大学数学微积分基本公式

b
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 � � � � Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 � � � � a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y by + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cosθ =
n k ( n−k ) ( k ) (uv) ( n ) = ∑ C n u v k =0
= u ( n ) v + nu ( n−1) v′ +
n(n − 1) ( n− 2) n(n − 1)⋯(n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v′′ + ⋯ + u v + ⋯ + uv ( n ) 2! k!
dx 1 x ∫ a 2 + x 2 = a arctg a +C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
π 2 π 2
1− x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = − 1+ x2
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
x ∫ a dx =
∫ chxdx = shx + C ∫
dx x ±a
2 2
= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C
I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =
0 0
n −1 I n−2 n
∫ ∫ ∫
sin x =
x 2 a2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 − a 2 dx = x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 2 x 2 a2 x a 2 − x 2 dx = a − x 2 + arcsin + C 2 2 a
α +β α −β cos 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α −β cos α − cos β = 2 sin sin 2 2
sin α + sin β = 2 sin
2 2 2 ·余弦定理： c = a + b − 2ab cos C
·正弦定理：
·反三角函数性质： arcsin x =
π π − arccos x arctgx = − arcctgx 2 2
—— 莱布尼兹（ Leibniz ）公式： 高阶导数公式 高阶导数公式—— ——莱布尼兹（ 莱布尼兹（Leibniz Leibniz）公式：
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) f (b) − f (a) f ′(ξ ) 柯西中值定理： = F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds = 1 + y ′ 2 dx, 其中y ′ = tgα 平均曲率： K= ∆α .∆α : 从M点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；∆s：MM ′弧长。 ∆s y ′′ ∆α dα M点的曲率：K = lim = = . ∆s → 0 ∆s ds (1 + y ′ 2 ) 3
直线：K = 0; 1 半径为a的圆：K = . a
定积分的近似计算：
b
矩形法： ∫ f ( x) ≈
a b
b−a ( y0 + y1 + ⋯ + y n −1 ) n b−a 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + ⋯ + y n −1 ] n 2 b−a [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + ⋯ + y n− 2 ) + 4( y1 + y3 + ⋯ + y n−1 )] 3n
Fx F F dy dy d2y ∂ ∂ 隐函数F ( x, y ) = 0， = − ， 2 = (− x )＋ (− x ) ⋅ dx Fy ∂x Fy ∂y Fy dx dx Fy F ∂z ∂z 隐函数F ( x, y, z ) = 0， = − x ， = − ∂x Fz ∂y Fz
a x bx + a y by + a z bz a x + a y + a z ⋅ bx + by + bz
2 2 2 2 2 2
i � � � c = a × b = ax bx
j ay by
k � � � � � � a z , c = a ⋅ b sin θ .例：线速度：v = w × r . bz ay by cy az � � � bz = a × b ⋅ c cosα ,α为锐角时， cz
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
2 2
三角函数的有理式积分：
2u 1− u2 x 2du ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2
一些初等函数：
两个重要极限：
e x − e−x 2 x e + e−x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x − e − x 双曲正切 : thx = = chx e x + e − x
·倍角公式：
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα 3tgα − tg 3α 1 − 3tg 2α
ax � �� � � � 向量的混合积： [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx cx
代表平行六面体的体积。
� 1、点法式：A( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离：d =
双曲正弦 : shx =
lim
sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x
arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ± ln( x + x 2 − 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1− x
梯形法： ∫ f ( x) ≈
a b
抛物线法： ∫ f ( x) ≈
a
定积分应用相关公式：
功：W = F ⋅ s 水压力：F = p ⋅ A mm 引力：F = k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值： y= f ( x)dx b−a ∫ a 均方根： 1 f 2 (t )dt ∫ b−a a
∫ cos ∫ sin
dx
2
x
= ∫ sec 2 xdx = tgx + C
= csc 2 xdx = −ctgx + C x ∫ ∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C
2
dx
∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C
ax +C ln a ∫ shxdx = chx + C
多元函数微分法及应用
全微分：dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx + dy du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：∆z ≈ dz = f x ( x, y )∆x + f y ( x, y )∆y 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， ∂u ∂u ∂v ∂v du = dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y 隐函数的求导公式：