(完整版)高等数学公式大全及常见函数图像.doc

高等数学公式

导数公式：

(tgx)

sec 2

x

(arcsin x)

1

1

x 2 ( ctgx)

csc 2 x

(arccos x)

1

(secx)

secx tgx

1 x 2

(cscx)

cscx ctgx

(arctgx )

1

( a x )

a x ln a

1 x 2

(log a x) 1

(arcctgx ) 1

1

x 2

x ln a

基本积分表：

tgxdx ln cosx C

dx

sec 2 xdx tgx C

ctgxdx

ln sin x

C cos 2 x

dx

2

secxdx ln secx tgx C

sin 2 x

csc xdx

ctgx C

cscxdx ln cscx ctgx C

secx tgxdx

secx C

dx

1

x

csc x ctgxdx cscx C

a 2 x 2

a arctg a

C

a x dx

a x C

dx

1 x a

ln a

x 2

a 2 2a ln

C

x a

shxdx chx C

dx 1 a x

a 2

x 2

2a ln

C

chxdx shx

C

a x

dx x 2

arcsin

x

C

dx ln( x x 2 a 2 ) C

a 2

a

x 2 a 2

2 2 n 1 I n

sin n xdx

cos n xdx I n

2 0

0 n

x 2

a 2

dx

x x 2

a 2

a 2 ln( x

x 2

a 2

) C

2

2

x 2

a 2 dx x x

2

a

2

a 2 ln x

x 2 a 2

C

2

2

a

2

x 2 dx x a 2

x

2

a 2

arcsin x

C

2

2 a

三角函数的有理式积分：

sin x

2u ， cos x 1 u 2

， u tg x

， dx

2du

1 u

2 1 u 2

2 1 u 2

一些初等函数：

双曲正弦: shx e x e x

2

双曲余弦: chx e x e x

2

双曲正切: thx shx e x e chx e x e

arshx ln( x x 2 ）1

archx ln( x x2 1) arthx 1 ln 1 x

2 1 x

两个重要极限：

lim sin x 1

x 0 x

lim (1 1 )x e 2.718281828459045...

x x

x

x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

sin cos tg ctg

角 A

-α-sin α cos α -tg α -ctg α

90°-αcos α sin α ctg α tg α

90° +αcos α -sin α -ctg α -tg α

180 °-αsin α -cos α -tg α -ctg α

180 ° +α -sin α -cos α tg αctg α

270 °-α-cos α -sin α ctg α tg α

270 ° +α -cos α sin α -ctg α -tg α

360 °-α-sin α cos α -tg α -ctg α

360 ° +α sin α cos α tg αctg α

·和差角公式：·和差化积公式：

sin( ) sin cos cos sin sin sin 2 sin cos

cos( ) cos cos sin sin

2 2

tg ( )

tg tg sin sin 2 cos sin

1 tg tg

2 2

cos cos 2 cos cos ctg ctg 1

ctg ( ) 2 2 ctg ctg cos cos 2 sin sin

2 2

·倍角公式：

sin 2 2 sin cos

cos2 2 cos2 1 1 2sin 2 cos2 sin2 sin 3 3sin 4sin3

ctg 2 ctg 2 1 cos3 4 cos3 3 cos 2ctg 3tg tg 3

tg3

2tg 1 3tg 2

tg 2

1 tg 2

·半角公式：

sin 1 cos cos 1 cos

2 2

2 2

tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin

1 cos sin 1 cos 1 cos sin 1 cos

2 2

·正弦定理： a b c 2R ·余弦定理： c2 a2 b2 2ab cosC sin A sin B sin C

·反三角函数性质：arcsin x

2 arccos x arctgx

2

arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

n

(uv) ( n) C n k u (n k ) v(k)

k 0

u ( n) v nu (n 1) v n( n 1) u( n 2 )v n(n 1) ( n k 1) u(n k )v(k ) uv ( n)

2! k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f (b) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) f (a) f ( )

F (a) F ( )

当 F( x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：