高等数学不定积分习题
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
高等数学第四章不定积分习题
第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为dxxx d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|;(c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
高等数学第四章不定积分测试题（附答案）
x
2
f ( x) 13. 1 f 2 ( x) dx
15
df ( x) 1 f 2 (x)
arctan f ( x) C .
14. 8 x 8 15
C . 15. x
1 C.
x
二 . 计算题
16．（5 分）计算
dx x2 (1 x2 ) .
【解析】原式
=
1 ( x2
1 1 x2 )dx
17．（5 分）计算
B. xf ( x) f ( x) C
C. xf ( x) f (x) C
D. f (x) xf ( x) C
8.下列式子中正确的是（
）
A ． dF x F x
B ． d dF x F x C
d
C．
f x dx f x dx
dx
D ． d f x dx
9.若 F x G x ， k 为任意常数，则（
dx ，则 f ( x) _______ ．
x
D． 2 f 2x C
12． d[ f 2 (x)] 2 f ( x)cos xdx ，且 f (0) 1，则 f (x) ______ ____．
13.
1
f
( x) f 2(x
dx )
____________ ．
14. x x x dx ___________________．
dx 1 ex .
1 arctan x C .
x
【解析】原式
=
(1
1
ex ex
)
dx
x ln(1 ex ) C .
18．（5 分）计算
x3
x2
dx . 1
【解析】原式 = ( x
高等数学不定积分综合测试题之欧阳科创编
2、已知 ，则 = [ ]
(A) (B)
(C) (D)
3、若函数 为 的一个原函数，则不定积分 = [ ]
(A) (B)
(C) (D)
4、已知函数 在 内可导，且恒有 =0，又有 ，则函数
= [ ]
(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D)
5、若函数 的一个原函数为 ，则一阶导数 = [ ]
二、选择题（25分）
1、若 则 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
2、设 则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
3、 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
4、存在常数A、B、C，使得 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
5、若 在 上的不定积分是 ,则[ ]
(A) (B)
(C) (D)
三、计算题（48分）
第四章测试题A 卷
时间：2021.02.05
创作：欧阳科
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、函数 为的一个原函数.
2、已知一阶导数 ，则 =
3、若 ，则 =
4、已知 二阶导数 连续，则不定积分 =
5、不定积分 =
二、选择题（每小题4分，共20分）
1、已知函数 为 的一个原函数，则下列函数中是 的原函数的是[ ]
(A) (B) (C) (D)
三、解答题
1、（7分）计算 .
2、（7分）计算 .
3、（7分）计算 .
4、（7分）计算 .
5、（8分）计算 .
6、（7分）计算 .
7、（8分）已知 ，求 .
8、（9分）计算 .
第四章测试题B卷
一、填空题（20分）
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。
2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。
二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。
（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。
专升本高等数学(二)-不定积分
专升本高等数学(二)-不定积分(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)=g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫f(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数。
2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x。
4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B． C．d∫f(x)dx=f(x)dx （分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性制质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立。
5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A． B．C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)=sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，[*]。
由f(0)=0，得C=0，则[*]。
6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式-e x dx=-d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫(e-x)dx-x=-F(e-x)+C。
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
高等数学第四章不定积分习题课
xdx
de x
或 exdx d(ex 1) ，然后进行计算。 另外，由于
f
(x)
1 1 ex
中含有
1
e x，不能直接计算，可以考虑
换元 t ex 或 t 1 ex，然后再进行计算。
解法1：因为
1
ex
1 e x e x (1 e x )
所以
1
ex
二、基本计算方法
1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）： 设 F(u) f (u) ，则
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) F((x)) C
3．第二类换元法（变量置换法）：
2
2
注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.]。
【例12】 求不定积分
I
arcsin
x dx
x
分析：由于被积函数中含有根式 x ，所以首先要令
t x 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。
另外，观察被积表达式的特点，由于
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
2 dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R( 1
u2
,
1
u2
)
1
u2
du
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。
高数不定积分题目及答案
高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。
无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。
高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。
以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。
（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。
（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。
高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。
也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。
在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。
只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。
江苏专转本高等数学_不定积分(让你熟练掌握不定积分)
第三章 不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例一、不定积分的意义、基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。
1．性质()()()f x dx f x '=⎰()()()d f x dx f x dx =⎰⎰+=C x F x dF )()(()()f x dx f x C '=+⎰()(1)()n n f dx f x C -=+⎰2．基本公式（1）11(1)1nn x dx x c n n +=+≠-+⎰，c x dx x +=⎰||ln 1 （2）c a a dx a x x +=⎰ln ，c e dx e x x +=⎰ （3）⎰+-=c x xdx cos sin ，⎰+=c x xdx sin cos ， c x xdx +=⎰tan sec 2，c x xdx +-=⎰cot csc 2第三章 不定积分（4）c ax dx x a +=-⎰arcsin 122， （5）c x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122121111f dx f d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ⎰⎰=x d x f dx x xf tan )(tan )(tan sec 2tan sec (sec )(sec )sec x xf x dx f x d x =⎰⎰ 等等。
例3.1．22007(21)x x dx +⎰解：原式=2200722200811(21)(21)(21)48032x d x x c ++=++⎰ 例3.2．3sin 13sin 13sin 111cos (3sin 1)33x x x xe dx e d x e c ---=-=+⎰⎰ 例3.3．23sin(57)x x dx -⎰解：原式=331sin(57)3x dx -⎰331sin(57)(57)15x d x =--⎰ 31cos(57)15x C =--+ 例3.4．⎰+dx x x x 1ln 2ln 1 解：原式⎰+=x d x x ln 1ln 2ln ⎰+-+=du u u x u 1211221ln =⎰+-du u )1211(21=11ln 2124u u C -++=C x x +++1ln 2ln 41ln 21 例3.5．44x dx x +⎰解：原式=⎰+2222)(2121dx x C x +=2arctan 412 例3.6．221cos (2tan 1)dx x x +⎰解：原式222sec 1tan 12tan 12tan x dx d x x x ==++⎰⎰tan )x C =+例3.7．解：原式2112sin (1cos 2)sin(2)24u du u u C =-=-+⎰⎰14C + 例3.8．⎰+dx e x e x解：原式x x xe x e x e e e dx e de e C =⋅==+⎰⎰第三章 不定积分例3.9．⎰+++dx x x x 2233 解：利用综合除法知12127222323+-+-=+++x x x x x x 原式C x x x x dx x x x ++-+-=+-+-=⎰2ln 12731)21272(232例 例例=x C =+例3.13．sin sin cos x dx x x +⎰解：原式=1(sin cos sin cos )2sin cos x x x x dx x x ++-⋅+⎰=11(cos sin )22sin cos d x x dx x x--++⎰⎰ =11ln sin cos 22x x x c +++ 例3.14．cos 2sin 3cos x dx x x+⎰ 解：令()2sin 3cos f x x x =+，则()2cos 3sin ,f x x x '=-32cos ()()1313x f x f x '=+ 原式＝32()()321313ln |2sin 3cos |()1313f x f x dx x x x C f x '+=+++⎰ 例3.15．2212sin cos dx x x +⎰解：原式＝222sec 1tan )2tan 12tan 1x dx d x x C x x ==+++⎰⎰ 例3.16．xdx ⎰4tan解：原式=dx x x x ]1)1(tan tan [tan 224++-+⎰=⎰⎰⎰+-+dx xdx dx x x 222sec )tan 1(tan =2tan tan tan xd x x x c -++⎰=31tan tan 3x x x c -++ 例3.17．dx x x x ⎰+-+22322 解：原式=dx x x ⎰+-+-1)1(5)1(22=222(1)15(1)1(1)1d x dx x x -+-+-+⎰⎰ =c x x x +-++-)1arctan(5)22ln(2例3.18．⎰解：原式==21(1)2x +-第三章不定积分1arcsin2xc-+例3.19．⎰+21x edx解：原式=dxeexxx⎰-+2221=222xxdex-⎰=cexx++-)1ln(22例例例例例2．直接交换法a）题型dxbaxf)(⎰+方法：令baxt+=，abtx)(2-=，2()f dx tf t dt a =⎰⎰ 例3.25．dx x ⎰+11 解：令2,t x x t ==， 原式=tdt t 211⎰+=⎰⎰+-122t dt dt =c t t ++-1ln 22=c x x ++-)1ln(22例3.26．⎰ 解：令1,12+=-=t x x t原式=22222211112(1)24(1)3(1)3(1)3t t dt dt d t dt t t t t t +-==+-++++++++⎰⎰⎰⎰=2ln(24)ln(3)t t C x C +++=++ 例3.27．dx xx ⎰+31 解：原式65236x tt t dt t t =+⎰=dt t t ⎰+163=⎰+-+-dt tt t )111(62 =c t t t t ++-+-)1ln(63223 =c x x x x ++-+-)1ln(632663 例3.28．dx e x ⎰+11解：原式2ln(1)t x t =-dt t t t ⎰-⋅1212 =⎰-dt t 1122=c t t ++-11ln =c e e x x +++-+)1111ln( b) 题型dx b ax f )(2⎰+f dx ⎰变换t a x sin =f dx ⎰ 变换t a x tan =第三章 不定积分f dx ⎰ 变换t a x sec =例3.29．dx xx ⎰-29 解：令3sin x t =，2例 例例原式231sec cos sin sec tdt tdt t c c t ===++⎰⎰ 例3.33．解：令1tan x t +=， 原式＝221sin cos sin cos sin cos t t dt dt t t t t -=+-⎰⎰＝22cos sin 12cos 12sin d t d t t t -+--⎰⎰＝||||C +（还原略）。
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。
二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。
（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。
高等数学—不定积分练习题
第三章复习X.1 积分换元的几种形式1． 利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解 令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习 求⎰-+221)1(xxxdx2． 倒代换（即令tx1=） 设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。
求⎰>+)0(222a xa xdx解 令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223． 指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解 令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习 求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ， （1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。
高等数学 不定积分(习题)
第五章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质习题5-11、求下列不定积分(1)C xC x dx x x dx +-=++-==+--⎰⎰213332113.(2) C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰312525272125. (3)C xx C xdx x xxdx+-=++-==+--⎰⎰32125125252.(4)C x C x dx x dx x x x +=++==+⎰⎰81518787158187.(5)C h C hdh h hdh +=++-==+--⎰⎰21212121212121.(6)C xn m mC mn x dx x dx x mn m mn mn mn++=++==++⎰⎰11.(7) C x C x dx x dx x +=++⋅==+⎰⎰5144414555.(8) C x x x dx x x +++=++⎰2233)23(232.(9) C x x x dx x x dx x ++-=+-=-⎰⎰352422325)12()1(.(10) C x x x dx x x dx x +++=++=+⎰⎰423)44()2(2322.(11) C x x dx x x dx x x +-=-=-⎰⎰23252123252)3()3(.(12) C x x x x dx x x x dx x x ++++=+++=++⎰⎰2523323212352323)1()1)(1(.(13) C tt t dt t t dt t t +-+=++=+⎰⎰-1||ln 2)21()1(222. (14)C x x dx x xdx xx ++=+=+⎰⎰-232121322)()1(.(15)C x x dx xdx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰arctan )111(11)1(122222.(16)C x x dx xx dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 2)123(1233322224. (17)C x x dx xx ++=-++⎰arcsin 5arctan 3)1513(22.C x x x dx x x x dx x x x +++=++=++⎰⎰-32613383167353322913683)3(3.(19)C x e dx xe x x +-=-⎰||ln 32)32(.(20)C x e dx x e dx xe e x xx x++=+=+⎰⎰--2)()1(21.(21)C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰5ln 15)5ln()5()5(5.(22)C x dx dx xx x x x +⋅-+=⋅+=⋅+⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 52])32(52[32532.(23)C x xdx x x dx x x x x x x dx +--=+-=+-+=+⎰⎰⎰-arctan 1)11()1()1()1(22222222.(24)C x e dx e dx e e x x x x ++=+=--⎰⎰)1(112.(25)C x x dx x x x dx x x x ++=+=+⎰⎰sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(26)C x x dx x dx x ++=+=⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 2.(27)C x x dx x x dx xx xx dx x x x ++=-=+-=+⎰⎰⎰cos sin )sin (cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22.(28)C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=-=⎰⎰⎰tan cot )sec (csc cos sin sin cos cos sin 2cos 22222222.C x dx x dx x dx x +==+=+⎰⎰⎰tan 21cos 12122cos 11212cos 112.(30)C x x dx x xdx +--=-=⎰⎰cot )1(csc cot 22.2、一曲线通过点)3,(2e ,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求曲线的方程.解：设所求曲线为)(x f y =,依题意有xy 1=',于是 C x xdxx f y +===⎰ln )( 因曲线通过点)3,(2e ,有 C C e +=+=2ln 32,得1=C , 从而所求曲线为1ln +=x y .3、已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)((b a ,为常数),设此产品的产量为函数)(t P ,且0)0(=P ,求)(t P . 解：已知b at t f dtdP+==)(,有 C bt t adt b at dt t f t P ++=+==⎰⎰22)()()(,因0)0(=P ,有0=C ,于是bt t at P +=22)(.习题5-21、求下列不定积分 (1)C e x d e dx e xx x +==⎰⎰55551)5(51.(2)C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 2123)23(2123.(4)C x x d x xdx+--=---=-⎰⎰-32313)32(21)32()32(3132.(5)C t t d t dt tt +-==⎰⎰cos 2sin 2sin .(6)C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 51sin 21sin .(7)C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22221)(212. (8)C x x d x x xdx+--=---=-⎰⎰-2221223231)32()32(6132.(9)C x x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)1ln(431)1(431344443.(10)C x x xd xdx x +==⎰⎰9828tan 91tan tan sec tan . (11)C x x x d x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan )(tan cos sin cos cos sin 2.(12)C t t d t dt t t ++-=++=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (13)C xx xd x xdx +=-=⎰⎰-455cos 41)(cos cos cos sin .C x x x d x xdx +-=-=⎰⎰323sin 31sin sin )sin 1(cos . (15)C t t dt t dt t ++-=+-=+⎰⎰)(2sin 412)](2cos 1[21)(sin 2ϕωωϕωϕω.(16)C t t t d t tdt t +-=-=⎰⎰sec sec 31sec )1(sec sec tan 323.(17)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰5cos 101cos 21)sin 5(sin 213cos 2sin .(18)C x x dx x x dx xx ++=+=⎰⎰2sin 23sin 31)2cos 23(cos 212cos cos .(19)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰12sin 2414sin 81)12cos 4(cos 218sin 4sin . (20)C x x x x d x x dx xx xx ++-=++-=+-⎰⎰-32313)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin cos sin cos sin . (21)⎰⎰⎰--⋅--⋅=-+222249)49(2141)32(1)32(3123491x x d x x d dx x x C x x +--=2494132arcsin 21.(22)C x x x x d xdx dx x x x x dx x x ++-=++-=+-+=+⎰⎰⎰⎰)]1ln([211)1(211122222323.C x x x x d x dx ++-=-=-⎰⎰1313ln 3211)3()3(311322.(24)C x x x dx x dx x x dx +++=+-+=++⎰⎰⎰21ln 21)2)(1(.(25)222221)1(1tan 2111tan xx d x dx x xx +++=++⎰⎰C x x d x ++-=++=⎰|1cos |ln 11tan 222.(26)x d x x d x xdx x x x arctan arctan 2)(1arctan 2)1(arctan 2⎰⎰⎰=+=+ C x +=2)(arctan .(27)C x d dx xxxx +-=-=-⎰⎰10ln 10arccos 10110arccos arccos 2arccos .(28)C xx d x x dx x +-==-⎰⎰-arcsin 1arcsin )(arcsin 1)(arcsin 1222. (29)⎰⎰⎰=⋅=xx xd dx x x x x dx x x x tan )(tan tan ln cos sin cos tan ln cos sin tan ln 2 C x x xd +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(30)C x x x x x x d dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122.(31)dt t dt tt t x dx x tx ⎰⎰⎰-=-⋅====-=)2cos 1(24sin 12cos 2sin 4422sin 222t t t C t t +-=+-=cos sin 222sin 2C x xx +--=2422arcsin 2.(32)C x C t dt dt t t tt x x dx tx +=+==-====-⎰⎰⎰=1arccos 1sec sec tan sec 12sec 2.(33)C t tdt dt t tx dxtx +======+⎰⎰⎰=sin cos sec sec )1(32tan 32 C x x C t tt++=++=11tan 1cos sin 22.(34)⎰⎰⎰⎰-======-=dt t tdt tdt t tt dx x x t x )1(sec 2tan 2sec tan 2sec 2tan 2422sec 22 C xx C t t C t t +--=+--=+-=2arccos 2421sec 22tan 222.(35)⎰⎰⎰⎰⎰-=+-=+====-+=2cos 21cos 1cos 1cos 112sin 2t dtt t dt dt t tdt x dxtx C t t t C t t t t C t t ++-=+-=+-=cos 1sin 2cos 22cos2sin 22tan 2 C xxx +-+-=211arcsin .(36)dt tt tt t t t t tdt x x dxtx ⎰⎰⎰+-++=+====-+=cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos 1sin 2C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121cos sin )cos (sin 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212.(37)C t t t dtdt dt t t t tdt x dx x t t x ++-=+-=+-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰==)1ln(1111121222C x x ++-=)21ln(2.(38)dt t t t t tdt t x dx x t t x ⎰⎰⎰+++-+=+====+++=-=11)1()(313112211333C t t t t dt dt dt t +++-=++-=⎰⎰⎰|1|ln 3323)1(32C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332.(39)dt t t t t tdt t t dx x x x t t x ⎰⎰⎰++--+=⋅+-====++-++=-=122222111111211212|1|ln 44)122(2C t t t dt t t +++-=++-=⎰C x x x +++++-=)11ln(414, 其中, 11C C +=.(40)dt t t t t dt tt t x x dx x t t x ⎰⎰⎰++--+=+====+==11144223444C t t t dt t t +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(44244.(41)dt t t t dt t t t t t dx x x x xxt ttt x ⎰⎰⎰+--=+-⋅⋅⋅-+=======+-+-=-+=+-=)1)(1(4)1()2(21111122222221111211222C t t t dt t t +++-⋅=+--⋅-=⎰arctan 211ln 212)1111(21422 C x xxx x x ++-+-++--+=11arctan 21111ln.42)⎰⎰+--=-+3234211)1()1()1(x x x dx x x dx⎰⎰--+=---+-⋅-=======+-=--=-+=23232323321111211)1()1(6)1(]1)11[()3(23333t t tdtt t t t dt t x x t tt t x C x x C t t dt t tdt +-+-=+-===⎰⎰32311232323226.2、用指定的换元法求下列不定积分 (1)C x C t dt t t tdt t x x dx t x +=+======-⎰⎰⎰=arcsin 222cos sin cos sin 2)1(2sin .(2)⎰⎰⎰⎰=====++=++-=tdt t tdtx dxx x dx t x sec sec sec 1)1(2221tan 22C x x x C t t +++++=++=|122|ln |tan sec |ln 2.(3)⎰⎰⎰⎰======--=-+=tdt ttdtt x dxx x dxtx sec tan 2sec tan 24)2(4sec 2222C t t C t t ++=+++=|tan 2sec 2|ln 2ln |tan sec |ln C x x x +-+-=|42|ln 2.(4)C t dt dt t t x dx x xdxt x +======-=-⎰⎰⎰⎰=2121cos cos 211211sin 4242C x +=2arcsin 21.习题5-31、求下列不定积分C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .(2)C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln .(3)⎰⎰⎰-+=-=dx xx x x x xd x x xdx 21arccos arccos arccos arccos .C x x x +--=21arccos .其中:C x C x x x d dx x x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰22222112211)1(211.(4)C x e C e xe x d e xe xde dx xe x x x x x x x ++-=+--=+-=-=-------⎰⎰⎰)1(.(5)⎰⎰⎰⎰-=-==dx x x x x d x x x xdx xdx x 34444341ln 41ln 41ln 41ln 41ln C x x x +-=44161ln 41. (6)C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰3cos 93sin 33sin 33sin 33sin 33cos .(7)⎰⎰⎰⎰⎰-=-=xdx x xd xdx xdx x xdx x tan sec tan 22C x x x x xdx xdx x x +-+=--=⎰⎰221|cos |ln tan tan tan .(8)⎰⎰⎰+-=-=2222cos cos cos sin xdx x x x d x xdx xC x x x x x +++-=cos 2sin 2cos 2.其中:C x x x xdx x x x xd xdx ++=-==⎰⎰⎰cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2.(9)⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x arctan 31arctan 31arctan 31arctan 3332.C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 其中:C x x dx x x dx xx x d x 3)1ln(2121111211arctan 22222233-+-=+-+=+=⎰⎰⎰. (10)⎰⎰⎰-==x xd xdx x xdx x x 2cos 412sin 21cos sin C x x x dx x x x ++-=+-=⎰2sin 812cos 412cos 412cos 41.(11)C x x x x xdx x xdx dx x x +++=+=⎰⎰⎰cos 21sin 2141cos 21212cos 22. 其中:C x x x xdx x x x xd xdx x 2cos sin sin sin sin cos ++=-==⎰⎰⎰.(12)I x x x d x xdx x 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222++-=+-=+⎰⎰ C x x x x x ++++-=2cos 412sin 212cos )1(212C x x x x +++-=2sin 212cos )21(212.其中:⎰⎰⎰==+=)2(2cos )2(212cos 2)1(2cos 2x xd x xdx x x xd IC x x x 2]2cos 2sin 2[21++=.(13))1ln(21)1ln(21)1ln(21)1ln(222+-+=+=+⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122 C x x x x ++-+-=2141)1ln()1(2122. 其中:x d x x x x x d x x x d x ⎰⎰⎰++--+=+=+1111)1ln(222C x x x x d x x 2)1ln(21)111(2-++-=++-=⎰.(14)x d x x x x xd dx x x 22222ln 1ln 1)1(ln ln ⎰⎰⎰+-=-=C x x x C x x x x x +++-=+---=)2ln 2(ln 12ln 2ln 122.其中:⎰⎰⎰⎰+-=-==x d x x x x xd dx x x x d x ln 12ln 2)1(ln 2ln 2ln 122C xx x dx x x x +--=+-=⎰2ln 212ln 22.(15)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x xt sin 2sin sin )(arcsin 22arcsin 2C t t t t t C t t t t t +--+=+-+=sin 2sin 12sin sin 2cos 2sin 222)1(C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.(16)⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=======tt t t t t x t tx x tde e t dt te e t de t dt e t dx e 632333322223331C t t e C e te e t dt e te e t t t t t t t t ++-=++-=+-=⎰)22(3663663222C x x e x ++-=)22(33323.(17)⎰⎰⎰-==xdx e x e x d e xdx e xx x x sin sin sin cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e x d e x e x x x x x cos cos sin cos sin ,∴C x x e xdx e x x ++=⎰)cos (sin 21sin .(18)I e xdx e dx e xdx e x x x x 21212cos 2121cos 2+-=+=----⎰⎰⎰ C x e x e e x x x +-+-=---2cos 1012sin 5121.:x xd e x e x d e I xx x ⎰⎰---+==2sin 212sin 212sin 21 x d e x e x x 2cos 412sin 21⎰---= x xd e x e x e x x x ⎰-----=2cos 412cos 412sin 21, ∴C x e x e I x x 22cos 41542sin 2154+⋅-⋅=--.2、利用指定的变量代换求下列不定积分 (1)C t t e t td e dx x tte x t++======⎰⎰=)cos (sin 21cos )cos(ln )17( C x x x ++=)]cos(ln )[sin(ln 21.(2)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x tx cos 2cos cos )(arccos 22cos 2⎰⎰+-=-=tdt t t t t t td t t sin 2sin 2cos sin 2cos 22C t t t t t C t t t t t +---=+--=cos 2cos 12cos cos 2sin 2cos 222 C x x x x x +---=2arccos 12)(arccos 22.习题5-41、求下列不定积分(1) x d x x x x x x x d x x ⎰⎰+-++--+=+288442222233 C x x x x x d x x x ++-+-=+-+-=⎰|2|ln 8431)2842(232.(2)x d x x x x d x x x ⎰⎰-++=-++)2)(5(13103132C x x x d x x +-++=-++=⎰|2|ln |5|ln 2)2152(. 其中: )2)(5(5225)2)(5(13-+++-=-++=-++x x BBx A Ax x B x A x x x , 有 3=+B A , 152=+-B A ,得1,2==B A .(3) x d xx x x x x x x x d x x x x ⎰⎰--++-+-=--+3242534588 x d x x x x x x d x x x x x x x ⎰⎰--+-++=-+-+++=]13148[])1)(1(8[222C x x x x x +--+-++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123. 其中: )1)(1()()()1(11)1)(1(82222-+++-+-=-+++=-+-+x x x x x C x x B x A x C x B x A x x x x x ,有 1=++C B A ,1=+-C B ,8-=-A ,得3,4,8-=-==C B A .(4)x d x x x x x d x x x x d x ⎰⎰⎰+++-+-=+-+=+)12142()1)(1(616223 ⎰⎰⎰⎰⎰+++--++-+--=+++-+--=12)23()21()21(343)21(]43)21[(1243)21(3)21(222222x dx x x d x x d x dx x d x xC x x x +++-⋅++--=|1|ln 22321arctan 2313]43)21ln[(2C x x x x +++-++--=|1|ln 2312arctan 32)1ln(2.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(62222-++-++++=+++-+=+-+x x x x x C B x B A Ax x C x x B Ax x x x , 有 0=+C A ,0=-+C B A ,6=+C B ,得2,4,2==-=C B A .5)x d x x x x d x x x ⎰⎰+++-=++-)111()1)(1(122C x x x dx x x d ++++-=++++-=⎰⎰|1|ln )1ln(2111)1(21222.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(12222-++++++=++++=++-x x x x C B x B A Ax x C x B Ax x x x , 有 0=+C A ,1-=+B A ,1=+C B ,得1,0,1==-=C B A .(6)x d x x x x d x x x ⎰⎰-⋅++⋅++-=-++]11211121)1(1[)1()1(1222 C x x C x x x +-++=+-++++=|1|ln 2111|1|ln 21|1|ln 21112 其中: 11)1()1()1(1222-++++=-++x Cx B x A x x x)1()1()12()1()1(222-++++-+-=x x x x C x B x A ,有 1=+C B ,02=+C A ,1=+--C B A ,得21,21,1==-=C B A . (7)x d x x x x x x dx ⎰⎰+++-+=+++)312211()3)(2)(1(2C x x x ++++-+=|3|ln |2|ln 2|1|ln .其中: 321)3)(2)(1(2+++++=+++x Cx B x A x x x)3)(2)(1()23()34()65(222+++++++++++=x x x x x C x x B x x A ,有 0=++C B A ,0345=++C B A ,2236=++C B A , 得1,2,1=-==C B A .(8)⎰⎰+---+++=+dx x x x x x x x dx )122122(421224⎰+----++++=dx x x x x x x )122)22(122)22((8222 ⎰⎰+-+--++++=12)12(8212)12(822222x x x x d x x x x d dx x x ]21)21(121)21(1[4122+-++++⎰ )12ln(82)12ln(8222+--++=x x x x C x x +-⋅++⋅+2121arctan 211412121arctan21141C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(421212ln 8222. 其中: 121211224+-+++++=+x x DCx x x B Ax x )12)(12(222222223223+-+++++++++-++-=x x x x DDx Dx Cx Cx Cx B Bx Bx Ax Ax Ax ,有 0=+C A , 022=+++-D C B A ,022=++-D C B A ,1=+D B , 得21,42,21,42=-===D C B A .。
高等数学课后习题及参考答案(第四章)
高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解 令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。
高等数学100题不定积分及答案
c
∫ 46、 exdx = ex + c
∫ 47、 e2xdx =
1 2
e2x
+
c
∫ 48、 xexdx = xex − ex + c
∫ 49、 x2exdx = x2ex − 2( x −1)ex + c
∫ 50、 axdx = ax + c
ln a
∫ 51、 axexdx = axex + c
ln(ae)
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
11 25
x
+
2 25
ln
|
3sin
x
+
4
cos
x
|
+c
∫ 100、
dx
=
1 5
ln
|
csc( x
−
x 2
1−
x2
+
1 2
arcsin
x
+
c
∫ 24、
x3 dx = 1− x2
1 3
(1 −
x
2
)
3 2
− (1−
x
2
)
1 2
+c
∫ 25、 ln xdx = x ln x − x + c
∫ 26、 ln x dx =
x
1 2
ln 2
x
+
c
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第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为dxxx d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c;（C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2)()(x x xf x F +=，则f(x)=______.(A) 12--x (B)12+-x (C)12+-x (D)12--x5.设x x f 22cos )(sin ='，则f(x)=________.(A);sin 21sin 2c x x +-(B);212c x x +- (C);sin 21sin 42c x x +- (D);2142c x x +- 6.设a 是正数，函数则,log )(,)(e a x a x f a xx==ϕ______. (A)的导数；是)()(x x f ϕ (B)的导数；是)()(x f x ϕ (C)的原函数；是)()(x x f ϕ (D)的不定积分。
是)()(x f x ϕ 四．计算题 3．⎰-+dx x x )1)(13（4.dx xx ⎰-32)1(5.⎰--dx xe e x x)1( 6.⎰dx e x x 3237.dx x x x ⎰-+-22222 8.⎰-dx xx 23sin 1sin 4 9.dx x x 2)2sin 2(cos -⎰ 10.⎰++dx x x 2cos 1cos 12 11.⎰dx xx x22cos sin 2cos 12.⎰++-dx x x x 3322332 13.dx xx )1213(22⎰--+ 14.⎰-dx x x x )tan (sec sec 15.⎰-dx x x x )11(216.dx xx⎰-+11 五．应用题1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程.2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问:(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间§4-2 换元积分法一、填空题1.)(______ax d dx = ()0(≠a )2.)37(______-=x d dx3.)(_______2x d xdx = 4.)5(______2x d xdx = 5.)1(______2x d xdx -= 6.)32(_______32x d dx x -= 7.)(______22x xe d dx e = 8.)1(______22x x e d dx e --+=9.(_______)22d dx xex =- 10.(______))13cos(d dx x=-11.)ln 5(______x d x dx = 12.)ln 53(______x d xdx -=13.(______))sin(d dt t =+ϕω 14.)arcsin 1(______12x d xdx -=-15．=-⎰dx x x 112=-⎰dx xx 22)1(11=-⎰2)1(11x x d_________ 16.若⎰⎰≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则二．是非判断题1． ⎰⎰+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=c xx d x dx x x 212111ln . [ ] 2．()⎰+=+c x arctg dx xx 211. [ ]3．设()⎰+=c x dx x f sin ，则()⎰+=-c x dx xx f 21arcsin . [ ]4．已知()='x f ln {,10,1,1,≤<+∞<<x x x 且()00=f ，且()⎩⎨⎧=≤<-∞+∞<<-,0,0,1x x x ex f x . [ ]5．⎰+=c x xdx 32sin 31sin . [ ]6．若()()c x F dx x f +=⎰，则()[]()[]c x g F dx x g f +=⎰. [ ]三．单项选择题 1.⎰='dx x f )3(_____. (A);)(31c x f + (B);)3(31c x f + (C);)(3c x f + (D);)3(3c x f +2..________)]([1)(2=+'⎰dx x f x f(A) ;|)(1|ln c x f ++ (B) ;|)]([1|ln 212c x f ++ (C) ;)](arctan[c x f + (D) .)](arctan[21c x f +3.⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x 21 . (A)C x x x++-||ln 21(B) C x x x ++--||ln 21(C) C x x+--||ln 21 (D) C x x ++||ln 4.⎰=⋅-⋅.23223dx xxx . (A);)23(23ln23c x x+⋅- (B) c x x x +--1)23(23 (C) c x+⎪⎭⎫ ⎝⎛--232ln 3ln 23 (D) c x+⎪⎭⎫ ⎝⎛--232ln 3ln 23 5.⎰=+-dx x x x )1(177______.(A) ;|)1(|ln 71277c x x ++ (B) ;|1|ln 7177c x x ++ （C ） ;|)1(|ln 61266c x x ++ (D) ;|1|ln 6166c x x ++ 6.⎰=._____||dx x (A);||212c x + (B) ;212c x + (c) ;||21c x x + (D) ;212c x +-7.⎰=++._____113dx e e x x(A) ;212c x e e x x +++ (B) ;212c e e x x ++ (C) ;212c x e e x x ++- (D) .212c e e x x +- 8.x ex2sin 2sin 1+的全体原函数是________.(A) e;sin 12x + (B) e;sin 12c x ++ (C) ecx ++2sin 1 (D) ec x+-2sin 1四．计算题1．⎰x dx x 302)32(- 2.dx x ⎰-3)21(13．dx e x 47⎰ 4.dx xx ⎰ln 5.⎰dx e e x x )cos( 6.⎰dx xe xsin cos 7.⎰xdx x tg210sec 8.⎰xdx 3sin9.⎰+-dx xx x x sin cos sin cos 10.⎰xx dx 2sin⎰-dx xa x 222.23 24.⎰+dx x 32)1(125.dx x x ⎰-92 26.⎰-+dx x211127.⎰+xdx 21 28.⎰+xedx 14-3 分部积分法一． 单项选择题 1.⎰=.___)(""dx x xf(A)x ;)()('c x f x f +-(B) x ;)()(''c x f x f +-(c) x ;)()('c x f x f ++ (D)⎰-.)()('dx x f x xf2.⎰=.___)ln(tan sin dx x x(A)－cosxln(tanx)+ln|tan ;|2c x+ (B)cosxln(tanx)+ln|cscx －cotx|+c; (c)ln(tanx)+ln|tan;|2c x+ (D)－cosxln(tanx)+ln|sinx|+c. 3..___sin 2=⎰dx x x(A);2sin 41412c x x x +- (B);2cos 81412c x x +-(C)xcosx －sinx+c; (D);2cos 81412c x x +-4.⎰=.__arcsin 2dx x x(A) ;|cot csc |ln arcsin 1c x x x x+-+-(B);|csc cot |ln arcsin 1c x x x x +---(C);|11|ln arcsin 12c x x x x +---- (D);|11|ln arcsin 12c xx x x +-++-5.⎰=.__arctan dx e e x x(A);)1ln(21arctan 2c e e ex x x++--- (B);arctan )1ln(212c x e e e x x x +--+--(C)arctan ;)1(c e e x x ++--- (D);)1ln(21arctan 2c e x e e xx x ++++-6..__)ln (2=⎰dx x x(A);)2ln 2(ln 12c x x x +++- (B);1ln 2ln 2c xx x +-+(C);1ln 2ln 12c xx x x x ++- (D).)1ln(21arctan 2c e x e e xx x ++++-7．⎰=.___)(arcsin 2dx x (A)arcsinx(xarcsinx ;2)122c x x ++-- (B)arcsinx(xarcsinx+2;2)12c x x +-- (C)arcsinx(xarcsinx+2;)12c x +- (D)arcsinx(xarcsinx+2;)212c x +--二． 计算题 1、⎰xdx x ln 2 2、⎰xdx x cos 23、⎰xdx xtg 24、⎰dx xxx 3sin cos 5、⎰dx e x 36、⎰-+-dx e x x x)52(2 7、⎰dx x 2)(ln 8、⎰dx x )cos(ln 9、⎰dx xx 23)(ln 10、⎰xdx xtgx 4sec 4-4 几种特殊类型的积分（一）一．单项选择题1．⎰=++.__45244dx x x x (A) x ;arctan 312arctan 38c x x ++-(B) x ;arctan 31c x+- (C) ln ;)14(22c x x +++ (D) x .arctan 38c x +- 2．⎰=--.__1224dx x x x(A);|)12()12(|ln 24122c x x ++--+ (B);|)12()12(|ln 24122c x x +-++-- (C);|)12()12|ln 24122c x x +-+++ (D).|2121|ln 2412c x x ++---3．⎰=+____383dx x x(A);3arctan 3412c x + (B)c x +3arctan 3414(C)c x +3arctan3214 (D)c x +3arctan32124．.______)2(10=+⎰x x dx(A) ln)2(10+x dx +arctanx ;5c + (B);)2ln(211010c x x ++(C) ;)2ln(2011010c x x ++(D)61ln(c xx ++)2105 5．⎰=+--._______52232dx x x x(A);221arctan 21|52|ln 232+-++-x x x (B) ;21tan 232c x x +-+ (C) ;21arctan 21)52(232c x x x +-++- (D) ln|x c x x +-++-21tan |522二．计算题1、⎰--++dx x x x x x 12322、⎰-++dx x x x 103322 3、⎰--+dx x x x x 3458 4、⎰-++dx x x x )1()1(122 5、⎰+++dx x x x x )3)(2)(1( 6、⎰+dx x 133 7、⎰+)1(2x x dx 8、⎰++))(1(22x x x dx9、⎰+14x dx 10、⎰+++)1)(1(22x x x dx 4-5 几种特殊类型的积分（二）一．单项选择题1．的全体原函数xsin 11+是———。