弹性力学第2章
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1
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 §2-10 §2-11 习题课
平衡微分方程 斜面上的应力主应力 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题。相容方程 常体力情况下的简化 应力函数逆解法与半逆解法
2
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 一、平面应力问题 等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0
τzy = 0
图2 －1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。 y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变 问题相反。
4
二、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度 变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。 ε
z
= 0
τ
zx
= 0
τ
zy
= 0
如：水坝、受内压的圆柱管道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但 z 0 ，这恰与平面应力 问题相反。
5
§2-2 平衡微分方程
无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题， 所有物理量均与z无关。 下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并 由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的正平行 六面体PABC(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。 设作用在单元体左侧面上的正 x o x ) 应力是 x x ( x, y，右侧面上坐标 y yx A 得到增量 dx，该面上的正应力为 P xy D X x xx dx x ( x dx, y)，将上式展开为泰勒级 x Y dx 数： x C B x ( x, y ) dy x ( x dx, y ) x ( x, y ) dx y y
xy xy
yx
y
y y
yx
dy
图2－3
x 1 2 x ( x, y ) 1 n x ( x, y ) 2 n ( dx ) ( dx ) 2! x 2 n! x n
6
略去二阶及二阶以上的微量后便得 x ( x, y ) 都一样处理，得到图示应力状态。
x ( x, y ) xy 、 dx 同样 y 、 yx x
对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中 心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 M D 0 ：
dx dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2 yx dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2
将上式的两边除以dxdy 得到：
xy
1 xy 1 yx xy dx yx dy 2 x 2 y
令 dx 0, dy 0 ，即略去微量不计，得：
xy yx
7
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平 衡方程：
F
x
0:
yx x ( x dx) dy 1 x dy 1 ( yx dy) dx 1 x y yx dx 1 X dx dy 1 0
F
y
0: y dy) dx 1 y dx 1 ( xy xy x dx) dy 1
( y
y xy dy 1 Y dx dy 1 0
8
整理得:
x yx X 0 x y y xy Y 0 y x
这两个微分方程中包含着三个未知函数 x , y , xy yx。因此 决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能 解决问题。
对于平面应变问题,虽然前后面上还有 z ,但它们完全不影 响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
9
§2-3
一、斜面上的应力
斜面上的应力、主应力
已知弹性体内任一点P处的应力分量 x , y , xy yx，求经 过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB， 它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平 面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限 接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
xy
x
y
B P
yx
y
A
XN
x
N
N
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
YN S
cos(N , x) l , cos(N , y) m
10
图2－4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
除以 dS 即得： 同样由 Fy 0 得出：
X N l x m yx YN m y l xy
斜面AB上的正应力 N ，由投影可得：
N lX N mYN l 2 x m2 y 2lm xy
斜面AB上的剪应力 N ，由投影可得：
N lYN mXN lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
11
二、主应力 如果经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面 上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。 1.主应力的大小
x y 2 2 1 x y ( ) xy 2 2 2
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
12
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变 u (u dx) u u x x dx x 在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩 是高一阶的微量，略去不计。
o
P
u
P
u u dx x A
x
v dx x
y
v
v
B
B
v
A
v dy y
u
u dy y
13
图2－5
同理可求得：
v y y
v (v dx) v v x dx x
二、P点的切应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
14
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
15
§2-5
物理方程
在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的 关系根据虎克定律建立如下：
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
x
16
式中，E为弹性模量；G为刚度模量； 为泊松比。三者 的关系： E G 2(1 ) 一、平面应力问题的物理方程 1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E 且有：
z
E
( x y )
17
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 将平面应力中的关系式： x E ( x y ) 1 y ( y x ) E 2(1 ) 18 xy xy E
E 作代换 E 1 2
1
就可得到平面应变中的 关系式：
1 2 x x y E 1 1 2 y y x E 1 2(1 ) xy xy E
由于这种相似性，在解平面 应变问题时，可把对应的平面应 力问题的方程和解答中的弹性常 数进行上述代换，就可得到相应 的平面应变问题的解。
19
§2-6
边界条件
当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足 平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。
按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、 应力边界问题和混合边界问题。 一、位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 Su ，则有 （在 Su 上）：
us u
vs v
其中 us 和 v s 表示边界上的位移分量，而 u 和 v 在边界上 是坐标的已知函数。
20
二、应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
l ( x ) s m( yx ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
( xy ) s 、 ( x ) s、 ( y ) s 、 ( yx )s 为边界上的应 其中 X 和 Y 为面力分量， 力分量。
当边界面垂直于 x 轴时，应力边界条件简化为：
( x )s X , ( xy )s Y
当边界面垂直于 y 轴时，应力边界条件简化为：
( y )s Y , ( yx )s X
21
三、混合边界条件 1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条 件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别 有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面 有位移边界条件： u u 0
s v v 0 s
q
h
h
上下面有应力边界条件：
2
2
o
l
y
图2-6
X ( yx ) s 0 Y ( y ) s 0
右端面有应力边界条件：
x
X ( x ) s q Y ( xy ) s 0
22
2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。 如图2-7连杆支撑边界条件： u u s 0 如图2-8齿槽边界条件：
Y ( xy ) s 0
v vs 0 X ( x ) s 0
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 §2-10 §2-11 习题课
平衡微分方程 斜面上的应力主应力 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题。相容方程 常体力情况下的简化 应力函数逆解法与半逆解法
2
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 一、平面应力问题 等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0
τzy = 0
图2 －1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。 y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变 问题相反。
4
二、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度 变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。 ε
z
= 0
τ
zx
= 0
τ
zy
= 0
如：水坝、受内压的圆柱管道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但 z 0 ，这恰与平面应力 问题相反。
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§2-2 平衡微分方程
无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题， 所有物理量均与z无关。 下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并 由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的正平行 六面体PABC(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。 设作用在单元体左侧面上的正 x o x ) 应力是 x x ( x, y，右侧面上坐标 y yx A 得到增量 dx，该面上的正应力为 P xy D X x xx dx x ( x dx, y)，将上式展开为泰勒级 x Y dx 数： x C B x ( x, y ) dy x ( x dx, y ) x ( x, y ) dx y y
xy xy
yx
y
y y
yx
dy
图2－3
x 1 2 x ( x, y ) 1 n x ( x, y ) 2 n ( dx ) ( dx ) 2! x 2 n! x n
6
略去二阶及二阶以上的微量后便得 x ( x, y ) 都一样处理，得到图示应力状态。
x ( x, y ) xy 、 dx 同样 y 、 yx x
对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中 心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 M D 0 ：
dx dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2 yx dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2
将上式的两边除以dxdy 得到：
xy
1 xy 1 yx xy dx yx dy 2 x 2 y
令 dx 0, dy 0 ，即略去微量不计，得：
xy yx
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下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平 衡方程：
F
x
0:
yx x ( x dx) dy 1 x dy 1 ( yx dy) dx 1 x y yx dx 1 X dx dy 1 0
F
y
0: y dy) dx 1 y dx 1 ( xy xy x dx) dy 1
( y
y xy dy 1 Y dx dy 1 0
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整理得:
x yx X 0 x y y xy Y 0 y x
这两个微分方程中包含着三个未知函数 x , y , xy yx。因此 决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能 解决问题。
对于平面应变问题,虽然前后面上还有 z ,但它们完全不影 响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
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§2-3
一、斜面上的应力
斜面上的应力、主应力
已知弹性体内任一点P处的应力分量 x , y , xy yx，求经 过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB， 它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平 面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限 接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
xy
x
y
B P
yx
y
A
XN
x
N
N
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
YN S
cos(N , x) l , cos(N , y) m
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图2－4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
除以 dS 即得： 同样由 Fy 0 得出：
X N l x m yx YN m y l xy
斜面AB上的正应力 N ，由投影可得：
N lX N mYN l 2 x m2 y 2lm xy
斜面AB上的剪应力 N ，由投影可得：
N lYN mXN lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
11
二、主应力 如果经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面 上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。 1.主应力的大小
x y 2 2 1 x y ( ) xy 2 2 2
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
12
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变 u (u dx) u u x x dx x 在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩 是高一阶的微量，略去不计。
o
P
u
P
u u dx x A
x
v dx x
y
v
v
B
B
v
A
v dy y
u
u dy y
13
图2－5
同理可求得：
v y y
v (v dx) v v x dx x
二、P点的切应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
14
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
15
§2-5
物理方程
在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的 关系根据虎克定律建立如下：
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
x
16
式中，E为弹性模量；G为刚度模量； 为泊松比。三者 的关系： E G 2(1 ) 一、平面应力问题的物理方程 1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E 且有：
z
E
( x y )
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二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 将平面应力中的关系式： x E ( x y ) 1 y ( y x ) E 2(1 ) 18 xy xy E
E 作代换 E 1 2
1
就可得到平面应变中的 关系式：
1 2 x x y E 1 1 2 y y x E 1 2(1 ) xy xy E
由于这种相似性，在解平面 应变问题时，可把对应的平面应 力问题的方程和解答中的弹性常 数进行上述代换，就可得到相应 的平面应变问题的解。
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§2-6
边界条件
当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足 平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。
按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、 应力边界问题和混合边界问题。 一、位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 Su ，则有 （在 Su 上）：
us u
vs v
其中 us 和 v s 表示边界上的位移分量，而 u 和 v 在边界上 是坐标的已知函数。
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二、应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
l ( x ) s m( yx ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
( xy ) s 、 ( x ) s、 ( y ) s 、 ( yx )s 为边界上的应 其中 X 和 Y 为面力分量， 力分量。
当边界面垂直于 x 轴时，应力边界条件简化为：
( x )s X , ( xy )s Y
当边界面垂直于 y 轴时，应力边界条件简化为：
( y )s Y , ( yx )s X
21
三、混合边界条件 1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条 件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别 有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面 有位移边界条件： u u 0
s v v 0 s
q
h
h
上下面有应力边界条件：
2
2
o
l
y
图2-6
X ( yx ) s 0 Y ( y ) s 0
右端面有应力边界条件：
x
X ( x ) s q Y ( xy ) s 0
22
2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。 如图2-7连杆支撑边界条件： u u s 0 如图2-8齿槽边界条件：
Y ( xy ) s 0
v vs 0 X ( x ) s 0