-正弦定理和余弦定理高考题

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考点16 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则

2sin cos cos A A B +=（ ）

(A)-

12 (B)1

2

(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.

由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =

所以222

sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．

二、填空题

2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o

，并且三边长构成公差为4的等差数列，

则ABC ∆的面积为_______________.

【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.

【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么

所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102

1

=⨯⨯⨯=

∆ ABC S 【答案】153

3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，

∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，

ABD ∆然后在中，由正弦定理解得AD.

【精讲精析】在ABC ∆中，由余弦定理易得

2223

cos 22223

AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯30,30.C B ABD ∴∠=︒∴∠=︒∆在中，

, 2.

1sin sin 22AD AB AD AD B ADB =∴∴=∠由正弦定理得： 24.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】3求得AC ，然后再用余弦定理求得AB . 【精讲精析】在ABC ∆中，由面积公式得11

sin 2sin 6022

S BC CA C AC =

⋅⋅=⨯⋅⋅︒ 3

3,2,AC AC =再由余弦定理，得： 222221

+2cos 2222242

AB BC AC AC BC C -⋅⋅=+-⨯⨯⨯

=＝，2AB ∴=. 【答案】2

5.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） 在

ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .

【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC +，统一角变量，然后求最大值. 【精讲精析】 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得

3

2,sin sin sin 3a c AC

A C B

====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C +

314(

sin )4sin 232C C C C +=+7+)C ϕ=(其中3tan )ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为7.

【答案】76.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1

sin 2

ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积. 【精讲精析】设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理

2222cos b a c ac B =+-，得21

492525()2

a a =+-⨯⨯-，

解得3a =，11

sin 35sin12022

ABC S ac B ∆∴=

=⨯⨯⨯︒153= 【答案】

153

4

7.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24

b B A π

=∠=

=，

则sin A = ；a = . 【思路点拨】先利用切化弦和平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】

22

sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22

A A A A A =∴=

∴+= 25(0,),sin 5A A π∈∴=

又.252

=，所以10a =25

2108.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】由正弦定理得，

1232

a =，所以523a =. 【答案】

52

3

三、解答题

2.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长，3，212cos()0B C ++=，求cosB.

【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.

【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得

,2

3

sin ,21cos ,0cos 21===-A A A

再由正弦定理得，.2

2sin sin ==

a A

b B