为M f和M g的任一特征值,记n(f)和n(g)为f和g的不动点个数.(44)另外,注意到任意非恒等映射的Mobius变换的不动点个数为1或2.（i）⇐⇒（iv）.假设（i）存在,那么n(f)=n(g).因为f和g不是恒等的,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:n(f)=n(g)=1,通过(9)f和g共轭于m1(z)=z+1,它的乘子是1,这就确定了（iv）.第二种情形:n(f)=n(g)=2,令µ,ν 0,1是f和g的乘子,通过(9)f和g共轭于mµ(z)=µz和mν(z)=νz,他们的不动点是0或者∞.引理3.1确定了（iv）.因此推出（i）=⇒（iv）,相反的讨论我们得出（i）⇐=（iv）.（iii）⇐⇒（iv）.通过(9)和(6),如果µ是f的乘子,那么f共轭于mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(µ=1),因此M f相似于M mµ=±1√µ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣µ001⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣√µ001/√µ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ 0,1)或者M mµ=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ=1)因此矩阵M f有一个特征值λ等于√µ或−√µ(µ 0)(45)类似的,如果ν是g的乘子,那么M g有一个特征值λ′等于√νor−√ν(ν 0),这就证明了（iii）和（iv）是等价的.（ii）⇐⇒（iii）.让我们证明|λ|=1⇐⇒trM f=±trM mµ∈[−2;2].(46)等式trM f=±trM mµ成立是因为M f和M mµ是相似的.如果|λ|=1,那么通过(8)trM mµ=λ+λ−1=λ+¯λ∈[−2;2].如果|λ| 1,那么λ−1=¯λ并且trM mµ=λ+λ−1 [−2;2],这就证明了(46).下面我们分三种情形来讨论.第一种情形:|λ| 1并且|λ′| 1,那么（iii ）存在,并且通过(46),（ii)也存在.第二种情形:|λ|=1并且|λ′| 1,或者|λ| 1并且|λ′|=1,那么（ii ）和（iii ）都不存在.第三种情形:|λ|=|λ′|=1.条件trM f =±trM g 等价于trM m µ=±trM m ν等价于λ+¯λ=±(λ′+¯λ′)等价于λ=±λ′或者λ=±¯λ′.3.3推论3.2的证明对于任意的Mobius 变换f 和g 我们将分以下四种情形分别讨论.第一种情形:n (f ) n (g ),那么推论3.2的断言（i ）不存在,让我们证明（ii ）也不存在.假设n (f )<n (g ).如果n (g )=∞,那么g 是恒等的,n (f )∈1,2,并且（ii ）是不存在的.假设n (g )<∞,那么n (f )=1并且n (g )=2.通过（9）和（45）,f 共轭于m 1(z )=z +1并且g 共轭于m µ(z )=λ2z .线性算子x →M f x 和x →M g x 共轭于x →±M m 1x 和x →±M m µx ,在这里M m 1=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,M m µ=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(λ 0,1)矢量[0,0]T 是线性算子x →±M m µx 的唯一不动点.所有的矢量[a ,0]T (a ∈C )是x →±M m 1x 的不动点.因此断言（ii ）不存在.第二种情形:n (f )=n (g )=1,通过（9）f 和g 共轭于z =z +1,通过（8）矩阵M f 和M g 相似于⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦或者⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−110−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因此M f 相似于M g 或者−M g ,因此x →M f x 共轭于x →M g x ,因此它们拓扑共轭.第三种情形:n (f )=n (g )=2,通过（9）和（45）f 共轭于z →λ2z 并且g 共轭于z →λ′2z ,在这里λ和λ′是M f 和M g 的特征值.M f 和M g 的Jordan 形式是±J f 和±J g ,在这里J f :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,J g :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ {0,±1}.通过定理3.1（iii ）,f 和g 共轭当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′,当且仅当线性算子x →J f x 和x →±J g x 拓扑共轭,当且仅当线性算子x →M f x 和x →±M g x 拓扑共轭.第四种情形:n (f )=n (g )>2，断言（i ）和（ii ）存在因为f 和g 是恒等映射并且M f =±M g =±I 2,在这里I 2是恒等矩阵.第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构众所周知,存在从单位圆盘到上半平面的解析双射,所以Aut(H)和Aut(D)是全纯同构的.那么当我们明确了上半平面上的全纯自同构的拓扑共轭分类时,也就可以给出单位圆盘上全纯自同构的拓扑共轭分类.现在我们从Aut(H)入手,上半平面上的全纯自同构必具有如下形式f(z)=az+bcz+d,这里a,b,c,d∈R且ad−bc=1.记PSL(2,R) SL(2,R)/{I2,−I2}为实数域上的2阶射影特殊线性群,这里I2表示2阶单位矩阵.注意到Aut(H) PSL(2,R),那么我们可以根据Jordon标准型对上半平面上的全纯自同构进行分类,而且具有相同Jordon标准型的全纯自同构是全纯共轭的（这个全纯共轭是由相似变换诱导的）.Type I.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ100λ2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里λ1 λ2.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z)=λz,λ>1.Type II.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1101⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠或⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−110−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于g(z)=z+1.Type III.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里θ∈[0,2π).则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z),g(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,这里θ∈[−π2,π2 ).上半平面上的全纯自同构必为Type I―III中的一种.另外,注意到Type I和Type II的全纯自同构是没有不动点的,称之为NFP-型全纯自同构;Type III的全纯自同构必有不动点,称之为EFP-型全纯自同构.由于具有不动点这一性质是拓扑共轭不变性,所以NFP-型全纯自同构与EFP-型全纯自同构之间是不拓扑共轭的.另外,通过上半平面到单位圆盘的解析双射,Type III型的全纯自同构对应了（全纯共轭）单位圆盘上的旋转映射.引理4.1令f(z):H→H为上半平面上的全纯自同构f(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,令g(ω):D→D为单位圆盘上的全纯自同构g(ω)=e i2θω,这里θ∈[−π2,π2).则f与g全纯共轭(拓扑共轭).证明.定义映射h:H→D为,对任意的z∈C,h(z)=z−i z+i.则h是一个全纯同构(同胚).往证下面图表是交换的.H f−→Hh↓↓hD g−→D令ω=h(z)=z−iz+i ,则z=h−1(ω)=ω+11−ωi.那么f h−1(ω)=cosθω+11−ωi−sinθsinθω+11−ωi+cosθ=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ,进而h f h−1(ω)=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ−i ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ+i=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ+ωsinθ+sinθ−i cosθ+iωcosθωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ−ωsinθ−sinθ+i cosθ−iωcosθ=2ωi cosθ+2ωsinθ2i cosθ−2sinθ=i cosθ+sinθi cosθ−sinθω=(i cosθ+sinθ)(i cosθ+sinθ)−cosθ·cosθ−sinθ·sinθω=−(−cosθ·cosθ+2i sinθcosθ+sinθ·sinθ)ω=(cos2θ−i sin2θ)ω=e i2θω=g(ω).至此,我们可以称Type III的全纯自同构为上半平面上的旋转,若其对应θ∈[−π2,π2 ),则称θπ为这个旋转的旋转数,记做ρ(f).4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类现在我们将进一步讨论Type I-III型全纯自同构,进而给出上半平面上全纯自同构拓扑共轭分类.如不作特殊说明,本节中的映射均指上半平面上的连续自映射.首先对于Type I的全纯自同构,我们可以证明它们都是拓扑共轭的.命题4.1设g(z)=2z.那么对每个f(z)=az,a>1,f(z)拓扑共轭于g(z).证明.对任意的a>1,令α=log2a−1.定义映射h:H→H为h(z)=z|z|α,对任意z∈H.则h是一个同胚.一方面,h∘g(z)=h(2z)=2z|2z|α=2α+1z|z|α=az|z|α,另一方面,f∘h(z)=f(z|z|α)=az|z|α,故h∘g(z)=f∘h(z),因此f拓扑共轭于g.。
复变函数 复平面的拓扑
数
2. 下列方程表示什么样的曲线？
1) z 1 it, 0 t 1
2) z a Re z b, a,b均为正实数
数
3. z 2 z 2 1
4. z 1 i z 2 i
练习：1．满足下列条件的点集是什么？
如果是区域，是单连通域还是多连通域？
哈
尔 滨
1) Im z 3
2) z i 2 i
工
程 大 学
3) z 1, Re z 1
2
复
变 函
4) 2 arg z i 3
数 则称该曲线为光滑的.
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的 复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。
工
程 大
一个是有界区域，称为C的内部；
学
复 一个是无界区域，称为C的外部.
变
函 数
C是它们的公共边界。
外部
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
哈 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单
尔 滨
闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；
工 程
非单连通域称为多连通域。
大
学
复 变 函 数
第一章 复数及复平面
哈
尔
滨
§1.2 复平面的拓扑
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数
了解复平面上点集的基本概念
复变函数知识要点
要 求 ：a ) f ( z )在 z 1上 分 母 不 为 c在 解 析 区 上 ） （ 0
2)
R( x )dx 2 i Re sR( z ), z k
k 1
n
z k 为R( z )在上半平面所有奇点。
条 件 : 1 )分母 次数 至少 比分 子次 高2次 . 数 2 )R( z )在实 轴没 有孤 立奇 点 . 3 )R( x )为x的有 理函 数 .
P( z ) 规 则III : 对 于f ( z ) Q( z ) P ( z ), Q ( z )在z 0都 解 析 ， P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , Q' ( z 0 ) 0 可 见z0为f ( z )的 一 级 级 点 ， 则 ： P ( z0 ) Re s f ( z ), z0 ' Q ( z0 )
5、 洛朗级数与泰勒级数的关系:
1 f ( ) 1） 洛 朗 级 数 的 系 数 n c ( z 0 ) n 1 d 2i c f ( n ) ( z0 ) 一般不能用 表示 n! 因 为 ：z0为 奇 点 ， ( n ) ( z0 )不 存 在 。 f
2) 洛朗级数是泰勒级数的推广. 3）洛郎级数的求法：常用基本展开式
第五章 知识纲要
1、留数：
1）留数定义：
1 Re s f ( z ), z0 2 i
f ( z )dz c
c
1
2）留数定理：
f ( z )在 区 域D内 除 有 限 个 孤 立 奇 点1 , z 2 , z n外 , z 处 处 解 析, C为D内 包 含 所 有 奇 点 的 简 单 曲 线, 闭 则 : f ( z )dz 2 i Re s f ( z ), z k
复变函数第1章测验题参考解答
3 1 , 0, ) 2 2
（B） (
3 1 , , 0) 2 2
（C） (
3 1 , 0, ) 2 2 zz i ( z 1)
2
（D） (
3 1 , , 0) 2 2
【答案】A 【 解 析 】 由 球 极 射 影 的 解 析 表 示 x
zz z 1
2
, y
, u
国
【解析】由球极射影的解析表示 x
, y
i ( z 1)
x
zz zz x, y y, u 0 ，所以 z 没有发生改变. 2 2i
数
)
, u
z 1 z 1
2
”
2
，当 z 1 时，
1.2 复平面的拓扑 1.2.1 初步概念 1.2.2 区域 曲线 （12 道题目） 一、 选择题 1. 满足条件
“复
z 2 zz 2 1 1 2 Re Re Re(1 i ) 1 . i 1 z 1
.
4
i sin )]3 8(cos i sin ) 8 3 3
变
.
【答案】1 【解析】
函
z 2 zz 2 1. 当 z i 时， Re 的值为 z 1
防
故 ( 3 i ) 的幅角主值为 2
3
（A） Re f ( x) 0 （C） Im f ( z ) 0 【答案】A 【解析】 由 f ( z)
国
2 1 z 3. 设 f ( z ) ，则当 z 1 时有 ( 1 z
大
3
f ( z) 1 f ( z) 1 1 z 可得 z ,又 z 1 ,则 1 ,即 f ( z ) 1 f ( z ) 1 , f ( z) 1 f ( z) 1 1 z
拓扑空间的初步知识
定义 （紧致性）一个拓扑空间称为是紧致的，如果任意开覆盖都有有限子覆盖。这就是 说，如果 ⊂ 是拓扑空间 的一族开集，且它们的并集是 ，则其中存在有限多个， ,⋯, ∈ ，且它们的并集是 。 命题 有限维实空间中的子空间是紧致的当且仅当它是有界且闭的。
证明 首先，紧致蕴含有界：对于给定的紧致点集 ，我们用中心在整数各点、边长是 2 的方块开集覆盖 ，紧致性表明有限多个这样的方块就已经足够。于是 包含在一个边长充 分大的方块内部，所以是有界集。其次，紧致蕴含闭：只要对于给定的紧致点集 ，说明任 何不在 中的点 都具有与 不交的开邻域。对任何 ∈ 取半径为 ( , )⁄3的开球，由于 所有这些开球覆盖紧致集 ，存在有限多个这样的开球覆盖 。将这有限多个开球的半径最 大值记作 ，容易验证以点 为中心、长度 为半径的开球与 不相交。由点 的任意性，可见 在ℝ 中的补集是开集，即 是闭集。于是，ℝ 中的紧致子集都是有界闭集。 反过来，ℝ 中有界闭集的紧致性的论证必须归结到实数空间ℝ的完备性。我们对维数 作归纳法。 当 = 1时，我们需要说明ℝ的有界闭集 都是紧致的。假设有 的一族开集覆盖，由子 空间拓扑的定义， 这相当于是说有一族ℝ的开集 ， 使得它们的并集包含 ， 而我们要说明 的 某个有限子族也具有这样性质。首先来说明 的某个可数子族 ′也具有这样的性质。我们发 现 连同开集 = ℝ ∖ 构成ℝ的开集覆盖，但以每个有理点为中心都可以取定一个半径是 有理数的开区间包含于至少一个 ∪ { }中的成员。由于ℚ ⊂ ℝ稠密，这样取定的可数多个 有理开区间已经覆盖ℝ，对其每个抽取一个 ∪ { }的成员，就构成ℝ的一个可数子覆盖，而 其中来自 的成员构成 的可数子覆盖 ′。接下来说明对 的可数开集覆盖 = { ⊂ ℝ} ∈ℕ
定义 （分离性）一个拓扑空间称为是 Hausdorff 分离的， （或T 空间） ，如果对于任何互 异的两点，存在两个分别包含各点的互不相交的开集。 如果我们把空间中一列点{ ∈ } ∈ℕ 之收敛到一点 ∈ 理解为对任何包含 的开集 ，对应于所有充分大的 的那些 都落在 中，那么 Hausdorff 条件就可以保证收敛点列的 极限点必须唯一。 练习 证明度量空间关于度量拓扑都是 Hausdorff 空间。
复平面上的几何表示
模与幅角的几何意义
模与幅角在信号处理中的应用
1.在信号处理中，模和幅角可以分别表示信号的幅度和相位信 息。 2.通过分析和计算信号的模和幅角，可以提取信号的特征和变 化规律，进而进行信号处理和识别。 3.模和幅角的几何意义为信号处理提供了直观的几何解释和分 析方法。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化 。
特殊复数的几何表示
▪ 正实数复数
1.正实数复数在复平面上对应于正实轴。 2.表示形式为a+0i，其中a是正实数。 3.正实数复数的运算规则与正实数相同。
▪ 负实数复数
1.负实数复数在复平面上对应于负实轴。 2.表示形式为a+0i，其中a是负实数。 3.负实数复数的运算规则与负实数相同。 以上内容仅供参考，具体表述可以根据您的需求进行调整优化。
复平面上的几何表示
模与幅角的几何意义
模与幅角的几何意义
▪ 模的几何意义
1.模表示复数到原点的距离，反映了复数在复平面上的位置。 2.通过模的计算，可以衡量两个复数之间的距离，进而分析复 数的性质和关系。 3.模的几何意义可以将复数运算转化为几何运算，提供直观的 几何解释。
▪ 幅角的几何意义
1.幅角表示复数与正实轴之间的夹角，反映了复数在复平面上 的方向。 2.通过幅角的计算，可以确定复数在复平面上的具体位置，进 而分析复数的变化趋势。 3.幅角的几何意义可以将复数的加减乘除运算转化为角度和长 度的几何运算，提供直观的几何解释。
▪ 乘法的性质
1.乘法的交换律：在复数乘法中，交换两个数的位置，其乘积 不变，即a*b=b*a。 2.乘法的结合律：在复数乘法中，改变括号的位置，其乘积不 变，即(a*b)*c=a*(b*c)。 3.乘法的分配律：在复数乘法中，乘法对加法和减法具有分配 律，即a*(b+c)=a*b+a*c。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整和优 化。
复变函数第一章2
简单闭曲线 C 的方向规定如下（左手法 则）：当观察者沿着 C 的某一方向前进时， C的 内部 I (C )总在观察者的左手边(即逆时针方向)， 则称此方向为 C 的正方向，此时另一个方向称 为 C 的负方向（即顺时针方向）.
图1.16（简单闭曲线的内部，外部和边界的方向的示意图）
（三）单连通区域与多连通区域 定义11 设 D 为平面上的区域，若对 D 内 任一条简单闭曲线 C ，总有 C 的内部 I (C ) 仍含 于 D ，则称 D 为单连通区域，否则称 D 为多连 通区域．
图1.17（单连通区域与多连通区域的示意图）
思考题: 请利用数学分析中的知识解释连续曲线和光滑 曲面的结论 定理1 （若当定理）任一条简单闭曲线 C 将 I (C) 、 E(C)三个点集，它们具 平面惟一地分成 C 、 有如下性质： （1）彼此不交； （2）I (C)是一个有界区域(称为 C 的内部)；
无穷远点与扩充复平面 定义1 我们约定复平面上有一个模为正无穷大，且其幅角 无意义的理想点，称为无穷远点， 其表示的理想复数称为 无穷大，均记为 ∞．复平面加上 ∞ 后称为扩充复平面(或扩 充复数集)，记为^ ∞ = ^ ∪ {∞}． 复数在球面上的 几何表示．
扩充复平面内的单连通区域的定义
在扩充复平面上，若 D为区域且满足对 D内任 一条简单闭曲线，总有其内部或者外部仍含 于 D ，则规定 D为扩充复平面上的单连通区域. 显然按此规定，任一条简单闭曲线的外部虽然 在复平面上是多连通的，但是在扩充的复平面 上是单连通的. 例7 易知，复平面 ^上简单闭曲线的内部 是单连通区域，而其外部在 ^ 中是多连通区 域，但在 ^ ∞中是仍是单连通的.
第一章,复数与复变函数
复数 设两个复数对应的向量分别为 相乘 的几 z1 z1 (cos Argz1 i sin Argz） 1 , 何意 z2 z2 (cos Argz2 i sin Argz） 2 义 先将z1按逆时针方向旋转角度 y z1 z2
Argz2
再将模变到原来的r2倍,于是
所得的向量z就表示乘积 z1 z2 .
M.Kline (《古今数学思想》(Mathematical
Thought from Ancient to Modern Times)的作 Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant 者,Morris 美国数学史家 ) 指出: 从技术观点来看 ,十 数学
Hale Waihona Puke 九世纪最独特的创造是单复变函数的理论 .这个 研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的 新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 失》等. 直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢
(3) 复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 2 2 i 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数域C
2、复平面
• 复数z=x+yi与二元有序数组（x,y）一一对应。
• 二元有序数组（x,y）与直角坐标平面上的点 P（x,y）一一对应。
因此 复数z=x+yi与直角坐标平 y 面上的点P(x,y)一一对应。
2 2 2
复数的积与商 的几何意义如何？
复数的乘积
设复数z1和z2的三角表示式为
z1 z1 (cos Argz1 i sin Argz） 1 , z2 z2 (cos Argz2 i sin Argz） 2
§2复平面的拓扑
一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。
（2）曲线的概念
设 x(t), y(t) (a t b)
都是 t 的连续函数，则由
z z(t) x(t) iy(t) (a t b)
(5.1)
确定的点集{z(t)|t[a,b]}称为一条连续曲线, 记
U (a, r)。 设已给集EC，可以把某些 C加以分
类。如果r>0,U(, r)E中有无穷个点，那么
称为集E的一个聚点或极限点；这时它可能属
于集E，也可能不属于集E. 如果r>0，使得U( r) E, 那么称为集E的内点；它显然属于集E， 并且是集E的聚点。如r>0,U(,r)E， U(,r)CE ，那么称为集E的边界点。集E 的全部边界点所组成的集,称为E的边界，记作
可以引进无穷远点是扩充复平面C上某一集E的
聚点、内点、边界点与孤立点的定义，以及这
个平面上开集与闭集的定义，在C上，闭集就 是紧集。
5 区域曲线
（1）区域 复平面C上具有下列性质的点集D称为区
域： (1) D是开集； (2) D中任意两个有限点，可以用完全属
于D内的有限条相衔接的线段所构成的折线连 结起来。
例如，考虑C上一条若尔当闭曲线C。如 果区域D由C外所有点、包括无穷远点组成，那 么D是单连通区域.如果D只由C外有限点组成， 那么它就是一个多连通区域。
例 1 集 z | (1 i)z (1 i)z 0
为一半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线
(1 i)z (1 i)z 0,即x y 0
z(t) 0 那么曲线(5.1)称为一条光滑曲线,
这时(5.1)的切线随着t连续变动。有限条光滑曲 线相衔接构成一条分段光滑曲线, 也记作(5.1)。 这时虽然Re z(t)及Im z(t) 在 [a,b]上连续，可是 它们在这闭区间上只是分段有连续的导数。
复变函数第一章
z1 x 1 + iy 1 z = = z2 x 2 + iy 2 x1 x 2 + y1 y 2 y1 x 2 − x1 y 2 = + i 2 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2
z n = z ⋅ z ⋅ z L z = γ n e ( in θ ) = γ n (cos n θ + i sin n θ )
棣莫弗（ De Moivre )公式： θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ (cos
4、根：（多值性） 、 ：（多值性） 多值性
定义： 的根， 定义：方程 w n = z的根，n 次根 w = n z 令：w = ρ (cos ϑ + i sin ϑ ) z = γ (cos θ + i sin θ )
i (θ 1 + θ 2 )
Arg ( z 1 z 2 ) = Argz 1 + Argz 2
定理一、乘积：模相乘；辐角相加。 定理一、乘积：模相乘；辐角相加。 辐角相加：两端可能取的值的全体是相同的。 辐角相加：两端可能取的值的全体是相同的。 2、商： 、
z 1 i (θ 1 −θ 2 ) z1 e = z2 z2
内点： 为复平面点集 为 中任一点 如果z的 为复平面点集， 中任一点， 内点： D为复平面点集，z为D中任一点， 如果 的一个 的所有点都属于D， 为 邻域存在使该邻域内 的所有点都属于 ，称z为 D的内点。 的内点。 的内点 边界点： 为区域 为区域， 不属于 不属于D，但在p任意小的邻域 边界点：D为区域，p不属于 ，但在 任意小的邻域 内总包含有D中的点，称p为D的边界点。 的边界点。 内总包含有 中的点， 中的点 为 的边界点
第一章_复数与复平面
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
复变函数起源简介
十六世纪中叶, 意大利卡尔丹( Cardan,1545) 在 解三次方程时, 首先产生了负数开平方的思想, 他把50 看作5+5i 与5-5i 的乘积, 然而这只不过 是一种纯形式的表示而已, 当时, 谁也说不上这 样表示究竟有什么好处。 为了使负数开平方有意义, 也就是要使上述这类 方程有解, 我们需要再一次扩大数系, 于是就引 进了虚数, 使实数域扩大到复数域。但最初, 由 于对复数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们 进行计算又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人 们把复数看作不能接受的“虚数”。
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
( 15 20) (15 20)i 7 1 i. 25 5 5
z1 7 1 i. 5 5 z2
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一 元n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而 在复数域内我们就可以定义负数的对数。
复平面的拓扑
边界 内区域 外区域
o
x
4. 区域
复平面上非空的连通开集称为区域。 区域加上它的边界称为闭区域。
在复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所围成 的内区域仍全在D内，则称D是单连通区域。 否则称为多连通区域。
D
D
单连通区域
多连通区域
在扩充复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所 围成的内区域或外区域(包括)仍全在D内，则称D 是单连通区域。否则称为多连通区域。
P
E
全部边界点所组成的点集称为E的边界，记作E.
称E E为E的闭包，记作E.
5. 开集与闭集
若E中每一点均为内点，则称E为开集.
若 －E是开集，则称E为闭集.
P
称E E为E的闭包, 记作E. E的闭包E为闭集.
E
6. 有界集、无界集、紧集与连通集
y
若存在K 0, 对于任意a E, 恒有 | a | K，则称E为有界集.
边界 z 1 z 1 1
2 2 2
[(r cos 1) r sin ] [(r cos 1) r sin ] 1 (r 2 2r cos 1)( r 2 2r cos 1) 1 (r 2 1)2 4(r cos )2 1 r 0 或 r 2 2 cos 2 , r 2 cos 2 是双叶玫瑰线(也称双纽线),
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为分段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
3. 简单曲线或若当曲线
设C : z z( t ) (a t b) 为一条连续曲线, z(a ) 与 z(b) 分别称为 C 的起点和终点.
对于满足 a t1 b, a t 2 b 的 t1 与 t 2 , 当 t1 t 2 而有 z ( t1 ) z ( t 2 ) 时, 点 z ( t1 ) 称为曲线 C 的重点.
第二节 复平面拓扑
{z | |z a | r , z C}
记为： U (a, r ).
集{z|0<|z-a|<r}称为去掉圆心的圆盘
6
4
2
r
5
或去心邻域。
-10
-5
-2
复变函数
聚点、内点、边界点 设集E C, C.
如果r 0, 在点集 U ( , r ) E中有无穷多个点，
则称α为E的一个聚点或极限点；
注解
1、聚点可能属于集E，也可能不属于集E； 2、可能内点属于集E，且是集E的聚点；
3、边界点不一定属于集E，也不一定是E的聚点； 4、孤立点是边界点但不是聚点.
复变函数 开集 集E中的点全部为内点，那么集合E 称为开集。 闭集 集E或者没有聚点，或者所有聚点都属于它； 称闭集。 注 任何集合的闭包一定是闭集.
{| z | 2}
而集合
{z | 2 | z | }
为多连通的无界区域， 其边界分别为：
{| z | 2} {}
复变函数
作业：P14 14 （3）（5）（9）
此曲线为一条光滑曲线。 有限条光滑曲线相衔接构成的一条曲线， 称为分段光滑曲线。
注解 一般把光滑曲线或分段光滑曲线简称曲线。
（5）单连通区域
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线 所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;
复变函数 否则称D是多（复）连通区域。
单连通区域
多连通区域
2. 区域、曲线 (1) 区域
复平面C上的集合D，如果满足： （1）D是开集； （2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成
复变函数
的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。
复变函数笔记
Uα ，我们就称Uα 是K 的一个开覆盖，简称覆盖。
有时候，大量的覆盖有些浪费，我们可以精简一些，试图用少一点的面积去覆盖一个东西，引出子 覆盖： 子 覆 盖(subcover)： 在 覆 盖Uα 中 挑 选 一个 指 标 集A = α1 , α2 , . . . , αn ， 使 得K ⊂ 称UA 是K 的一个子覆盖。如果A是有限的，称为有限子覆盖。 紧集（compact set） ：如果集合K 的任意一个开覆盖都存在有限的子覆盖，那么K 是紧集。也就是 说，如果找到一个覆盖，这个覆盖没有有限的子覆盖，那么这个集合肯定不是紧集。
• 紧集（compact set） 我们有一个Bolzano-Weierstrass定理：有界的序列必存在一个子序列，这个 子序列收敛。这个定理对于C如何改进呢？我们先定义覆盖的概念： 覆盖(open cover)： 有一些 （可以是无限个） 开集Uα , α = 1, 2, 3 . . . ， 如果一个集合K 满足K ⊂
复数运算习题
1. 证明：|Re(z )| ≤ |z |, |Im(z )| ≤ |z |. 2. 证明三角不等式 ||z | − |z || ≤ |z + z | ≤ |z | + |z |. 提示：使用上题结论。 3. 证明Lagrange恒等式：
n 2 n n n
z k wk
k=1
=
k=1
zk
2 k=1
1 练习：说明点集E = {iy | |y | ≤ 1} ∪ {x + isin x | 0 < x ≤ 1}是连通但不道路连通的
注意：
Solution: 这就是表情“吓得我都震荡了”的那个图。只不过这里补充定义了x = 0时，取y 轴的一段 作为点集的一部分。 显然我们无法用两个不相交的开集把这个图分为两部分， 所以E 是连通的。 但
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是一个垂直带形， 是一个单连通的无界区域， 其边界为二直线 Re z x 2,
Re z x 3.
例10 集合{z： 2 arg( z i) 3},
是一个以i为顶点的角形。
由于
1 设 E : : n 1, 2,3, 例6 . n
则E中每一点均为孤立点； E没有内点； E仅有一个聚点0 E； E不是开集，也不是闭集； E是非连通的有界集； E的闭包和边界均为E {0}.
例7
设E : {z x iy : x, y均为有理数}.
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为分段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
3. 简单曲线或若当曲线
设C : z z( t ) (a t b) 为一条连续曲线, z(a ) 与 z(b) 分别称为 C 的起点和终点.
对于满足 a t1 b, a t 2 b 的 t1 与 t 2 , 当 t1 t 2 而有 z ( t1 ) z ( t 2 ) 时, 点 z ( t1 ) 称为曲线 C 的重点.
(4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部 ,
有界的单连通域.
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
2 2 2
2
2 3,
这个角形在第二象限；
是一个单连通的无界区域，
其边界为两条半直线 arg( z i) 2,arg( z i) 3, 和一个顶点{i}。
例11 集合{z : 2 | z i | 3},
是一个圆环； 是一个多连通的有界区域，
i
其边界圆周 |z i | 2, |z i | 3.
说明 1. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的 点所组成的. C
2 2
z
C3 3
C1 1
例8 集合{z： (1 i) z (1 i ) z 0} {z x iy：x y 0}
是一个半平面， 是一个单连通的无界区域，
y
o
x
其边界为直线(1 i) z (1 i) z＝2( x y) 0
例4
复平面上非空的连通开集称为区域。
边界
以上基 本概念 的图示
区域
z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
例5
设E : U (a; r ).
则E中每一点都是聚点，没有孤立点；
E中每一点都是内点； E是连通集； E是有界集；
E的闭包是U (a; r )； E的边界是{| z a | r}.
o
y
x
例1
{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
否则称E为无界集.
例2
{( x , y ) | x y 0}
o
x
复平面上有界闭集称为紧集.
y
例3
{( x , y ) | 1 x y 4}
2 2
o
x
若E中任意两点，恒可用E中的有限条线段 连接起来，则称E为连通集.
r
a
称由不等式 0 z a r 所确定的点的 集合 z : 0 z a r 为 a 的去心邻域, 记作U (a; r )
r
a
称 z ; z a r 为无穷远点的一个邻域。
2. 聚点与孤立点
设集合E .若对任意r (0, ), U (a; r ) E中恒有 无穷多个点，则称a为集合E的一个聚点或极限点.
2. 光滑曲线
设 x(t ) 和 y (t ) 闭区间[ a, b]上具有连续的导函数 x(t ) 和 y(t ) , 并且对t [ a, b] , [ x(t )]2 [ y (t )]2 0 (或z ' (t ) x(t ) iy(t ) 0) ,则称 z x(t ) iy (t ) (a t b), 是 上的一条光滑曲线.
边界 z 1 z 1 1
2 2 2
[(r cos 1) r sin ] [(r cos 1) r siห้องสมุดไป่ตู้ ] 1 (r 2 2r cos 1)( r 2 2r cos 1) 1 (r 2 1)2 4(r cos )2 1 r 0 或 r 2 2 cos 2 , r 2 cos 2 是双叶玫瑰线(也称双纽线),
o
例12 在 上，集合{z : 2 | z | },
是一个单连通的无界区域，
其边界是圆周 {z :| z | 2}.
集合{z : 2 | z | },
是一个多连通的无界区域，
其边界是{z :| z | 2} {}.
例13 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. 1 2 (1) Re( z ) 1; ( 2) arg z ; ( 3) 3; 3 z (4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1. 解 (1) 当 z x iy 时,
若a E, 但a不是E的聚点，即存在 0， 使得U (a; r ) E＝ {a}, 则称a为E的孤立点。
3. 内点
若存在r 0, 使U (a; r ) E， 则称a为集合E的一个内点.
a
E
4. 边界与闭包
若对任意r 0, 使E U (a; r ) ， 并且( E ) U (a; r ) , 则称a为E的一个边界点。
则E中没有内点，没有孤立点； 中每一点均为E的聚点；
E不是开集，也不是闭集； E是非连通的无界集； E的闭包和边界均为复平面 .
二、若当(Jordan)曲线
1. 连续曲线
设 x(t ) 和 y(t ) 闭区间[a, b]上的连续函数, z x(t ) iy(t ) (a t b), 是 上的一条连续曲线. 称
Re( z ) x y ,
2 2 2
Re( z 2 ) 1 x 2 y 2 1,
无界的单连通域(如图).
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部, 无界的单连通域.
第二节 复平面的拓扑
• 一、初步概念 • 二、若当曲线
一、初步概念
1. 邻域
设a , r (0, ), 则称圆盘
z : z a r为a的一个邻域，
或a的一个r 邻域，记作U (a; r ).
r
a
称 z : z a r以a为中心， r为半径的闭圆盘，记作U (a; r ).
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若当 曲线).
如果简单曲线(若当曲线) C 的起点和终点重合, 即 z(a) z(b) , 那末称 C 为简单(若当)闭曲线.
若当定理 任何一条若当闭曲线把复平面分成两个 没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个
无界的称为外区域。这两个区域以若当闭曲线为边界。
2
z 1 z 1 1是其内部,
有界的单连通域.
P
E
全部边界点所组成的点集称为E的边界，记作E.
称E E为E的闭包，记作E.
5. 开集与闭集
若E中每一点均为内点，则称E为开集.
若 －E是开集，则称E为闭集.
P
称E E为E的闭包, 记作E. E的闭包E为闭集.
E
6. 有界集、无界集、紧集与连通集
y
若存在K 0, 对于任意a E, 恒有 | a | K，则称E为有界集.
y
边界 内区域 外区域
o
x
4. 区域
复平面上非空的连通开集称为区域。 区域加上它的边界称为闭区域。
在复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所围成 的内区域仍全在D内，则称D是单连通区域。 否则称为多连通区域。
D
D
单连通区域
多连通区域
在扩充复平面上，若区域D内任意简单闭曲线所 围成的内区域或外区域(包括)仍全在D内，则称D 是单连通区域。否则称为多连通区域。