平行四边形培优讲义新打印版
浙教版八年级下册 第4章 平行四边形 培优讲义(含解析)
平行四边形第1讲命题点一：利用多边形内(外)角和定理求边角问题【思路点拨】(1)多边形内角和定理：n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)且n为整数．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n－3)条对角线，将n边形分割为(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之外还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.(2)多边形的外角和等于360°.①多边形的外角和指在每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°.②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n－180°(n－2)＝360°. 例1一块正六边形硬纸片(如图①)，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是 60°.例2(保送生模拟题)E，F是四边形ABCD边AD，BC上的点，连结EF，将四边形ABFE沿直线EF折叠，使点A，点B落在四边形ABCD的内部，分别为A′，B′，再折叠将点D与点A′重合，折痕为GH，则下列结论一定正确的是( C )A．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠C B．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋∠CC．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－2∠C D．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°－2∠C命题点二：平行四边形的定义与性质例3(2019·武汉期中改编)(1)在图①，②，③中，给出▱ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是 (5,2) ， (c＋e，d) ， (c＋e－a，d) .(2)通过对图①，②，③，④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论▱ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为m＋a＝c＋e；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为n＋b＝d＋f.例4在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.(1)如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．(2)如图②，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．(3)如图③，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系(不必证明)．解：(1)PD＋PE＋PF＝A B．理由如下：∵AB＝AC，PF∥AB，PE∥AC，∴四边形PFAE是平行四边形．∴∠B＝∠C，∠EPB＝∠C，∠B＝∠FP C．∴∠B＝∠EPB，即△BPE为等腰三角形．∴BE＝PE.又∵四边形PFAE是平行四边形，∴PF＝AE.∴PE＋PF＝BE＋AE＝A B．又∵PD＝0，∴PD＋PE＋PF＝A B．(2)PD＋PE＋PF＝A B．理由如下：如图，过点P作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.由题意，得四边形PFAE，四边形PDBM为平行四边形．∴PF＝AE，PD＝BM.由题(1)的证明方法可同证△MEP为等腰三角形．∴PE＝ME.∴PD＋PE＋PF＝BM＋EM＋AE＝A B．(3)PE＋PF－PD＝A B．命题点三：利用平行四边形的性质解决边、角问题【思路点拨】本题考查的知识比较综合，包括平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质．要解答本题，可以参照下面的思路：在等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则可由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE＝∠1，即△DAE≌△FCD，得出DF＝DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论.例5(浙江省自主招生模拟题)如图所示，在▱ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，且四边形ABCD是平行四边形．∴AE＝AB＝CD，CF＝BC＝A D．∴∠BAE＝∠BCF＝60°，即∠DAE＋∠BAD＝∠1＋∠BCD＝60°.在▱ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∴∠DAE＝∠1.∴△DAE≌△FC D．∴DF＝DE.∵∠2＝180°－∠ABE－∠CBF－∠BCD＝60°－∠BCD，∠1＝60°－∠BCD，∴∠1＝∠2＝∠EA D．∵EA＝EB，AD＝BC＝BF，∴△BEF≌△AE D．∴DE＝EF.∴DE＝DF＝EF，即△DEF为等边三角形．例6如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，AN＝MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM＝45°.解：如图，过点M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，从而得到NE＝AM，ME⊥B C．∵ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90°，BM＝AC，∴△BEM≌△AM C．∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠4＝90°，且BE＝NE.∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°.∵AM∥NE，∴∠BPM＝∠BNE＝45°.命题点四：中心对称的应用【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的作法，在解题过程中，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键.例7如图，A，B，C是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形(要求新添加的小正方形与原小正方形至少有一边重合)，使所得的新图形分别为下列(1)(2)(3)题要求的图形，请画出示意图．(1)是中心对称图形，但不是轴对称图形．(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形．(3)既是中心对称图形，又是轴对称图形．解：(1)如图①，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．(2)如图②，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．(3)如图③，在右边一个正方形上侧画一个正方形，则构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．例8图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．(1)在图①中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(画一个即可)．(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形(画一个即可)．解：(1) (2)课后练习1．在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若▱ABCD的周长是16，则EC的长度是( A )A．2 B．3 C．4 D．62．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋AD，则( C )A．AD>BC B．AD<BC C．AD＝BC D．AD与BC的大小关系不能确定3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于点F，AF交BD于点E.若DE＝2AB，则∠AED 的大小是( B )A．60° B．65° C．70° D．75°4．(武汉市自主招生模拟题)如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B等于 ( D )A．54° B．60° C．66° D．72°5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙)．若①②③④四个平行四边形面积的和为28 cm2，四边形ABCD的面积是18 cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为( B )A．72 cm B．64 cm C．56 cm D．48 cm6．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE 的面积为( C )A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，AP＝QP＝QB＝BC，则∠A＝ 20°.8．如图，▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O为坐标原点，则对角线OB长的最小值为 5 .9．在面积为15的▱ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为11＋1132或1＋32.10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AD交BD于点E，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是 20°.11．(2019·吉林省“城市杯”初中数学应用能力展示真题)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为16，则BC＋CD＝ 8 .12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝22，求▱ABCD的周长．解：∵∠EAF＝45°，∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°.∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°.∴AE＝BE，AF＝DF.设AE＝x，则AF＝22－x.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝AE2＋BE2＝2x.同理可得AD＝2(22－x)＝4－2x.∴▱ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2(2x＋4－2x)＝8.13．如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边长分别为a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是( C )A．a＋b＋c＝d＋e＋f B．a＋c＋e＝b＋d＋fC．a＋b＝d＋e D．a＋c＝b＋d14．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为是 7 .15．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图①中，证明CE＝CF.(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数．(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．解：(1)∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥C D．∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF.(2)∠BDG＝45°.(3)如图，延长AB至点H，使AH＝AD，连结DH，则△AHD是等边三角形．∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°.∴AD＝DF.∵AH＝AD＝DF，∴BH＝CF＝CE＝GF.又∵FG∥CE，∠BCD＝60°，∴∠GFC＝60°.又∵∠BHD＝∠GFD＝60°，DH＝DF，∴△DBH≌△DGF，∠BDH＝∠GDF.∴∠BDG＝∠ADC－∠ADB－∠GDF＝∠ADC－(∠ADB＋∠BDH)＝120°－60°＝60°.。
平行四边形的判定定理培优讲解及练习
平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．页1∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．例2、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．页2（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF 是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．例3、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．页3页 4【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明． 【答案与解析】证明：连接BD 交AC 与O 点，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO ， 又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO， 即PO=QO ，∴四边形PBQD 是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF=DC ，连接CF ．试说明：D 是BC 的中点.【答案】证明：∵AF∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，页 5在△AEF 和△DEB 中，∵ ∴△AEF ≌△DEB （AAS ）， ∴AF=BD ， ∵AF=DC ， ∴BD=DC ， ∴D 是BC 的中点.【变式2】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ． （1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AB=2AF ∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），,,,＝＝＝AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩页 6∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD ， ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD ， ∵AC=EF ，AC=AD ， ∴EF=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．例4、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ， ∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ， ∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用例1、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：【变式】如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．页7页 8【答案】解：猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ，BE ∥DF ，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∵AE=CF ， ∴AD-AE=BC-CF ， 即DE=BF ， ∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE=DF ，BE ∥DF ．例2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ． （1）求证：PA=PC ．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】（1）首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，可得PN=PM ，则易证四边形EMFN 是平行四边形，则可得ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ，则可得PA=PC ；（2）由PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四边形ABCD 为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD 的面积． 【答案与解析】（1）证明：在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ． ∵AP+AE=CP+CF ， ∴PN=PM ． ∵PE=PF ，∴四边形EMFN 是平行四边形．∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．例3、如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：3页9∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】页10∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．例4、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】页11页 12∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ． 又∵AG=CH ，∴BG=DH ． 又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ， ∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 举一反三 【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE=DF ， ∴BO-BE=DO-DF ， 即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ， ∴AG=CH ， ∴AO-AG=CO-CH ， ,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即：GO=OH，∴四边形GEHF是平行四边形．【课堂练习】一.选择题1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形页136. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. 如图，E、F 是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．页1410. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．页1515.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．页162.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．页17页 18二.填空题 7.【答案】BE=DF ；【解析】添加的条件是BE=DF ，理由是：连接AC 交BD 于O ， ∵平行四边形ABCD ， ∴OA=OC ，OB=OD ， ∵BE=DF ， ∴OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 故答案为：BE=DF ．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ，BOGE ．共18个．故答案为：18． 9.【答案】3；【解析】解：设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题页1913.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，∴DE∥AC，CD=AB=AD=BD，∴∠B=∠DCE，∵∠FEC=∠B，∴∠FEC=∠DCE，∴DC∥EF，∴四边形CDEF是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，页20∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝2在Rt△CDE中，由勾股定理∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝在Rt△ABC中，由勾股定理．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋BA＝10＋.【课后作业】一.选择题1．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数CD==AB==页21页 223．A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A ．6种 B ．5种 C ．4种 D ．3种4. 如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD ）的个数共有（ ）A ．9个B ．8个C ．6个D ．4个5. 如图，在ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE ＝CFB.DE ＝BFC. D.6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED 是平行四边形； ②△BCE 是等腰三角形； ③四边形ACEB 的周长是10+2； ④四边形ACEB 的面积是16． 则以上结论正确的是（ ）CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组．8.在▱ABCD中，对角线相交于点O，给出下列条件：①AB=CD，AD=BC，②AD=AB，AD∥BC，③AB∥CD，AD∥BC，④AO=CO，BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出______个平行四边形．10.如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=___________度．11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，若要使四边形是平行四边形，则需要添加的一个条件是．（只写出一种情况即可）12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．页23三.解答题13. 在ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．15. 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D、F两点分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．页24(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD．【答案与解析】一.选择题1．【答案】D；【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2，∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，页25页 26当第四个点为（1，1）时， ∴BO=AC 1=2，∵A ，C 1，两点纵坐标相等， ∴C 3O=BC 3=， 同理可得出AO=AB=，进而得出C 3O=BC 3=AO=AB ，∠OAB=90°， ∴四边形OABC 3是正方形；故此选项正确；D 、∵以O （0，0）、A （1，-1）、B （2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC 2AB 是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC 2AB 不可能是平行四边形； 故此选项错误．故选：D ．2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形. 3．【答案】C ；【解析】根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C ．4.【答案】B ；【解析】设EF 与NH 交于点O ，∵在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，∴AD ∥EF ∥BC ，AB ∥NH ∥CD ，则图中的四边AEOH 、DHOF 、BEON 、CFON 、AEFD 、BEFC 、AHNB 、DHNC 和ABCD 都是平行四边形，共9个． 故选B ．5.【答案】B ； 22页 27【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ，从而得到AE ＝CF ，EO ＝FO ，BO ＝DO ，所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】A ；【解析】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°， ∴AC∥DE， ∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确； ②∵D 是BC 的中点，DE⊥BC， ∴EC=EB，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确； ③∵AC=2，∠ADC=30°， ∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=4， ∵CE=EB，∴EB=4，DB=2， ∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB 的周长是10+2故③正确； ④四边形ACEB 的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A ．二.填空题 7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和④，②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组．故答案为：4．8.【答案】①③④；【解析】∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴①正确；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴②正确；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴③正确；∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴④正确；即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④，故答案为：①②③④．9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．10.【答案】180°；【解析】依题意得ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°．11.【答案】AD=BC；【解析】∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD=BC．12．【答案】6；【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴BC2=AB2+AC2，∴∠BAC=90°，页28页 29∵△ABD，△ACE 都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°．∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC． 在△ABC 与△DBF 中，∴△ABC≌△DBF（SAS ）， ∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，∴S 口AEFD =AD•（DF ×）=3×（4×）=6． 即四边形AEFD 的面积是6． 故答案为：6．二.解答题 13.【解析】 证明：在ABCD 中AD ∥BC ，AO ＝CO ，BO ＝DO∴∠GAO ＝∠HCO 在△AGO 和△CHO 中∴△AGO ≌△CHO∴GO ＝HO 又∵BO ＝DO ，BE ＝DF GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EO＝FO∴四边形EHFG为平行四边形.14.【解析】证明：（1）如图1，∵OB=OC，∴∠ACE=∠DBF，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE=∠DBF，∠DBG=∠DBF，∴∠ACE=∠DBG，∴CE∥BG，∵CE=BF，BG=BF，∴CE=BG，∴四边形BGCE是平行四边形．15.【解析】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．页30又∵∠EFB＝60°，∴ EF∥BC，即EF∥DC．又∵ DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．(2)如图，连接BE．∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴△EFB是等边三角形，∴ BE＝BF＝EF，∠EBF＝60°，∴ DC＝EF＝BE．∵△ABC是等边三角形，∴ AC＝AB，∠ACD＝60°．在△ABE和△ACD中，∵ AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴ AE＝AD．页31。
第十九章 平行四边形的性质(培优)
第十九章平行四边形的性质（培优）：1、叫做平行四边形，记作“”，读作“”。
2、在平行四边形ABCD中，如果∠A=150°，那么∠B= °，∠C= °。
3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A、邻角互补B、邻角相等C、对角相等D、对边相等知识扩展：1.平行四边形的对边从位置上看是平行的，从数量上看是相等的。
2.利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决。
3.过对角线交点画出的任意一条直线，把四边形分成大小相等的两个图形。
知识点1. 平行四边形的定义1、如图，在□ABCD中，已知∠ODA=900，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）。
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2.点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A,B,C,D,四点恰好能够构成一个平行四边形，则在这个平面内符合这样条件的点D有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个知识点2. 平行四边形的性质3、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC、BD的长分别为8cm、10cm，则AD长度xcm的取值范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜84、（2011年湘西）下列说法错误的是（）A.两点之间，线段最短B.1500的补角是500C.全等三角形的对应边相等D.平行四边形的对边互相平行5、是□ABCD内的任意一点，若S□ABCD=6cm2，则图中阴影部分的面积为（）A. 5 cm2B. 4cm2C. 3cm2D. 以上都不对18.(2009年广州中考)如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点4，则ΔCEF的周长为（）E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=2（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5【1】.如图在□ABCD中，CE⊥AB,E为垂足，∠A=1250那么∠BCE的度数是（）A.550B.350C.250D.300【2】如图所示，在□ABCD中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别为AB和CD的五等分点，B1，B2，和D1，D2，分别为BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 2B. 35C.25D. 15【3】如图，□ABCD中，M,N分别在AC,AD上，且AM=2CM,DN=2AN,若⊿DMN的面积为4，则□ABCD的面积为。
第十八章平行四边形-(讲义)-2022—2023学年人教版数学八年级下册
特殊的平行四边形综合题型综合练习1.如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°.求证：（1）△ABF≌△DEC；（2）四边形BCEF是矩形.2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形.3.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．4.在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：（1）BH＝DE；（2）DE⊥BH.5、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠ABE=50º，求∠EGC的大小。
课后练习：一．选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是( )2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )A.5cmB.2cmC.cmD.cm3.如图,在平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE为( )A.4∶1∶2B.4∶1∶3C.3∶1∶2D.5∶1∶24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF5.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,点G,F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为( )A.3cmB.4cmC.2cmD.2cm二.填空题1.如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为.2.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF= 厘米.3．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝10，AC ＝16，那么菱形ABCD 的面积为 ．4．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′＝______．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ．C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点 D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．第3题 第4题 第5题三.解答题1.如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,点E,F 分别在边CD,DA 上,且CE=AF.求证:BE=BF.2．如图，在ABC △中，是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．（1）求证：BDE CDF △≌△．（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．3．如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．E DB A O4．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． （1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形．5．如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F ．（1）猜想：AD 与CF 的大小关系；（2）请证明上面的结论．6.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ，请回答下列问题：（1）四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．B G A E F HD C A C DF。
平行四边形及其性质讲义讲义
辅导讲义课题平行四边形及其性质教学目标1．1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．重点、难点1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．考点及考试要求平行四边形性质, 有关的论证和计算教学内容一，根底知识(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“〞来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD〞，读作“平行四边形ABCD〞．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形〔判定〕；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC〔性质〕．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角〔3〕由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．〔4〕、平行四边形的对边相等、对角相等．证明结论：：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．〔作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为的关于三角形的问题．〕证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA 〔ASA〕．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边〞可得出所需要的结论．证明：六、随堂练习1．填空：〔1〕在ABCD中，∠A=︒50，那么∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．〔2〕如果ABCD中，∠A—∠B=240，那么∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．〔3〕如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．1．〔选择〕在以下图形的性质中，平行四边形不一定具有的是〔〕．〔A〕对角相等〔B〕对角互补〔C〕邻角互补〔D〕内角和是︒3602．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有〔〕．〔A〕4个〔B〕5个〔C〕8个〔D〕9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．〔2〕平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质〔内角和是︒360〕．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：在纸上画两个全等的ABCD 和EFGH ，并连接对角线AC 、BD 和EG 、HF ，设它们分别交于点O ．把这两个平行四边形落在一起，在点O 处钉一个图钉，将ABCD 绕点O 旋转 180，观察它还和EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：〔1〕平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； 〔2〕平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1〔补充〕 ：如图4－21， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ． 证明：在ABCD 中，AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA ＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE ≌△COF 〔ASA 〕．∴ OE ＝OF ，AE=CF 〔全等三角形对应边相等〕． ∵ ABCD ，∴ AB=CD 〔平行四边形对边相等〕． ∴ AB —AE=CD —CF ． 即 BE=FD ．例2〔教材P94的例2〕四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48， ① 一边长12，求各边的长 ② AB=2BC ，求各边的长③对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，那么△OBC 的周长是____ ___cm ． 3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，那么ABCD 的周长是__ ___cm．七、作业1．判断对错〔1〕在ABCD中，AC交BD于O，那么AO=OB=OC=OD．〔〕〔2〕平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．〔〕〔3〕平行四边形的两组对边分别平行且相等．〔〕〔4〕平行四边形是轴对称图形．〔〕2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，那么AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为〔x+3〕，〔x-4〕和16，那么这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．课后练习平行四边形一、选择题1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．假设∠ABE=∠EBC ，AB=2，那么平行四边形ABCD 的周长是 ．GFEDCBA1题图 2题图 3题图2、如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，那么以下四个结论一定正确的选项是〔 〕①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④3、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，那么ΔCEF 的周长为〔 〕 A.8 B.9.5 C.10 D.11.54、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 那么□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12D ．154题图 5题图 6题图5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是〔 〕 A ．AB CD =B ．AD BC = C ．AB BC =D ．AC BD =6、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，那么以下结论不正确的选项是．．．．．．．A .S △ADF =2S △EBFB .BF=21DF C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ∠AEC=∠ADC 7、四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有〔 〕〔A 〕6种 〔B 〕5种 〔C 〕4种 〔D 〕3种8、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，假设A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，那么在平面内符合这样条件的点D 有 〔 〕AB CDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9、以下条件中，能判定四边形是平行四边形的是〔 〕.A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
第一节平行四边形-学而思培优
第十八章，四边形第一节平行四边形一、课标导航二、核心纲要一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD记作“□ ABCD”．2．平行四边形的性质(1)边：对边平行且相等．(2)角：对角相等，邻角互补．(3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．(5)面积 =底×高．3．平行四边形的判定(1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(2)角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．5．平行四边形中的面积关系1(1)sABC sABDsDBCsADC 2sABCD(2)s1s2s3s4 1 S ABCD4(3)s1 s2 s3 1s ABCD 2(4)s1 s3 s2 s41 s ABCD2s1 s4(5) s2 s3 或S1s3 s2 s46．已知三点确定平行四边形的方法已知 A、 B、C 是平面上不共线的三点，那么，以A、B、 C为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是 3 个，其作法分别为过三角形 ABC的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形的第四个顶点，如右图所示．本节重点讲解：一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系，三全能突破基础演练1．在平行四边形中，一定有( )．A ．两条对角线相等B．两条对角线垂直 C ．两条对角线互相平分D．一条对角线平分一组对角2．在口ABCD中．A 145 ,则B、 C 的度数分别是( ) ．A.30 ,150B.35 ,145C.40 ,140D.45 ,1353．如图18 -1-1 所示，在周长是10cm的口ABCD中， AB≠AD，AC、BD相交于点0，点 E 在AD边上，且OE BD , 则△ ABE的周长是( ) ．A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm4．□ ABCD的周长是28cm，AC与 BD相交于点0，AOB 的周长比OBC 的周长大4cm，那么AB等于().A.8cmB.9cmC.10cmD.llcm5．如图 18 -1-2 周长是( ) 所示，在□ ABCD中，∠．ABC 的平分线交AD于点E，若AE=2， AE：ED=2： 1，则□ ABCD的A.10 B ． 12 C．9 D.156．下列命题： (1)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形，(2) 一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，(3) 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有( )个．A.1 B．2C．3D．47．如图 18 -1-3 所示，点 D、E、F 分别为△ ABC三边的中点，若△ DEF的周长为10，则△ ABC的周长为 ( )A.5 B ． 10 C.20 D.408．若平行四边形相邻两边为a-3 ， b-5 ，它们与对边的距离分别为h a和 h b那么 h a : h b等于( )．A.5:3B.3:5C.10:3D.3:10能力提升9．如图 18 -1-4 所示， E 是□ ABCD内任一点，若s四边形ABCD 6 则图中阴影部分的面积为( )．A.2 B．3 C ．4 D.510.国家级历史文化名城—金华，风光秀丽，花木葱茏，某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图 18 -1-5所示），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是( )．A. 红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等11. 平行四边形的两条对角线长分别是x， y，一边长为12，则 x，y 可能是下列各组中的( )．A.8与 14 B．10与14C．18与20D．10与3812.如图 18 -1-6 所示，在口 ABCD中， E、 F 分别是边 AD、 BC的中点， AC分别交 BE 、 DF于点 G、 H，试判断下列结论 : ① ABECDF ; ②AG GH HC; ③EG 1BG; ④ s ABE s AG E , 其中正确的结2论有( ) ．A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13. 若以 A（ -0.5 ， 0）、 B(2 ，0) 、 C(O， 1) 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( ) ．A. 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限14. 如图 18 -1-7 所示，□ ABCD的对角线 BD上有点 E、 F，若要使四边形 AECF是平行四边形，则要添加一个条件，可以添加的条件是15. 如图 18 -1-8 所示， P 是平行四边形 ABCD内一点，且s PAB5, S PAD 2, 则阴影部分的面积为．16.如图 18 -1-9 所示，平行四边形 ABCD中，BAD的平分线交 BC 边于点 M，而 MD平分AMC ,若MDC45 ，则BAD；ABC。
初三特殊的平行四边形培优同步讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理二、知识概念（一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．3、菱形的面积计算②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．考点一：菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．考点二：矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（）A．B．C．D．例3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4C．8﹣4D．+1例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．考点四：线段和最短问题例1、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．（1）求证：△BEA≌△DEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．实战演练➢课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（）A．2cm B．3cm C．cm D．2cm3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．AC⊥BDC．AB=AD D．AC═BD4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC 于N，则EM+EN的值为（）A．6B．1.5C．D．7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（）A．B．C．D．8、如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．➢课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（）A．48cm2 B．24cm2C．18cm2D．12cm23、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5C．6D．94、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（0，2）5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（）A．B．C．D．7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．直击中考1、【2016•广安】下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、【2016•广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1D．2+13、【2016•遵义】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BDC．AC=BD D．∠BAC=∠DAC4、【2009•深圳】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（）A．3B．5C．D．5、【2006•淮安】如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）A．S=2B．S=2.4 C．S=4D．S与BE长度有关6、【2015•遵义】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．重点回顾1、菱形、矩形、正方形的性质与判定；2、最短问题与翻折问题的解决。
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q一q — qD MOB — ° MiOC — ° ^COD 平行四边形【知识要点】一、平行四边形1.平行四边形的概念：两组对边分别的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边；(2)平行四边形的对角；(3)平行四边形的对角线.注意:平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边的四边形是平行四边形.注意：(1)平行四边形的定义既可以作为性质，乂可以作为判定；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形.(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则有C — C — C — C — J_ c。
MBC —□ MiCD— D ACDA — ° 2)AB ~ ABCD4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.二、矩形1、定义：有一个角是的平行四边形叫做知形.2、性质：（1）矩形的四个角是；（2）矩形的对角线.注意：（1）矩形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质矩形都具备.3、判定：（1）有三个角是直角的四边形是；（2）对角线相等的平行四边形是.注意：矩形的定义可作为判定.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等.三、菱形1、定义：有一组邻边的平行四边形是菱形.2、性质：（1）菱形的四条边；（2）菱形的对角线,并且每一条对角线. 注意：（1）菱形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质菱形都具备；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴.3、判定：（1）四条边都相等的四边形是_____ ；（2）对角线互相垂直的平行四边形是・注意：（1）菱形的定义可作为判定；（2）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一•组邻边相等或者对角线互相垂直；（2）可以证明一个四边形的四条边相等.4、面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底X高；（2）两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线的长为。
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平行四边形培优讲义新打印版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1平边四边形知识点一．知识框架二．知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形常用辅助线：平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD•是平行四边形．2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗说明理由.3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形．4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC 于O。
求证：EF与MN互相平分。
FEODACBNMFEOA7、(变式练习4)如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.8、(变式练习)□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延长线于E，BF平分∠ABC交AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF是平行四边形9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么10、(变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。
求证：（1）BE=DF；（2）O为GH的中点。
FECDBAB CFDG HEO11、□ABCD 中，E 在AB 上，F 在CD 上，且AE=CF,M 为DE 中点，N 为FB 中点,求证：FM=NE ME=NF12、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分说明理由.13、.如图所示，已知点D 是△ABC 的边AB 上的中点，点E 是AC 上的一点，DF ∥BE,EF ∥AB,证明：AE 、DF 互相平分14、如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，△BME 是△AMD 绕点M 按顺时针方向旋转180°得到的，连结AE ，求证：DE=AC ．15、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．求证：四边形AFCE 是平行四边形．N ME F CD B A FD B C A EAD FC BE16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路，路线是B →D →C →F ，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站，请说明理由.17、在平行四边形ABCD 中，BN ＝DM ，BE ＝DF ，求证：四边形MENF 是平行四边形.18、如图，在ABCD 中，AB=2AD ，延长AD 到F,使DF=AD,再延长DA 到E,使AE=AD,求证:BF ⊥CE.19、如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
20、如图3，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥，连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。
21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．矩形拓展题1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD2、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（）+22 +22 +42 +42①②③3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )A．2m+3B．2m+6 C．m+3 D．m+6ABOC第1题(第3题)m+3m34、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )A．a B．a54 C．a22 D．a235、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，︒>∠60BEG，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG∠相等的角的个数为( )B. 3C.26、矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．7．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=________。
9、如图2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .B CD A DEF①②AB CEGMN③A B C F E 'A 第11题图 （'B ）D 10、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm. 11、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．12、如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．13、如图自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD,E 为垂足,延长CE 至F,使CF=BD,连接AF,求∠BAF 的大小菱形的性质及判定巩固练习题1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形B ．每条对角线平分一组对角的四边形C ．对角线互相垂直的平行四边形D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3．8cm 和3．4cm 和3AB CD5 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．32 B．33 C．34 D．36 如右图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立．．．的是（）A. DEDA= B. CEBD= C. 90=∠EAC° D.EABC∠=∠27 如右图，在菱形ABCD中，对角线AC BD，相交于点O E，为AB的中点，且OE a=，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a8、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cmAB=．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．9、已知菱形ABCD的面积是212cm，对角线4AC=cm，则菱形的边长是cm10、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．12、如图，菱形ABCD中，O是对角线AC BD，的交点，5cmAB=，4cmAO=，则BD= cm．13、如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）13题图 14题图12题图14、如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）FADEBCAB CDEOD CBOAADEBFA DOEB C15、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：•∠ABC=•1：•2，•则BD=•__ ___，•菱形的面积是____ __．16、在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．17、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。