西南石油大学高等数学习题01
西南石油大学《数字电子技术》试题答案及评分标准(第一套)1
《数字电子技术》试题答案及评分标准（第一套）课程号35、35 考试时间 100 分钟一、填空题（共26分）1、（2分）在函数L （A 、B 、C 、D ）=AB+CD 的真值表中，L=1的状态有 7 个。
2、（4分）一个存储容量为8K ×4的存储系统有 32K 个存储单元，若存储器的起始地址为全0，则该存储系统的最高地址的十六进制地址码为 1FFFH 。
3、（4）8421(213.5)(11010101.1)(001000010011.0101)D B BCD ==4、（2分）如下图所示的逻辑电路，其输出逻辑函数表达式L 为AB BC ⋅。
5、（2）10位倒T200H时，输出电压O v O v =7.5V 。
6、（2分）X 的补码为的原码为 01011 。
7、（4分）A/D 转换器一般要经过 采样 、 保持 、 量化 和 编码 这4个转换过程。
8、（3分）三态门可能输出的三种状态是 高电平 、 低电平 和 高阻态 。
9、（3分）对于JK 触发器，当1J K ==时，n+1Q = 1 ，当1J K ==适用专业年级（方向）： 电气工程、测控、自动化、电信、通信、电科、应物考试方式及要求：闭卷笔试L时，n+1Q = n Q ，当0J K ==时，n+1Q = n Q 。
二、（10分）将下列逻辑函数化简为最简与或式。
解：则，Y A D =+评分标准：卡诺图每小方格0.25分×16=4分；包围圈2分×2=4分；最终结果2分。
三、（12）如下图所示的逻辑电路，写出电路输出端函数F 的逻辑表达式、真值表，若已知其输入A 、B 、C 的波形，画出输出端F 的波形。
解：+F AB BC AC =+,其真值表如下所示：输出端F 的波形见上图所示。
评分标准：表达式4分；真值表0.5分×8=4分；波形4分。
四、（12分）试用译码器74138和与非门设计1位二进制全加器。
输入为加数A 、被加数B 和低位来的进位信号C i ，输出为和数S 及向高位的进位信号C o 。
西南石油大学2014级高等数学1-2元第一套A附答案
参考答案与评分标准
一、填空题（每小题4分，共24分）
1、-18；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、1
二、选择题（每小题4分，共24分）CDABCC
三、（10分）求微分方程 的通解．
解这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为 ，
解得特征方程的根 ， ，故对应其次线性微分方程的通解为
令 4分
得到可能极值点 ， ； ， ；
， ．
比较函数值可得函数 在该闭区域上的最大值为 ，最小值 ．4分
．5分
由于 不是特征方程的根，故设方程的一个特解为
代入原方程解得 ，故方程的通解为
．5分
四、（10分）计算二重积分 ，其中 是由抛物线 与直线 所围成的区域．
解画出图形，求出交点 和 ．2分
4分
4分
五、（10分）求幂级数 的收敛半径和收敛域．
解：记 ，因为 ,所以收敛半径为 ．6分
又当 时，级数 发散；当 时，级数 发散．
故级数的收敛域为 ．4分
六、（10分）用格林公式计算 ，其中 为圆周 ，取逆时针方向．
解由于 ， ，故 ，由格林公式
6分
3+1分
七、（10分）求函数 满足条件 的最大值与最小值．
解法1，
令 ，则 ， ，4分
令 ，得到为 ，最小值 ．4分
解法2，构造拉格朗日函数 ．2分
西南石油大学2015级高等数学1-1考题(A)
1、关于极限 ，下列说法正确的是【】
A、值为0B、值为1C、值为2D、不存在
2、设函数 则 是函数的【】
A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、振荡间断点
3、设函数 在 的某个邻域内有定义， ，则【】
A、 不是函数 的驻点B、 不是函数 的极值点
C、 是函数 的极小值点D、 是函数 的极大值点
《高等数学(Ⅰ-1)》考试试卷（第一套）（Ａ）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、极限 ＝．
2、设 ，则其导数 =_____________________．
3、曲线 的凸区间为_________．
4、方程 所确定隐函数的导数 =________________________．
5、反常积分 __________．（选填“收敛”或者“发散”）
六、（12分）求曲线 所围图形的面积．
七、证明题（）
（1）（8分）利用夹逼准则证明： ．
（2）（10分）设 在区间[0，1]上可导，且满足关系式 ，证明：在 内存在一点 ，使得 ．
4、设 是连续函数 的一个原函数，则必有【】
A、 是偶函数 是奇函数
B、 是奇函数 是偶函数
C、 是周期函数 是周期函数
D、 是单调函数 是单调函数
5、曲线 的渐近线的条数为【】
A、0B、1C、2D、3
三、（10分）求参数方程 所确定函数的二阶导数 ．
四、（8分）求极限 ．
五、（12分）求不定积分 ．
中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题
中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题Ａ卷2006—2007学年第一学期《本科高等数学(上)》试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期页号一二三四五六总分得分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.) 1. 设⎩⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .2. 设函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80,)cos 1()(02x xdte x b x x x x a xf x t连续，则=a ，=b .3．极限 =+→xx x sin 2)31(lim .4．设 2)(lim=→xx f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .5．设方程0=--ye y x 确定函数)(x y y =, 则dxdy = .6．设xy x3cos 2-=, 则dy = .7．抛物线822++=x x y 在其顶点处的曲率为 .8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y .9．[]⎰-=-+-+aa dx x a x x f x f 22sin )()( .10．微分方程02=--'x xyy 的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ） (A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件. 2．极限=++∞→nn n n 32lim（ ）(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5; 3．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 4．设()xx eex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( ).(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 5．设函数)(x f 二阶可导，且)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -∆+=∆，当0<∆x 时，则( ).(A) ;0>>∆dy y (B) ;0<<∆dy y (C) ;0>∆>y dy (D) .0<∆<y dy 6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f (C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,0)(>''<'x f x f7．设)(x f 在0x x =处二阶可导, 且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则( ).(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点;(C) ))(,(0x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.8．下列等式中正确的结果是 ( ).(A) ⎰=');()(x f dx x f (B) ⎰=);()(x f dx x df (C) ⎰=);(])([x f dx x f d (D) ⎰=');())((x f dx x f9．下列广义积分收敛的是( ).(A) ⎰∞+edx xxln (B) ⎰∞+edx xx ln 1(C) ⎰∞+edxx x 2)(ln 1(D) ⎰∞+edx xx ln 110．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在ax =处可导的一个充分条件是 ( ).(A) 存在)]()1([lim a f ha f h h -++∞→(B)存在h h a f h a f h )()2(lim+-+→(C) 存在hh a f h a f h 2)()(lim--+→(D)存在hh a f a f h )()(lim--→三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案
高数第一册 第一章 习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，） （4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞ ＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(12)
Ａ卷2008—2009学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(理工科类)专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2009年1月5日说明：1本试卷正文共6页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）1)(cos lim xx x → =________________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________. （3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .3. 计算不定积分.4.计算定积分⎰++3011dxxx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256x y y y xe'''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．图4-13. （本题8分）设()f x在[,]a b上有连续的导数，()()0f a f b==，且2()1baf x dx=⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A; (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 10)(cos lim x x x →（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e ee xxxy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ -------1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x -------2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx x x.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x --------- --------------- （3分）35)1(323323=++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RRRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y = ----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线x e y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= ----2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 2102)(⎰-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ ----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+. 解法一：2112xe e x x x ξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为() 1.x f x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(6)
2011—2012学年第一学期《高等数学》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年1月3日页号一二三四五六总分本页满分30 18 12 18 15 7本页得分阅卷人1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共6页。
一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1．函数23422+--=x x x y 的可去间断点是_________. 2．曲线21xy e -=-的下凸区间是_________________________.3．设(ln )ln f x x x '=，则()f x =____________C +. 4.211d 1xx +∞+⎰=____________.5.221cos y y x x x '-=的通解是_________________________．二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则()f x 在点0x =处（ ）． A ．极限不存在；B ．极限存在但不连续；C.连续但不可导；D ．可导. 2. 已知0x →时，30()3sin cos d xf x x t t=-⎰与kcx 是等价无穷小，则（ ）．A ．1,4k c ==；B ．1,4k c ==-； C. 3,4k c ==； D ．3,4k c ==-.3．设)(x f '连续，(0)0,(0)2f f '==，则20(1)lim x x f e x x →--=（ ）．A ．2；B ．∞； C. 1； D ．12.4．函数()y f x =在1x =处有连续导数，21)('lim 1=-→x x f x ，则1x =处取得（ ）. A. 拐点； B. 极大值； C. 极小值； D. 都不是.5．微分方程x xy y e e -''-=+的特解形式为（ ）．A ．()x x a e e -+；B ．()x x ax e e -+；C ．2()x xx ae be -+； D ．()x x x ae be -+.三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）1. 求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰.2．方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=⎰t t y du u t u t x t arctan )(102确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx .3．求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-.4．求定积分10x ⎰.5．设0sin ()x t f x dt t π=-⎰, 求0()f x dx π⎰.四、应用题（共3小题，共24分）1．（本题6分）求曲线1()ln(1)x f x e x =++的渐近线.2．（本题12分）设由曲线xy e =与过点(1,)e 的切线及y 轴所围平面图形为D .（1）．求D 的面积A ； （2）．求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .3．（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图， 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功 最少应为多少 ?五、证明题（16分）1．（本题9分）设0>x ，证明：xx x x<+<+)1ln(1. 2．（本题7分）设函数()f x 在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且2()d 2(3)(4)(5)f x x f f f ==+⎰，证明：（1）存在[0,3)η∈，使()(3);f f η= （2）存在(0,5)ξ∈，使()0f ξ''=.答案一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1． x =2 ； 2．(； 3． ()f x =x x xe e -C +；4． 4π 5． 21(sin )2y x x C =+二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分） 1．（ D ）；2．（ C ）； 3．（ C ）；4．（ C ）；5．（ D ）.三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1．求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰解：原式1cos 40ln d lim x x t t t x →=⎰30cos ln(cos )(sin )lim 4x x x x x →--=20ln(cos )lim 4x x x →=0sin 1cos lim88x xx x →-==- 2．方程20d 1()arctan t t u x u t u y t t -⎧=⎪+-⎨⎪=-⎩⎰确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx 。
川大《高等数学(理)》专科第一次作业问题详解
《高等数学（理）》专科第一次作业答案你的得分： 100.0完成日期：2013年12月03日 21点29分一、单项选择题。
本大题共25个小题，每小题 4.0 分，共100.0分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( B )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不对2.( A )A. AB. BC. CD. D3.( B )A.0B. 1C. 24.( D )A.-1B.0C. 1D.不存在5.( B )A.有一条渐近线B.有二条渐近线C.有三条渐近线D.无渐近线6.( C )A. AB. BC. CD. D7.( C )B. BC. CD. D8.( C )A. AB. BC. CD. D9.( D )A. AB. BC. CD. D10.( C )A. AC. CD. D11.( C )A. AB. BC. CD. D12.( B )A. AB. BC. CD. D13.( D )A. AB. BC. C14.( D )A. AB. BC. CD. D15.( C )A. AB. BC. CD. D16.( B )A. AB. BC. CD. D17.( B )A. AB. BC. CD. D18.( B )A.0B. 1C. 2D. 319.( D )A. AB. BC. CD. D20.( C )A. AB. BC. CD. D21.( B )A. AB. BC. CD. D22.( B )A. AB. BC. CD. D23.( C )A. AB. BC. CD. D24.( B )A. AB. BC. CD. D25.( C )A. AB. BC. CD. D@Copyright2007 四川大学网络教育学院版权所有。
高等数学C1习题解答
而0<xn <1,故xn (1 − xn ) > 0,即xn +1 − xn > 0, xn +1 > xn .故数列单调递增且有界,极限存在.
2 2 ∵ xn +1 = − xn + 2 xn = − ( xn − 2 xn + 1) + 1 = 1 − ( xn − 1)2 < 1∴ lim xn = 1
5、原式＝ lim [(1 − ) ⋅ 7、因为 lim e − x = 0
x → +∞
1 3
sin x ≤ 1
所以
x → +∞
lim e − x sin x = 0
3
习题五 一、1.B， 2.A, 3. B 二、1. sin x < x < tan x 2．０ 三、1. （1） 解： lim
x →0
2
+ ...... +
1
n + nπ
<
n n +π
2
而 lim
n →∞
n n 2 + nπ
= 1, 故由夹逼准则知, 原式成立.
2.证明： 只要证明原数列单调有界就可以达到目的
2 2 ∵ xn +1 = − xn + 2 xn ,即xn +1 − xn = xn − xn = xn (1 − xn )
有 a =1
b = −1
四、1。证明：
∵ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1, f ( x )在[0,1]上连续,由介值定理知结论成立
2．证明：
5
π π π π π π , ]上连续.又f (− ) = − < 0, f ( ) = > 0, 2 2 2 2 2 2 π π 由零点定理知, 至少存在一点ξ ,使得f(ξ )=0,即使方程x=cosx有根ξ ∈[- , ] 2 2
西南石油大学高等数学习题01
习题（一）练习1-1 1、填空题（1）点)5,3,4(-M 到xOy 平面的距离是 ；到Ox 轴的距离是 。
（2）向量{}2,2,2=→a 的模为 ；方向余弦为 。
（3）设点()2,1,0A 、()0,1,1-B ，则向量AB 的坐标表达式为 。
按基本单位向量的分解表达式为 ，两点间的距离为 。
*（4）设向量→a 的方向角有关系式βγ22==a ，则0→a = 。
2、设点()1,2,41M 、()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
3、求与向量{}6,7,6-=→a 同向的单位向量0→a 及与→a 平行的单位向量。
*4、如果平面上一个四边形的两对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。
练习1-2 1、填空题（1）设向量→→→→--=k j i a 233,{}1,2,1-=→b ，则=⋅→→b a ；=⨯→→b a ；=⋅-→→b a 3)2( ，=⨯→→b a 2 ；=→→),cos(b a 。
（2）非零向量{}z y x a a a a ,,=→与{}z y x b b b b ,,=→平行的充要条件是 ，垂直的充要条件是 。
（3）设向量{}3,2,1=→a 、{}2,2,2--=→λλλb ，且→→⊥b a ，则常数=λ 。
*（4）设向量→a 、→b 、→c 为单位向量，且→→→→=++0c b a ，则=⋅+⋅+⋅→→→→→→a c c b b a 。
*（5）设2)(=⋅⨯→→→c b a ，则=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+→→→→→c c b b a )()( 。
*（6）设向量→→→→-+=k j i a 2和→→→→+-=k j i b 2为平行四边形的两邻边，则该平行四边形的两条对角线之间的夹角为 。
2、选择题（1）设→a 与→b 均为非零向量，则下列结论正确的是 （ ）（A ）→→→=⨯0b a 是→a 与→b 垂直的充要条件（B ）0=⋅→→b a 是→a 与→b 平行的充要条件（C ）→a 与→b 的对应分量成比例是→a 与→b 平行的充要条件 （D ）若→→=b k a （k 是实数），则0=⋅→→b a*（2）已知→a 与→b 都是非零向量，则｜→→-b a ｜=｜→→+b a ｜的充要条件是 （ ）（A ）→→→=-0b a （B ）→→→=+0b a （C ）0=⋅→→b a （D ）→→→=⨯0b a 3、已知点()2,1,11-M ，()23,3,1M 和()3,1,33M ，求与向量21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。
西南石油大学数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解习题一1，验证下面两个函数： 221(,)ln,(,)sin x u x y u x y e y x y ==+都是方程0xx yy u u +=的解。
证明：（1）221(,)lnu x y x y=+因为223222222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x y x x y x y x y x x x y u x y x y y u x y y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =+⋅-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++=+⋅-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++--+=+=++ 所以221(,)lnu x y x y=+是方程0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin xu x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=⋅=⋅=⋅=-⋅所以s i n s i n 0xxxx yy u u e y ey +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程0x y x y u u u u -=其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''-=⋅-⋅⋅=得证。
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习题（一）练习1-1 1、填空题（1）点)5,3,4(-M 到xOy 平面的距离是 ；到Ox 轴的距离是 。
（2）向量{}2,2,2=→a 的模为 ；方向余弦为 。
（3）设点()2,1,0A 、()0,1,1-B ，则向量AB 的坐标表达式为 。
按基本单位向量的分解表达式为 ，两点间的距离为 。
*（4）设向量→a 的方向角有关系式βγ22==a ，则0→a = 。
2、设点()1,2,41M 、()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
3、求与向量{}6,7,6-=→a 同向的单位向量0→a 及与→a 平行的单位向量。
*4、如果平面上一个四边形的两对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。
练习1-2 1、填空题（1）设向量→→→→--=k j i a 233,{}1,2,1-=→b ，则=⋅→→b a ；=⨯→→b a ；=⋅-→→b a 3)2( ，=⨯→→b a 2 ；=→→),cos(b a 。
（2）非零向量{}z y x a a a a ,,=→与{}z y x b b b b ,,=→平行的充要条件是 ，垂直的充要条件是 。
（3）设向量{}3,2,1=→a 、{}2,2,2--=→λλλb ，且→→⊥b a ，则常数=λ 。
*（4）设向量→a 、→b 、→c 为单位向量，且→→→→=++0c b a ，则=⋅+⋅+⋅→→→→→→a c c b b a 。
*（5）设2)(=⋅⨯→→→c b a ，则=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+→→→→→c c b b a )()( 。
*（6）设向量→→→→-+=k j i a 2和→→→→+-=k j i b 2为平行四边形的两邻边，则该平行四边形的两条对角线之间的夹角为 。
2、选择题（1）设→a 与→b 均为非零向量，则下列结论正确的是 （ ）（A ）→→→=⨯0b a 是→a 与→b 垂直的充要条件（B ）0=⋅→→b a 是→a 与→b 平行的充要条件（C ）→a 与→b 的对应分量成比例是→a 与→b 平行的充要条件 （D ）若→→=b k a （k 是实数），则0=⋅→→b a*（2）已知→a 与→b 都是非零向量，则｜→→-b a ｜=｜→→+b a ｜的充要条件是 （ ）（A ）→→→=-0b a （B ）→→→=+0b a （C ）0=⋅→→b a （D ）→→→=⨯0b a 3、已知点()2,1,11-M ，()23,3,1M 和()3,1,33M ，求与向量21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。
4、已知→→+=k i 3，→→+=k j 3，求OAB ∆的面积。
5、设｜→a ｜3=，｜→b ｜2=，6),(π=→→b a ，求｜)()2(→→→→-⨯+b a b a ｜。
6、已知向量→→→→+-=k j i a 32、→→→→+-=k j i b 3和→→→-=j i c 2，计算： （1）→→→→→→⋅⋅-⋅⋅b c a c b a )()( （2）)()(→→→→+⨯+c b b a*7. 设→a ，→b ，→c 为两两都不平行的非零向量，且→a +→b 与→c 平行， →b +→c 与→a 平行，证明→a +→b +→c =→0。
练习1-3 1、填空题（1）平面2=-+z y x 的法向量可取为 ，直线⎩⎨⎧=+-=-+21z y x z y x 的方向向量可取为 。
（2）过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为 ，过点()3,0,2-与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程为 。
2、选择题（1）已知平面1=+-z y kx 和平面432=++z y x 垂直，则常数k 为 （ ） （A ）０ （B ）１ （C ）２ （D ）－１（2）直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 与平面0224=-+-z y x 的关系为 （ ）（A ）平行 （B ）直线在平面内 （C ）垂直相交 （D ）相交但不垂直3、求直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 的点向式及参数式方程。
4、求过点()1,2,1且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012:1z y x z y x L 和⎩⎨⎧=+-=+-02:2z y x z y x L 都平行的平面方程。
5、过点()2,1,3-且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。
6、已知原点到平面π的距离为１，且π与平面12236-=++z y x 平行，求平面π的方程。
7、求直线⎩⎨⎧=-+=+-112z y x z y x 在平面02=-+z y x 上的投影直线的方程。
练习1-41、填空题（1）球面0242222=++-++z y x z y x 的球心在点 ，半径为 。
（2）在xOy 面上的双曲线369422=-y x ，绕x 轴旋转一周，而形成的旋转曲面方程为 ；绕y 轴旋转一周，生成的旋转面方程为 。
（3）球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影曲线的方程为 。
（4）方程组⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 在平面解析几何中表示 ；在空间解析几何中表示 ，方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何中表示 。
2、画下列方程表示的曲面：（1）221y x z ---= （2）22y x z += （3）x y x 222=+ 3、求曲面()4022≤≤+=z y x z 在三个坐标面上的投影图形。
4、求2220y x a z --≤≤与()022>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面上的投影。
参考答案练习1-11、（1）5；34 （2）10；102，102，102（3）{}2,2,1--；→→→--k j i 22；3 （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧0,22,22 或{}1,0,0- 2、2；21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα；3,43,32πππ3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=→116,117,1160a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±=±→116,117,1160a4、设四边形为ABCD ，两条对角线AC 、BD 相交于O ，由已知有,,OD BO OC AO ==而OC DO DC OB AO AB +=+=,推得DC AB =，从而DC AB //，k z j y i x OR OQ OP OM ++=++=。
练习1-21、（1）3；{}7,1,5；-18；{}14,2,10；42213 （2）z zy y x x b a b a b a ==；0=++z z y y x x b a b a b a （3）2-或3 （4）23-（5）2 （6）2π 2、（1）（C ） （2） (C) 3、)223(171→→→--±k j i 4、19215、 96、→→--k i 248；→→--k j7、→a +→b =→c λ，→b +→c =→a μ，→→→→-=-a c c a μλ，→→+=+c a )1()1(λμ，1-=λ 练习1-31、（1） {}1,1,1-；{}2,2,0-- （2）04573=-+-z y x ； 531124-=+=-z y x （3）130012+=-=-z y x ，()()()0311014216=++-+--z y x 2、 （1） )(D （2） )(C3、直线过点()2,0,3-，{}3,1,2-=s ，点向式方程为：32123+==--z y x ，参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==+-=2332t z t y t x 。
4、0=--z y x5、592298=--z y x6、7236±=++z y x7、 ⎩⎨⎧=+-=-+1302z y x z y x练习1-41、（1）()1,2,1--；6 （2）36994222=--z y x ；36944222=-+y z x（3）⎩⎨⎧==+-082222z y x x（4）表示两直线的交点,317,34⎪⎭⎫⎝⎛-- 两平面的交线⎩⎨⎧=--=+-032015y x y x ；表示椭圆与直线的交点()3,0，表示椭圆柱面19422=+y x 与平面3=y 的交线。
3、在xOy 面上的投影图形为422≤+y x （0=z ）。
在yOz 面上的投影图形为：yOz 平面上的曲线2y z =及直线4=z 所围平面图形。
在zOx 面上投影图形为：zOx 面上的曲线2x z =及直线4=z 所围平面图形。
4、在xOy 面上的投影图形为：ax y x ≤+22。