高考前数学小题热点集训

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2022年高考数学二轮复习高考小题集训(二)

高考小题集训(二)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·全国乙卷理]设2(z ＋z )＋3(z －z )＝4＋6i ，则z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．1＋i D ．1－i2．[2021·湖南长郡十五校联考]已知集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}，Q ＝{x |3x ≥1}，则P ∩Q ＝( )A ．{x |－1≤x ≤0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |0≤x ≤6}D ．{x |－6≤x ≤0}3．已知抛物线x 2＝2py (p >0)上一点M (m ，1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，14 4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为( )A ．12－50 B. 17－50 C. 21－00 D. 35－00 5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是棱A 1B 1上任意一点，四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．不确定6．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (50，100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (60，16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是( )A ．①②B ．②①C ．①①D ．②②7．[2021·河北衡水中学调研]已知函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝log 15 13，c ＝215 ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (a )＞f (b )8．[2021·山东烟台二模]已知函数f (x )是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|，0＜x ≤2f （x －2）－1，x ＞2 ，则方程f (x )＋18 x 2＝2根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，则下列说法正确的是( )A ．m ＝250B ．鱼苗体长在[90，100)上的频率为0.16C ．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内D ．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为3010．[2021·广东珠海一模]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是( )A ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积是932B ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积是18C ．直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326D ．点A 到平面A 1BC 的距离是13211．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 12．[2021·河北秦皇岛二模]已知()2－3x 6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则下列选项正确的是( )A ．a 3＝－360B ．(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝1C ．a 1＋a 2＋…＋a 6＝(2－3 )6D ．展开式中系数最大的为a 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.14．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a (x ＋1)－2x ，则f (f (3))＝________．15．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，若AD → ·AB → ＝AD → ·AC →，则AD → ·AB →的值为________．16．[2021·全国甲卷文]已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝________．1．解析：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，代入2（z ＋z ）＋3（z －z ）＝4＋6i ，可得4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.故选C.答案：C2．解析：集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}＝{x |－1≤x ≤6}， Q ＝{x |3x ≥1}＝{x |x ≥0}， ∴P ∩Q ＝{x |0≤x ≤6}．故选C. 答案：C3．解析：∵抛物线x 2＝2py （p >0）上一点M （m ，1）到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知y M ＋p 2 ＝32 ，即1＋p 2 ＝32 ，所以p ＝1，所以p 2 ＝12 ，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 故选A. 答案：A4．解析：设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则12 α×22＝76 π，解得α＝712π，由题意可得n 6 000 ＝712π2π ，解得n ＝724×6 000＝1 750，因此，该扇形圆心角用密位制表示为17－50. 故选B. 答案：B5．解析：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3，易知四棱锥S －ABCD 的高为S 点到底面的距离，即侧棱长，所以四棱锥S －ABCD 体积为V ′＝13 S ABCD ·AA 1＝13 a 2·a ＝a 33，所以V ′∶V ＝13，故四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为13.故选B. 答案：B6．解析：对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－5010 ＝Φ（2），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－604 ＝Φ（2.5），∵Φ（2）<Φ（2.5），所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－5010 ＝Φ（1.4），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－604 ＝Φ（1），∵Φ（1.4）>Φ（1），所以乙应走线路①.故选B. 答案：B7．解析：∵函数f （x ）＝x 2在[0，＋∞）上是增函数，b ＝log 15 13＝log 53＜a ＝log 54＜1，∴c ＝215＞20＝1，∴c ＞a ＞b ＞0，∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）. 故选D. 答案：D8．解析：方程f （x ）＋18 x 2＝2根的个数⇔函数y ＝f （x ）与函数y ＝－18x 2＋2的图象交点个数，图象如下：由图象可知两函数图象有6个交点．故选D. 答案：D9．解析：对于A ，因为[95，100）分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95，100）分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n ＝1 000×0.05＝50，则m ＝1 000－100－100－350－150－50＝250，故选项A 正确；对于B ，鱼苗体长在[90，100）上的频率为150＋501 000＝0.2，故选项B 错误；对于C ，因为鱼的总数为1 000，100＋100＋250＝450，100＋100＋250＋350＝800，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内，故选项C 正确；对于D ，由表中的数据可知，鱼苗体长落在区间[80，90）上的概率为P ＝250＋3501 000＝0.6，设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B （50，0.6），则E （X ）＝50×0.6＝30，故选项D 正确．故选ACD. 答案：ACD 10．解析：如图所示，三棱柱的上下底面正三角形中心分别为D 1，D ，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，所以其外接球的球心O 为高DD 1的中点，设外接球半径为R ，由4πR 2＝16π得R ＝2，又因为BD ＝23 ×32×3＝3 ，故OD ＝1，所以DD 1＝2，所以三棱柱的体积V ＝34 ·32·2＝932.三棱柱的表面积S ＝3×3×2＋2×34 ×32＝18＋932.因为AC ∥A 1C 1，所以∠B 1AC 是AC 与AB 1成的角也就是A 1C 1与AB 1成的角，因为AB 1＝B 1C ＝13 ，AC ＝3，所以cos ∠B 1AC ＝B 1A 2＋AC 2－B 1C 22B 1A ·AC ＝31326，所以直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326.设A 到平面A 1BC 的距离是h ，由VA －A 1BC ＝VA 1－ABC 得13 ×h ×12 ×432 ×3＝13×2×34×32，解得h ＝612943.故选AC. 答案：AC11．解析：圆心C （0，0）到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2 ，若点A （a ，b ）在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 ＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点A （a ，b ）在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 >|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A （a ，b ）在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 <|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A （a ，b ）在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：（2－3 x ）6展开式通项公式为：T k ＋1＝C k 6 ·26－k ·（－3 x ）k ，对于A ，令k ＝3，则a 3＝C 36 ×23×（－3 ）3＝－4803 ，A 错误；对于B ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 6＝（2－3 ）6；令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝（2＋3 ）6；∴（a 0＋a 2＋a 4＋a 6）2－（a 1＋a 3＋a 5）2＝（a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6）（a 0－a 1＋a 2－…＋a 6）＝[]()2－3×()2＋3 6＝1，B 正确；对于C ，令x ＝0得：a 0＝26，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝()2－3 6－26，C 错误；对于D ，∵a 0，a 2，a 4，a 6为正数，a 1，a 3，a 5为负数，又a 0＝26＝64，a 2＝C 26 ×24×3＝720，a 4＝C 46 ×22×32＝540，a 6＝33＝27， ∴展开式中系数最大的为a 2，D 正确．故选BD.答案：BD13．解析：因为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1（a >0，b >0）的离心率为2，所以e ＝c 2a 2 ＝a 2＋b 2a 2 ＝2，所以b 2a2 ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3 x .答案：y ＝±3 x14．解析：f （0）＝a －1＝0，a ＝1，当x <0时，－x >0，f （－x ）＝－x ＋1－2－x ＝－f （x ），即f （x ）＝x －1＋2－x，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－2x，x >00，x ＝0x －1＋2－x ，x <0，f （3）＝4－23＝－4，f （－4）＝－5＋24＝11，f （f （3））＝11.答案：11 15．解析：因为AD → ·AB → ＝AD → ·AC → ，所以AD → ·（AB → －AC → ）＝AD → ·CB →＝0，所以AD ⊥CB ，由题得AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以AD → ·AB →＝2×4×cos 60°＝4. 答案：416．解析：解法一（五点作图法）由题图可知34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f （x ）＝2cos （2x ＋φ）.点⎝⎛⎭⎫π3，0 可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3 ＋φ＝π2 ，得φ＝－π6，即f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－3 . 解法二（代点法）由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4 （T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.又点⎝⎛⎭⎫π3，0 在函数f （x ）的图象上，所以2cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ ＝0，所以2×π3 ＋φ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），令k ＝0，则φ＝－π6，所以f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 解法三（平移法）由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.函数y ＝2cos 2x 的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π4，0 ，对应函数f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π3，0 ，所以f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象是由y ＝2cos 2x 的图象向右平移π3 －π4 ＝π12个单位长度得到的，所以f （x ）＝2cos （2x＋φ）＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 答案：－3。

打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

高考数学浙江专版(理)一轮复习：小题专项集训4.pdf

小题专项集训(四)　三角函数、解三角形(建议用时：40分钟　分值：75分)1．计算sin 68°sin 67°－sin23°cos 68°的值为( )． A．－ B. C. D．1 解析　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝. 答案　B 2．函数y＝2cos2－1是( )． A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数解析　因为y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，故T＝π，选A. 答案　A 3．(2013·湖北八校联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )． A．135° B．105° C．45° D．75° 解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知0°0，故ω＝＝，排除选项C，D；又因为函数图象过点，代入验证可知只有选项B满足条件．答案　B 5．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin|x| 解析　注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②. 答案　B 6．(2013·浙江五校联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )． A．5 B．25 C. D．5 解析　由S△ABC＝acsin 45°＝2，得c＝4. 所以b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25.∴b＝5. 答案　A 7．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出下面四个命题： ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝sin＝－cos 2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在上是增函数，故④正确．综上可知，选C. 答案　C 8．(2013·泉州质检)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 解析　依题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，根据正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，则sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，所以cos B＝，又0°<B0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝( )． A．8 B. C. D. 解析　依题意得PM＝PN，PM⊥PN，所以△PMN是等腰直角三角形，又斜边MN上的高为2，因此有MN＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以＝8，ω＝，选C. 答案　C 11．(2012·济南模拟)已知sin x＝，x∈，则tan＝________. 解析　∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－＝－，∴tan x＝－. ∴tan＝＝＝－3. 答案　－3 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________. 解析　S＝×2bccos A＝bcsin A?tan A＝1A＝. 答案 13．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________．解析　f(x)＝＋sin 2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)max＝＋1＝. 答案 14．(2013·九江调研)若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________．解析　依题意，将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y＝sin(ω>0)，它的图象与函数y＝sinωx＋的图象重合，所以－ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝. 答案 15．给出下列命题： ①存在实数x，使得sin x＋cos x＝；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y＝sin的最小正周期为5π；④函数y＝cos是奇函数；⑤函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析　对于①，因为sin x＋cos x＝sin∈[－，]，而>，因此不存在实数x，使得sin x＋cos x＝，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y＝sin的最小正周期是T＝＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝ cos＝sin ，显然f(－x)＝－f(x)，即原函数为奇函数，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案　③④。

解析几何高考数学大题热点50题训练学生版

2023 解几大题热点50 题训练一．解答题（共50 小题）1．（2023•五华区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，C 的两条渐近线分别与直线2a x c=交于A ，B 两点，且AB 的长度恰好等于点F （1）求双曲线的离心率；（2）已知过点F 且斜率为1的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若对于双曲线上任意一点P ，均存在实数λ，μ，使得OP OM ON λμ=+，试确定λ，μ的等量关系式．2．（2023•江西模拟）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点(4,)M a 在抛物线上，且||6FM =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 分别作两条互相垂直的直线与抛物线C 分别交于A ，B 与P ，Q ，记AFP ∆，BFQ ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的最小值．3．（2023•潍坊模拟）已知动点P 与两定点1(2,0)A -，2(2,0)A ，直线1PA 与2PA 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设(D a ，0)(12)a <<，E 为直线2x a =上一动点，直线DE 交曲线C 于G ，H 两点，若||GD 、||HE 、||GE 、||HD 依次为等比数列{}n b 的第m 、n 、p 、q 项，且m n p q +=+，求实数a 的值．4．（2023•西安模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为1F 、2F ，离心率为22，直线:0l x y m ++=，1F 、2F 在直线l 上的射影分别为M 、N ，且||MN =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，(2,0)P -．求ABP ∆的面积的最大值．5．（2023•聊城一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60︒，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．（1）求C 的方程；（2）设点(0,0)O ，(0,2)M ，动直线:l y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．6．（2023•周至县二模）如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的一个焦点为1(0,1)F ，离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点I F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当四边形OACB 为平行四边形时，求k的值．7．（2023•太原模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，其离心率12e =，直线AB 与圆22127x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线与椭圆C 相交于P ，Q 两个不同点，过点P 作x 轴的垂线分别与AB ，AQ 相交于点D 和N ，证明：D 是PN 中点．8．（2023•江苏模拟）已知直线l 与抛物线21:2C y x =交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与抛物线22:4C y x =交于两点3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限．（1）若直线l 过点(1,0)M，且11||||BM AM -=l 的方程；（2）①证明：12341111y y y y +=+；②设AOB ∆，COD ∆的面积分别为1S ，2(S O 为坐标原点），若||2||AC BD =，求12S S ．9．（2022秋•滨江区校级期末）已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点．点M 为椭圆上一点，当12F MF ∠取最大值3π时，121()6MF MF MF +⋅= ．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线4x =上一点（且P 不在x 轴上），过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，连接AB '交x 轴于点G ．设△2AF G ，△2BF G 的面积分别为1S ，2S ，求12||S S -的最大值．10．（2023春•广东月考）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ ．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹C 与x 轴交于点M ，点A ，B 是轨迹C 上异于点M 的不同的两点，且满足0MA AB ⋅=，求||MB的最小值．11．（2023春•商丘月考）已知动点P 到直线8y =-的距离比到点(0,1)的距离大7．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）记动点P 的轨迹为曲线C ，点M 在直线1:1l y =-上运动，过点M 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，点N 是平面内一定点，线段MA ，NA ，NB ，MB 的中点依次为E ，F ，G ，H ，若当M 点运动时，四边形EFGH 总为矩形，求定点N 的坐标．12．（2023•铜仁市模拟）已知双曲线2222:13x y C a a -=-的一条渐近线方程为20x y -=，若过点(0,3)E -的直线l 交C 于A ，B 两点．（1）求直线l 的斜率范围；（2）若l 交C 的两条渐近线于C ，D 两点且满足CA AB BD ==，求直线l 的斜率的大小．13．（2023•抚顺模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，A ，B 分别是椭圆的左、右顶点，点(,)D x y 在椭圆C 上，且直线AD 与BD 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线230x ty +-=与椭圆分别相交于M ，N 两点，直线(MO O 为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E ，求MNE ∆的面积S 的最大值．14．（2023•湛江一模）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，△1F AB 的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．15．（2023•辽宁一模）如图，A ，B ，C ，D 是抛物线2:4E y x =上的四个点(A ，B 在x 轴上方，C ，D 在x 轴下方），已知直线AC 与BD 的斜率分别为63-和2，且直线AC 与BD 相交于点P ．（1）若点A 的横坐标为6，则当ADC ∆的面积取得最大值时，求点D 的坐标．（2）试问||||||||PA PC PB PD ⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．16．（2023•咸阳二模）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且椭圆C 过点(2,0)-，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点1(M x ，1)y 是椭圆22221(0)x y m n m n+=>>上任一点，那么椭圆在点M 处的切线方程为11221x x y y m n +=．已知0(N x ，0)y 是（1）中椭圆C 上除顶点之外的任一点，椭圆C 在N 点处的切线和过N 点垂直于切线的直线分别与y 轴交于点P 、Q ．求证：点P 、N 、Q 、1F 、2F 在同一圆上．17．（2023•赤峰三模）法国数学家加斯帕尔⋅蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则称圆心在原点O 的圆为“椭圆C 的伴随圆”，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到焦点F （1）若点A 为椭圆C 的“伴随圆”与x 轴正半轴的交点，B ，D 是椭圆C 的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．（2）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点P ，过点P 作直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ，2l 是否垂直？并说明理由．18．（2023•开封二模）如图，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作直线l 交E 于A ，B 两点，点A ，B 在x 轴上的射影分别为D ，C ．当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．（1）求p 的值；（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为12时直线l 的斜率．19．（2023•吉州区校级一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点3(1,2A ，且12|||4AF AF +=．（1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为l 的直线与C 交于点M 、N ，求OMN ∆的面积．20．（2023•毕节市模拟）在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴正半轴交点为A ，不过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．21．（2023•大庆模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，短轴长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知经过定点(1,1)P 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线34y x =-相交于点Q ，如果AQ AP λ= ，QB PB μ=，那么λμ+是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．22．（2023•成都模拟）已知中心为坐标原点O ，对称轴为坐标轴的椭圆C 经过P ，3，Q ，3两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(0,1)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，23OD OB = ，OE OD OA =+，且点E 在椭圆C 上，求直线l 的方程．23．（2023•湖南模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离（1）求C 的方程；（2）如图，点A 为双曲线的下顶点，点P 在y 轴上（位于原点与上顶点之间），过P 作x 轴的平行线l ，过P 的另一条直线交双曲线于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若ANM AOM π∠+∠=，求点P 的坐标．24．（2023•贵州模拟）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的点0(2,)y 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 在直线:3l y =-上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当||MN 最小时，求||||AB MN 的值．25．（2023•广西模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）若P 为直线:2l x =-上的一动点，过P 作抛物线C 的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，直线AB 与l 交于点M ，过F 作AB 的垂线交l 于点N ，当||MN 最小时．求||AB ．26．（2023•昆明一模）已知过点(1,)e 的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，其中e 为椭圆E 的离心率．（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 与E 交于A ，C 两点，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，且点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．27．（2023•全国一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点(3,A ，且渐近线方程为0x ±=．（1）求双曲线C 的方程；（2）如图，过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M 、N ．直线MA 、NA 分别交直线1x =于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值．28．（2023•邯郸一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，点(2,2)A 在椭圆C 上，不过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率之和为1，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．29．（2023•成都模拟）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，与椭圆C 有相同焦点的双曲线2214x y -=在第一象限与椭圆C 相交于点P ，且2||1PF =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且(0)OD mOB m =>．若椭圆C 上存在点E ，使得四边形OAED 为平行四边形，求m 的取值范围．30．（2023•商洛一模）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，Q 是椭圆E 的右顶点，2||1F Q =，且椭圆E 的离心率为12．（1）求椭圆E 的方程．（2）过1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使得1()||||PA PBPF PA PB λ=+，λ为正实数．如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．31．（2023•石景山区一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,1)P -且互相垂直的直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点及S ，T 两点．求||||||||PM PN PS PT 的取值范围．32．（2023•西城区校级模拟）已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右顶点，椭圆E 的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆E 的方程；（2）点O 是坐标原点，直线l 经过点(2,2)P -，并且与椭圆E 交于点M ，N ，直线BM 与直线OP 交于点T ，设直线AT ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．33．（2023•江西模拟）设椭圆E 的方程为2221(1)x y a a+=>，点O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM 的斜率为14．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且恒有OP OQ ⊥，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由．34．（2023•天津模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，直线:1l x =与C 交于M ，N 两点，且||MN =（1）求C 的方程；（2）若C 的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不同于M ，)N 为直线l 上一动点，直线AD ，BD 分别与C 交于点P ，Q ，证明：直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标．35．（2023•江西模拟）已知椭圆2222:1(,02)x y C a b b a b+=><<的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆上，212MF F F ⊥，若△12MF F 的周长为6，面积为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于P 点，设1222,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．36．（2023•兴庆区校级一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，经过点3(1,2，若点P 是椭圆C上一个动点（异于椭圆C 的左右顶点），点(3,0)N -，(2,0)E -，(2,0)F ，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．37．（2023•渝中区校级模拟）已知椭圆2222:1x y C a b+=的焦点在x 轴上，它的离心率为12，且经过点23(3P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且过点A ，B 和点2Q 的圆的圆心在x 轴上，求直线l 的方程及此圆的圆心坐标．38．（2023•兴庆区校级一模）如图所示，由半椭圆2212:1(0)4x y C y b += 和两个半圆222:(1)1(0)C x y y ++= 、223:(1)1(0)C x y y -+= 组成曲线:(,)0C F x y =，其中点1A ，2A 依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点1F ，2F 依次为1C 的左、右焦点．若点1F ，2F 分别为曲线2C ，3C 的圆心．（1）求1C 的方程；（2）若过点1F ，2F 作两条平行线1l ，2l 分别与1C ，2C 和1C ，3C 交与M ，N 和P ，Q ，求||||MN PQ +的最小值．39．（2023•浙江模拟）已知双曲线E 的顶点为(1,0)A -，(1,0)B ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且4OFG S ∆=．点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H ．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）求证：OP OH ⋅为定值．40．（2023•呼和浩特模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，且离心率e =．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点A 、B 是x 轴上的两个动点，1)M -且||||AM BM =，直线AM 、BM 分别交椭圆于点P 、Q （均异于)M ，证明：直线PQ 的斜率为定值．41．（2023•龙岩模拟）已知椭圆2222:1(0)x y K a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆K 于M ，N 两点，以线段2||MF 为直径的圆C 与圆221:8C x y +=内切．（1）求椭圆K 的方程；（2）过点M 作ME x ⊥轴于点E ，过点N 作NQ x ⊥轴于点Q ，OM 与NE 交于点P ，是否存在直线l 截得PMN ∆的面积等于62若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．42．（2023•济宁一模）已知直线10x y ++=与抛物线2:2(0)C x py p =>相切于点A ，动直线l 与抛物线C 交于不同两点M ，(N M ，N 异于点)A ，且以MN 为直径的圆过点A ．（1）求抛物线C 的方程及点A 的坐标；（2）当点A 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．43．（2023•宁波模拟）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的渐近线与曲线21:22E y x =+相切．横坐标为t 的点P 在曲线E 上，过点P 作曲线E 的切线l 交双曲线C 于不同的两点A ，B ．（1）求双曲线C 的离心率；（2）记AB 的中垂线交x 轴于点M ．是否存在实数t ，使得30APM ∠=︒？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．44．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为F 到双曲线C 的渐近线距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）点P 在第一象限，P ，Q 在直线12y x =上，点P ，A ，B 均在双曲线C 上，且AQ x ⊥轴，M 在直线AQ 上，P ，M ，B 三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q 是AM 的中点；②直线AB 过定点(0,1)T ．45．（2023•石家庄模拟）已知点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，||||4PM PN ⋅=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l 过定点．①121k k +=；②121k k =．46．（2023•广州模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切．（1）求C 的方程；（2）直线:(1)(0)l y k x k =- 与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为(k O '为坐标原点），APQ ∆的面积为1.S BPQ ∆的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由．47．（2023•南充模拟）如图，已知A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左，右顶点，0(P x ，0)y 为椭圆M 上异于点A ，B 的动点，若4AB =，且ABP ∆面积的最大值为2．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）已知直线l 与椭圆M 相切于点0(P x ，0)y ，且l 与直线x a =和x a =-分别相交于C ，D 两点，记四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点N ．问：是否存在两个定点1F ，2F ，使得12||||NF NF +为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，说明理由．48．（2023•赣州模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，F 为其焦点，点0(2,)M y 在C 上，且4(OFM S O ∆=为坐标原点）．（1）求抛物线C 的方程；（2）若A ，B 是C 上异于点O 的两个动点，当90AOB ∠=︒时，过点O 作ON AB ⊥于，问平面内是否存在一个定点Q ，使得||NQ 为定值？若存在，请求出定点Q 及该定值；若不存在，请说明理由．49．（2023•杭州模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，并且经过点，2)．（1）求双曲线E 的方程．（2）若直线l 经过点(2,0)，与双曲线右支交于P 、Q 两点（其中P 点在第一象限），点Q 关于原点的对称点为A ，点Q 关于y 轴的对称点为B ，且直线AP 与BQ 交于点M ，直线AB 与PQ 交于点N ，证明：双曲线在点P 处的切线平分线段MN ．50．（2023•浦东新区模拟）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点(-在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点(0,1)Q 的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，已知2DQ QE = ，求直线l 的方程；（3）点P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作1C 的切线与圆222:12C x y +=交于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ．证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．。

高考数学一轮总复习小题专项集训(十一) 不等式增分特

小题专项集训(十一) 不等式(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”，∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”．∴必要性成立．答案 A 2．不等式x ＋5x －12≥2的解集是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x ＋5≥2(x －1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)·(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．答案 D3．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 ( )． A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a解析本题考查了不等式的性质及不等式的证明． ∵|a －b |＝|(a －c )＋(c －b )|≤|a －c |＋|b －c |， ∴|a －b |≤|a －c |＋|b －c |恒成立； ∵a 2＋1a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a－2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋1≥0，∴a 2＋1a2≥a ＋1a恒成立；∵当a >b 时，有|a －b |＋1a －b≥2成立；当a ≤b 时，|a －b |＋1a －b≥2不一定成立，故应选C. 可以证明不等式a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a 也恒成立．答案 C4．(2013·济宁模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )<6的解集是( )．A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x >3，或x <－2}D ．{x |x >2，或x <－3}解析由于f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是f (－x )<6，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3. 答案 A5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3，故选B.答案 B6．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A. 答案 A7．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是 ( )． A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8解析 2a＋2b≥22a ＋b＝42，当且仅当2a＝2b，即a ＝b 时等号成立．故选B.答案 B8．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( )． A.12B.π4C ．1D.π2解析由题意可得，当x ＝0时，by ≤1恒成立，b ＝0时，by ≤1显然恒成立；b ≠0时，可得y ≤1b恒成立，解得0<b ≤1，所以0≤b ≤1；同理可得0≤a ≤1.所以点P (a ，b )确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1. 答案 C9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )． A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元解析设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y＝0过点(4,2)时，z 取得最小值2 200，故选B. 答案 B10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的最大值为( )．A ．1B.12C.32D ．2解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax ＋by ＝z 过点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值，z 最大值＝4a ＋6b ＝12，∵4a ＋6b ＝12≥24a ×6b ，∴ab ≤32.答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．解析由不等式的解集知1,2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根，将2代入可得m ＝2. 答案 212．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析因为正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，所以由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立)，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥32，故xy 的最小值为18. 答案 1813．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示) 解析根据已知条件画出可行域(如下图所示)．平移直线3y －2x ＝0，当经过A 点时，z ＝2x －3y 取得最大值；当平移到C 点时，z ＝2x－3y 取得最小值，A 点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝－1，解得A (1，－2)．C 点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，解得C (3,1)，代入直线z ＝2x －3y 中求得z 的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8)．答案 (3,8)14．设常数a >0，若对任意正实数x ，y 不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，则a 的最小值为________．解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当y ＝a x 时取等号．所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9，所以a ≥4，故a 的最小值为4. 答案 415．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。

高考数学二轮总复习高考小题集训(一)文

高考小题集训(一)
＝
－
＋－
＝1
答案：D
．已知向量a＝(1,2)，b
该程序框图的算法功能为利用辗转相除法求a，
≤10，
≤14，则xy的最大值为
．(2017·湖南省五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )
6)π＋96
5＋4)π＋96
几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为
几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×
．已知函数则函数
时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除
，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x＝－
升汽油，乙车最多可行驶5千米
．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省
的正方形中随机撒1 000粒豆子，有。

数学每日一题高考热点问题

每日一题是一个很好的学习习惯，特别是在备战高考时。

以下是一些高考热点数学问题，可以帮助你巩固知识点和提高解题能力：
1. 代数：
- 解方程：[3x - 2 = 4x + 5]
- 因式分解：[x^2 - 4]
2. 几何：
- 圆的性质：[AB)是圆(O)上的弦，过点(A)、(B)作两条弦，证明这两条弦的交点在圆心(O)上。

- 三角形：[ABC)是等腰三角形，且底边为[AC)，(D)为[AC)上一点，且[BD)是[ABC)的角平分线，证明[AB = BC)。

3. 概率与统计：
- 条件概率：[P(A|B))的计算。

- 期望和方差：[E(X))和[Var(X))的计算。

4. 导数与微积分：
- 求导：[f(x) = x^3 - 2x^2 + 1)关于(x)的导数。

- 积分：(int (2x + 3) ,dx)的不定积分。

5. 数列与数学归纳法：
- 递推关系：[a_{n+1} = 2a_n + 3)，求[a_1)和[a_2)。

- 数学归纳法证明：证明对于所有正整数[n)，[1 + 2 + 3 + ... + n =
frac{n(n+1)}{2})。

这些问题覆盖了高考数学中的多个重要知识点。

每天解答一个问题，逐渐提高难度，有助于加深对知识的理解，提高解题水平。

同时，也建议结合高考真题和模拟试卷进行训练，了解题型和考点的深度。

《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）

(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________．二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．

高考数学浙江专版(理)一轮复习：小题专项集训6.pdf

小题专项集训?六?　数列?一?(建议用时：40分钟　分值：75分)1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　将两个已知式做差得3a3＝a4－a3，则公比q＝＝4. 答案　B 2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )． A．135 B．100 C．95 D．80 解析　由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，…，a7＋a8仍然成等比数列，公比q＝＝＝， a7＋a8＝(a1＋a2)q4－1＝40×3＝135. 答案　A 3．在等差数列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是数列{an}的前n项和，则S11的值是( )． A．45 B．50 C．55 D．60 解析　S11＝＝＝55. 答案　C 4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )． A．15次 B．14次 C．9次 D．8次解析　由题意得(1－60%)n<0.1%，即0.4nlog0.40.001，而log0.40.001＝＝＝≈＝7.5，所以n>7.5，即至少要抽8次．答案　D 5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )． A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟解析　设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， 2n－1≥100，n≥7. 答案　B 6．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )． A．18 B．20 C．22 D．24 解析　由已知S10＝S11，可得a11＝0，又由等差数列公式得a11＝a1＋10d，即有a1＝0－10×(－2)＝20，故应选B. 答案　B 7．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a11，则c的取值范围是( )． A．0<c<1 B．1<c8 D．0<c8 解析　因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋(a＋b)，即b＝2a.又因为a，b，ab成等比数列，所以b2＝a×ab，即b＝a2.所以a＝2，b＝4，因此logcab＝logc8>1＝logcc，有1<c<8，故选B. 答案　B 11．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________. 解析　由已知得a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4q＝2或q＝－1，由于{an}是递增等比数列，所以q＝2. 答案　2 12．(2013·苏锡常镇调研)两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．解析　设两个数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝，而＝＝＝＝3. 答案　31 13．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 ……………… 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．解析　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为. 答案 14．(2012·威海模拟)数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. an＝令2n－5≤0，得n≤，当n≤2时，an0， |a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66. 答案　66 15．已知f(x)＝，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，则a20＋a11的值是________．解析　a1＝1，an＋2＝f(an)＝，a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝，又由a2 010＝a2 012＝，可解得a2 010＝a2 012＝，an>0，a2 010＝a2 012＝，而由＝可得数列{an}的偶数项均为，a20＋a11＝＋＝. 答案。

高三数学总复习 (知识归纳,热点盘点,题组集训) 小专题复习课(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数

【解析】选C. f x 2sin(x )，
6
由题设知f(x)的周期为T=π,∴ω=2, 由 2k 2x 2k ，k∈Z得 k x k , k Z.
2 6 2 3 6
2 2.已知函数f(x)=Acos(ω x+φ)的图像如图所示， f( ) , 2 3
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C
2 1 1 3 2 2 3 2 . 3 2 3 2 6
热点三
正、余弦定理及解三角形 )
1.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则 AB BC =( （A）-19 （B）19 （ C）-38 （D）38
2 2 2 3
(1)求cos α 的值. (2)若sin(α +β )= 3 , (0, ), 求sin β 的值.
5 2
【解析】(1) sin cos 2 3
2 2 3 4 1 1 2sin cos ,sin . ( , ), 2 2 3 3 2 1 2 2 cos 1 sin 2 1 . 9 3 (2) ( , ), (0, ), ( , 3 ), 2 2 2 2 又 sin 3 , 得cos 4 . 5 5
热点六：
复数的概念与几何意义
热点七：复数的四则运算
热点一
简单的三角恒等变换
25
1.已知sin 2α = 24 ， 0＜＜ , 则 2cos( ) 的值为(
2 4 1 (A) 1 (B) 1 (C) 7 (D) 5 5 5 5 【解析】选C.∵ 2cos( ) =sin α+cos α, 4 24 49 2 2 ［ 2cos( )］ sin cos 1 sin 2 1 . 4 25 25 0＜＜ . ＜＜0, ＜＜ , cos( )＞0, 2 2 4 4 4 4 7 2cos( ) . 4 5

高三数学小题提分知识点

高三数学小题提分知识点在高三数学中，小题一直是考试中的重点和难点。

如果能够在解答小题时灵活应用一些提分知识点，必将在考试中取得更好的成绩。

本文将为大家介绍一些高三数学小题提分的知识点。

一、代数知识点1. 因式分解在解答小题中，常常会涉及到多项式的因式分解。

因式分解是将一个多项式写成几个因式相乘的形式。

掌握因式分解的方法，可以帮助我们更快地解答问题。

2. 方程与不等式在解答小题时，常常会涉及到方程与不等式的解。

掌握方程与不等式的解法，能够帮助我们准确地求解问题。

3. 数列与等差数列、等比数列在高三数学中，数列是一个重要的知识点。

特别是等差数列和等比数列的应用更为广泛。

熟练掌握数列的性质和求和公式，可以在解答小题时发挥重要的作用。

二、几何知识点1. 相似三角形在解答小题时，经常会涉及到相似三角形的性质。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

掌握相似三角形的判定和性质，可以帮助我们更好地解答几何问题。

2. 平面几何与立体几何在高三数学中，平面几何和立体几何是重中之重。

熟练掌握平面几何和立体几何的性质和定理，可以帮助我们更好地解答相关的小题。

三、概率与统计知识点1. 概率在解答小题时，常常会涉及到概率的计算。

概率是指某一事件发生的可能性大小。

掌握概率的计算公式和方法，可以帮助我们准确地计算问题的概率。

2. 统计在高三数学中，统计是一个重要的知识点。

熟练掌握统计的相关概念和计算方法，能够帮助我们更好地解答与统计相关的小题。

综上所述，高三数学小题提分的关键在于掌握各个知识点的相关概念和解题方法。

只有在平时的学习中加强对这些知识点的理解和运用，才能在考试中更好地发挥。

希望本文提供的高三数学小题提分知识点能够对大家有所帮助，取得更好的成绩。

解三角形高考数学热点50题训练学生版

2023 解三角形热点50 题训练1．（2023•漳州模拟）如图，平面四边形 ABCD 内接于圆O ，内角B >D ，对角线 AC 的长为 7，圆O 的半径为733．（1）若5BC =，AD CD =，求四边形ABCD 的面积；（2）求ABC ∆周长的最大值．2．（2023•贵州模拟）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin sin 1sin sin A B c B A ab+=+．（1）求角C 的大小；（2）若2a b +=，求c 的取值范围．3．（2023•江宁区一模）在凸四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，3AD =，4AB =．（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值．4．（2023•大庆模拟）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，且_____．在①2S AC =⋅ ，②22cos 1cos 22B C A +=+，③sin cos c C c A =-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求A ；（2）若b c +=，点D 是BC 边的中点，求线段AD 长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023•泉州模拟）在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，3BC =，sin cos AC BCA ABC ∠=∠．（1）若ABC ∆的面积为AC ；（2）若CD =，求tan BAC ∠．6．（2023•吉林模拟）已知ABC ∆的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 6b C c B +=．（1）求边a ；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且_____，求ABC ∆的面积S 的取值范围．要求：从①4A π=，②10b c +=从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．（2023•山东模拟）在ABC ∆中，2AB AC =，D 是边BC 上一点，2CAD BAD ∠=∠．（1）若34BAC π∠=，求BDCD的值；（2）若1AC =，求AD 的取值范围．8．（2023•五华区校级模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，AD CD ⊥，30ABC ADB ∠=∠=︒，2AC =．（1）求cos ACD ∠；（2）求BD 的长．三．解三角形（共42小题）9．（2023•江苏模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1sin 2(3tan 2)cos 2A B A +=+．（1）若34C π=，求tan B 的值；（2）若A B =，2c =，求ABC ∆的面积．10．（2023•涟源市模拟）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且(,2)m a b c =-，(cos ,cos )n A C = ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）求bc的取值范围．11．（2023•湖南模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b cC C a+=+．（1）求A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求a cb+的取值范围．12．（2023•红山区模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos c b a B +=．（1）求角A ；（2）若角A 的平分线与BC 交于点M ，BM =，CM =AM 的长．13．（2023•全国一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①22a c bc -=；②cos sin b b A B +=；③sin A C =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．14．（2023•桃城区校级模拟）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知56A π=，D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD BC b c a∠∠+=⋅．（1）证明：13AD a =；（2）若2CD BD =，求cos ADC ∠．15．（2023•渝中区校级模拟）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin 4cos 5C C +=．（1）求证：3tan 4C =；（2）若221a b +=，求边c 的最小值．16．（2023•南宁模拟）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()(sin sin )(sin sin )b c B C a A C -+=-，（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =22a c +的取值范围．17．（2023•南通二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin cos sin a B Ba C C-=-．（1）若b c ≠，证明：2a b c =+；（2）若2B C =，证明：223c b >>．18．（2023•广东模拟）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =，4A π=，(2tan B =．（1）求AB ；（2）若ABD ∆与ABC ∆在同一个平面内，且4ADB π∠=，求CD 的最大值．19．（2023•邢台模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，AC AD ⊥，7AC AD ==，3AB =．（1）若8DB =，求ABC ∆的面积；（2）若BAC ADB ∠=∠，求BD ．20．（2023•张家界模拟）记ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin()(sin sin )sin a B C b B C c C +=-+．（1）求A ；（2）若a =，求ABC ∆的面积的最大值．21．（2022秋•安顺期末）从①cos (2)cos 0b C a c B ++=；②222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=；③cos cos02BB +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若选．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足4AC AD =，且4AB =，3BD =，求BC 边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（2022秋•杭州期末）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=．（1）求B ；（2）当ABC ∆为锐角三角形，2b =时，求ABC ∆的周长的取值范围．23．（2023•湖北模拟）在ABC ∆中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()6b A ac π+=+，且2c =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ABC =∆ 的面积为sin sin BADCAD∠∠的值．24．（2023•沙坪坝区校级模拟）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-．（1）求角A 的大小；（2）记ABC ∆的面积为S ，若12BM MC = ，求2||AM S的最小值．25．（2023•盐亭县校级模拟）在ABC ∆中，AC D 为ABC ∠的角平分线上一点，且与B 分别位于边AC 的两侧，若150ADC ∠=︒，2AD =．（1）求DAC ∆的面积；（2）若120ABC ∠=︒，求BD的长．26．（2023•湖北模拟）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）设9b =，若点M 是边AC 上一点，2AM MC =，且MAB MBA ∠=∠，求BMC ∆的面积．27．（2023•南平模拟）某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC ∆区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角4ACB π∠=，CBA ∠为锐角，假设墙CA ，CB 的可利用长度（单位：米）足够长．（1）在ABC ∆中，若BC 边上的高等于14BC ，求sin CAB ∠；（2）当AB 的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．28．（2023•桃城区校级模拟）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos cos )()cos()0a B C b c B C ++++=．（1）求A ；（2）若D 为线段BC 延长线上的一点，且BA AD ⊥，3BD CD =，求sin ACD ∠．29．（2023春•海珠区月考）在①cos 2cos sin()06B AC π++=，②sin sin sin sin b B c C a A b C +=-，③向量(2,)m b c a =+ ，(cos ,cos )n A C = ，m n ⊥这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）D 是线段BC 上的点，且2AD BD ==，3CD =，求ABD ∆的面积．30．（2023•汕头一模）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，BAD α=∠，DAC β=∠．（1）证明：sin sin BD AB DC AC αβ⋅=⋅；（2）若D 为靠近B 的三等分点，AB =，2AC =，90β=︒，BAC ∠为钝角，求ACD S ∆．31．（2023•邵阳一模）如图，P 为ABC ∆内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α，β在ABP ∆中的对边分别记为m ，n ，(2)sin cos m n ββ+=，α，(0,)3πβ∈．（1）求APB ∠；（2）若AB =2BP =，PC =APC θ∠=，求线段AP 的长和ABC ∆面积的最大值．32．（2023•广州二模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Cb a B +=．（1）求角A 的大小；（2）若角A 的平分线交BC 于D 且2AD =，求a 的最小值．33．（2023•忻州模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos 2cos()0A B C ++=．（1）求角A 的大小；（2）若3BC BD =，且ABC ∆的面积是，求AD 的最小值．34．（2023•叶县模拟）如图，P 为半圆(AB 为直径）上一动点，OA OB ⊥，2OA OB ==，记BAP θ∠=．（1）当15θ=︒时，求OP 的长；（2）当PAO ∆面积最大时，求θ．35．（2023•福州模拟）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．36．（2023•湖北模拟）在ABC ∆中，9AB =，点D 在边BC 上，7AD =．（1）若2cos 3B =，求BD 的值，（2）若2cos 3BAC ∠=-，且点D 是边BC 的中点，求AC 的值．37．（2023•浙江模拟）如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，3DC =，5AD =，7AC =，DAC ABC ∠=∠．（1）求ADC ∠的大小；（2）求ABC ∆的面积．38．（2023•河曲县校级开学）已知cos 2cos(2παα=-．（1）求2sin cos 1cos ααα+的值；（2）在ABC ∆中，A ，B 为锐角，且sin sin A α=，cos B =，求C 的值．39．（2023•黑龙江一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin (2)tan c B a c C =-，角C 的内角平分线与边AB 交于点E ，（1）求角B 的大小；（2）记BCE ∆，ACE ∆的面积分别为1S ，2S ，在①2,c b ==②ABC S b A C ∆==>这两个条件中任选一个作为已知，求12S S 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．（2023•湖南模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222(sin 3cos )()b B B a a b -=-+，且sin sin 2C B =．（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为，求AC 边上的中线长．41．（2023•新安县校级开学）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos cos b A a cC A C=+．（1）求角A 的大小；（2）若sin sin B C =，BC边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．42．（2023•玉溪模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长依次是a ，b ，c，b =，222sin sin sin sin sin A C A C B ++=．（1）求角B 的大小；（2）当ABC ∆面积最大时，求BAC ∠的平分线AD 的长．43．（2022秋•金华期末）在ABC ∆，角A ，B ，C 所对应的边是a ，b ，c ，满足2cos 21cA a=+，且2B A ≠．（Ⅰ）求证：3A C =；（Ⅱ）若C 为钝角，D 为边AC 上的点，满足24cos 1AD A CD =-，求BDCD的取值范围．44．（2022秋•道里区校级期末）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且222sin 02a b c A b c b+-+--=．（1）求角A 的大小；（2）若112tan tan tan B C A+=，且a =，求ABC ∆的面积．45．（2023•合肥模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且222220b c a +-=．（1）若1tan 3C =，求A 的大小；（2）当A C -取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．46．（2023•顺庆区校级模拟）在cos )sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足_____，b =（1）若4a c +=，求ABC ∆的面积；（2）求ABC ∆周长l 的取值范围．47．（2022秋•深圳期末）如图，有一个小矩形公园ABCD ，其中20AB m =，10AD m =，现过点C 修建一条笔直的围墙（不计宽度）与AB 和AD 的延长线分别交于点E ，F ，现将小矩形公园扩建为三角形公园AEF ．（1）当AE 多长时，才能使扩建后的公园AEF ∆的面积最小？并求出AEF ∆的最小面积．（2）当扩建后的公园AEF ∆的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示．若要保证绿地面积不小于总面积的34，求健步道宽度的最大值．（小数点后保留三位小数）3.873≈≈≈．参考公式：22tan tan 21tan θθθ=-．48．（2022秋•长沙期末）如图，ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()3b c a b c a bc +++-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC ∆内点P 满足PAB PBC PCA PAC ∠=∠=∠=∠，求BPC ∠的大小．49．（2023•红河州一模）在①sin 1sin sin C bA B a c+=++，②cos sin (2)sin cos c C A b c C A =-这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．记ABC ∆的内角A ，B ，c 的对边分别为a ，b ，c ，且_____．（1）求A ∠；（2）若||4CB CA -=，cos cos 1B C +=，求ABC ∆的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．)50．（2022秋•恩施州期末）请在这三个条件：①4sin 5ABC ∠=；②5AB =；③AB AC =，中任选一个条件补充在下面的横线上，并加以解答．如图，锐角ABC ∆中，24sin 25BAC ∠=，_____，6BC =，D 在边BC 上，且2BD DC =，点E 在边AC 上，且BE AC ⊥，BE 交AD 于点F ．（1）求AC 的长；（2）求cos DAC ∠及AF 的长．。

高考考前小题冲刺训练(理科数学)参考答案

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解三角形小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

解三角形小题大做一、单选题1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4 D ．π6【答案】C 【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【详解】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．7．（2021·四川达州·一模（理））ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（） A 15B 15C 15D 15 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A =，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A =,2115sin 14BAC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABCSBC h AB AC BAC =⨯=⨯∠, 111542422h ∴⨯⨯=⨯⨯,15h ∴=故选:C8．（2021·重庆·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足11tan tan 3sin B C C+=b =（） A 3B 3C 3D ．3【答案】C 【分析】由11tan tan 3sin B C C +=，得cos cos sin sin 3sin B C B C C+=然后化简结合正弦定理可求得结果【详解】由11tan tan 3sin B C C +=，得cos cos sin sin 3sin B C B C C+= 所以cos sin cos sin sin sin 3sin B C C B B C C+=，sin()sin sin 3sin B C B C C+=所以sin()sin sin 3sin A B C C π-=, sin sin sin 3sin A B C C=所以sin sin 3sin a B C C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3a B A =，由正弦定理得3ab a =，解得3b = 故选：C9．（2021·福建·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos cos a B b A=”是“ABC 是等腰三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，由cos cos a B b A=探求出ABC 的形状，再结合充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】在ABC 中，由cos cos a B b A =结合余弦定理得：22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，整理得： 224224a c a b c b -=-，即22222()()0a b a b c -+-=，则a b =或222+=a b c ，ABC 为等腰三角形或直角三角形，即“cos cos a B b A=”不能推出“ABC 是等腰三角形”，而ABC 为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有cos cos a B b A=成立，所以“cos cos a B b A=”是“ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D10．（2021·广西柳州·一模（理））在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()(sin sin )=()sinC a b A B b c +-+，a ＝7，c ＝5．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( ) A ．314B ．14C ．27D ．56【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理求出∠A ，根据余弦求出边b ，根据正弦定理求出外接圆半径，根据三角形面积公式求出内切圆半径﹒ 【详解】由正弦正理可知：()()()()()()sin sin sin a b A B b c C a b a b b c c -⇒-＋＝＋＋＝＋222b c a bc ⇒--＋＝，根据余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc ---＋＝＝＝，()203A A ππ∈∴，，＝；由余弦定理得，222222cos 492555240a b c bc A b b b b -⇒⇒-＝＋＝＋＋＋＝()()8303b b b ⇒-⇒＋＝＝或 8b -＝(舍)，设△ABC 内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：15ABCr R C，，＝，根据正弦定理得，2sin 332aR R A⇒⨯＝，又33511si n 32sin 2215ABCABCABCbc ASbc A r C r C ⨯⋅⇒＝＝＝＝＝ ∴3327143r R ＝＝﹒其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下：△ABC 内切圆圆心为O ，半径为r ，OA 、OB 、OC 将△ABC 分为三部分，∴11112222ABC OAB OBC OAC ABCSS S S AB r BC r AC r r C ⋅⋅⋅⋅＝＋＋＝＋＋＝，其中ABCCa b c ＝＋＋为三角形周长﹒故选：A ﹒11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+，即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差．故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．12．（2021·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则4b c +的最小值为（） A ．9 B ．12 C ．18 D ．20【答案】C 【分析】根据正弦定理再结合基本不等式即可求出答案. 【详解】由题意知sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，根据正弦定理，可得ab ac bc +=，因为2a =，所以22b c bc +=，即221c b+=，则2282824(4)()1010218b c b cb c b c c b c b c b +=++=++≥+⋅，当且仅当26c b ==时等号成立，即4b c +的最小值为18．故选：C ．二、填空题13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 360B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，13sin 32ABCSac B == 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =.故答案为：2214．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ，CD 平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥113PD PE ==∵，2PC =．3sin sin 2PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,2OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===，又2PC =，422PO ∴=-=．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．16．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-试卷第12页，共12页【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC =，同理得BDBF BD ∴==在ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13。

高考热点集训数列(教师)2

高考热点集训：数列一．选择题：1．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时1．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n1－2＝2n －1≈106，所以n ≈20小时．2．[2011·湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升2．B [解析] 从上到下各节记为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 9＋a 8＋a 7＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选B.2.(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( ) A ．7 B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.4.(2014·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.5．(2014·三亚联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C [解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.6.已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2)[答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n n ＋12≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n n ＋12＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．7..【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

高考前数学知识点总结试题

高考前数学知识点总结试题一、函数与导数1、已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，（1）求f(x)的极值；（2）求f(x)的单调区间；（3）求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

2、已知函数f(x)=e^x-x，（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值。

3、已知函数y=1/(x^2+1)，（1）求y的单调区间；（2）判断y的奇偶性；（3）求y的最大值和最小值。

4、已知函数y=2x^2+3x-15，（1）求y的最小值；（2）求y=5的横坐标。

5、已知函数y=2x^3+3x^2-12x+5，（1）求y的最小值；（2）求y=3的横坐标。

6、已知函数y=2x^4-8x^3+6x,（1）求y的最大值；（2）求y的最小值。

7、已知函数f(x)=e^(3x)-x^2，（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值。

8、已知函数f(x)=cos(x)-x,（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值。

9、求函数f(x)=ax^2+bx+c （a≠0）的单调区间。

10、已知y=√(x^3-3x)，求y的单调区间。

二、数列与数学归纳法1、已知数列An=3n+2，求An的前10项和。

2、已知数列Bn=2n^2+3n，求Bn的前10项和。

3、已知数列Cn=(-1)^n，求C1+C2+…+C100。

4、已知数列Un=3*2^(n-1)，求U1+U2+…+U10。

5、已知数列Sn=2^(n-1)+3^(n-1)，求S1+S2+…+S10。

6、已知数列Vn=(-1)^(n-1)*2^n，求V1+V3+ (V20)7、已知数列Wn=(-1)^n*n，求W1+W2+…+W100。

8、已知数列Xn=3n(n-1)，求X1+X2+ (X10)9、已知数列Yn=n^2-2n，求Y1+Y2+…+Y10。

10、已知数列Zn=sin(nπ/6)，求Z1+Z2+…+Z12。

三、集合与不等式1、若A={x|x^2-3<0}，求A的取值范围。