算法思想 动态规划共41页
算法设计与分析讲义动态规划
动态规划算法的设计思路和技巧
设计思路
动态规划算法的设计思路是将原问题分解为子问题，通过对子问题的求解，得到 原问题的最优解。在设计和实现动态规划算法时，需要确定状态转移方程和边界 条件，并选择合适的状态变量和决策变量。
技巧
动态规划算法的技巧包括利用记忆化搜索、优化状态转移方程、预处理和缓存等 技巧来提高算法的效率和性能。此外，还应注意避免出现冗余计算和空间复杂度 过高的情况。
出最优的动态规划算法。
如何避免和解决动态规划中的状态重叠问题
避免状态重叠
在建立状态转移方程时，要注意避免状态重叠问题，即确保每 个状态只被计算一次，减少冗余计算。
使用记忆化搜索
通过使用记忆化搜索，将已经计算过的子问题的解存储起来， 避免重复计算，提高算法效率。
使用滚动数组
通过使用滚动数组，将子问题的解存储起来，避免重复计算， 提高算法效率，同时减少空间复杂度。
边界条件
边界条件是指问题在某个或某些边界状态下的最 优解。
通过设定合适的边界条件，可以限定搜索范围， 减少计算量。
在求解最优化问题时，通常从边界条件开始逐步 向内扩展，直到找到问题的最优解。
递归树
递归树是描述问题所有可能状 态的树形结构。
在动态规划算法中，通过构建 递归树，可以系统地枚举所有 可能的状态，并找到最优解所
背包问题算法及实现
总结词
背包问题是一类典型的动态规划问题，通 过将问题划分为多个子问题，并利用子问 题的解来构建原问题的解。
详细描述
背包问题是一类典型的优化问题，它涉及 到多个约束条件和多个选择方案。背包问 题可以通过动态规划算法求解，将问题划 分为多个子问题，并利用子问题的解来构 建原问题的解。常见的背包问题包括0/1背 包问题和分数背包问题等。
计算机算法动态规划
计算机算法动态规划计算机算法——动态规划随着计算机算法的发展，动态规划算法在解决多种问题上得到了广泛应用。
动态规划是一种通过将问题分解成较小的子问题来求解复杂问题的算法。
动态规划算法的核心思想是计算不同阶段的最优解，通过存储并重复使用中间计算结果来降低计算复杂度。
动态规划具有很好的可行性、明显的优化效果，可以用于多种领域的问题求解。
一、动态规划的核心思想动态规划的核心思想是一种适用于多种问题求解的算法思想，可以通过分解问题为较小的子问题求解大规模复杂问题。
动态规划的基本原理是：在求解复杂问题时，将问题分解成若干较小部分，并在解决小部分问题后通过结果的融合得出原问题答案。
具体而言，动态规划算法需要先建立模型，然后将问题分成多个阶段进行求解。
对于每个阶段，可以建立一个备忘录或数组记录中间结果。
这些记录可用于存储并在求解后续子问题时提高效率。
动态规划算法通常分为背包问题、最长公共子序列、最短路径等多种类型，针对不同类型的问题采取不同的求解方案。
二、动态规划的实现动态规划算法的实现需要解决的核心问题是如何设计状态和状态转移方程。
状态转移方程是动态规划算法的核心核心，它通过一系列变量和管道计算求解出最终的问题结果。
在状态转移方程的设计中，首先需要确定问题的状态，然后确定状态之间的转移关系。
状态转移过程需要通过确定初始化条件和边界条件来完成对算法的设计。
在实际应用中，动态规划算法通常使用递归和循环两种算法结构求解。
递归算法典型地描述了动态规划算法中的依赖关系和重复计算，而循环算法则更具可读性和效率.需要注意的是，在动态规划算法的实现过程中，需要遵循的一些约束条件，如无后效性、最优子问题性质和重叠子问题性质等。
三、动态规划算法的应用动态规划算法广泛应用于多种领域中，如计算机视觉、数据挖掘、语音识别、游戏开发等。
它特别适用于通用性问题和优化问题的求解，如根据博弈论设计最佳策略、基于文本识别技术进行数据挖掘等等。
动态规划算法思想
动态规划算法思想
动态规划算法思想是一种利用备忘录和递归记忆策略将复杂问题分解成子问题解决的一种有效技术。
它主要用于求解能够表示为最优化问题的优化问题。
一个典型的动态规划算法会经历五个步骤：
1. 问题的定义：把要解决的问题用数学模型表示出来；
2. 动态规划方程：决定问题的最优子结构，并使用递归定义求解问题的最优值的状态转移方程；
3. 递归计算边界条件：识别出最简单的、不可继续分解的子问题，计算它们的值；
4. 从下往上计算：从最简单的子问题开始，一步步计算状态转移方程，直至解决最终问题；
5. 由解析结果构造最优解：利用求得的最优值，从下而上构造最优解的决定路径。
动态规划的优点在于可以有效地解决已经确定的优化问题，它通过把每个子问题只求解一次来减少计算量，从而提高效率。
另外，它的状态转换方程能够有效地表示问题的解决过程，也能够提高代码的可读性和可维护性。
但是，动态规划算法中有若干不足之处，如，动态规划问题导致备忘录数组巨大，降低存储效率；它有可能使用不少计算资源，因为它需要把所有子问题的解存入备忘录，并且有时备忘录中的元素会被重复计算多次。
所以，在采用动态规划算法时，需要权衡问题的规模与复杂度，以判断采用它是否合适以及能否以更低的时间和空间复杂度解决当前问题。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
算法 动态规划
算法动态规划
动态规划是一种常见的算法优化技术，它通过将一个大问题划分为多个相互联系的子问题，从而减少计算量，并且能够有效地解决多阶段决策问题。
算法动态规划的基本思想是“化大为小，求解最优”。
具体而言，将原问题分解为若干个相互依赖的子问题，递归地求解这些子问题，并保存子问题的解，从而避免了重复计算。
通过这种方式，可以在有限的时间内得到原问题的最优解。
动态规划算法的核心是建立状态转移方程，即找到子问题之间的关系。
对于每个子问题，我们需要分析其与前一阶段的子问题之间的联系，并通过状态转移方程来描述它们之间的关系。
在求解过程中，我们逐步地计算子问题，直到得到最终的解。
动态规划算法的关键是保存计算过程中的中间结果，以避免重复计算。
为了实现这一点，可以使用一个数组或者一个矩阵来保存每个子问题的解。
在计算每个子问题时，首先查看是否已经计算过这个子问题的解，如果计算过则直接使用，如果还未计算过则先计算，并保存到数组或矩阵中。
通过这种方式，可以大大减少重复计算，提高算法的效率。
动态规划算法在解决一些问题时非常高效，并且能够保证得到最优解。
然而，由于需要保存记忆化数组或矩阵，所以动态规划算法的空间复杂度较高。
因此，在使用动态规划算法时，需要考虑到计算机的内存限制，以避免出现内存溢出的情况。
总结来说，动态规划是一种通过将大问题划分为多个子问题来减少计算量的算法优化技术。
它通过建立状态转移方程，递归地求解子问题，并保存子问题的解，从而得到原问题的最优解。
动态规划算法能够有效地解决多阶段决策问题，并且保证得到最优解，但需要注意内存占用问题。
算法设计与分析讲义动态规划
动态规划xx年xx月xx日CATALOGUE目录•动态规划算法简介•动态规划的基本原理•常见动态规划问题分析•动态规划算法优化•动态规划在实际应用中的实例•总结与展望01动态规划算法简介动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题来解决问题的方法动态规划适合用于最优化决策序列，具有重叠子问题和最优子结构两个特征1 2 3动态规划的核心思想是记忆已经求解过的子问题的解，避免了重复计算动态规划通常用于最优化问题，可以得出全局最优解动态规划通常是基于自底向上的思路进行实现动态规划的应用场景最短路径问题如Floyd算法、Dijkstra算法等资源分配问题如背包问题、装箱问题、货郎担问题等序列比对问题如Smith-Waterman算法、Genetic Code算法等控制领域如最优控制、预测控制等计算机视觉领域如光流计算、立体视觉匹配等02动态规划的基本原理03自底向上的设计方法可以节省存储空间，减少重复计算，提高算法效率。
动态规划的自底向上设计方法01动态规划的自底向上设计方法是一种通过将问题分解为子问题，并从简单子问题求解逐步设计复杂问题的策略。
02在自底向上的设计过程中，首先解决基本子问题，并利用这些解来解决更大规模的问题，逐步构建出原问题的最优解。
动态规划的递推关系式是算法的核心，它通过将问题分解为子问题，将问题的解表示为子问题的解的组合。
递推关系式通常是一个数学公式，它根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
在递推关系式中，每个子问题的解都会被存储起来，以便后续使用。
动态规划的递推关系式动态规划的边界条件在动态规划中，每个子问题都有一个起始点和终止点，这些点就是边界条件。
边界条件确定了问题的起始状态和终止状态，使得算法可以正确地求解问题。
动态规划的边界条件是算法中非常重要的一个概念，它规定了问题的边界情况。
03常见动态规划问题分析Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Bellman-Ford 算法总结词最短路径问题是在图中找到从起点到终点的最短路径，有多种算法实现，如Dijkstra算法、Floyd-Warshall 算法和Bellman-Ford算法等。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划算法详解和应用
动态规划算法详解和应用动态规划（Dynamic Programming）算法是从多个阶段中逐步逼近最优解的一种算法。
它的主要思想是将原问题拆分成若干个子问题，并使用已解决的子问题的解来推导还未解决的子问题。
在处理每个子问题时，都会保存之前已经部分解决过的子问题的结果。
借助这些结果来解决更复杂的问题。
动态规划算法因此得名。
本文将详细介绍动态规划算法的基本思想、步骤和应用。
动态规划算法的基本思想：当解决一个问题时，将其分解成若干个子问题并求解。
每个子问题的解只会记录一次，以避免重复求解。
因此，动态规划算法重复使用以前的子问题的解来解决当前的子问题。
在计算机编程中，动态规划通常需要做出一种递归解法，以解决问题的所有可能情况。
如果递归解法的效率太低，可以让它转化为带有动态规划思想的算法，其根据已经解决的子问题计算其它子问题。
动态规划算法的基本步骤：1. 定义状态: 状态是决定某个时刻或某个条件的变量（或变量集合）。
它反映了解决一个问题需要的参数信息。
例如，对于求解最长公共子序列问题来说，状态就是两个字符串的下标。
2. 定义转移：对于当前状态，转移就是从上一状态到达当前状态所要执行的操作（比如以左上角有没有两个字符为例，若匹配则加上当前结果，否则不加）3. 初始化状态：通常在定义状态时，会初始化状态。
在问题开始时，只需要初始化状态就可以得出问题的部分或全部答案。
4. 通常使用一维或多维数组存储状态。
状态也可以是其他容器，如哈希表、树和堆等。
5. 最后得到问题的最终答案。
动态规划算法的应用：1. 寻找最长/最短路径问题（例如：Dijkstra算法和Floyd算法）；2. 寻找最优二叉树（例如：Huffman编码算法）；3. 求解最大子数列问题（例如：Kadane算法）；4. 求解最长公共子序列问题（例如：LCS算法）；5. 求解最长回文子串（例如：Manacher算法）；6. 求解背包问题（例如：01背包、完全背包）。
动态规划 算法
动态规划算法
动态规划是一种用于解决最优子结构问题的算法思想。
它将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划的核心思想是通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法通常包含以下几个步骤：
1. 定义状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义状态，状态一般用一个或多个变量表示。
状态的选择要满足最优子结构的要求，即原问题的最优解可以通过求解子问题的最优解得到。
2. 定义状态转移方程：根据子问题之间的关系，定义状态转移方程。
状态转移方程表示子问题的最优解与其他子问题的最优解之间的关系。
通过求解状态转移方程，可以得到所有子问题的最优解。
3. 初始化：确定初始状态的值，一般通过给定的条件来确定。
4. 递推求解：根据状态转移方程，从初始状态开始逐步求解更大规模的子问题，直到求解出原问题的最优解。
5. 返回最优解：根据最终的子问题的最优解，可以逆推得到原问题的最优解。
动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度往往比较高，但通过合理选择状态和状态转移方程，可以有效地优化算法的效率。
动态规划算法可以应用于各种问题，例如最短路径问题、背包问题、序列比对等。
总结起来，动态规划算法是一种分阶段求解最优问题的算法思想，通过保存子问题的解，避免了重复计算，提高了算法的效率。
它通常包括定义状态、定义状态转移方程、初始化、递推求解和返回最优解等步骤。
动态规划算法可以应用于各种问题，是一种非常重要和实用的算法思想。
动态规划思想
• 需要保存的信息
– 当前处于什么位置 – 当前有哪些能量池用过了？ – 当前有哪些开关打开了？
• 不超过15个布尔信息，可以使用一个二进 制数来表示
时间复杂度分析
• 状态——15*2的15次方
• 状态转移——15
• 总时间复杂度15*15*2的15次方，大约1千 万，可以接受
游泳——09年合肥赛区试题
解题思路
• 本题的考察点是两个
– 时间复杂度的分析 – 算法的灵活运用，关键是提取信息的共性
• 要善于利用顺推思维
传统思维
• 以每一列为阶段
• 需要保存的信息有
– 当前的行、列 – 当前的速度 – 当前是第几秒钟没有呼吸了
• 状态转移——顺推型？逆推型？
新的思维
• 分析时间复杂度——发现问题
POJ1185 炮兵阵地
• 如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支 炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻 击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下 各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图 上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。 现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止 误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不 能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他 支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域 内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
• 信息共性——重新提取
– 换一种模型，不保存呼吸、行、速度等信息
• 新的算法——动态规划+搜索
• 转移思路——顺推
总结
• 有些时候不知道本状态会由哪些状态转移 过来，但是知道本状态会对哪些状态产生 影响。
• 这种时候就是和用顺推思路，而不是死板 硬套形式化的状态转移方程的倒推思路
算法设计及分析 动态规划基本思想
动态规划算法的基本思想动态规划方法是处理分段过程最优化问题的一类及其有效的方法。
在实际生活中，有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程是如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
20世纪50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原则”，从而创建了最优化问题的一种新的算法动态规划算法。
最优化原则指出，多阶段过程的最优决策序列应当具有性质：无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。
这要求原问题的最优解包含了其子问题的一个最优解（称为最优子结构性质）。
动态规划算法采用最优原则来建立递归关系式（关于求最优值的），在求解问题时有必要验证该递归关系式是否保持最优原则。
若不保持，则不可用动态规划算法。
在得到最优值的递归式之后，需要执行回溯以构造最优解。
在使用动态规划算法自顶向下（Top-Down ）求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题反复计算多次，动态规划算法正是利用了这种子问题重叠性质。
对每一个问题只计算一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次要解此子问题时，只是简单地调用（用常数时间）一下已有的结果。
通常，不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。
最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
例1．多段图问题设G=(V,E)是一个赋权有向图，其顶点集V 被划分成k>2个不相交的子集V i : 1≤i ≤k ，其中，V 1和V k 分别只有一个顶点s(称为源)和一个顶点t(称为汇)，下图中所有的边(u,v)的始点和终点都在相邻的两个子集V i 和V i ＋1中：u ∈V i ，v ∈V i ＋1。
图6-1-1 一个5段图多阶段图问题：求由s 到t 的最小成本路径（也叫最短路径）。
【算法】算法思想之动态规划
【算法】算法思想之动态规划 动态规划（dynamic Programming）主要解决的问题：多阶段决策过程最优化, 其主要的思想是将最优化决策过程分为若⼲个互相联系的阶段，每个阶段需要作出⼀个决策，并且当前阶段的决策会影响下⼀阶段的决策，从⽽影响到整个过程的活动路线。
基本概念阶段（Stage）：把所给问题的求解，恰当地划分成若⼲个相互联系的阶段，以便于求解。
通常⽤k表⽰阶段变量。
状态（State）：状态表⽰某段的出发位置。
它既是该段某⽀路的始点，同时也是前⼀段某⽀路的终点。
通常⼀个阶段包含若⼲个状态。
描述过程状态的变量，称为状态变量。
常⽤Xk表⽰在第k段的某⼀状态。
决策（Decision）：决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变到下⼀阶段某状态的选择，描述决策的变量，称为决策变量。
常⽤uk(xk)表⽰第k段当状态处于xk 时的决策变量。
决策变量的取值往往限制在某⼀范围之内，此范围称为允许决策集合。
策略（Policy）：各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，通常称为⼀个策略。
指标函数：在多阶段决策过程最优化问题中，指标函数是⽤来衡量所实现过程的优劣的⼀种数量指标，它是⼀个定义在全过程和所有后部⼦过程上的确定数量函数，常⽤Vk,n表⽰。
不同的问题中，指标的含义也不同：距离、利润、成本、产量、资源消耗等。
最优指标函数：指标函数Vk,n的最优值，称为相应的最优指标函数。
动态规划最优化原理 作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即⽆论过去的状态和决策如何，对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔，余下的诸决策必须构成最优策略。
动态规划解题步骤1. 正确划分阶段，⽤阶段变量表⽰，⽐如⽉份，年份等等。
2. 正确选择状态变量xk, 使它既能描述过程的状态，⼜要满⾜⽆后效性。
所谓⽆后效性是指：如果某段状态给定，则在这段以后过程的发展不受前⾯各阶段状态的影响。
3. 确定决策变量uk及每段的允许决策集合。
4. 写出状态转移⽅程，表⽰由k段到k+1段的整体转移规律，第k段的状态和决策确定，则第k+1段的状态也应该确定下来。
谈谈动态规划的思想
谈谈动态规划的思想动态规划（ dynamic programming ）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的⼀种常⽤⽅法，难度⽐较⼤，技巧性也很强。
利⽤动态规划算法，可以优雅⽽⾼效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。
动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若⼲个相互联系的⼦问题，先求解⼦问题，然后从这些⼦问题的解得到原问题的解；对于重复出现的⼦问题，只在第⼀次遇到的时候对它进⾏求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引⽤答案，不必重新求解。
动态规划算法将问题的解决⽅案视为⼀系列决策的结果，与贪婪算法不同的是，在贪婪算法中，每采⽤⼀次贪婪准则，便做出⼀个不可撤回的决策；⽽在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含⼀个最优决策⼦序列，即问题是否具有最优⼦结构性质。
动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本⾝具有的两个重要性质：最优⼦结构性质和⼦问题重叠性质。
1 、最优⼦结构性质。
如果问题的最优解所包含的⼦问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优⼦结构性质（即满⾜最优化原理）。
最优⼦结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
2 、⼦问题重叠性质。
⼦问题重叠性质是指在⽤递归算法⾃顶向下对问题进⾏求解时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题会被重复计算多次。
动态规划算法正是利⽤了这种⼦问题的重叠性质，对每⼀个⼦问题只计算⼀次，然后将其计算结果保存在⼀个表格中，当再次需要计算已经计算过的⼦问题时，只是在表格中简单地查看⼀下结果，从⽽获得较⾼的解题效率。
当我们已经确定待解决的问题需要⽤动态规划算法求解时，通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：1 、分析问题的最优解，找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2 、递归地定义最优值；3 、采⽤⾃底向上的⽅式计算问题的最优值；4 、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
1 ～ 3 步是动态规划算法解决问题的基本步骤，在只需要计算最优值的问题中，完成这三个基本步骤就可以了。
动态规划算法动态规划算法基本思想：1、将待求解问题分阶段处理2
动态规划算法动态规划算法基本思想：1、将待求解问题分阶段处理2、每个阶段有若干个状态S3、通过决策X将目前的状态S转到下一个状态S4、从目前的状态到如何到终点与如何到此状态无关5、从最后一阶段往前递推6、找到递推公式，对于最短路径问题：=Min{ }= Min{ +}【最短路径问题】如图所示，节点间的路长已标出，求A至E点的最短路径。
解决方法：将问题分4个阶段，自低向上讨论。
当k=4（阶段4）只考虑从本阶段到终点E的路径选择。
在这一阶段有两个状态：D1和D2，D1:目前已到达D1，要从D1到E；D2:目前已到达D2，要从D2到E：在阶段4，从当前状态到达终点的决策（应选择哪一个点到达终点路径最短）：阶段4 从当前状态到达终点的最短距离k=3k=2或或k=1或所以，110为从A到E的最短路径值。
【0-1背包问题】一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
测试数据：10 33 44 55 6（表示M=10,N=3,W1=3,P1=4,w2=4,P2=5,W3=5,P3=6）分析：阶段：在前i件物品中，选取若干件物品放入背包中；状态：在前i件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；决策：第i件物品放或者不放；递推公式：c(i,j)=max{c(i-1,j), c(i-1,j-w[i])+vl(i)}i ：处理到第i件物品j：剩余的空间为jc(i,j)：在前i件物品中选取若干件放到背包的最大价值c(i-1,j)：第i件物品不放所能得到的价值c(i-1,j-w[i])+vl(i)：第i件物品放入所能得到的价值所以，获得的最大总价值是11。
【0-1完全背包问题】一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N种物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.若每种物品有无限件，求旅行者能获得最大总价值。
算法设计中的动态规划思想
算法设计中的动态规划思想随着计算机技术的飞速发展，如今已经到了大数据时代。
在大数据领域中，算法设计起着举足轻重的作用。
其中动态规划是一种非常重要的算法思想，应用广泛，能够解决许多实际问题。
本文将论述动态规划思想在算法设计中的应用以及其对计算机领域的贡献。
一、动态规划的基本概念动态规划是一种解决最优化问题的算法策略。
它将原问题划分为若干个子问题，通过求解子问题的最优解，推导出原问题的最优解。
动态规划算法具有以下要素：1. 重叠子问题：将原问题分解成若干个子问题，这些子问题会被重复计算多次。
2. 最优子结构：原问题的最优解可以由其子问题的最优解推导而来。
3. 状态转移方程：可以通过记忆化的方式将子问题的解缓存起来，避免重复计算。
二、动态规划的应用领域动态规划算法广泛应用于各个领域。
以下分别从计算机领域和现实生活中的应用进行介绍。
1. 计算机领域在计算机领域中，动态规划算法被广泛应用于优化搜索算法、最短路径算法、图像识别等领域。
例如，在优化搜索算法中，A星算法是一种十分高效的算法，它通过估计到终点的距离来选择下一个被探索的节点。
这就需要计算每个节点到终点的距离，计算过程可能十分繁琐，但是可以通过动态规划算法进行优化。
2. 现实生活中的应用在生活中，动态规划算法能够解决一些实际问题，例如货车运输的最优路径、股票交易的最大利润等。
例如，在货车运输中，我们需要从起点到终点找到一条经过所有需要送货点的路径，并且总运输时间最短。
这就需要使用动态规划算法计算出每个子问题的最优解，进而推导出整个问题的最优解。
三、动态规划算法的贡献动态规划算法作为最优化算法之一，在计算机领域中的应用十分广泛，对计算机领域发展做出了巨大贡献。
以下介绍动态规划算法在计算机领域中的贡献。
1. 提高算法效率动态规划算法能够通过记忆化的方式将子问题的解缓存起来，避免重复计算，因此能够提高计算效率，缩短算法运行时间。
2. 解决大规模问题在大数据时代下，数据规模越来越庞大，传统算法已经无法胜任，而动态规划算法在解决大规模问题时优势明显。