抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线(高中知识有关) 九上P54、活动2 (新书) 一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55;理科选修(1-1) 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点 F 和一条定直线 物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线 L 叫做抛物线的准线. P56-59 L 的距离相等的点的轨迹叫做抛 2 公式：抛物线y = ax bx c 的 隹

八、、 b 2a

4ac - b 2

1

)

4a 2

4ac —b -1 y 二 4a 二、试题: 1、 (2010 黄冈市，25, 15 分)已知抛物线 过原点o . 过抛物线上一点 P( x , y)向直线 2 二 ax bx c(a = 0)顶点为 5 y 作垂线，

4 C ( 1,1)

连FM (如图). 垂足为M , (1)求字母a , b , c 的值; 3

F(1,—

)，求以 4 腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△ 形； (2)在直线x = 1上有一点 PM 为底边的等 PFM 为正三角 (3)对抛物线上任意一点 P ，是否总存在一点 N (1, t ), 使PM = PN 恒成立，若存在请求岀 t 值，若不存在请说明理 由. 2、 2012年山东潍坊市 24.(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2, 三点，过坐标原点 0的直线y=kx 与抛物线交于 M 、N 两点•分 别过点C,D(0 , - 2)作平行于x 轴的直线l 「J . (1) 求抛物线对应二次函数的解析式； (2) 求证以ON 为直径的圆与直线 h 相切； ⑶求线段MN 的长佣k 表示)，并证明M 、N 两点到直线l 的距离之和等于线段 MN 的长. 3、 湖北省黄冈市2011年中考数学试卷 24、如图所示，过点 F ( 0 , 1 )的直线 y=kx+b 与抛物线 0)、C(0, - 1)

1

y

工

i J

C

D

0)、B(2, 交于 M (x 1, y 1)和 N (x 2, y 2)两点(其中 x 1< 0, X 2> 0). (1) 求b 的值.

(2) 求 X 1?x 2 的

（3） 分别过M , N 作直线丨： 并证明你的结论. （4） 对于过点F 的任意直

线 切•如果有，请求出这条直线 y= - 1的垂线，垂足分别是 M 1和判断△ M 1FN 1的形状, MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 的解析式；如果没有，请说明理由. m 与以MN 为直径的圆相 4、2010年南通市中考试题 （五中月考）

28.（本小题满分14分） 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 A （- 4， 3）、B （2，0） 两点，当x=3和x=- 3时，这条抛物线上对应点的纵坐 标相等.经过点 C （ 0，- 2）的直线I 与x 轴平行，0为 坐标原点. （1） （2） （2010年南通市） (3) 求直线AB 和这条抛物线的解析式； 以A 为圆心，A0为半径的圆记为O A ,判断直线丨 与O A 的位置关系，并说明理由；

设直线AB 上的点D 的横坐标为一1，P （m ，n ）是 抛物线y = ax 2 + bx + c 上的动点，当△ PDO 的周长 最小时，求四边形 CODP 的面积. -4 - 3 - 2 - 1 O -1

5、 （ 2011-2012福州市九上期末考试题） 2 22.（ 14分）已知抛物线 y = ax bx • c （a = 0）经过点A （-2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是 y 轴，经过点 C （0，2）的直线丨

与x 轴平行，O 为坐标原点， 为抛物线y =ax 2

• bx • c （ a = 0）上的两动点 求抛物线的解析式； 以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为O P ， 判断直线

丨

与O P 的位置关系，并证明你的结论 ； 设线段PQ =9，G 是PQ 的中点，求点 G 到直 线丨

距离的最小值。 (1) (2) (3) P 、 (第

1 C

28题） A

厂、

B

、Q

\ \

Q 1 2

（2012四川资阳9分）抛物线y=—x 2+x+m 的顶点在直 4 线y=x+3上，过点F （— 2，2）的直线交该抛物线于点 M 在点N 的左边），MA 丄x 轴于点A ，NB 丄x 轴于点B . （3分）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示），再求 m 6、 M 、 N 第22题图 两点（点 （1）

的值； （2） NB ； （3分）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF

(3) （3分）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA XPB = 100，求点M 的坐标. 9 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案 1、（ 2010黄冈市，25，15分）【分析】.（1）抛物线的顶点为 C （1，1），可设解 析式为y = a （x - 1） 2+1，又因抛物线过原点，可得 a =- 1，所以y =—（ x - 1） 2+1，化简 得y =— x 2 + 2x ，即可求字母 a ，b ，c 的值；（2）由FM = FP ，PM 与直线y =5垂直，可

4

5

得 5 3 3 得一——二一—y

4 4

4

1 3 )或(1

---------- 4 2 5 =PN 可得5 _y 4

•- y ，代入y 4 1 -），所以分两种情况，通过计算可得厶 4 ［x -1 ［亠［y -1 , —x 2 + 2x ，解得 x =1

3

•••点 P 坐标为(1 —3 ,

2 2

PFM 为正三角形；（3）由PM

整理得，t 2 _2yt • — y _ — 2 16 =0 ,解得 （舍去），故存在点 N （ 1, 【答案】. 3

)

，使 PM 4 (1) a = - 1, b = 2,

(2)••• FM = FP , PM 与直线

i

丄代入 4 1

，…y =_ ,

4

y = — x 2 + 2x ,解得x = 1 -二点P 坐标为(1 2 t i ,-)或(,-),

4

2 4

当点P 坐标为（1 •一-, 1 )时， 4

MP = MF 2 L 当点P 坐标为（1 I 」, 1

)时, MP = MF 2 4

•当点P 坐标为（ 1 1 U ,1 )或

;(1 -

3

2 4

2 （3）存在，• • • PM = PN , •

5 y

=.

4

两边同时平方得， 25 5 y y 2

= x -1 2 )+ 16 2 存0， •• y =- x 2+ 2x ,

PF = 1 , PF = 1 , ,1 )时， 4 2 2

x -1 ］亠［y -t , 2

(y —t ) 为正三角形, 为正三角形,

△ PFM 为正三角形;

2 3 --t —2yt y 2

3 .. 解得右, t 2

4 【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（ 1） =2y （舍去），故存在点 N （1 , -），使PM = PN 恒成立. 4 问较简单，考查大多数学生的能力水 平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列岀方程，从而求岀 点的坐标，在第（3）问中要注意解关于 t 的字母系数方程，本题有一定的区分度. 【推荐指数】★★★★★

2、2012年山东潍坊市 24.（本题满分II 分） 解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c ,

解得爲 .c 1

由 0Fa -2b c 田 0省a 2b c .T =c