2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题

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陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题 Word版含解析

2020届西安地区八校联考高考.押题卷数学*理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}212A x x =-<-<，B 为函数()()2log 1f x x =-的定义域，则A B =（）. A. {}1x x <- B. {}3x x >C. {}1,1x x x -或 D. {}13x x <<【答案】D 【解析】【分析】解不等式212x -<-<，即可求出集合A ；根据对数函数的特点即可求出函数()()2log 1f x x =-的定义域，进而求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为{}212A x x =-<-<，所以{}13A x x =-<<；又函数()()2log 1f x x =-的定义域为()1,+∞, 所以{}1B x x =>；所以{}13A B x x ⋂=<<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题. 2. 已知复数z 和虚数单位i 满足11i z+=.则z =（）.A.B.C. 2D.12【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算公式，求出1122z i =+，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为11i z+=，所以()()111111122i z i i i i +===+--+，所以2z =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（）. A.55-B. 55C. 135D. 65-【答案】A 【解析】【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=，1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4. 已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（）.A. 7-B. 6-C. 12-D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小. 【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题. 5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）.A. 24π+B. 28π+C. 44π+D. 48π+【答案】B 【解析】【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 6. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最近距离为（）. A.2B. 2C.21D.21【答案】D 【解析】【分析】先求出圆心到直线30x y --=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(1)1x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径为1，圆心到直线的距离22d ==， 21. 故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题. 7. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（）. A. 1y =- B. 10x y +-= C. y e = D. y ex =【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=，解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+，可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题.8. 执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（）.A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】B 【解析】【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立，第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立，输出16S =，故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.9. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（）A.2B.3 C. 2D.23【答案】C 【解析】【分析】求得b a 的值，再由21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 33b a π∴==，所以，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8【答案】A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11. 设函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，则当0x >时，()()f f x 的展开式中常数项是（）. A. 70- B. 35- C. 35 D. 70【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数求出()()f f x 的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项.【详解】函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩， ∴当0x >时，()()()882222211f f x f xx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式的通项公式为：()()82164188211rrr rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭，令1640r -=，解得4r =；∴展开式的常数项为：()4458170T C =-=.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题. 12. 设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则函数()f x a b =⋅的最大值是（） A.32B. 32-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意可知，()21cos 213sin cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π-⎛⎫=⋅=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当3x π=时，即226x ππ-=时，()f x 取最大值， ()f x 最大值为113=sin 2=sin =3362222f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期是3π，则ω=______. 【答案】23【解析】分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=，即可求出结果.【详解】由题意可知，23ππω=，所以23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了函数()sin y A ωx φ=+周期公式的应用，属于基础题.14. 已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是【答案】44π- 【解析】【分析】计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”，则A 中含有的基本事件对应的面积为4π-，故所求的概率为44π-. 故答案为：44π-. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.15. 已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M △的面积是______. 【答案】4 【解析】【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出12,MF MF 的值，再根据勾股定理，可证明12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，由此即可求出结果. 【详解】由椭圆的定义可知，126MF MF +=，又122MF MF -=，联立两式 121262MF MF MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得1242MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又12F F = 所以2221212MF MF F F +=，所以12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，所以12F F M △的面积为121142422MF MF ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题.16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.【答案】725-【解析】【分析】计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sin θ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a ，则较短的直角边长为1a -，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. 已知公比不等于1的等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】【分析】（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解n S ，代入已知条件求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为()1q q ≠，由题意得()2111221112322a a q a qa q a q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩（1q =舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=；（2）由（1）得2n n a =，∴2n n b n =-，∴()()212121221222n n n n n n n S +⋅-++=-=---， ∴不等式12470n n S +-+<，即24502n n +-+<，得()()1090n n +->∴10n <-（舍去），或9n >（n +∈N ），故使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.18. 某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是45、35、25.且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）101125；（2）分布列见解析；期望为5725. 【解析】【分析】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，则“该选手被淘汰”为事件112123A A A A A A ++，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；（2）由题意X 的可能值为1，2，3，()1,2,3X i i ==表示前1i -轮均答对问题，而第i 次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．【详解】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，“该选手被淘汰”为事件M .则()145P A =，()235P A =，()325P A =. ()()112123P M P A A A A A A =++()()()()()()112123P A P A P A P A P A P A =++142433555555=+⨯+⨯⨯ 101125= ∴该选手被淘汰的概率是101125（2）X 的可能取值为1，2，3.()()1115P X P A ===， ()()()()121242825525P X P A A P A P A ====⨯=， ()()()()1212431235525P X P A A P A P A ====⨯=.∴X 的分布列为X 1 2 3P 15 825 1225∴()1812571235252525E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19. 如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，2AB =，ABE △2BE 上确定一点P ，求使得直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值为1515时CP 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）322. 【解析】【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可.（2）设EB x =，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值求解即可.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，∵BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，BD BE B ⋂=，故AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解：设EB x =，则122x ⨯⨯=，得x =. 在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，2AB =，可得AG GC ==，1GB GD ==，过G 作直线l ⊥平面ABCD ，以G 为原点，直线GB 为x 轴，直线GC 为y 轴，l 为z 轴建立空间直角坐标系G xyz -.则()0,0,0G ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，(E，()1,CD =-，(1,CE =，()1,CB =，(BE =设()BP BE λ==，（01λ≤≤）∴()1,CP CB BP =+=；设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则有 0,0,n CD n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得(3,1,n =-，∴2cos ,1510n CPn CP n CP -⋅===⋅，解得12λ=，或74λ=（舍去）.∴1,2CP ⎛= ⎝⎭，得CP 的长为2.【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题.20. 已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解；【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =. ∴抛物线C 方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下：设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立. ∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PB x y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202k b --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21. 已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数.（1）求函数()()()F x mfx g x =-（m 为常数）的单调区间；（2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11x F x mf xg x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++.当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '=，得1m x m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<. 1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>. ()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立，即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立，设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++，当2a ≤时，()0M x '≥，仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ，当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（选修：坐标系与参数方程）22. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====再转化为极坐标试题解析：（1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程（选修：不等式选讲）23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤.（1）求m 的值；（2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）2.【解析】【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥，得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a +=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.- 1 - 即()224a b a ++=，得32a b +≥.当12a =，32b =时，等号成立. ∴3a b +的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。

陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题

则其余四件商品的放法有种，
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种，
故答案为：45．
16．
【分析】
由零点存在性定理得出关于的不等式组，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
二次函数有两个零点，且
则，
画出不等式组表示的平面区域，如图阴源自部分，由图可知，，联立，解得．
直线的斜率为，
15．将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
16．已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_________．
三、解答题
17．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且，，，．
（1）求､的通项公式；
（2）求和．
18．已知正四面体分别在棱上，且为棱上任意一点（不与重合）．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．
，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为 .
【点睛】
思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19．（1）；（2）3．

2020届西安地区八校联考第三次数学(理)试题及答案

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陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题

陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}212A x x =-<-<，B 为函数()()2log 1f x x =-的定义域，则A B =（）.A ．{}1x x <-B ．{}3x x >C ．{}1,1x x x -或D ．{}13x x << 2．已知复数z 和虚数单位i 满足11i z+=.则z =（）. AB．2 C ．2 D ．123．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（）. A ．55- B ．55 C ．135 D ．65-4．已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（）.A ．7-B ．6-C ．12-D ．35．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）.A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+ 6．圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最近距离为（）.AB ．2C 1D 1 7．若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（）.A ．1y =-B ．10x y +-=C ．y e =D ．y ex =8．执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（）.A ．15B ．16C ．17D ．189．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（）A B C ．2 D 10．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．100，8B ．80，20C ．100，20D ．80，811．设函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，则当0x >时，()()f f x 的展开式中常数项是（）.A ．70-B ．35-C ．35D ．70 12．设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则函数()f x a b =⋅的最大值是（）A ．32B ．32-C ．12-D ．2二、填空题13．函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期是3π，则ω=______. 14．已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是______.15．已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M △的面积是______.16．第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.三、解答题17．已知公比不等于1的等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.18．某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是45、35、25.且各轮问题能否正确回答互不影响. （1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.19．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，2AB =，ABE △，在棱BE 上确定一点P ，求使得直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值为15时CP 的长. 20．已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数.（1）求函数()()()F x mfx g x =-（m 为常数）的单调区间；（2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.22．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）23．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值；（2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值.参考答案1．D【分析】解不等式212x -<-<，即可求出集合A ；根据对数函数的特点即可求出函数()()2log 1f x x =-的定义域，进而求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为{}212A x x =-<-<，所以{}13A x x =-<<；又函数()()2log 1f x x =-的定义域为()1,+∞, 所以{}1B x x =>；所以{}13A B x x ⋂=<<.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题.2．B【分析】根据复数的除法运算公式，求出1122z i =+，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为11i z+=，所以()()111111122i z i i i i +===+--+，所以2z =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.3．A【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和.设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=， 1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4．B【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小.【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-，【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题.5．B【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题.6．D【分析】先求出圆心到直线30x y --=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(1)1x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径为1，圆心到直线的距离d ==，1.故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题.7．A【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=，解得1a e=-，所以()1ln xf x e x x e=-+，可得()11ln11f e e =-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =-故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题. 8．B【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立，第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立，输出16S =，故选：B 【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题. 9．C 【分析】求得b a 的值，再由e =可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 3b a π∴==所以，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 10．A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11．D 【分析】根据分段函数求出()()ff x 的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项. 【详解】函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩， ∴当0x >时，()()()882222211f f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式的通项公式为：()()82164188211rrr rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭，令1640r -=，解得4r =；∴展开式的常数项为：()4458170T C =-=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题. 12．A 【分析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意可知，()21cos 213sin cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π-⎛⎫=⋅=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当3x π=时，即226x ππ-=时，()f x 取最大值，()f x 最大值为113=sin 2=sin =3362222f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题． 13．23【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=，即可求出结果.【详解】由题意可知，23ππω=，所以23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了函数()sin y A ωx φ=+周期公式的应用，属于基础题. 14．44π- 【分析】计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”，则A 中含有的基本事件对应的面积为4π-，故所求的概率为44π-. 故答案为：44π-. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题. 15．4根据椭圆的定义和已知条件，可求出12,MF MF 的值，再根据勾股定理，可证明12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，由此即可求出结果. 【详解】由椭圆的定义可知，126MF MF +=，又122MF MF -=，联立两式 121262MF MF MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得1242MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又12F F = 所以2221212MF MF F F +=，所以12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，所以12F F M △的面积为121142422MF MF ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题. 16．725-【分析】计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sin θ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a ，则较短的直角边长为1a -，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-.本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．（1）2nn a =；（2）10.【分析】（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解n S ，代入已知条件求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为()1q q ≠，由题意得()2111221112322a a q a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩（1q =舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n nn a -=⨯=；（2）由（1）得2nn a =，∴2nn b n =-，∴()()212121221222n n nn n n n S +⋅-++=-=---， ∴不等式12470n n S +-+<，即24502n n +-+<，得()()1090n n +->∴10n <-（舍去），或9n >（n +∈N ），故使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10. 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.18．（1）101125；（2）分布列见解析；期望为5725. 【分析】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，则“该选手被淘汰”为事件112123A A A A A A ++，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；（2）由题意X 的可能值为1，2，3，()1,2,3X i i ==表示前1i -轮均答对问题，而第i 次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．【详解】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =， “该选手被淘汰”为事件M . 则()145P A =，()235P A =，()325P A =.()()112123P M P A A A A A A =++()()()()()()112123P A P A P A P A P A P A =++ 142433555555=+⨯+⨯⨯ 101125= ∴该选手被淘汰的概率是101125（2）X 的可能取值为1，2，3.()()1115P X P A ===，()()()()121242825525P X P A A P A P A ====⨯=，()()()()1212431235525P X P A A P A P A ====⨯=.∴X 的分布列为∴()1812571235252525E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可.（2）设EB x =，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值求解即可. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，∵BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，BD BE B ⋂=，故AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解：设EB x =，则122x ⨯⨯=，得x . 在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，2AB =，可得AG GC ==1GB GD ==，过G 作直线l ⊥平面ABCD ，以G 为原点，直线GB 为x 轴，直线GC 为y 轴，l 为z 轴建立空间直角坐标系G xyz -.则()0,0,0G ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，(E，()1,CD =-，(1,CE =，()1,CB =，(BE =设()BP BE λ==，（01λ≤≤）∴()1,CP CB BP =+=；设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则有0,0,n CD n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，得(3,1,n =-，∴2cos ,10n CP n CP n CP-⋅===⋅，解得12λ=，或74λ=（舍去）.∴1,2CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得CP . 【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题. 20．（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【分析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解；【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =.∴抛物线C 的方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下：设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立.∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PBx y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202kb --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠ 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21．（1）答案见解析；（2）(],2-∞. 【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11xF x mf x g x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++. 当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '=，得1mx m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<.1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>.()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立，即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立，设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++，当2a ≤时，()0M x '≥，仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ，当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.22．（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析：（1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程23．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥，得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。

2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

【精准解析】陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题

S T 不成立，第二步： S 15 ， a 4 ， b 4 ，T 4 4 16 ， S T 不成立，第三步： S 16 ， a 5 ， b 3 ， T 53 15 ， S T 成立，输出 S 16 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.
9.
3. 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a9 5 ， a10 8 ，则 S10 （
A. 55
B. 55
C. 135
【答案】A
【解析】
）.
D. 65
【分析】
根据条件求出首项和公差，即可求出前 10 项和.
【详解】设数列an 的公差为 d，
aa190
a1 8d a1 9d
5 8
，解得
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知 f (1) 0 ，即可求出 a 得值，再求出 f (1) 的值可得切点，斜率 k f (1) 0 ，
即可写出方程.
【详解】由题意可得： f x aex 1 ln x ，
因为 x 1 是函数 f x aex x ln x 的极值点，
所以 f (1) ae 1 0 ，
解得 a 1 ， e
所以 f x 1 ex x ln x ，
e
可得 f 1 1 e ln1 1，切点为 1, 1 ，斜率 k f (1) 0 ，
e
所以切线为： y 1
故选：A 【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于 0 ，属于中档题.
a1
19, d
3
，
( ) 10´
\ S10 =
a1 + a10 2
= -55 .

【KS5U解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷) Word版含解析

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数为奇函数，则 ______.
【答案】1.
【解析】
【分析】
依据函数为奇函数，由为偶函数求解.
【详解】∵函数为奇函数，
∴函数为偶函数，
∴ .
故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.
14.设为单位向量，且，若以向量为邻边的三角形的面积为，则的值为__________．
7.我国南宋有名数学家秦九韶发觉了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ .若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )
A. B.2C.3D.
【答案】A
【解析】
考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.
【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，肯定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理争辩时，既不能重复交叉争辩又不能遗漏，这样才能提高精确率.
（1）证明：平面；
（2）若，，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别证明和即可；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 平面；
（2）设，棱台的高为，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

【精准解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题

【详解】对于
A,B
两个选项，
f
π 2
0
，不符合图像，排除
A,B
选项.对于
C
选项，
f 1 e cos1 1，不符合图像，排除 C 选项，故选 D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属
于基础题.
6. 设 e1, e2 是平面内两个不共线的向量， AB (a 1)e1 e2, AC be1 2e2 （a＞0，b＞0），
A. 1 2i
【答案】A
B. 1 2i
C. 2 i
D. 2 3i
【解析】
【分析】
由题意可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，据此可知 z 1 2i 或 z 2 i ，结合
共轭复数的特征确定 z 的值即可.
【详解】由 z z 5 可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，
3 2
sin
2x
sin
2x
6
1 2
，
f (x) 的最大值是 3 ，A 正确． 2
x0
5 6
,
4 3
时，
2x
6
11 6
, 17 6
，
sin
2
x
6
1 2
，
f
(x)
0
无解，B
正确；
-7-
x [ 6
,
2
] 时，
2x
6
2
，7 6
，
f
(x)
递减，C
正确；
f
5 12
sin
1 2
2
2
2 2
5 5
2

陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷) Word版含解析

西安地区陕师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中西安市83中西安市85中西安市一中西安铁一中西安中学西工大附中八校联考2020届高三年级数学（理科）试题本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|3x M y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（） A. M S M ⋃= B. M S S ⋃= C. M S = D.M S ⋂=∅【答案】A【解析】【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x =>∴S M ⊆，∴M S M ⋃=，故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解. 【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-，故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月【答案】C【解析】【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得最低气温低于0C ︒的月份有3个．【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<< ,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D .【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A. 23B. 27C. 47D. 43【答案】B【解析】【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小.【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM +，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可.在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=4=所以PM 的最小值为【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得=点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】B【解析】【分析】首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可. 【详解】∵22log log 32x ππ-≤， ∴032x ππ<-≤， ∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题. 9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（）A. 外切或外离B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切【答案】D【解析】【分析】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则：①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切；故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.10. 设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（）A. 12B. 3C. 5D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出a 、b 、c ，设()00,P x y ，表示出向量()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=-- ，再整理得出m 的取值，得出答案.【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点；即()()122,0,2,0F F - ，2229,5,4,2a b c c ==== 设()00,P x y()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=--由12PF PF m⋅=可得22004x y m +=+ 又因为P 在椭圆上，即2200195x y += 所以20994m x -= 要使得12PF PF m⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<< 解得1<m<5所以m 的值可以是3.故选B.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.11. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A. 22πB. 5225πC. 16925πD. 338125π 【答案】D【解析】【分析】正方形ABCD 的边长为2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得22h =，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积．【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<．正四棱锥体积213V a h =最大时，即V =．由452y a =，则348y a '=-，令0y '=，可得a ，即当a =体积取得最大值； h ∴= 正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R = 正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==．故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．12. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是（）A. [)3,-+∞B. ()3,-+∞C. [),e -+∞D.(),e -+∞【答案】A 【解析】【分析】先建立不等式组48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，再用a 表示出12x x ，12x x +，接着将()()12f x f x λ>+转化11ln12a aλ>-+-，最后构建新函数()()2ln 11g x x x x =-+->得到()13g λ≥=-即可解题.【详解】解：因为()22ln f x ax x x =-+，（0x >）所以()21221'220ax x f x ax x x -+=-+==有两个正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，即：102a <<，又∵2112210ax x -+=，2222210ax x -+=，1212x x a =，121x x a+=，∴()()22111212222ln 2ln ax x x ax f x f x x x λ-++-+>+=111222112ln 2ln 22x x x x x x =--++--+()121211ln 1ln12x x x x a a =-++-=-+-，令()()2ln 11g x x x x =-+->，()1'20g x x=-<，∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()13g λ≥=-，故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 【答案】1. 【解析】【分析】根据函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，由()()1y x x a =-+为偶函数求解. 【详解】∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．【答案】32【解析】【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅，又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=，即234k =，又 0k >，所以3k =.15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，……，那么n N =______.【答案】()212n n +.【解析】【分析】首先根据题意得到()2112n N n n =+++，再利用等差数列求和即可. 【详解】由题知：()31129153N =++⋯+=，()411216343N =+++=…，()511225653N =+++=…，……，所以()()()222211212112nN n n n n n n n ++==+++=⨯. 故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题. 16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【答案】45-. 【解析】【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得()5sin()f x x ϕ=-，其中34cos ,sin 55ϕϕ==，由题意得5sin()5θϕ-=，得2,2k k Z πθϕπ-=+∈，从而可求出cos θ的值【详解】解：()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-，因当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-，【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. ()1求数列{}n a 的通项公式；()2若()1n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和为2nT.【答案】()12n a n =；()2222n n T n =+.【解析】【分析】()1证出数列n an⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，进而写出数列{}n a 的通项公式；()2结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可.【详解】解：()12121233n n S a n n n +=---，*n N ∈， ∴()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-，① 当2n ≥时，()()()111213n n n n n S n a --+=--，②由①-②得()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+，1222n n n a S S -=-，∴()()1121n n n na n a n n a +=--+-，111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，∴()111na n n n=+⨯-=，即2n a n =，()2n ≥ 当1n =时，上式显然成立，所以2n a n =，*n N ∈.()2()()211n nn n b a n =-=-，∴()()22222221234212n n T n =-+-++--+()()()()()()21214343221221n n n n =+⨯-++⨯-+++-⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1234212n n =+++++-+22n n =+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，结合求和公式的知识点，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面MAC ；（2）若1AB =，112A D =，3MA =111A A B D -23，求二面角1M AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15【解析】【分析】（1）分别证明BD AC⊥和MA BD即可；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）∵AB AD=，∴BD AC⊥，∵90MAB∠=︒，∴MA BD，∴BD⊥平面MAC；（2）设BD AC O⋂=，棱台的高为h，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则三棱锥111A AB D-的体积为2233h=3h=∴(12,3B，22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2,0,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，故12,2,32B A⎛=⎝，()2,0,0CA=，设平面1ACB的法向量为(),,n x y z=，由1n B An CA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：223020x zx⎧=⎪⎨⎪=⎩，令3y=(0,3,2n=，取平面MAC的法向量为()0,1,0m=，则315cos,55m nm nm n⋅===，易知二面角1M AC B --的平面角为钝角，故二面角E BF C --的余弦值为15-. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=，()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=， ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=，当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解.（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-，即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-；令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形.【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=， ()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122x x x x e x +->++=，要证不等式()()21ln 1x e x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+，只需证()2ln 12x x x+>+，设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增，又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题.共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求AB 的值.【答案】（1）210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）【解析】【分析】（1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为221010310x y x y +--+=，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果；（2）本题首先可根据04cos 5θ=得出03sin 5θ=，然后联立圆的极坐标方程以及0θθ=得出214310ρρ-+=，最后通过韦达定理以及12AB ρρ=-即可得出结果.【详解】（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=，联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=，则1214ρρ+=，1231ρρ=，故12AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知0a >，0b >，且222a b +=.(1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +24b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<；当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上，9922x -≤≤. （2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++， ()55222222b a a b a b a b=+++-，()()2222222224a b a b a b ≥++=+=.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

【KS5U解析】陕西省西安地区2020届高三上学期第一次八校联考理科数学试题 Word版含解析

，
解得 .
故 .
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题
18.已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当平面平面，，时，求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）明见详解；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依据平行线分线段成比例定理证得线线平行，再利用线面平行的判定定理证明即可；
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导，令，再依据极值点的正负进一步推断零点个数即可
【详解】由，令得或，
当时，单调递增，当时，函数单调递减，
，画出函数图像，如图所示：
故函数图像有两个零点
故选：C
【点睛】本题考查导数争辩函数零点个数，属于基础题
4.若实数满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
则，解得，
所以，，
所以插入的个数的和等于 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及前和公式，需熟记公式，属于基础题.
15.甲乙两人进行乒乓球竞赛，商定先连胜两局者赢得竞赛，假设每局甲获胜概率为，乙获胜的概率为，各局竞赛相互独立，则恰好进行了4局结束竞赛的概率为______．
2022届西安地区八校联考数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟．
留意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．