【参考借鉴】南京大学数学分析考研试题及解答.doc

南京大学20KK 年数学分析考研试题一设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。

二设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ∀∈， 问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

四是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有界?若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

六计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。

七计算积分222(22)x xy y R e dxdy -++⎰⎰。

八计算积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。

九设0n a >(1,2,...)n =，1n n k k S a ==∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。

十方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y∂-∂∂的值。

十一求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。

十二设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：1122001[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。

十三设()f x 为[0,]π上的连续函数，且对任意正整数1n ≥，均有 0()cos 0f x nxdx π=⎰，证明：f 为常值函数。

南京大学20KK 年数学分析考研试题解答一证明设()f x 的周期为T ，0T >，则有()()f x nT f x +=，由条件知，()lim ()0n f x f x nT →∞=+=， 结论得证。

二证明因为0f x∂=∂，0f y ∂=∂， f x ∂∂，f y∂∂在2R 上连续，对任意2(,)x y R ∈，有 (,)(0,0)f x y f -(,)(,)f f x y x x y y x yθθθθ∂∂=⋅+⋅∂∂0=， 所以(,)(0,0)f x y f =，即(,)f x y 为常值函数。

三解()f x 未必为连续函数。

反例：()1nn n x f x x =+，()n f x 在1R 上连续，又lim ()1n x f x →∞=，所以()n f x 在(,)-∞+∞上一致连续， 0,11lim ()(),121,1n x x f x f x x x →∞⎧<⎪⎪===⎨⎪>⎪⎩， 显然()f x 在(,)-∞+∞上不连续。

四解（1）存在。

取[0,1]中的有理数形成的点集{}n I r =，则有[0,1]I '=。

（2）不存在。

假若存在{}n I x =，使得(0,1)I '=，由于I '是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。

五未必有()f x 在[0,)+∞上有界，未必有lim ()0x f x →+∞=。

六解显然两曲线的交点横坐标为1x =2x =2211)]2S x x dx =-+-20321)2x dx =-+312(2x x =-+312[2=-+9=。

七解显然这个二重广义积分是收敛的。

由2x e dx +∞--∞=⎰222(22)x xy y R e dxdy -++⎰⎰ 22()x y x dx e e dy +∞+∞--+-∞-∞=⎰⎰ 22()x y x e dx e dy +∞+∞--+-∞-∞=⎰⎰2x dx --∞=⎰==。

八解xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰000a a x a x y dx dy xyzdz ---=⎰⎰⎰十解22920x x x z z y z ++-=，24920y y z z x z ++-=，218920y x xy xy zz z z z z ++-=。

十一解333222()(2)(12)L x y z x y z x y z λμ=+++++-+++- 2320L x x xλμ∂=++=∂， 2320L y y yλμ∂=++=∂， 2320L z z zλμ∂=++=∂， 2223()32()0x y z x y z λμ++++++=，3123220λμ⋅++⋅=，36340λμ++=。

十二证明00()(0)()()x x f x f f t dt f t dt ''=+=⎰⎰， 1122200()()(())x x f x f t dt x f t dt ''≤≤⎰⎰， 122200()()()x f x x f t dt x f t dt ''≤≤⎰⎰， 于是1122220011()()()22f x dx f x dx '≤⎰⎰， 11()(1)()()x x f x f f t dt f t dt ''=-=-⎰⎰， 1111222()()(1)(())x x f x f t dt x f t dt ''≤≤-⎰⎰， 1220()(1)()f x x f t dt '≤-⎰， 112221211()()()22f x dx f x dx ''≤⎰⎰， 故有111122222100021()()()()4f x dx f x dx f x dx f x dx '≤+≤⎰⎰⎰⎰。

十三证明作函数()F x ，()F x 是周期为2π的偶函数，当(0,)x π∈时，()()F x f x =，则()F x 在(,0)(0,)ππ-上连续，在[,]ππ-可积。

012()cos ()cos 0n a F x nxdx F x nxdx πππππ-===⎰⎰，(1,2,...)n =002()a f x dx ππ=⎰，1()sin 0n b F x nxdx πππ-==⎰， 01(cos sin )()2n n n a a nx b nx F x ∞=++∑， 001()(cos sin )22N N n n n a a S x a nx b nx ==++=∑，{()}N S x 在2[,]L ππ-中收敛于()F x ，2lim ()()0N N F x S x dx ππ-→∞-=⎰， 20()02a F x dx ππ--=⎰， 200()02a f x dx π-=⎰， 由()f x 在[0,]π上连续，知20()02a f x -=， 即得0()2a f x =，()f x 在[0,]π上为常值函数。

南京大学20KK 年数学分析考研试题1开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。

2若级数1n n a∞=∑收敛，则是否有21n n a ∞=∑收敛，是请证明；否请举反例。

3设,0a b >，求n 4求2011lim()sin x x x x→-。

5若函数()f x 在[0,1]上可导，则()f x '是否一定有界，是请证明；否请举反例。

6函数:f R R →连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。

7函数()f x 在[0,1]上有二阶导数，(0)0f =，(1)1f =，()0f x ''<，求证：()f x x ≥，[0,1]x ∈。

8函数(,)f x y 是一个2C 函数，000(,)z x y =，计算020020(,)1lim [(,)(,)]h B z h h f x y dxdy f x y h π+-→-⎰⎰。

9计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是八分之一球面2222{(,,):,,0,}x y z x y z x y z R ≥++=，方向朝外。

10、已知()f x 是[,]ππ-上有界变差函数，求证：1,()n n a b O n=，其中,n n a b 是()f x 的傅里叶系数。

南京大学20KK 年数学分析考研试题解答1解尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列123...r r r <<<，12(,)r r 中应没有有理数了，而12(,)r r 中仍有有理数122r r +，矛盾。

2解由级数1n n a∞=∑收敛，未必退出21n n a ∞=∑收敛。

反例：设(1)n n a =- 显然1n n a∞=∑收敛，但21n n a ∞=∑发散。

3解设max{,}M a b =则有M ≤≤，n M =， 由夹逼定理，知n max{,}M a b ==。

4解2011lim()sin x x x x→- 20sin lim sin x x x x x→-= 30sin lim x x x x →-= 20cos 1lim 3x x x→-= 0sin lim 6x x x→-= 16=-。

5解由()f x 在[0,1]上可导，即()f x '在[0,1]上存在，但()f x '未必在[0,1]上有界。

反例：221sin ,(0,1]()0,0x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩，1)n f '=--， ()f x '在[0,1]上无界。

6证明不妨设0x 是()f x 的唯一的极小值点，则存在0δ>，当00x x δ<-<时，有 0()()f x f x >，我们要断言，对所有x R ∈，0()()f x f x ≥。

用反证法，假若存在1x R ∈，使得10()()f x f x <，不妨设10x x <，由连续函数的介值性，存在01(,)x x ξ∈，使得0()()f f x ξ=， ()f x 在0[,]x ξ的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以0()f x 是最小值，结论得证。