【经典】建模-组合优化模型-排序
【经典】建模-组合优化模型-VRP
3、增加了一个多样化机制
2.3 程序分析
2.3.1 初始解的获得 （三个步骤） （1）随机生成一个路径
（2）用2-opt方法进行改进
（3）形成一个cost network，然 后运用Dijkstra’s方法
2.3.2 变邻域结构（六种）
（1）1-1interchange （swap） （2）2-0shift（两种）
（3）21interchange （4）新的扰乱机制（两种）
2.3.3 局部搜索（六种）
（1）1 inseration（intra和inter） （2）2 inseration（intra） （3） 2-opt（intra和inter） （4）swap（intra）
2.3.4 DIgorithm 算法在这里的具体的运用
（1）生成初始解时的运用
（2）变邻域均搜索完后，最后的最优解， 生成cost network，然后再运用D算法
2.3.5多样化机制
形成cost network的方法不一 样
不同车队路径问题中变邻域搜索的应用
一、VRP问题的简单介 绍
二、VNS方法主要步骤的详细介绍
一、
非需求 边，c(v)
需求边u，需求量为 q(u)
￣＿
＿
＿
▲ 垃圾站（depot）
收垃圾模型示意图
问题最终目标：车队经过所有需求点后回到垃圾站，使其成本最低
二、VNS的详细介绍
2.1 流程图
2.2 VNS方法的改进
04章组合优化模型
04章组合优化模型组合优化模型是指在给定一组有限资源的情况下，通过选择和组合这些资源，以达到其中一种目标的问题。
这一类模型广泛应用于供应链管理、制造业生产优化和物流网络设计等领域。
本文将介绍几种常见的组合优化模型，并分析其应用。
一、背包问题背包问题是最基本的组合优化问题之一、背包问题可以描述为在给定一组物品和一个固定容量的背包的情况下，如何选择物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以有多种变形，如01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
例如，假设有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
目标是在背包容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以通过动态规划算法求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些放入容量为j的背包中所能达到的最大总价值。
背包问题的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)二、旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，也是一个NP-hard问题。
旅行商问题可以描述为在给定一组城市和每对城市之间的距离，如何找到一条最短的路径，使得每个城市只访问一次，并且最终回到起始城市。
旅行商问题可以通过深度优先、分支定界算法和遗传算法等方法求解。
尽管求解旅行商问题的确切解决方案是困难的，但通过使用近似算法和启发式算法，可以在合理的时间内得到较好的解。
三、作业调度问题作业调度问题是指在给定一组作业和一组机器的情况下，如何安排作业在机器上执行，以最大程度地减少完成所有作业的总时间。
作业调度问题可以通过贪心算法和动态规划算法求解。
贪心算法可以按照一些优先级规则对作业进行排序，并依次将作业分配给空闲的机器，直到所有作业都被分配完为止。
动态规划算法可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个作业在j个机器上执行的最小总时间。
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究
组合优化问题中的模型建立与求解方法研究随着人工智能技术的不断发展，组合优化问题的建模和求解方法逐渐成为了研究热点。
组合优化问题是指在一定约束条件下，从有限的可选项中选择出最优的组合方案，如工程规划、物流配送、投资组合等问题。
本文将探讨建立组合优化模型及其求解方法的研究进展。
一、组合优化模型建立1. 线性模型线性规划模型是组合优化中最基本的模型之一，通过构造一系列线性约束条件和目标函数，求解出满足约束条件的最大（小）值。
例如，在投资组合问题中，可以将每一项投资的收益和风险以及各项的投资比例表示成线性函数，求解出使预期收益率最大，规避风险风险最小的投资组合。
2. 非线性模型非线性模型相对于线性模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
例如，在旅行商问题中，需要寻找一条路径，使得经过的所有城市只访问一次，并且总路径最短。
这个问题无法用线性模型表示，需要采用非线性优化算法进行求解。
3. 混合整数规划模型在实际问题中，很多变量只能取整数值，而且该问题本身又是一个优化问题，因此需要采用混合整数规划（MIP）模型进行求解。
例如，在运输问题中，货物只能在整数数量上进行运输，此时需要构建MIP模型进行求解。
二、组合优化求解方法研究1. 线性规划法线性规划法是最基本的数学规划方法之一。
该方法通过求解线性规划模型的最优解，来得到组合优化问题的最优解。
线性规划法求解过程中，需要对线性规划模型进行求解，通过单纯形法等算法对模型进行求解，得到最优解。
然而，该方法在遇到非线性模型或超大规模问题时，效率会急剧下降。
2. 分支定界法分支定界法是解决混合整数规划问题的一种有效方法。
这种方法将原问题分解为一系列子问题，并将子问题的可行空间一步步缩小，最终得到最优解。
该方法特别适用于规模较小、分支量少的混合整数规划问题。
3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，具有较好的全局搜索能力和适应性。
该算法模拟遗传和自然选择机制，通过不断选择优秀的个体和产生新的个体，最终寻找到问题的最优解。
【经典】建模-组合优化模型-组合优化
造访的节点 3. 寻找距离节点y最近的节点z作为下一个
造访的节点 4. 重复以上步骤，直到所有节点均已造访 5. 连接最后一个节点与起点，即形成一个
TSP的可行解
14
最近邻点法
5 2
4
3
5
1
7
8
3
7
12345
4
1 －4 7 3 8
1
旅行推销员问题
Traveling Salesman Problem
2
哈密尔顿循环(Hamiltonian Cycle)
环游世界问题:
有个人想环游世界，他选出全世界的二十个著名城世,然后在地 图上开始他的作业。他打算规画出一条路线,使他可以依序地玩遍这 二十个城市。但问题是并不是任两个城市皆有飞机直航,而他又不愿 重复去同一个城市两次。这个问题转化为图论上便是所谓的哈密尔 顿循环(Hamilton Cycle)，于1857年爱尔兰数学家哈密尔顿(Sir William Hamilton)首次提出。 哈密尔顿循环(Hamilton Cycle)不一定存在
路线构建(route construction)
• 邻点法、节省法、插入法、扫瞄法….
路线改善(route improvement) 局部搜索算法 （local search）
• k-Opt交换法、Or-Opt交换法……
综合型(composite)
• 合并执行路线构建及路线改善
13
最近邻点法(Nearest-neighbor Heuristic)
18
2-opt交换法
5 2
4
4
3
5
1
数学建模四大模型总结
数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于难问题。
l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。
工人完成工作的时间为。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
组合优化问题的模型设计与算法求解
组合优化问题的模型设计与算法求解组合优化问题是在有限集合的所有子集中寻找最优解的问题，这些问题包括诸如最大割、最小哈密顿路径、匹配问题和指派问题等。
这些问题对于解决实际问题具有重要意义，因此组合优化问题的模型设计和算法求解是非常关键的研究方向。
组合优化问题的建模组合优化问题需要建立数学模型，才能进行算法设计与求解。
通常情况下，组合优化问题的模型可通过建立某些集合之间的关系来描述。
例如，针对最小割问题，我们可以通过建立割的概念，把问题转化为寻找两个点集之间的最小割。
一般情况下，组合优化问题需要遵守以下三个基本规则：1. 组合问题必须基于离散数据结构，如图形、网络、排列、集合等。
2. 贪心、动态规划、分支界限等算法可用来解决一些特殊的组合优化问题。
3. 对于一些难以求解的问题，需要寻找最优解的近似算法，其误差范围可在算法设计过程中控制。
组合优化问题的算法求解通常情况下，组合优化问题的建模过程经常是模棱两可的。
这时，我们需要寻找相应的算法，对建模的问题进行求解。
目前，大多数组合优化问题没有通用的求解方法，因此需要针对特定问题进行算法设计。
1. 枚举法枚举法是组合优化问题求解的最基本方法之一。
枚举法主要是通过遍历所有可能的解来寻找最优解。
但是，因为组合数目的爆炸性增长，枚举法不适用于解决具有大规模数据的问题。
通常情况下，枚举法只能够解决较小规模的问题。
2. 分支界限法分支界限法是通过逐步将解空间分解为较小的子空间，从而避免枚举整个解空间。
通过提前剪枝和减少搜索空间的方法，我们可以有效地减少计算量。
但是，对于某些问题而言，分支界限法同样存在着计算复杂度爆炸的问题。
因此，分支界限法同样只适用于中等规模的问题。
3. 近似算法对于一些实际的组合优化问题，我们常常需要求解最优解，但是这些问题的求解非常复杂。
针对这些问题，我们可以采用近似算法，其求解速度要快于精确算法，但是其结果并不保证是最优解。
例如，常用于解决图形分裂问题的 Kernighan-Lin 算法，就是一种近似算法。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
【经典】建模-组合优化模型-排序问题
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
5
6
8
+2
+2
-5
9
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
组合优化问题建模与算法研究
组合优化问题建模与算法研究随着信息技术和数学领域的不断发展，组合优化问题建模与算法研究已经成为了越来越受关注的研究领域。
组合优化指的是在离散变量集合上选取组合，以满足某些优化目标的问题。
这类问题广泛存在于各种领域，例如交通规划、网络优化、生产调度、组合测试等。
在实际应用中，往往需要将问题转化为数学模型，以便于通过数学方法求解。
本文将重点介绍组合优化问题的建模方法和求解算法，以帮助读者更好地理解和实践组合优化问题。
一、组合优化问题建模组合优化问题本质上是一种跨学科、跨领域的问题，需要对问题的实际背景和应用需求有深入的了解。
在建模过程中，需要分析问题的约束条件和目标函数，以选择合适的数学模型来描述问题。
1. 约束条件在组合优化问题中，约束条件是指在选取组合时需要遵守的限制条件，例如资源约束、时间约束、容量约束等。
在实际应用中，往往需要针对不同的问题给出相应的约束条件。
例如，在货车调度中，每辆货车的装载容量和时间窗口都是需要满足的约束条件。
2. 目标函数目标函数是组合优化问题中的核心概念，它描述了需要优化的目标。
目标函数可以是一个或多个变量的函数，例如最大化利润、最小化成本、最大化利润与最小化成本的综合作用等。
在实际应用中，目标函数的具体形式也需要根据具体问题进行确定。
3. 模型选择模型选择是组合优化问题建模的重要环节。
不同的组合优化问题可能需要采用不同的数学模型。
例如，旅行商问题（TSP）需要采用图论模型，背包问题需要采用动态规划模型。
在选择模型时，需要考虑问题的特点和模型的适用性，以找到最合适的模型。
二、求解算法研究对于组合优化问题的求解，主要有两个方向：精确算法和启发式算法。
精确算法能够给出原问题的最优解，但往往计算成本较高，适用于小规模问题。
启发式算法则是采用一些启发式策略，寻找近似最优解，但计算时间相对较短，适用于大规模问题。
1. 精确算法精确算法主要包括动态规划、分枝界限法、整数线性规划等方法。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
组合优化问题的模型与算法分析
组合优化问题的模型与算法分析一、前言组合优化问题是一类重要的优化问题，普遍存在于工业、经济、军事等许多领域中。
它主要研究如何在给定约束条件下，寻找最优解来优化某些目标函数。
本文将从组合优化问题的定义入手，详细介绍组合优化问题的模型和算法分析。
二、组合优化问题的定义组合优化问题是指在一组离散元素中，选择一定数量的元素，并对其进行某种约束条件的限制，从而达到最优化某些目标函数的目的。
组合优化问题常见的例子包括背包问题、旅行商问题、集合覆盖问题等等。
三、组合优化问题的建模建模是解决组合优化问题的关键步骤之一，良好的模型设计能够有效提高算法的求解效率。
在组合优化问题中，模型设计可以从以下几方面入手：（1）目标函数：组合优化问题通常需要在一定的约束条件下，使得目标函数最优化。
在模型设计中，需要充分考虑目标函数的限制条件，选择合适的目标函数来进行描述。
（2）约束条件：组合优化问题的约束条件通常包括线性和非线性约束条件等等。
在模型设计中，需要综合考虑不同的约束条件来进行统一描述。
（3）变量设置：组合优化问题中变量设置的合理性对算法求解效率也有很大影响。
在模型设计中，需要尽可能减少变量数目，降低问题维度，从而有效提高算法求解效率。
四、组合优化问题的算法分析组合优化问题的构造是很难直接求解，需要设计专门的算法进行求解。
下面将介绍几种常见的组合优化问题算法：（1）贪心算法：贪心算法是一种自底向上的算法，通过每次选择当前最优解来逐步构建最终解。
这种算法的优点是简单易行，但缺点是不能保证全局最优解。
（2）回溯算法：回溯算法是一种自顶向下的算法，通过多次递归遍历整个搜索空间，寻找所有可能的解。
这种算法的优点是能够找到所有解，但缺点是复杂度非常高，需要考虑合适的剪枝策略来优化效率。
（3）分支限界算法：分枝限界算法是一种基于回溯算法的改进算法，它通过限制搜索空间，减少搜索的分支数，提高算法效率。
这种算法的优点是能够保证找到全局最优解，但缺点是需要考虑合适的限界策略来保证算法效率。
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模案例工件的安装与排序
工件的安装与排序问题王晓楠，崔超，陈涛（中国矿业大学，徐州221008）摘要：本文首先深入分析了组合优化的特点，然后针对本题中设备对工件排血安装时的重量约束和体积约束的特点，就题目中提出几个问题分别设计了不同的算法，通过不同的算法的优劣的比较，不仅较好的解决了工件的排序安装问题，还得出了问题中算法设计的一些根据。
在问题1中，我们引入了贪心策略和自适应方法对搜索算法进行改进，大大减小了搜索的规模得到了一种效率和性能都不错的搜索算法，另外还针对数据的特点给出了一种操作简便的简化算法，通过两种算法的比较得出了一些有用的算法设计结论。
在问题1的算法设计过程中我们还适当的引入了一些理论证明，使算法更加有说服力，最终通过MATLAB软件得出了令人满意的结果，有力的证明了算法的可行性。
在问题2中将问题1的算法进行综合，然后分别从不同的出发点提出了两种算法，一种是适用性较强但不易实现的解析算法，另一种针对数据特点的较简便的针对性算法，并比较了两种算法各自的适应性，简便的求出了第二组数据的排序结果，并得出第一组数据无解的结论。
问题3根据前面的结论，如果只考虑重量，分析了两种相临扇区总重量差最大的情况，通过数学分析得出工件调整幅度，如果还要考虑体积因素，通过对工件的贪心选择，不断修正工件重量和体积，筛选出满足条件的工件组合。
我们在论文的最后还给出了模型的评价和推广。
一问题重述某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。
Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如33cm）；Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。
问题1．按重量排序算法；问题2．按重量和体积排序算法；问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
组合优化问题的图论模型及算法研究
组合优化问题的图论模型及算法研究组合优化问题是一类重要的数学问题，涉及到计算机科学、运筹学、统计学、图论等多个领域。
组合优化问题的特点是问题规模大、时间复杂度高，因此寻求高效的算法成为解决该类问题的重要手段。
本文将围绕组合优化问题的图论模型及算法展开探讨。
一、组合优化问题的图论模型图论是组合优化问题建模的重要工具。
组合优化问题一般可以转化为图论问题。
例如，求解一个集合覆盖问题可以转化为一个有向图中的最小路径问题，求解一个最大流问题可以转化为一个有向图中的最大路径问题。
以下将介绍两类常见的组合优化问题及其图论模型。
1.最小割问题最小割问题是求解图中分割成两部分的最小权和的边集的问题。
在图论中，最小割问题可以转化为最大流问题。
首先，将图中的每个点分为两类，一个为源点集合，一个为汇点集合，如下图所示：[图1]接下来，我们需要找出源点集合和汇点集合之间的最小割，也就是最小的边权和。
最小割算法的思路是不断增加割集合的边权，直到源点和汇点间的割为最小。
2.旅行商问题旅行商问题是指在一个完全图中，求解一条经过所有节点的路径，使得路径长度最小。
使用图论模型求解旅行商问题可以将其转化为一个精确覆盖问题。
即对于所有的点和边，选中一些点和边，满足以下条件：1.每个点必须且只能被选择一次。
2.每条边恰好连接两个选中的点。
3.选择的点和边的数量最小。
如下图所示：[图2]二、组合优化问题的算法研究1.贪心算法贪心算法是一种常见的组合优化问题求解方法。
贪心算法通过局部最优做法来构建最终解，通常得到的并不是最优解，但是可以得到较优近似解。
贪心算法具有高效性、易于理解等优点，但是由于贪心算法是自顶向下构造解决方案的，所以它并不能消除由于先前选择的决策引起的后果，因此在某些场景下，贪心算法并不是最优解或者无法得到较优近似解。
2.综合性算法综合性算法包括回溯法、分支定界法、车型搜索等，这类算法通过对解空间的搜索，不断剪枝和回溯，得出合适的解决方案。
【经典】建模-组合优化模型-Job shop
设备M={M1，M2，
M3}，3个工件J={J1,J2，J3}其加工工序要
求和加工时间p如下表:
job1 M1，p1=10 job2 M2，p4=5 job3 M3，p7=8
M2，p2=5 M1，p5=3 M2，p8=10
M3，p3=8 M3，p6=15 M3，p9=8
• Time-lags是指同一工件的相邻工序间隔时间 的限制，分为最大和最小，通常分别表示为 tmin和tmax
算法的实现
• 基本Memetic算法的流程可以描述如下， • ( 1 ) 初始解生成，这里可以采用一些构造性启
发策略，并对初始种群进行局部优化。 • ( 2 ) 随机选择种群中的个体进行交叉，并对所
生成子个体进行局部优化。 • ( 3 ) 随机对种群中的个体进行变异，并对生成
个体进行局部优化。 • ( 4 ) 对种群进行更新。 • ( 5 ) 判断结束条件 ， 如不满足则返回第( 2 )
job1
t min
1
0; t1max
1
t min 2
1;t2max
12
job2
t min 4
0;
t
m 2
ax
2
t
m 5
in
1; t5max
10
job3
t min 7
0;
t
m 7
ax
4
t min 80; t8max 10 Nhomakorabea•
谢谢
A memetic algorithm for the job-shop
报告人：吕胜雪
主要内容
• 1 memetic algorithm • 2job-shop简单介绍 • 3实例
数学建模优化模型
数学建模优化模型数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
优化模型是数学建模中的一种重要类别，主要用于解决如何最大化或最小化目标函数的问题。
优化问题在日常生活和工业生产中非常常见，例如最佳路径规划、资源分配、流程优化等。
通过数学建模和优化模型，可以帮助我们在有限的时间、空间和资源下，找到最优的解决方案。
1.确定问题：首先，我们需要准确地确定问题，包括目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化或最小化的指标，约束条件是问题的限制条件。
2.建立数学模型：根据实际问题的特点，我们选择合适的数学模型来描述问题。
常见的数学模型包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
3.设计算法：根据数学模型，我们设计相应的算法来求解问题。
常见的优化算法包括单纯形法、分支定界法、遗传算法等。
4.求解模型：使用所选的算法，对数学模型进行求解。
这个过程涉及到数值计算和计算机程序的编写。
5.模型验证：对求解结果进行验证，确保结果符合实际问题的要求。
这可以通过计算误差、灵敏度分析等方法来实现。
6.结果分析和优化：对求解结果进行分析，比较不同算法的效果，并进行优化改进。
这可以帮助我们更好地理解问题，并提供更好的解决方案。
除了以上基本步骤外，数学建模优化模型还需要注意以下几个问题：1.模型的准确性：数学模型必须准确地反映实际问题的本质。
因此，我们需要对实际问题进行充分的了解，并进行有效的数据收集和分析。
2.算法的选择：不同的优化问题可能需要不同的优化算法。
因此，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
3.算法的效率和鲁棒性：在实际求解过程中，算法的效率和鲁棒性也是非常重要的。
我们需要选择高效的算法，并对算法进行充分的测试和验证。
数学建模优化模型在实践中具有广泛的应用，可以用于解决很多实际问题。
例如，在物流领域中，我们可以利用优化模型来确定最佳路线、最佳车辆配送方案等，以最大化效率和减少成本。
在制造业领域中，我们可以使用优化模型来优化生产流程、资源调度等，以提高生产效率和降低生产成本。
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分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
排序问题
排序问题
排序问题指n 种零件经过不同设备加工时 的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。
分类：
单台机器的排序问题
单件作业（Job-shop）排序问题： 工件的加工路线不同
多台机器的排序问题
流水作业（Flow-shop）排序问题： 所有工件的加工路线完全相同
n × 2 排序问题
即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何 安排？
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
问题：
如何用动态规划方法来研究同 顺序两台机床加工N个工件的 排序问题？
动态规划求解
最优排序方案：尽量减少在B上等待加工的 时间，使总加工时间最短。
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
n × 1 排序问题
即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？
例一、
零件代号
j1
加工时间（t） 3
动态规划中能 处理的状态转移 方程的形式。
动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要 做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互 联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及 定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组 同类型子问题的求解中， 均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进 行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问 题的最优解。
f（X,t,i,j）
状态转移： (X,t) (X/i,zi(t))
A
ai
工件i
当t≤ai时 B
当t≥ai时
t
工件i-1
t
工件i-1
bi
bi t-ai+bi
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
f ( X , t) 随t单调增加，所以当Zij（t）≤ Zji（t） f ( X , t，i, j) f ( X , t, j, i) 成立
工件i放在工件j前面的条件：
max( bi bj aj,bj) max( bi bj ai,bi) min( ai,bj) min( aj,bi)
• 能用动态规划方法求解的多阶段决策过程 是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无 后效性的多阶段决策过程。
如果状态变量不能满足无后效性的要求，应适当地改
变状态的定义或规定方法。
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方
程如下
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 ) sk 1 Tk ( sk , uk )
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
阶段：n个 状态变量：（X,t）
X: 在机床A上等待加工的按取定顺序排列的 工件集合。
t: 在A上加工完x的时刻算起到B上加工完x 所需的时间。
指标最优值函数：
f（X,t）:由状态（X,t）出发，对未加工的 工件采取最优加工顺序后，将
X中
所有工件加工完所需时间。
f（X,t,i）:由状态（X,t）出发，在A上加工 工件i,然后再对未加工工件采取最优加工顺 序后，将X中所有工件加工完所需时间。
例题：
设备 零件 j1
j2 j3
j4
j5
A
6 8735
B
3 2594
工件的加工工时矩阵为：M=
6 3
8 2
7 5
3 9
5 4
根据最优排序规则,最优加工顺序为： j4，j3，j5，j1，j2
A
B T
加工周期 T = 3+7+5+6+8+2 = 31 即 tAi tB小
加工顺序图如下：
A
3
B
7
5
6
8
+2
+2
-5
9
5
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
最优排序规则：
a1 a2 … an 建立工时矩阵 M= b1 b2 … bn 在工时矩阵M中找出最小元素（若不止一个
可任选其一），若它在上行，则相应的工件 排在最前位置；若它在下行，则相应的工件 排在最后位置。 将排定位置的工件所对应的列从M中划去， 然后对余下的工件再进行排序。如此进行下 去，直到把所有工件都排完为止。
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)