高等数学不定积分练习题

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2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .

关于高等数学不定积分例题思路和答案超全

关于高等数学不定积分例题思路和答案超全This manuscript was revised on November 28, 2020第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx -⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

高等数学之不定积分

tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法

高等数学第四章不定积分测试题（附答案）

x
2
f ( x) 13. 1 f 2 ( x) dx
15
df ( x) 1 f 2 (x)
arctan f ( x) C .
14. 8 x 8 15
C . 15. x
1 C.
x
二 . 计算题
16．（5 分）计算
dx x2 (1 x2 ) .
【解析】原式
=
1 ( x2
1 1 x2 )dx
17．（5 分）计算
B. xf ( x) f ( x) C
C. xf ( x) f (x) C
D. f (x) xf ( x) C
8.下列式子中正确的是（
）
A ． dF x F x
B ． d dF x F x C
d
C．
f x dx f x dx
dx
D ． d f x dx
9.若 F x G x ， k 为任意常数，则（
dx ，则 f ( x) _______ ．
x
D． 2 f 2x C
12． d[ f 2 (x)] 2 f ( x)cos xdx ，且 f (0) 1，则 f (x) ______ ____．
13.
1
f
( x) f 2(x
dx )
____________ ．
14. x x x dx ___________________．
dx 1 ex .
1 arctan x C .
x
【解析】原式
=
(1
1
ex ex
)
dx
x ln(1 ex ) C .
18．（5 分）计算
x3
x2
dx . 1
【解析】原式 = ( x

高等数学题不定积分及答案

1+ ex
∫ 82、
e2x 1+ ex
dx
=
ex − ln(1+ ex ) + c
∫ 83、
e3x 1+ ex
dx
=
1 2
e2x
−
ex
+
ln(1 +
ex )
+
c
∫ 84、
ex
1 + e−x
dx
=
arctan ex + c
∫ 85、 ex dx = 2 1+ ex + c
1+ ex
∫ 86、
e2x dx = 1+ ex
2 x+c
∫ 9、
1 1+ x2
dx
=
arctan x + c
∫ 10、
4
1 + x2
dx
=
1 2
arctan
x 2
+
c
∫ 11、
1 1+ 4x2
dx
=
1 2
arctan
2
x
+
c
∫ 12、
x 1+ x2
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
+
c
∫ 13、
x2 1+ x2
dx
=
x − arctan x + c
∫ 14、
1 2
sin
2
x
+
c
∫ 33、 cos2 xdx =
x 2
+
1 4

高等数学竞赛题库.不定积分与定积分

高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质 1、设)10(tan2cos )(sin22<<+='x x x x f ，求)(x f2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分 1、求下列不定分; (1)⎰+dx xx x cos sin 12cos （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+xx dx22cos2sin（4）⎰+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin2、求下列不定积分（1）⎰+++dx e x x e x x xx )13()(22 （2）⎰+dx x x x )1(ln )ln (23（3）dx xx⎰+211arctan（4）⎰+-dx xe x xx x)cos 1(cos sin cossin 2（5）⎰++dx x x x x x )ln1(ln 2ln 2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分（1）⎰-+221)1(xx xdx （2）⎰+2323)1(x dxx （3）dx xx ⎰-229 （4）⎰-+211xdx2、倒代换（即令tx 1=）求下列积分（1）)0(222>+⎰a xa x dx （2）⎰+)2(7x x dx3、指数代换（令,t a x=则tdt adx ⋅=ln 1）（1）⎰++xxxdx 4212 （2）⎰+++6321xxxe e e dx4、利用分部积分法求不定积分（1）⎰+dx e x x 22)1( （2）⎰++xdx x x 2cos )52(3 （3）⎰xdx x arccos 2 （4）⎰dx x x 23)(ln （5）⎰xdx e x cos5、建立下列不定积分的递推公式（1）⎰+=dx a xI nn )(122（2）⎰=xdx I nn tan有理函数的积分 1、求下列不定积分（1）⎰+++dx x x x 3422（2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx2、求下列不定积分（1）⎰+)2(10xx dx （2）⎰+-dx x xnn 112 （3）⎰-+dx x x 1003)1(12 （4）⎰+xx dx x 3811简单无理函数积分 1、dx xx ⎰+31 2、dx x x x x ⎰+++1)1(三角有理式积分1、⎰+dx x sin 12、⎰dx x3sin1 3、⎰+dx xx sin 1sin4、⎰++dx xx x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 65cos sin含有反三角函数的不定积分 1、⎰+xdx xxarctan 122 2、⎰-dx x x 32)1(arccos抽象函数的不定积分1、⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ⎰')(ln )(ln 分段函数的不定积分例如：设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.高等数学竞赛定积分比较定积分大小1、比较定积分⎰21ln xdx 和⎰212)(ln dx x 的大小2、比较定积分⎰+10)1ln(dx x 和⎰+11arctan dx xx 的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分⎰+4542)sin1(ππdx x 的值2、试估计定积分⎰333arctan xdx x 的值二、不等式证明1、证明不等式：e dx e x≤≤⎰1212、证明不等式：⎰-≤+≤1143812dx x三、求极限1、⎰+∞>-2121limdx xxn n 2、dx ee x xx n n ⎰+∞>-11lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数：（1）⎰+=3241)(xxtdt x F ；（2）由方程⎰⎰=+yxtdt tt dt e 00221sin 确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足⎰+=)1(02)(x x x dt t f ，求)2(f3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程⎰⎰+++=118162098)()(xxC xxdt t f t dt t f ，求)(x f 及常数C .4、求下列极限：（1）xxtx ex tdt te 62sin lim⎰>- （2）252)cos 1(limx dtt xx ⎰-+>-5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .6、已知8)()(80='⎰dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2)(dx x f 及)(x f定积分的计算一、分段函数的定积分 1、设;,2,20,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=l x lc lx kx x f 求⎰=Φxdt t f x 0)()(2、求定积分⎰-222),max(dx x x 二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分：（1）⎰ee dx x 1ln （2）⎰-1dt x t t2、求定积分⎰--223cos cos ππdx x x 的值三、对称区间上的积分1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算⎰-++1132)cos 1sin(dx xxx x2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何y x ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算⎰-+112)()1(dx x f x3、计算积分⎰--+=4421sinππdx exI x4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件A x f x f =-+)()(（A 为常数）.（1）证明：⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分⎰-22arctan sin ππdx e x x四、换元积分法 1、求下列定积分：（1）⎰-2141)1(arcsin dx x x x（2）⎰--2ln 021dx ex（3）dx xx xx ⎰---21010cos sin 4cossinπ五、分部积分1、设)(x f 有一个原函数为xx sin ，求⎰'ππ2)(dx x f x2、⎰+301arcsin dx xx x3、⎰-+12)2()1ln(dx x x积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件） 1、若函数)(x f 连续，证明：（1）⎰⎰=2023)(21)(aadx x xf dx x f x（2）dx x a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=1])([)()(（3）⎰⎰+=+xxdx xdx x1121211112、设)(x f 连续，求证dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin ，并计算⎰+π23cos 1sindx xxx3、设)(x f 连续，且关于T x =对称，b T a <<，z 证明：⎰⎰⎰-+=babTbT adx x f dx x f dx x f 2)()(2)(（提示：)(x f 关于T 对称，即)()(x T f x T f -=+）二、分部积分法（适用于被积函数中含有)(x f '或变上限积分的命题）例：设)(x f '连续，⎰-'=xdt t a f t f x F 0)2()()(，证明：)2()0()()(2)2(2a f f a f a F a F -=-三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或0x 使等式成立的命题）解题思路：（1）将ξ或0x 改成x ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(x F 或)(x F '。

高等数学第3章不定积分

4、基本积分表由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式。
例4
解：
练习：
答：
例5
解：
例6
解：
经验之一：
整理为“多项式”形式是解决只含有幂函数的积分方法之一
例7 解：
例8 解：
经验之二：当含有指数函数或对数函数时，尽可能化为公式形式积分。
经验：当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。
例24
解：
例25
解：
例26
解：
例27
解：
经验：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。
例28
解：
例29
解：
经验：利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一
例30 解：
例31 解：
（二）第二换元积分法
但必须满足：
定理3.4（第二换元积分法）证明:
例32
根式代换法
解：
例33
解：
（待续）
续
此时，为了计算其它三角函数值，可以借助辅助三角形（如右）。
例34
解：
（待续）
续
例35
解：
被积函数定义域为：x>a 或x<-a 此处先讨论 x>a的情形
由上例可知
（待续）
续
原式
思考x<-a的情形
三角代换法
高等数学
第3章不定积分
主要内容:
一、不定积分的概念与性质二、换元积分法三、分部积分法四、积分表的使用
一、不定积分的概念与性质
1、原函数的定义
如：
又如：
★注意：
★注意：

高等数学不定积分例题及答案

第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

高等数学第四章不定积分习题课

xdx
de x
或 exdx d(ex 1) ，然后进行计算。另外，由于
f
(x)

1 1 ex
中含有
1
e x，不能直接计算，可以考虑
换元 t ex 或 t 1 ex，然后再进行计算。
解法1：因为
1
ex
1 e x e x (1 e x )
所以
1
ex
二、基本计算方法
1．直接积分法首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）：设 F(u) f (u) ，则
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) F((x)) C
3．第二类换元法（变量置换法）：
2
2
注意运算中综合使用不同方法往往更有效.]。
【例12】求不定积分
I
arcsin
x dx
x
分析：由于被积函数中含有根式 x ，所以首先要令
t x 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。
另外，观察被积表达式的特点，由于
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
2 dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R( 1

u2
,
1

u2
)
1

u2
du
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。

《高等数学》第五章不定积分练习题

第五章不定积分班级专业：姓名：学号：第一节不定积分的概念第二节不定积分的性质第三节基本积分公式一、判断1.一个已知函数的原函数有无穷多个.（）2.如果()F x ，()G x 都是()f x 的原函数，则()()F x G x C -=.（）3.()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（）4.()()d f x dx f x dx =⎰（）5.()()F x dx F x C '=+⎰（）6.()()d F x F x C =+⎰（）二、选择1.若()22x f x dx x e C =+⎰，则()f x =()22xA xe ()24xB xe ()222xC x e ()22(1)x D xe x +2.已知2y x '=，且1x =时2y =，则y =()2A x ()2B xC +()21C x +()22D x +3.sin darc =⎰()arcsin A ()arcsin B C ()C ()D C+4.若2ln cos 23x 是()tan f x k x =的一个原函数，则k =()23A ()23B -()43C ()43D -5.设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是()1sin A x +()1sin B x -()1cos C x+()1cos D x-6.下列函数中有一个不是()1f x x=的原函数，它是()()ln ||A F x x =()()ln ||B F x Cx =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||C F x C x =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||D F x x C=+(C 是不为零的常数)7.设()f x '存在，则()df x '=⎡⎤⎣⎦()()A f x ()()B f x '()()C f x C +()()D f x C'+三、求不定积分1.421x dx x +⎰2.221x dxx +⎰3.211t t e dte --⎰第四节换元积分法（第一换元积分法）1.21x dx x +⎰ 2.2(ln )x dx x⎰3.12xe dx x⎰4.⎰5.⎰6.2⎰7.2213x dx x x --+⎰8.ln dt t t⎰9.1xxe dx e +⎰10.211x dxx -+⎰11.sin3xdx⎰12.2cos 3xdx⎰13.2sin 3xdx⎰14.sin cos xe xdx⎰15.cos x xe e dx ⎰16.3sin xdx⎰17.dx⎰18.2ln x x dxx+⎰19.22(arctan )1x dx x+⎰20.xdx⎰第二换元积分法1.⎰2.⎰3.4.dx⎰5.⎰第五节分部积分法1.x xe dx ⎰ 2.sin x xdx⎰3.arctan xdx⎰ 4.2ln(1)x dx +⎰5.cos x xdx⎰ 6.arctan x xdx⎰第六节综合杂例22156x dxx x --+⎰。

高数不定积分题目及答案

高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。

无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。

高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。

以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。

（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。

（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。

高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。

也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。

在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。

只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。

高等数学课后习题答案--第四章不定积分

第四章不定积分典型例题解析例1 求下列不定积分．（1）2dxx x ⎰．（2）3(1)(1)x x dx +-⎰．分析利用幂函数的积分公式111n n x dx x C n +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．解（1）5322512252121()3dx x dx x C x C x x--+-==+=-++-⎰⎰．（2）35312222323122(1)(1)(1)353x x dx x x x dx x x x x C +-=+--=+--+⎰⎰．例2求21()x dx x+⎰．分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解 122211()(2)x dx x x dx x x+=++⎰⎰12212x dx x dx dx x =++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C =+++．例3求下列不定积分．（1）2523x xxe dx ⋅-⋅⎰．（2）4223311x x dx x +++⎰．分析（1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解（1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x xxxx x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰．（2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰．例4求下列不定积分．（1）24221(1)x x dx x x +++⎰．（2）421x dx x+⎰．（3）221(1)dx x x +⎰．分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解（1）242222111(1)(1)1x x dx dx x x x x ++=+-++⎰⎰ 22111dx dx dx x x =+-+⎰⎰⎰1arctan x x C x=--+．（2）4422(1)111x x dx dx x x-+=++⎰⎰ 222(1)(1)11x x dx x -++=+⎰221(1)1x dx dx x =-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313．（3）22222211(1)(1)x x dx dx x x x x +-=++⎰⎰22111dx dx x x =-+⎰⎰1arctan x C x=--+．例5 求下列不定积分．（1）11cos2dx x +⎰．（2）cos2cos sin xdx x x-⎰．（3）2cot xdx ⎰．（4）22cos2sin cos xdx x x⎰．分析当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解（1）2111tan 1cos22cos 2dx dx x C x x ==++⎰⎰．（2）22cos2cos sin cos sin cos sin x x xdx dx x x x x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰．（4）222222cos2cos sin sin cos sin cos x x xdx dx x x x x-=⎰⎰ 2211sin cos dx dx x x=-⎰⎰ 22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C =--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰．（2）12()nx ax b dx +⎰．（0a ≠）（3）232(cos )x dx x ⎰．（4）(1)x x +．（5）1sin(ln )x dx x ⎰．（6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdx x x -+⎰．（8）．（9）．（10）2．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰．分析这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法．解（1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C -=--=-+⎰⎰．（2）112221()()()2n nx ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n n n ax b C a n +=+++．（3）232(cos )x dx x ⎰333211tan 3(cos )3dx x C x ==+⎰．（4）2C ==．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cos dx x x ⎰111cos ()sin d C x x x=-=-+⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x C x -==+-+⎰．（8）(tan )arcsin(tan )x x C ==+．（9）12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰ 322cot (cot )3x x C =--+．（10）2231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C ==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰3222(arctan )11x x dx dx x x =+++⎰⎰ 32221(1)(arctan )(arctan )21d x x d x x +=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C =+++．注用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰；（2）1()()ln x x x xf a a dx f a daa =⎰⎰；（3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）．（4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）．（5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x=⎰⎰；（8）21(arcsin )(arcsin )(arcsin )1f x dx f x d x x =-⎰⎰；（9）21(arccos )(arccos )(arccos )1f x dx f x d x x =--⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x =+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰；（12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰；例７求下列函数的不定积分：（1）3cos xdx ⎰．（2）4sin xdx ⎰．（3）sin7cos(3)4x x dx π-⎰．（4）6csc xdx ⎰．（5）34sin cos x xdx ⎰．（6）35sec tan x xdx ⎰．分析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与dx 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322coscos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos2sin ()2x xdx dx -=⎰⎰311(cos2cos4)828x x dx =-+⎰311sin 2sin 48432x x x C =-++．（3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dx πππ-=++-⎰⎰ 11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰ 11cos(4)cos(10)84204x x C ππ=-+--+．（4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc (csc )csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C =---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C =-++．（6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C =-++．注利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos3cos2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８求下列不定积分：（1）x xdx e e -+⎰．（2）x x dx e e --⎰．（3）11x dx e +⎰．分析可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解（1）x x dx e e-+⎰221arctan ()1()1x x x x x e dx de e C e e ===+++⎰⎰．（2）解法1 x x dx e e--⎰221()1()1x x x x e dx de e e ==--⎰⎰, 然后用公式2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰，则x x dx e e --⎰11ln 21x x e C e -=++．解法2x x dx e e --⎰21111()()1211x xx x x de de e e e ==---+⎰⎰ 1(1)(1)()211x x x x d e d e e e -+=--+⎰⎰ 11ln 21x x e C e -=++．（3）解法1 11x dx e+⎰1(1)11x x xx xe e e dx dx e e +-==-++⎰⎰ 1(1)1xxdx d e e =-++⎰⎰ln(1)x x e C =-++．解法211xdx e+⎰(1)ln(1)11x x x x x e d e dx e C e e -----+==-=-++++⎰⎰．解法３令x u e =，x du e dx =，则有11x dx e +⎰1111()ln()111udu du C u u u u u=⋅=-=++++⎰⎰ ln()ln(1)1xx xe C e C e-=+=-+++．注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9求下列不定积分：（1）ln tan sin cos xdx x x⎰．（2）arctan (1)x x x +．分析在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．解（1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dx x x x x=⎰⎰ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan x d x xd x x ==⎰⎰21ln (tan )2x C =+．（2）2arctan arctan 2(1)1()x x dx d x x x x =++⎰⎰22arctan (arctan )(arctan )xd x x C ==+⎰．例10 求21arctan1x dx x +⎰．分析若将积分变形为1arctan (arctan )d x x ⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan 111()x x x⋅+，再将21x 与dx 结合凑成1()d x -，则问题即可解决．解2222111arctanarctan arctan11()1111()1()x x x dx dx d x x x x x=⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan (arctan )d x x =-⎰211(arctan )2C x=-+．例11求21ln (ln )xdx x x +⎰．分析仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x C x x x x x x+==-+⎰⎰．例12（04研）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =．分析先求()f x '，再求()f x ．解令x e t =，即ln x t =，从而ln ()tf t t'=．故 2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰，由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x =．例13求sin 22sin dxx x+⎰．分析被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１sin 22sin dx x x +⎰3122sin (cos 1)4sin cos 22x d dx x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰22tan 1tan 1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tan ln tan 8242x xC =++．解法2令cos t x =，则 sin 22sin dxx x +⎰2sin 2sin (cos 1)2sin (1cos )dx xdx x x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt t t =--+⎰21112811(1)dt t t t ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰12(ln |1|ln |1|)81t t C t =--++++ 111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x C x =--++++．解法３令tan 2x t =，则22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t =+，则 sin 22sin dx x x +⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰ 211tan ln |tan |8242x xC =++．例14 求11dx x ++⎰．分析被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一．解设1x t +=，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)1111t dt dt t t x ==-++++⎰⎰⎰22ln 1t t C =-++212ln(11)x x C =+-+++例15 求455x x-+-⎰．分析被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数．解45x t -=，34dx t dt =-，则24414(1)1155dxt dt t dt t t x x-==--+++-+-⎰⎰⎰ 214(ln 1)2t t t C =--+++4414[55ln(15)]2x x x C =----++-+．例16 243(1)(1)dxx x +-⎰解令311x t x -=+，即3211x t =--，2326(1)t dx dt t =-，则 243(1)(1)dxx x +-⎰23322332164(1)1(1)(1)1dx t dt t t x tx t x ==⋅--⋅--+⎰⎰132313131()2221x dt C C t t x +==-⋅+=-+-⎰．例17求224x x dx -⎰．分析被积函数中含有根式24x -，可用三角代换2sin x t =消去根式．解设242cos (0)2x t t π-=<<，2cos dx tdt =，则222244sin 2cos 2cos 4sin 2x x dx t t tdt t dt -=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin 42t dt t t C =-=-+⎰222sin cos (12sin )t t t t C =--+2212arcsin 4(1)222x x x x C =---+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18 求221(1)dx x +⎰．分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解设tan x t =，2sec dx tdt =，()2241sec x t +=，则222241sec cos (1)sec t dx dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos2)sin 2224t dt t t C =+=++⎰ 21arctan 22(1)xx C x =+++．例19求22x a dx x-⎰．分析被积函数中含有二次根式22x a -，但不能用凑微分法，故作代换sec x a t =，将被积函数化成三角有理式．解令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则22x a dx x -⎰22tan sec tan tan (sec 1)sec a t a t tdt a tdt a t dt a t=⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+22(arccos )x a aa C a x-=-+．例20求248x dx x x ++⎰．解由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，22(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec 48xt t dx dt t tdt tdt t x x -⋅==-++⎰⎰⎰⎰12sec 2ln sec tan t t t C =-++22482ln(248)x x x x x C =+++++++．()12ln 2C C =+注 2ax bx c ++ 由 22222224()0244()024b ac b a x a a a ax bx c b b ac a x a a a ⎧-++>⎪⎪++⎨-⎪--++<⎪⎩可作适当的三角代换，使其有理化．例21 求23(24)x x -+．解23(24)x x -+322[3(1)]dx x =+-⎰，令13x t -=，则322321sec 11cos sin 3sec 33[3(1)]dxt dt tdt t C t x ===++-⎰⎰⎰21324x C x x -=+-+．故 23(24)dx x x -+⎰21324x C x x -=+-+．例22求421(1)dx x x +⎰．分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解令1x t=，21dx dt t =-，于是421(1)dx x x +⎰44221111t t dt dt t t --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dt t =---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+3111arctan 3C x x x=--+．注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例．例23 求22a x dx -．解设1x t=，2dtdx t =-，则2222241()dt a a xt t t -⋅--=1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，1222222221(1)(1)2a x dx a t d a t a-=---⎰ 32222(1)3a t C a -=-+322223()3a x C a x -=-+．当0x <时，有相同的结果．故22a xdx-322223()3a x C a x -=-+．注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题：（1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零．（2）换元后的被积函数的原函数存在．（3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型：（1）(,),n n f x ax b dx t ax b +=+⎰令．（2）(,),nnax b ax bf x dx t cx d cx d++=++⎰令．（3）222(,)f x a b x dx -⎰，可令sin a x t b =或cos ax t b =．（4）222(,)f x a b x dx +⎰，可令tan a x t b =或ax sht b =．（5）222(,)f x b x a dx -⎰，可令sec a x t b =或ax cht b=．（6）当被积函数含有22(40)px qx r q pr ++-<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰．（3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰．（5）arctan x xdx ⎰．（6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠．分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解（1）3x xe dx -⎰33333111()33339xx x x x x x xd e e e dx e e C -----=-=-+=--+⎰⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos4)cos4cos4442x x d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos4(sin 4)cos4sin 4sin 448488x x x xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos4sin 4cos44832x x x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339x x x xd x x x dx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰22arcsin arcsin 11x x dx x x x C x =-=+-+-⎰．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C ==-=++⎰⎰⎰2arcsin 1x x x C =+-+（5）解法1 arctan x xdx ⎰222211arctan arctan 2221x x xdx x dx x ==-+⎰⎰2211arctan (1)221x x dx x =--+⎰ 21arctan arctan 222x x x x C =-++．解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰ 22111arctan arctan 2222x x xx dx x C ++=-=-+⎰．（6）解法1sin axe bxdx ⎰11sin ()sin cos axax ax b bxd e e bx e bxdx a a a ==-⎰⎰ 21sin cos ()ax ax be bx bxd e a a=-⎰2221sin cos sin ax ax axb b e bx e xbx e bxdx a a a=--⎰ 从而21221(1)sin sin cos ax ax ax b be bxdx e bx e bx C a a a+=-+⎰，则221sin (sin cos )ax axe bxdx e a bx b bx C a b =-++⎰．解法21sin cos axaxe bxdx e d bx b =-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成．注在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和dv 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出．例25求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析被积函数为三角函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dx x=⋅-⋅⋅-⎰ sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰ sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26求2ln(1)x x dx ++⎰．分析被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解 2222112ln(1)ln(1)(1)211xx x dx x x x x dx x x x++=++-⋅⋅+⋅+++⎰⎰22ln(1)1x x x x dx x=++-+⎰122221ln(1)(1)(1)2x x x x d x -=++-++⎰22ln(1)1x x x x C =++-++．例27求1x xxe dx e -⎰．分析可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法11x x dx e -⎰2(1)1x x x xd e e ==--⎰⎰211x x x e e dx ⎡⎤=---⎣⎦⎰，令1x t e =-，则2ln(1)x t =+，221tdtdx t=+，则 212122(arctan )1xt dte dx t t C t -==-++⎰⎰，故1x x dx e -⎰()21212arctan 1x x x x e e e Cz =---+-+21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．解法21x e tz -=，则1xx xe dx e -⎰22222ln(1)2ln(1)41t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰ 22ln(1)44arctan t t t t C =+-++21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果．例28（01研）求2arctan xxe dx e⎰．分析被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法．解法12arctan x xe dx e ⎰222211arctan ()arctan 22(1)x x x x xx x de e d e e e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ 21arctan arctan 2x x x xe e e e C --⎡⎤=-+++⎣⎦．解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰ 3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰ 3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc (csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C =---+⎰．注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果．例30求下列不定积分：（1）22221(1)x x x e dx x ---⎰．（2）2ln 1(ln )x dx x -⎰．解（1）2222222112(1)1(1)xx xx x xdx e dx e dx e x x x --=----⎰⎰⎰ 221()11x x e dx e d x x =+--⎰⎰ 22221111x x x x e e e e dx dx C x x x x =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dx x x x -=-⎰⎰⎰ 221ln (ln )(ln )x x dx dx x x x x =+-⎰⎰ ln xC x=+．注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止．解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )x x x dx =-⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C =-+⎰．解法２令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin t t t t t te tdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C =-+=-+⎰．例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数．分析这是适合用分部积分法的积分类型．解11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln n n n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用：（1）逐步化简积分形式；（2）产生循环；（3）建立递推公式．例33求积分24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰．分析计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分．解用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x A B Cx x x x x x +-=++-+--+-，用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩，这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是 24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰ 113ln 21ln 23ln 25488x x x C =--++-+ 231(21)(25)ln 823x x C x --=++．例34 求321452dx x x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式 32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++设221(1)(2)21(1)A B Cx x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx x x x x x x -=++++++++⎰⎰ 211121(1)dx dx dx x x x =-++++⎰⎰⎰ 1ln 2ln 11x x C x =+-+-++．例35求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dx x x dx x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰ 2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰ 2211321ln arctan 2133x x C x x ++=-++++．例36求2425454x x dx x x ++++⎰．解设24222545414x x Ax B Cx D x x x x ++++=+++++，则有 23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而 24222541535543134x x x xdx dx dx x x x x +++=-++++⎰⎰⎰2222255151ln arctan 3134164x x x dx dx dx x C x x x x +=-+=++++++⎰⎰⎰．例37 求322456x x dx x x +++⎰．分析 322456x x x x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498(1)5632x x dx x dx x x x x +=--+++++⎰⎰219ln 38ln 22x x x x C =--++++．例38 求5632x dxx x --⎰．解令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dx x d x udux x x x u u ==------⎰⎰⎰ 1112()3(1)(2)912u du du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C =++-+=+-+．例39 求2100(1)x dx x -⎰．分析被积函数2100(1)x x -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)x t t t dx dt dt x t t --+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰9798991112979899t t t C ---=-⋅++ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+．解法222100100(1)1(1)(1)x x dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dx x x +=-+--⎰⎰ 99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰ 98991001112(1)(1)(1)dx dx dx x x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+．解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99x dx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)x x dx x x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998x xd x x -=---⎰ 299989821[]99(1)9998(1)98(1)x x dx x x x =-----⎰ 299989712199(1)9949(1)999897(1)x x C x x x =-⋅-⋅+--⋅-．注形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40 求13221dx x x ++-⎰．分析这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一．解132213221(3221)(3221)x x dx dx x x x x x x +--=++-++-+--⎰⎰112211(32)(21)44x dx x dx =+--⎰⎰ 332211(32)(21)1212x x C =+--+．例41 求a xdx a x+-⎰．解法12222221a x a x xdx dx a dx dx a x a x a x a x++==+----⎰⎰⎰⎰ 1222222211()()2a dx a x d a x a x -=----⎰⎰ 22arcsin xa a x C a=--+．解法2 令 a xt a x+=-，余下的请读者自行完成．例42求154sin 2dx x+⎰．分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数．解令tan t x =，211dx dt t=+，则 21154sin 2585dx dt x t t =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++．注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43求1sin cos dxx x++⎰．解法1令tan 2xu =，则2222211211sin cos 1111dx u du du u u x x u u u +==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan 2x C =++．解法21sin cos dxx x ++⎰22122sin cos 2cos cos (1tan )22222dx dx x x x x x ==++⎰⎰ 2()(tan )22cos (1tan )1tan222x x d d x x x==++⎰⎰ ln 1tan2xC =++．注可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类：第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan2xu =将其化为u 的有理函数的积分．第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法．例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解由于221,()max{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩，设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩，其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133max{,1},112,133x C x x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰．注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理．例45 求x e dx -⎰．解当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim()lim()x xx x e C e C +--→→-+=+，即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x e dx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰．错误解答当0x ≥时，1xx x edx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．故12,0,0xxxe C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰．错解分析函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使x e -的不定积分中只含有一个任意常数．注分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点，那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系．例46 求下列不定积分：（1）sin 1cos x x dx x ++⎰．（2）3sin 2cos sin cos xx x xe dx x-⎰．（3）cot 1sin xdx x+⎰．（4）3sin cos dxx x⎰．解（1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan )1cos 2cos 2xxdx dx d x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x =-++⎰⎰tan tan ln(1cos )22x xx dx x =--+⎰1tan 2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++21tan2ln cos ln(2cos )222x x xx C =+-+ 1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xx x x x xedx e x xdx e x xdx x-=-⎰⎰⎰ sin sin ()(sec )x x xd e e d x =-⎰⎰sin sin sin sin sec x x x x xe e dx e x e dx =--+⎰⎰ sin (sec )x e x x C =-+．（3）cot cos 1(sin )1sin sin (1sin )sin (1sin )x x dx dx d x x x x x x ==+++⎰⎰⎰11(sin )(sin )sin 1sin d x d x x x =-+⎰⎰ sin ln 1sin x C x=++．（4）当分母是sin cos m n x x 的形式时，常将分子的1改写成22sin cos x x +，然后拆项，使分母中sin x 和cos x 的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．33cos sin cos sin cos sin dx dx xdx x x x x x =+⎰⎰⎰3sin 2csc2sin d xxdx x =+⎰⎰21ln csc2cot 22sin x x C x=--+．注将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．例47 求223(1)x dx x -⎰．解考虑第二类换元积分法与分部积分法，令sin x t =，则222353235sin tan sec (sec sec )(1)cos x t dx dt t tdt t t dt x t ===--⎰⎰⎰⎰，而53323secsec (tan )sec tan 3tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 353sec tan 3(sec sec )t t t t dt =--⎰．故53313sec sec tan sec 44tdt t t tdt =+⎰⎰．又32secsec (tan )sec tan tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 3sec tan (sec sec )t t t t dt =--⎰，从而3111sec sec tan ln sec tan 22tdt t t t t C =+++⎰，所以223(1)x dx x -⎰3311sec tan sec 44t t tdt =-⎰3111sec tan sec tan ln sec tan 488t t t t t t C =--++ 32211ln 8(1)161x x xC x x++=-+--．例48 求7cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x-+⎰．解因为(5cos 2sin )2cos 5sin x x x x '+=-，所以可设7cos 3sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )x x A x x B x x '-=+++，即7cos 3sin (5cos 2sin )(2cos 5sin )x x A x x B x x -=++-，比较系数得527253A B A B +=⎧⎨-=-⎩，解之得1A =，1B =，故7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰(5cos 2sin )(5cos 2sin )5cos 2sin x x x x dx x x'+++=+⎰ (5cos 2sin )5cos 2sin d x x dx x x+=++⎰⎰ln 5cos 2sin x x x C =+++．例49 设()F x 是()f x 的原函数，且当0x ≥时有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．分析利用原函数的定义，结合已知条件先求出()F x ，然后求其导数即为所求．解因为()()F x f x '=，所以2()()sin 2F x F x x '=，两边积分得2()()sin2F x F x dx xdx '=⎰⎰，即211()sin 4228x F x x C =-+，由(0)1F =得12C =，所以 1()sin 414F x x x =-+从而()()12sin 414f x F x x x '==-+21sin 414x x =-+．。

江苏专转本高等数学_不定积分(让你熟练掌握不定积分)

第三章不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例一、不定积分的意义、基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。

1．性质()()()f x dx f x '=⎰()()()d f x dx f x dx =⎰⎰+=C x F x dF )()(()()f x dx f x C '=+⎰()(1)()n n f dx f x C -=+⎰2．基本公式（1）11(1)1nn x dx x c n n +=+≠-+⎰，c x dx x +=⎰||ln 1 （2）c a a dx a x x +=⎰ln ，c e dx e x x +=⎰ （3）⎰+-=c x xdx cos sin ，⎰+=c x xdx sin cos ， c x xdx +=⎰tan sec 2，c x xdx +-=⎰cot csc 2第三章不定积分（4）c ax dx x a +=-⎰arcsin 122，（5）c x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122121111f dx f d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ⎰⎰=x d x f dx x xf tan )(tan )(tan sec 2tan sec (sec )(sec )sec x xf x dx f x d x =⎰⎰ 等等。

例3.1．22007(21)x x dx +⎰解：原式=2200722200811(21)(21)(21)48032x d x x c ++=++⎰ 例3.2．3sin 13sin 13sin 111cos (3sin 1)33x x x xe dx e d x e c ---=-=+⎰⎰ 例3.3．23sin(57)x x dx -⎰解：原式=331sin(57)3x dx -⎰331sin(57)(57)15x d x =--⎰ 31cos(57)15x C =--+ 例3.4．⎰+dx x x x 1ln 2ln 1 解：原式⎰+=x d x x ln 1ln 2ln ⎰+-+=du u u x u 1211221ln =⎰+-du u )1211(21=11ln 2124u u C -++=C x x +++1ln 2ln 41ln 21 例3.5．44x dx x +⎰解：原式=⎰+2222)(2121dx x C x +=2arctan 412 例3.6．221cos (2tan 1)dx x x +⎰解：原式222sec 1tan 12tan 12tan x dx d x x x ==++⎰⎰tan )x C =+例3.7．解：原式2112sin (1cos 2)sin(2)24u du u u C =-=-+⎰⎰14C + 例3.8．⎰+dx e x e x解：原式x x xe x e x e e e dx e de e C =⋅==+⎰⎰第三章不定积分例3.9．⎰+++dx x x x 2233 解：利用综合除法知12127222323+-+-=+++x x x x x x 原式C x x x x dx x x x ++-+-=+-+-=⎰2ln 12731)21272(232例例例=x C =+例3.13．sin sin cos x dx x x +⎰解：原式=1(sin cos sin cos )2sin cos x x x x dx x x ++-⋅+⎰=11(cos sin )22sin cos d x x dx x x--++⎰⎰ =11ln sin cos 22x x x c +++ 例3.14．cos 2sin 3cos x dx x x+⎰ 解：令()2sin 3cos f x x x =+，则()2cos 3sin ,f x x x '=-32cos ()()1313x f x f x '=+ 原式＝32()()321313ln |2sin 3cos |()1313f x f x dx x x x C f x '+=+++⎰ 例3.15．2212sin cos dx x x +⎰解：原式＝222sec 1tan )2tan 12tan 1x dx d x x C x x ==+++⎰⎰ 例3.16．xdx ⎰4tan解：原式=dx x x x ]1)1(tan tan [tan 224++-+⎰=⎰⎰⎰+-+dx xdx dx x x 222sec )tan 1(tan =2tan tan tan xd x x x c -++⎰=31tan tan 3x x x c -++ 例3.17．dx x x x ⎰+-+22322 解：原式=dx x x ⎰+-+-1)1(5)1(22=222(1)15(1)1(1)1d x dx x x -+-+-+⎰⎰ =c x x x +-++-)1arctan(5)22ln(2例3.18．⎰解：原式==21(1)2x +-第三章不定积分1arcsin2xc-+例3.19．⎰+21x edx解：原式=dxeexxx⎰-+2221=222xxdex-⎰=cexx++-)1ln(22例例例例例2．直接交换法a）题型dxbaxf)(⎰+方法：令baxt+=，abtx)(2-=，2()f dx tf t dt a =⎰⎰ 例3.25．dx x ⎰+11 解：令2,t x x t ==，原式=tdt t 211⎰+=⎰⎰+-122t dt dt =c t t ++-1ln 22=c x x ++-)1ln(22例3.26．⎰ 解：令1,12+=-=t x x t原式=22222211112(1)24(1)3(1)3(1)3t t dt dt d t dt t t t t t +-==+-++++++++⎰⎰⎰⎰=2ln(24)ln(3)t t C x C +++=++ 例3.27．dx xx ⎰+31 解：原式65236x tt t dt t t =+⎰=dt t t ⎰+163=⎰+-+-dt tt t )111(62 =c t t t t ++-+-)1ln(63223 =c x x x x ++-+-)1ln(632663 例3.28．dx e x ⎰+11解：原式2ln(1)t x t =-dt t t t ⎰-⋅1212 =⎰-dt t 1122=c t t ++-11ln =c e e x x +++-+)1111ln( b) 题型dx b ax f )(2⎰+f dx ⎰变换t a x sin =f dx ⎰ 变换t a x tan =第三章不定积分f dx ⎰ 变换t a x sec =例3.29．dx xx ⎰-29 解：令3sin x t =，2例例例原式231sec cos sin sec tdt tdt t c c t ===++⎰⎰ 例3.33．解：令1tan x t +=，原式＝221sin cos sin cos sin cos t t dt dt t t t t -=+-⎰⎰＝22cos sin 12cos 12sin d t d t t t -+--⎰⎰＝||||C +（还原略）。

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。

（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。

（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。

(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。

国开高等数学基础形考作业3不定积分

国开高等数学基础形考作业3不定积分摘要：一、不定积分的概念和性质二、常见基本初等函数的原函数三、初等函数的积分方法四、综合实例解析五、注意事项正文：一、不定积分的概念和性质不定积分，也称为反常积分，是微积分中的一个重要概念。

它指的是对一个函数进行积分，但不求出具体的积分值，只求出它的积分区间和形式。

不定积分具有以下性质：1.线性性：如果两个函数分别是某个函数的积分，那么这两个函数的和也是该函数的积分。

2.常数性：如果一个函数是常数函数，那么它的积分等于该函数在一个定积分区间上的取值。

3.连续性：如果一个函数在某个区间上连续，那么它在该区间上的不定积分也连续。

二、常见基本初等函数的原函数在高等数学中，有一些常见的基本初等函数具有简单的原函数。

这些函数包括：1.幂函数：y=x^n (n 为常数) 的原函数为y=1/n * x^(n+1)2.指数函数：y=a^x (a 为正实数且a≠1) 的原函数为y=a^x / ln(a)3.对数函数：y=log_a(x) (a 为正实数且a≠1) 的原函数为y=1/ln(a) * x - log_a(x)4.三角函数：y=sin(x) 的原函数为y=-cos(x)，y=cos(x) 的原函数为y=sin(x)三、初等函数的积分方法对于初等函数，我们可以采用以下方法进行积分：1.直接积分法：对于一些简单的初等函数，可以直接使用积分公式进行积分。

2.换元法：对于一些复杂的初等函数，可以通过换元法进行积分。

3.分部积分法：对于一些含有复合函数的初等函数，可以采用分部积分法进行积分。

四、综合实例解析例：求函数y=x^2 + 3x - 2 在区间[0, 4] 上的不定积分。

解：首先，我们需要找到该函数的一个原函数。

对于这个函数，我们可以使用直接积分法：y" = 2x + 3因此，原函数为：y = 1/2 * x^2 + 3/2 * x - 2 + C其中，C 为积分常数。

高等数学微积分不定积分(专题)

分表

(3)

dx x

说明：
ln x x
0,
C;

dx x

ln
x

C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x

dx x

ln(
x)

C
,

dx x

ln
|
x
|
C
,
简写为

dx x

ln
x

C.
2019/10/12
不定积分冯国臣
(4)

1
三、不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证

f
( x)dx

g( x)dx

f ( x)dx

g( x)dx
f
( x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
2019/10/12
不定积分冯国臣
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
例5
求积分

( 1
3 x2

2 )dx.
1 x2
解

( 1
3 x2

2 )dx 1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C

高等数学—不定积分练习题

第三章复习X.1 积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习求⎰-+221)1(xxxdx2．倒代换（即令tx1=）设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。

求⎰>+)0(222a xa xdx解令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223．指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ，（1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第四章不定积分【圣才

第四章　不定积分4.1　复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念（1）原函数①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．③注意两点a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．b ．若和都是的原函数，则()Fx ()x φ()f x（C 0为某个常数）（2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量．2．基本积分表3．不定积分的性质（1）性质1设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法1．第一类换元法设具有原函数,可导，则有换元公式()[()]()[()]u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]t x f x dx f t t dtψψψ-='=⎰⎰其中的反函数．三、分部积分法1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则.①“反对幂指三”定义“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】3．常见函数的不定积分四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）相关概念①有理函数　两个多项式的商称为有理函数．②有理分式　有理函数又称有理分式．③真分式　当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式．④假分式　当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，称这有理函数为假分式．（2）真分式的分解对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积且Q 1(x)与Q 2(x)没有公因式，则它可分拆成两个真分式之和。

江苏省“专转本”《高等数学》试卷分类解析不定积分.

同方专转本高等数学核心教程第三章不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例历年考试真题1.（2001）不定积分=（ D ）A.B. +CC. arcsinxD. arcsinx+C解析: 利用不定积分的定义.2001）计算⎰e2x2. （1+exdx。

解: ⎰e2xe2x+ex-exx1+exdx=⎰1+exdx=e-ln(1+ex)+C3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a≠0,1，则下列命题正确的是（A. ⎰f'(ax)dx=1af(ax)+C B. ⎰f'(ax)dx=f(ax)+CC. (⎰f'(ax)dx)'=af(ax)D. ⎰f'(ax)dx=f(x)+C解析: 由⎰f'(x)dx=f(x)+C⎰f'(ax)dx=1a⎰f'(ax)dax=1af(ax)+C4. （2002）求积分2解: 14arcsin2x2+C5. （2003）若F'(x)=f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ C ） - 78 - A ）第三章不定积分A.C. ⎰F(x)dx=f(x)+c B. ⎰⎰dF(x)dx=f(x)dx dx⎰dF(x)dx=f(x) f(x)dx=F(x)+c D. dx⎰解析: 不定积分的定义 6. （2003）xlnxdxx2x2x2=lnx-⎰dlnx 解: 设u=lnx,dv=xdx,则⎰xlnxdx=⎰lnxd222x21=lnx-⎰xdx22 11=x2(lnx-)+C227. （2004）求不定积分3=1arcsin4x+C 4解析: 31dx=⎰arcsin3xdarcsinx=arcsin4x+C 4ex8. （2004）设f(x)的一个原函数为，计算⎰xf'(2x)dx xexex(x-1)ex解: 因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)=()'=， xx2x1111⎰xf'(2x)dx=⎰xf'(2x)d(2x)=⎰xdf(2x)=xf(2x)-⎰f(2x)dx 222211x(2x-1)e2xx-12x-+C=e+C ＝xf(2x)-⎰f(2x)d(2x)=248x28x4x9. （2005）若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=( D )A. F(sinx)+CB. -F(sinx)+CC. F(cosx)+CD. -F(cosx)+C解析: ⎰sinxf(cosx)dx=-⎰f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C⎰310. （2005）计算tanxsecxdx2 解：原式＝tanxtanxsecxdx=⎰⎰(secx-1)d- 79 - 22secx=⎰secxdsecx-secx同方专转本高等数学核心教程=secx-secx+C11.（2006）已知A.2e-2x133⎰f(x)dx=e2x+C，则⎰f'(-x)dx=（ C ）. 11+CB.e-2x+CC. -2e-2x+CD. -e-2x+C 22解析: 由题意f(x)=2e2x,∴f'(x)=4e2x,f'(-x)=4e-2x所以⎰f'(-x)dx=⎰4e-2x-2xdx=⎰-2e-2xd(-2x)=-2e+C12.（2006）计算⎰dx x解：原式＝32(1+lnx)=(1+lnx)2+C 313. (2007) 设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则⎰f'(2x)dx=（ A ）1cos4x+C 2C. 2cos4x+CD. sin4x+C A. cos4x+C B.解析: f(x)=2cos2x,所以f'(x)=4sin2x,⎰f'(2x)dx=⎰4sin4xdx=⎰sin4xd(4x)=cos4x+C2-x14. (2007)求不定积分xedx．⎰2-x2-x 解：xedx=-xd(e) ⎰⎰2-x-x2-x-x =-xe+2xedx=-xe-2xd(e) ⎰⎰2-x-x-x =-xe-2xe+2edx ⎰=-xe单元练习题3 2-x-2xe-x-2e-x+C1．dcos2x=- 80 - ⎰第三章不定积分2．已知f(cosx)=sin2x，则⎰f(x-1)dx=。