离散数学练习题(含答案)
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离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）
A．p∧┐p∧q B．┐p∨q
C．┐p∧q D．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）
A．p→┐q B．p∨┐q
C．p∧q D．p∧┐q
3．下列语句中是命题的只有（ A ）
A．1+1=10 B．x+y=10
C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2
4．下列等值式不正确的是（ C ）
A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A
B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)
5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）
A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={
A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}} C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B C．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B
8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)
D．a*b=a(mod b)
10.设R和S是集合A上的关系,R∩S必为反对称关系的是( A ) A．当R是偏序关系,S是等价关系; B．当R和S都是自反关系; C．当R和S都是等价关系; D．当R和S都是传递关系
11.设R是A上的二元关系,且R·R R,可以肯定R应是( D ) A．对称关系; B．全序关系; C．自反关系; D．传递关系
第二部分非选择题
二、填空题
1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。2．设R为A上的关系，则R的自反闭包r(R)= _R∪
I_ ，对称
A
闭包s(R)= _R∪R~。
3．某集合A上的二元关系R具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R是
I_ ，其关系矩阵是只有主对角线上元素
A
为1 。
三、计算题
1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：
)0y x )(x )(y (=+∀∃。
2．用等值演算求下面公式的主析取范式。)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝
3．用等值演算法求公式)()(Q P Q P ⌝→↔→⌝的主合取范式。
4．（6分）在偏序集
5．设集合A={1,2,3,4,5},A上的划分为 ＝{{1,2,3},{4,5}},试求：
1)写出划分 诱导的等价关系R；
M；
2)写出关系矩阵R
3)画出关系图。
6. 设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{ a>， 解r(R)＝R∪I A＝{ s(R)＝R∪R-1＝{ t (R )＝i i R ∞ 四、证明题 1．设R 和S 是二元关系，证明111)(---=S R S R 2．设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。 3．设R 是A 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当R R ⊆2，其中 2 R表示R R•。 4．证明下列结论： （1）R ⇒ → ∨ P→ ∧ P R Q Q （2）D ( →), ∧ → ) ( ⌝ ( ), B ∧ D A C C ∨ A⇒ B A 解：（1）1 P∧Q P附加前提 2 P T，1，I2 3 P∨Q T，2，I1 4 P∨Q→R P 5 R T，3，4，I3