高等数学积分强化练习题
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.若函数，则____________.【答案】【解析】∵，∴.【考点】利用微积分基本定理求解定积分的知识.2.＝。
【答案】【解析】.【考点】定积分的计算.3.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同..所以落到阴影部分的概率为.【考点】1.几何概型.2.定积分.4.直线与抛物线，所围成封闭图形的面积为【答案】【解析】解与联立的方程组得，所以，由定积分的几何意义，直线与抛物线，所围成封闭图形的面积为.【考点】定积分的应用5.[2014·豫北联考]计算定积分dx＝________.【答案】π【解析】dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得dx＝π.6.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【答案】2π【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝dx＝(x－sin x)＝2π．7.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】由定积分知识可得，故选D。
8.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于() A．B．2C．D．【答案】C【解析】由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．直线l的方程为y＝1.所求面积S＝＝＝.9.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．10. 2．=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】=∵，∴圆的面积的四分之一，即．11.设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数则当函数时，定积分的值为【答案】【解析】由定义可知，当时，，即，则＝＝＝＝．【考点】定积分的运算．12.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．13.若m＞l，则函数f（m）＝dx的最小值为＿＿＿【答案】-1【解析】，当且仅当时等号成立．【考点】积分的运算.14.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，∴，故选A.【考点】1.积分的运算；2.几何概型.15.曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为()A．(sinx-cosx)dx B．(sinx-cosx)dxC．(cosx-sinx)dx D．2(cosx-sinx)dx【答案】D【解析】当x∈[0,]时,y=sinx与y=cosx的图象的交点坐标为(,),作图可知曲线y=sinx,y=cosx 与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=sinx,y=cosx与直线x=,x=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选D.16.(x2-x)dx=.【答案】【解析】(x2-x)dx=(x3-x2)=-=.17.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.【答案】-1【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S阴影=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.18.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由曲线与直线的交点为.方法一：则封闭的平面图形的面积为.方法二：.【考点】定积分的简单应用19.若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为( )A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S1＜S2【答案】A【解析】令，，易知在区间上，，均为正值，且，但在区间上为减函数，，均为区间上的增函数，所以，令，则且所以当时，恒成立，所以，函数在区间上为减函数，而所以在区间上恒成立，即有，综上，当时，所以，故选 A。
高等数学曲线积分练习题
习题10 曲线积分一、填空题1、设曲线L 是上半圆周 x y x 222=+，则L xds =⎰ 。
2、设L 是圆周x y x 222=+，则=+-⎰Lxdy ydx 。
3、设L 是抛物线2y x =上由点A （4，2）到B （4，-2）的一段弧，则22L xydx x dy +=⎰ ． 4、L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，()L x y ds +⎰＝ 。
5、L 为空间曲线2221,0x y z z ++==，ds z y x L ⎰++2221＝ 。
二、选择题 1、已知L ：()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰dx y x f L ,（ ）。
A 、()()[]⎰βαψϕdt t t f ，；B 、[](),()()f t t t dt αβϕψϕ'⎰C 、 [](),()()f t t t dt βαϕψϕ'⎰ ；D 、[](),()f t t dt αβϕψ⎰ 2、L 是圆域D ：222x y x +≤- 的正向圆周，则 ()()⎰-+-L dy y x dx y x 33=（ ）。
A 、2π- B 、0 C 、3/2π ； D 、2π。
3、()()⎰-++=L dy x y dx y x I 2222，其中L 是由0,1,y x y x ===所组成的正向回路，则I =（ ）。
. A 、0； B 、1-； C 、1 ； D 、/2π。
4、已知()()2x ay dx ydy x y +++为某函数的全微分，则a =（ ）。
A 、-1B 、0C 、1D 、25、设(,)F x y 可微，如果曲线积分(,)()C F x y xdx ydy +⎰与路径无关，则(,)F x y 应满足（ ）。
A 、(,)(,)y x yF x y xF x y = B 、(,)(,)y x F x y F x y = C 、 (,)(,)yy xx yF x y xF x y =D 、(,)(,)y x xF x y yF x y = 三、解答题 1、计算曲线积分I ＝⎰L xyds ，其中L 为圆)0(sin cos >⎩⎨⎧==a ta y t a x 在第一象限的圆弧2、计算曲线积分I ＝⎰+++L dy x dx y x )28()2(，其中L 为从原点O(0,0)沿直线至点A(2,0)，再沿直线至点B （4,4）。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【答案】2π【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝dx＝(x－sin x)＝2π．3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．5.已知通过点(1，2)，与有一个交点，交点横坐标为，且．如图所示:设与所围成的面积为S，则S取得最小值为．【答案】【解析】由通过点(1，2)可得，即，由与联立方程组，解得．则与所围成的面积S为．∵由得，由得或，所以当时，S取得极小值，即最小值．此时，最小值．6.设函数，若，则x的值为______．【答案】【解析】，又，∴．7.下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．【答案】①③【解析】，①正确；时，与的夹角为钝角或为，②不正确；由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；，令在是减函数，在是增函数，所以，函数的无最小值，④不正确；综上知，答案为①③.【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.8.已知，若，则= ( )A．1B．-2C．-2或4D．4【答案】D【解析】，即，解得，（因为），故选D.【考点】定积分基本定理9.．给出下列命题：①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，；③若，且，则；④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是个。
【解析】①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.【考点】（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.10.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由曲线与直线的交点为.方法一：则封闭的平面图形的面积为.方法二：.【考点】定积分的简单应用11.已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则_____.【答案】【解析】，解得.【考点】定积分的几何意义.12.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A．B．2－ln 3C．4＋ln 3D．4－ln 3【解析】如图所示，所求面积为S＝3－d x－＝8－ln x－4＝4－ln 3，故选D.13.d x＝________.【答案】π【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x＝×4π＝π.14.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.15.设a＝，b＝，c＝，则下列关系式成立的是()．A．<<B．< <C．D．【答案】C【解析】a＝＝ln x＝ln 2，b＝＝ln x＝ln3，c＝＝ln x＝ln5，所以，，，因为，()6＝32＝9，所以，()10＝25＝32，()10＝52＝25，所以<，即<<，所以16.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为( )A．4B．C．D．2【答案】D【解析】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．【考点】三角函数平移变化，定积分．17.若，则f（2016）等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】，选D.【考点】1、分段函数及函数的周期性；2、定积分.18.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．19.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】【解析】.【考点】1.积分的运算；2.利用积分求面积.20.已知，，记则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．21.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．22.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y ＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图象如图，则,，则区域的面积，区域的面积为，由题意知，化简得，解得.【考点】定积分的计算.23.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．24.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=.【考点】定积分的计算25.曲线，所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.【考点】曲边梯形面积.26.若，，，则从小到大的顺序为 .【答案】【解析】，，，故.【考点】微积分基本定理.27.＝．【答案】3【解析】，或画出函数的图象，可以求出它在区间与轴围成的面积是3，由定积分的几何意义知答案为3.【考点】定积分的计算、定积分的几何意义.28.曲线和曲线围成的图形面积是．【答案】【解析】解得，或，则所求面积为 .【考点】定积分29.设，则二项式展开式中的第四项为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，选A.【考点】微积分基本定理，二项式定理.30.在的展开式中的常数项为p，则 .【答案】11【解析】，令，即，，则.【考点】二项展开式的通项、定积分的运算.31.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为32.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。
高数积分题
当涉及到高等数学中的积分问题时，这里提供一道示例题目供您参考：
考虑求解以下积分：
∫(2x + 3)dx
解答过程如下：
首先，根据积分的线性性质，我们可以将积分拆分为两个部分：
∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx
现在我们来计算每个部分的积分：
∫2xdx = 2 * ∫xdx
= 2 * (x^2/2) + C1
这里C1是常数，表示积分的任意常数。
继续计算第二个部分：
∫3dx = 3 * ∫1dx
= 3 * x + C2
同样地，C2也是常数。
综合起来，我们得到原始积分的结果为：
∫(2x + 3)dx = 2 * (x^2/2) + 3 * x + C
这里C是整个积分的任意常数。
最终的结果表达式可以表示为：
∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C
这就是给定积分问题的解答过程和最终结果。
请注意，由于每个积分问题可能有不同的形式和要求，因此解答过程和结果可能会有所不同。
所以在遇到具体问题时，最好根据具体题目的要求进行求解。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
高等数学微积分例题
高等数学微积分例题高等数学微积分在数学中是一个重要学科，微积分有很多用途，涉及到数学建模、复杂的物理问题的分析等等。
熟练掌握微积分的能力对于学生的学习和科研都至关重要。
微积分具有一定的抽象性，所以，从例题中了解微积分的本质，是学习微积分的最有效方式之一。
以下是几个例题让大家去练习：1.算下列不等式的解集：$$x^2-3x+2 < 0$$解：$$x^2-3x+2 < 0$$解集为$$x < 2$$或$$x > 1$$2.积分$$int_{0}^3 (2x-3)^2dx$$解：$$int_{0}^3 (2x-3)^2dx=int_{0}^3 (4x^2-12x+9)dx$$$$=left.left(4dfrac{x^3}{3}-6x^2+9xright)rightvert_{0}^{3}$ $$$=4-18+27=9$$3.明下列不等式的稳定性：$$x^3-3x+2 < 0$$解：首先，考虑$x=0$：$$left.x^3-3x+2rightvert_{x=0}=2<0$$可知，针对$x=0$，不等式的左边的值小于0，所以对于$x=0$，不等式成立。
然后考虑$x>0$，令$f(x)=x^3-3x+2$，则$$f(x)=3x^2-3$$可以看出，$f(x)$在$x=0$处取得最小值，也就是说当$x>0$时，$f(x)>0$。
又由微分学知识，在函数$f(x)$上单调递增，所以函数$f(x)$也会随着x的增加而不断增大。
因此，对于$x>0$，当$x^3-3x+2<0$时，则$f(x)$将永远小于0，所以不等式将永远成立。
最后，考虑$x<0$，在$x<0$的时候，$f(x)<0$，说明在$x<0$的时候，函数$f(x)$是在减小，这也就意味着，当$x<0$时，不等式将永远成立。
以上是例题的解法，通过这些例题，大家可以更好地了解微积分，利用动手实验的方式，更好地掌握微积分的知识。
高等数学 各类积分 题目
高等数学各类积分题目
以下是一些高等数学中各类积分题目，可供参考：
1. 求不定积分。
例如，计算。
2. 计算定积分。
例如，计算。
3. 求二重积分。
例如，计算。
4. 求三重积分。
例如，计算。
5. 求曲线积分。
例如，计算。
6. 求曲面积分。
例如，计算。
7. 求解与微分方程相关的积分。
例如，求解。
8. 求解与微分方程相关的定积分。
例如，计算。
9. 求解与微分方程相关的二重积分。
例如，计算。
10. 求解与微分方程相关的三重积分。
例如，计算。
以上题目难度各异，可以根据自己的学习情况选择合适的题目进行练习。
同时，也可以参考教材、习题集等资料，多做练习以巩固基础和提高解题能力。
高等数学《上》,重积分。黄金例题。
1 a2
v ∫
L
x 2 ds =
分
∫∫ ( x yz
3 Σ
2
+ z ) dS =
．
． 【解】填“ − 5 π ” 抛 物 面 z = x + y 在 点 (0,1,1) 处 的 法 向 量 n = {2 x, 2 y, −1}|(0,1,1) = {0, 2, −1} ， 对 应 切 平 面 方 程 为
y x
．
u ⎧ x= , ⎧ x + y = u, ⎪ 1− v 1− y ⎪ ⎪ 1+ v 则 ⎨ 代入原式并整理得 f (u , v) = u ． 令 ⎨y , f ( x, y ) = x uv 1 1 + + v y = v , ⎪y = ⎪ , ⎩x ⎪ 1+ v ⎩ −2 x 1− y f x′ ( x, y ) = ，故 f x′ (1, 0) = 1 , f y′ (1, 0) = −2 ，所以 , f y ′ ( x, y ) = 1+ y (1 + y ) 2
1 1 1 4 R 2 dS = R 2 ∫∫ dS = R 2 ⋅ 4π R 2 = π R 4 ． ∫∫ 3∑ 3 ∑ 3 3
，在 x = 2π 处收敛
（18）设 f ( x) = ⎨ 于 【解】填“ ．
⎧ e , − π ≤ x < 0, 则其以 2π 为周期的傅里叶级数在 x = π 处收敛于 1 , 0 ≤ x < , π ⎩
Σ D
（17）若曲面 ∑ 为 x + y + z = R ，则曲面积分 【解】填“
∫∫ z dS =
2
∑
．
4 π R4 ” ． 3
高三数学积分试题
高三数学积分试题1.直线与抛物线所围图形的面积等于_____________．【答案】【解析】由解得或，所以其围成图形的面积为= =.【考点】定积分的应用2.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.3.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.4.若，其中，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于.所以（舍去），又所以.故选B.【考点】1.定积分问题.2.三角方程的解法.5.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A．B．4C．D．6【答案】C【解析】用定积分求解，选C6.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．7.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为．8.=_________.【答案】9【解析】由可得.【考点】1.定积分的概念.2.导函数的逆运算.9.若实数，则函数的图象的一条对称轴方程为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为.所以函数的解析式为.即.所以对称轴为，即.当时，.故选B.【考点】1.定积分的运算.2.三角函数的化一公式.3.三角函数的性质.10.(e x+2x)dx等于()A．1B．e-1C．e D．e+1【答案】C【解析】∵(e x+x2)'=e x+2x,∴(e x+2x)dx=(e x+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.11.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为________.【答案】【解析】因阴影部分的面积为.又正方形的面积为1，点恰好取自阴影部分的概率为.【考点】1.定积分的概念.2.几何概率的含义.12.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1【答案】B【解析】S1＝x2d x＝x3＝，S2＝d x＝ln 2，S3＝e x d x＝e2－e，∴S2＜S1＜S3.13.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．【答案】【解析】设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，a＜0.又点(0,1)在函数f(x)的图象上，则a＝－1，∴f(x)＝1－x2.由定积分几何意义，围成图形的面积为S＝(1－x2)d x＝14.若＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是______．【答案】2【解析】由＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln2，所以解得a＝2.15.由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为________．【答案】【解析】根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为16.已知函数R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=____________．【答案】-1【解析】由图知方程有两个相等的实根，于是，∴，有，∴．函数与轴的交点横坐标一个为0，另一个，根据图形可知，得．故答案为-1．【考点】函数与方程，定积分的应用17.如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.【考点】定积分的应用，几何概型.18.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】【解析】.【考点】1.积分的运算；2.利用积分求面积.19.从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】阴影部分的面积，而正方形的面积，故点取自阴影部分的概率为，故选B.【考点】1.定积分；2.几何概型20.。
高等数学重积分考试试卷及答案解析
高等数学课程第十章 重积分试卷单元测试题（A ）一、选择题（每小题4分，共20分）1、()()01,lim ,niiii Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰中λ是 （ ）A. 最大小区间长B. 小区域最大面积C. 小区域直径D. 小区域最大直径2、函数(),f x y 在有界闭区域 D 上有界，是二重积分(),Df x y dxdy ⎰⎰存在的 （ ）A. 充分必要条件B. 充分条件，但非必要条件C. 必要条件，但非充分条件D. 既非充分又非必要条件3、二重积分Dxydxdy ⎰⎰（其中2:0,01D y x x ≤≤≤≤）的值为 （ ）A.16 B.112 C. 12D. 144、若区域 ()22:11D x y -+≤，则二重积分 化为累次积分为 （ ） A.()2cos 0cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰B.()2cos 0cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰C.()2cos 202cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰D.()2cos 22cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰5、设空间区域02222≥≤++Ωz R z y x ，：；00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，则 ( ) A.1d d d 4d d d x x y z x x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.1d d d 4d d d y x y z y x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.1d d d 4d d d z x y z z x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.1d d d 4d d d xyz x y z xyz x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 更换积分I=10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序，则I= （ ）A. ⎰⎰101),(xdy y x f dx ； B.110(,)dx f x y dy ⎰⎰； C.10(,)xdx f x y dy ⎰⎰； D.11(,)ydx f x y dy ⎰⎰.7. 若10,10:≤≤≤≤y x D ，则积分⎰⎰+Ddxdy y x )(= （ ）A. 1;B. 2;C. 0;D. -1.8. 二重积分2Dxy dxdy ⎰⎰（其中2:0,2D y x x ≤≤≤）的值为 （ ） A. 0； B.323； C. 643； D. 256.二、判断题（每小题2分，共10分）1、如果函数(),f x y 在有界闭区域D 上连续，则其在D 上可积. （ ） 2. 如果函数(),f x y 在有界闭区域D 上可积，k 是常数则()(),,DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.（ ）3、若函数(),f x y 是有界闭区域D 上的负连续函数，则(),0Df x y d σ<⎰⎰ . （ ）4、如果在D 上，(),1f x y ≡-，D 的面积为 σ，则Dd σσ=⎰⎰ . （ ）5、如果函数(),f x y 在关于y 轴对称的有界闭区域D 上连续，且()(),,f x y f x y -=-，则(),0Df x y =⎰⎰ .（ ）三、填空题（每小题4分，共20分）1、设区域D 的面积为S ，则2Dd σ⎰⎰= .2、设222:D x y a +≤，0y ≥，m 为奇数，则m nDx y dxdy =⎰⎰ . 3、已知(),f x y 为连续函数，则()1,ydy f x y dx ⎰交换积分次序后 .4、二次积分()1,dx f x y dy ⎰在极坐标系下先对r 积分为 .5、根据二重积分的几何意义，D= 其中22:4D x y +≤，0y ≥。
高等数学(同济五版)第五章 定积分 练习题册
42文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、填空题： 在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是 ．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ，其中：(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( )2．曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C)⎰-e xx dx xe e 1)(； (D)⎰-1)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节 微积分基本公式一、填空题： 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx xx )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．43文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明： (1)2)('≥x F ；(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节 定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．二、选择题(单选)：⎰>=aa dx x f x I 023)0()(，则I 为：(A)⎰20)(a dx x xf ；(B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0)(21．答：( )三、试解下列各题： 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分：44文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节 反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x ．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散，则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定． 答：( )三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=dx e x I x n n (n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim20=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ． 2．=-⎰201dx x ．45文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.3．=+⎰-ππdx xxx 21cos ． 4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于： (A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2cos -； (D) x cos ．答：( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于： (A)⎰+'bady y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．答：( )三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ． 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x xx f x，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21xy =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积． 四、试解下列各题(每小题15分，共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。
普通高校专升本高等数学填空题专项强化真题试卷8(题后含答案及解析)
普通高校专升本高等数学填空题专项强化真题试卷8(题后含答案及解析)题型有：1.1．定积分的值为______正确答案：π解析：利用定积分定称性定理，原积分变为2．_______．正确答案：e2解析：这是“12”型未定式，根据两个重要极限，3．设函数y=x(x3+2x+1)+e2x，则y(7)(0)=_______．正确答案：128解析：由题意可知y=x4+2x2+x+e2x，得y(7)=27e2x 可知y(1)(0)=27=128，故答案为128．4．设曲线L为圆周x2+y2=1，则对弧长的曲线积分=______．正确答案：2π5．微分方程y’’+3y’+2y=e2x的特解形式可设为y*=_________．正确答案：Ae2x(A为待定常数)．解析：因方程的特征方程为r2+3r+2=0，故有特征根r1=－2，r2=－1；又方程的自由项f(x)=e2x，λ=2不是特征根，故微分方程的特解可设为y*=Ae2x(A 为特定常数)．6．xoy坐标面上的双曲线9x2-4y2=36与y=0，y=1围成的平面图形绕y轴旋转而生成的旋转体的体积是______。
正确答案：解析：考查旋转体体积7．设y+lny－2xlnx=0确定函数了y=y(x)，则y’=________．正确答案：解析：因为y+lny－2xlnx=0，令F(x，y)=y+lny－2xlnx．则8．设f(x)=则f(ln2)=_____．正确答案：解析：因为所以9．交换积分次序后，∫01dx f(x，y)dy=_______．正确答案：∫01dy f(x，y)dx解析：由∫01dx f(x，y)dy知，积分区域为：交换积分次序后，积区域为：10．设函数y=xe-x，则曲线的拐点为_______．正确答案：(2，2e-2)11．微分方程y”-2y’+y=x-2的通解为_______．正确答案：y=(C1+C2x)ex+x解析：先求对应齐次方程y”-2y’+y=0的通解，因特征方程为r2-2r+1=0，r=1为重根，所以齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e2．设y*=Ax+B为原方程的特解．则y*’=A，y*”=0，将y*、y*’、y*”代入原方程有-2A+(Ax+B)=x-2，所以A=1，B=0，于是y*=x，原方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x．12．=_______正确答案：解析：原式=13．设f(x)=arctanc，g(x)=sin，则g[f(x-1)]=_______正确答案：解析：f(-1)=，所以g[f(-1)]=g14．已知y=sinx，则y(10)=______正确答案：-sinx解析：由(sinx)(n)=sin(x+n.)知，y(10)=sin(x+)=-sinx15．微分方程的通解为__________．正确答案：y=sin(sinx+C)解析：分离变量得得解arcsiny=sinx+C，或y=sin(sinx+C)．16．设函数f(x)在区间(-∞，∞)内连续，且那么f(0)=________.正确答案：解析：因为所以由f(x)在(-∞，+∞)上连续知，17．交换二次积分的积分次序正确答案：18．幂级数的收敛半径是__________．正确答案：2解析：幂级数的收敛半径19．极限=__________.正确答案：0解析：本题考察的是罗比达法则求极限．20．幂级数的收敛半径R=_____________.正确答案：3解析：故R=3．21．函数f(x)=3x－x2的极值点是________．正确答案：令(x)=3－2x=0，可得函数的驻点x=，且(x)在x=的左右两侧附近变号，故原函数的极值点为x=22．曲线y=lnx上点(1，0)处的切线方程为_______正确答案：y=x-1解析：曲线y=lnx上点(1，0)处的切线的斜率为k=y’==1，又切线过点(1，0)，所以切线方程为y=x-1。
高等数学测试题五(定积分)答案
高等数学测试题（五）定积分部分（答案）一、选择题（每小题4分共20分）1、 设320()(0)aI x f x dx a =>⎰，则I 等于（C ）A 2()a I xf x dx =⎰B 0()a I xf x dx =⎰C 201()2a I xf x dx =⎰D 01()2aI xf x dx =⎰2、下列函数中，哪个函数在[,]a b 上不一定可积（B ） A ()f x 在[,]a b 内有两个第一类间断点 B ()f x 在[,]a b 上有界 C ()f x 在[,]a b 内严格单调增加 D ()f x 在[,]a b 上连续3、设函数()f x 在[,]a b 上连续，则曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的平面图形的面积等于（C ）A()baf x dx ⎰B()baf x dx ⎰C()baf x dx ⎰D ()(),()f b a a b ξξ'-<<4、下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（C ） A3112dx x-⎰B 3ln xdx ⎰C4tan xdx π⎰ D 22cot xdx ππ-⎰5、已知20()xx f t dt a =⎰，则()f x 等于（D ）A 22xa B 2ln xa a C 212x xa - D 22ln xaa二、填空题（每小题4分共20分） 1、 设函数2()cos xF x t tdt =⎰，则()4F π'=8π 2、 比较定积分的大小43ln xdx ⎰<433ln xdx ⎰3、 极限202sin limxx tdt t x→⎰=12 4、322sin x x d t dt dx⎰=223sin92sin 4x x - 5、 已知201()0cx x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它 ，若()1f x dx +∞-∞=⎰，则常数c =3 三、解答题 1、（7分）计算22220()limxt x x t e dt e dt→+∞⎰⎰解：原式=222220222limlim02xxt x x x x x e e dte exe→+∞→+∞==⎰2（7分）若()f x 连续，且(2)4f =-，计算2222[()]lim(2)xtx f u du dtx →-⎰⎰解：原式=222()()limlim22(2)2xx x f u duf x x →→-==-⎰3、（7分）计算21x dx -⎰解：原式=1201(1)(1)1x dx x dx -+-=⎰⎰4、（8分）计算230x e dx -解：原式=222012x e dx -，令 2x t =，:0ln 2t →原式=ln 2ln 2001122t t te dt tde --=-⎰⎰ln 2ln 211()(1ln 2)24tt te e dt --=--=-⎰5、（7分）计算2221min{,}x dx x-⎰解：由被积函数的奇偶性知 原式=21222312010*******min{,}2()2(ln )2(ln 2)33x dx x dx dx x x x x =+=+=+⎰⎰⎰6、（12分）设函数02()0()0x tf x dtx F x x cx ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ ，其中 ()f t 具有连续的导数，且(0)0f =（1） 确定常数c ，使得函数()F x 连续 （2） 讨论()F x '是否连续解：（1）02()()1lim ()limlim(0)022xx x x tf t dt xf x F x f x x →→→====⎰ 所以 由()F x 连续知 0lim ()0x c F x →== （2）当 0x ≠时32043()2()()2()()xxx f x x tf t dtx f x tf t dtF x xx--'==⎰⎰20000()()(0)(0)lim lim0()1()(0)1lim lim (0)3303xx x x x tf t dtF x F x F x x f x f x f f x x →→→→-'==--'===-⎰2203200()2()2()()2()lim ()limlim 31(0)(0)3xx x x x f x tf t dtxf x x f x xf x F x x x f F →→→-+-'==''==⎰所以 ()F x '为连续函数。
高等数学定积分提高习题
例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 比较12x e dx ⎰，212x e dx ⎰，12(1)x dx +⎰．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．解法2 在[1,2]上，有2xx e e ≤．由泰勒中值定理212!xe e x x ξ=++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．例4 估计定积分22xxe dx -⎰的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2()xxf x e -=, 因为 2()(21)xxf x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12x =, 而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -≤≤∈,从而21224022xxee dx e --≤≤⎰,所以21024222x xe edx e ---≤≤-⎰.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim ()()bn an g x f x dx →∞⎰．解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则()b nam g x dx ⎰()()b n ag x f x dx ≤⎰()bn aM g x dx ≤⎰．由于lim lim 1n n n n m M →∞→∞==，故lim ()()b n an g x f x dx →∞⎰=()bag x dx ⎰．例6求sin lim n pnn xdx x+→∞⎰, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理 设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+,当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．解法2 利用积分不等式 因为sin sin 1ln n pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰,而limln0n n pn→∞+=,所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰．例7 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法1 由积分中值定理()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101nx dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰，01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+， 故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰． 解法2 因为01x ≤≤，故有01nn x x x≤≤+． 于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰． 因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中3[,1][0,1]4ξ∈⊂．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0f c '=．证毕．例9 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x '=-，令()0F x '<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求． 例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()x t g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得20(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-． x(,0)-∞ 0 (0,1)1(1,)+∞()f x '- 0＋－例14 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x →-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t→-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x →→⋅-+201lim 11cos x x b x a→==-， 由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x →→⋅=+2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-⎰⎰，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--⎰=1()()22xa x a f x f t dt --⎰ ≥1()()22x a x a f x f x dt --⎰=()()22x a x af x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而()F b =()()2bba aa b xf x dx f x dx +-⎰⎰0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22baa b a bx f x f dx ++--⎰0≥． 即()()2baa b x f x dx +-⎰()()22b a a b a b x f dx ++≥-⎰=()()22b a a b a bf x dx ++-⎰=0．故()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 例18 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩． 解 23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()ba f x dx ⎰是常数（,ab 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当[1,2]x ∈时，有0()()xF x f t dt ==⎰0(52)xt dt -⎰=25x x -．故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++→→=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因 为当[1,2]x ∈时，0()()xF x f t dt =⎰中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，101()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰才正确．例22 计算2112211x x dx x-++-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx x x--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-⎰, 于是2112211x xdx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x--⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -⎰．分析 被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分． 解3412ln (1ln )e e dx x x x -⎰=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -⎰=34122(ln )ln 1(ln )e ed x x x -⎰=341222(ln )1(ln )e ed x x -⎰=3412[2arcsin(ln )]e e x =6π． 例24 计算40sin 1sin xdx xπ+⎰．解40s i n 1s i n x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx xπ--⎰=244200sin tan cos x dx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d xx dx xππ---⎰⎰ =44001[][tan ]cos x x x ππ--=224π-+． 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算2202ax ax x dx -⎰，其中0a >．解2202ax ax x dx -⎰=2220()ax a x a dx --⎰，令sin x a a t -=，则2202ax ax x dx -⎰=3222(1sin )cosat tdt ππ-+⎰=32202cos 0atdt π+⎰=32a π．注 若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算022adxx a x+-⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t tπ++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰ []201ln |sin cos |2t t t π=++=4π．解法2 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰=2cos sin cos tdt t tπ+⎰．又令2t u π=-，则有20cos sin cos t dt t tπ+⎰=20sin sin cos udu u u π+⎰．所以，22adxx a x +-⎰=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t tt t ππ+++⎰⎰=2012dt π⎰=4π． 注 如果先计算不定积分22dx x a x +-⎰，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x xe e dx e -+⎰． 分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式． 解 设1x u e =-，2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 513x x x e e dx e -+⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰2221284du du u =-=+⎰⎰4π-． 例28 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=22201()2xf x t dt -⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰， 故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x ⋅=2()xf x ． 错误解答220()xd tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π⎰30(c o s )x d x π=-⎰33[(c o s )](c o s)x x x d x ππ=⋅---⎰ 30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-． 例30 计算12ln(1)(3)x dx x +-⎰． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于20sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰2200[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得2sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰ 21021421x dx x π=--⎰． （1） 令sin x t =，则2121x dx x-⎰2202sin sin 1sin t d t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos 22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2） 将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰0()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研） 设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()limx f x A x→=（A 为常数）， 求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性．分析 求()x ϕ'不能直接求，因为10()f xt dt ⎰中含有()x ϕ的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ϕ'，最后用函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性．解 由0()limx f x A x→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0ϕ=．当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则()()xf u du x xϕ=⎰，从而2()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰．又因为02()()(0)()limlimlim22xx x x f u du x f x A x x x ϕϕ→→→-===-⎰，即(0)ϕ'=2A．所以 ()x ϕ'=02()(),0,02x xf x f u du x x Ax ⎧-⎪≠⎪⎨⎪=⎪⎩⎰． 由于02200()()()()lim ()limlimlim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰=(0)2A ϕ'=．从而知()x ϕ'在0x =处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出2()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰，而没有利用定义去求(0)ϕ'，就得到结论(0)ϕ'不存在或(0)ϕ'无定义，从而得出()x ϕ'在0x =处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x ϕ→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ϕ→→'+-''==又由0()limx f x A x→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．证法2 由已知条件0()0f x dx π=⎰及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f πξπ=-=⎰，1(0,)ξπ∈，则有1()0f ξ=．若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f x dx π=⎰知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由()cos 0f x xdx π=⎰，0()0f x dx π=⎰，以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：100()(cos cos )f x x dx πξ=-⎰=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπξξξ-+-⎰⎰0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得12()()0.f f ξξ==例36 计算2043dxx x +∞++⎰．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32． 例37 计算322(1)2dx x x x+∞--⎰．解 322(1)2dx x x x+∞--⎰223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x ππθθθθθθ+∞=-=---⎰⎰233cos 12d ππθθ==-⎰． 例38 计算42(2)(4)dx x x --⎰．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x --⎰和43(2)(4)dx x x --⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于32(2)(4)dx x x --⎰=32lim (2)(4)aa dx x x +→--⎰=322(3)lim 1(3)aa d x x +→---⎰=32lim[arcsin(3)]a a x +→-=2π．43(2)(4)dx x x --⎰=34lim (2)(4)bb dx x x -→--⎰=324(3)lim 1(3)bb d x x -→---⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π． 所以42(2)(4)dx x x --⎰22πππ=+=．例39 计算05(1)dx x x +∞+⎰．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解 令x t =，则有5(1)dx x x +∞+⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝32cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23． 例40 计算214211x dx x -++⎰． 解 由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx x x x x x ---+-+==+++-⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有210142202211()()11112()2()d x d x x x x dx x x x x x----+=+++-+-⎰⎰⎰02222()22d t dt t t +∞--∞=+++⎰⎰21(arctan )22π=+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-．例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π． 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x=o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-1cos ρθ=+例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --， 令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dAdc<，而当4c >时0dA dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为dV =2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为V =224aaba x dx π--⎰=228ab a x dx π-⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6ln y x=ln y x=y xo12311y xe=(0,)b o222()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c计算，如图5－6所示．解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-． 由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰． （2）切线1y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为2113V e π=，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰．因此，所求体积为212(5123)6V V V e e π=-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解 选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ． 于是所求体积为 V =2()A x dx ⎰=223xdx ⎰=43．例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以xyzo22y x=2x =12211022x k k W kxdx x a ===⎰，2122222211()()22x x k k W kxdx x x x a ==-=-⎰．由21W rW =得22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+⎰．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）．（2）问题是要求lim n n x →∞，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++．假设11n n x r r a -=+++，则12211()2n nx n n n x k W kxdx x x +++==-⎰2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而11n n x r r a +=+++.于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++→∞→∞-==--．若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下()1a m r-．例49 有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解 建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135y x =-+．于是闸门上对应小区间[,]x x dx +的窄条所承受的水压力为2dF xy gdxρ=．故闸门所受水压力为F =10012(3)5g x x dx ρ-+⎰=5003g ρ，其中ρ为水密度，g 为重力加速度．图5－8o xyx dx+x(0,3)A (10,1)B。
高等数学100题不定积分及答案
c
∫ 46、 exdx = ex + c
∫ 47、 e2xdx =
1 2
e2x
+
c
∫ 48、 xexdx = xex − ex + c
∫ 49、 x2exdx = x2ex − 2( x −1)ex + c
∫ 50、 axdx = ax + c
ln a
∫ 51、 axexdx = axex + c
ln(ae)
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
11 25
x
+
2 25
ln
|
3sin
x
+
4
cos
x
|
+c
∫ 100、
dx
=
1 5
ln
|
csc( x
−
x 2
1−
x2
+
1 2
arcsin
x
+
c
∫ 24、
x3 dx = 1− x2
1 3
(1 −
x
2
)
3 2
− (1−
x
2
)
1 2
+c
∫ 25、 ln xdx = x ln x − x + c
∫ 26、 ln x dx =
x
1 2
ln 2
x
+
c
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.若函数，则____________.【答案】【解析】∵，∴.【考点】利用微积分基本定理求解定积分的知识.2.如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由已知函数的周期为，知图中阴影的最右的端点坐标为，故阴影部分的面积，故选Ｂ．【考点】定积分．3. [2013·湖南高考]若x2dx＝9，则常数T的值为________．【答案】3【解析】∵′＝x2，∴x2dx＝x3＝T3－0＝9，∴T＝3.4.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A．B．4C．D．6【答案】C【解析】用定积分求解，选C5.抛物线与直线及y=0所围成的图形的面积．【答案】【解析】由题意，作出图形(如图所示)，解方程组得或 (舍去)，所以与直线的交点为(2，4)，所以所求面积为．的值为______．6.设函数，若，则x【答案】【解析】，又，∴．7.物体以速度（的单位：，的单位：）在一直线上运动，在此直线上与物体出发的同时，物体在物体的正前方处以（的单位：，的单位：）的速度与同向运动，则两物体相遇时物体运动的距离为________．【答案】【解析】设两物体相遇时物体运动的时间为，由定积分的几何意义得，，，解得，故A运动的距离为．【考点】定积分的物理意义.8.设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数则当函数时，定积分的值为【答案】【解析】由定义可知，当时，，即，则＝＝＝＝．【考点】定积分的运算．9.若，则的值是__ ___．【答案】2【解析】,解得a=2.【考点】定积分的计算.10.．给出下列命题：①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，；③若，且，则；④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是个。
【答案】4【解析】①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.【考点】（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.11.在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，∴，故选A.【考点】1.积分的运算；2.几何概型.12.A．0B．C．D．【答案】B【解析】.选B.【考点】定积分的计算.13.已知函数f(x)=则f(x)dx的值为()A．B．4C．6D．【答案】D【解析】f(x)dx=x2dx+(x+1)dx=x3+(x2+x)=(0+)+(×4+2-0)=.14.(x2-x)dx=.【答案】【解析】(x2-x)dx=(x3-x2)=-=.15.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A．B．2－ln 3C．4＋ln 3D．4－ln 3【答案】D【解析】如图所示，所求面积为S＝3－d x－＝8－ln x－4＝4－ln 3，故选D.16.由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )A．B．4C．D．6【答案】C【解析】曲线，直线及轴所围成的封闭图形如下图，由得，，由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为．【考点】定积分。