极限思想,六年级上册,第55课时
极限思想在小学数学教材中的渗透(2021年小学数学北师大版)
极限思想在小学数学教材中的渗透极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。
所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。
它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。
下面是极限思想在小学数学教材中的安排：一、极限思想在数与代数中的渗透（一）数的认识中的蕴含的极限思想《数学》三年级下册P2。
教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。
“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。
”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。
小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。
在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。
《数学》三年级下册P4。
小数有无限多个与其等值的小数。
例如：与0.5相同的小数有无限多个。
因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。
《数学》三年级下册P54。
分数的个数是无限多的。
教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。
把一张纸等分为四份，其中一份用表示，其中的两份用表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。
如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。
在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。
因此，分数的个数是无限多的。
分数可以无穷大，也可以无穷小。
这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。
《数学》四年级上册P4。
数可以越来越大，没有尽头。
教材以数位表的形式展示数的无限多。
数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。
无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。
《数学》四年级上册P89。
正数与负数有无数个，是数不完的。
例谈极限思想在小学数学教学中的渗透
第一个情境是用图形直观地 帮助学生理解分数单位乘分数单
位 的意义 ， 即单位量 与单位数都是分数单位 ， 表示一个分数单位 的
分数单位 与分数单位的积仍 然是一个分数 。 第 二个情境 生２ ： 我们 比较数 的大 小时候 ， 都 是从 高位 向低位 比起 ， ｏ ． ９ 的 几分之一 ， 主要 向学生渗透极限思想。怎样 帮助学生感悟 出木棒所剩部分 的 整数部分小于 １ ， 所以 ０ ． 比１ 小。 长 度会 趋向于 ０ ， 体会到初步 的极限思想 ， 而且 受到一定 的传统文 师： 你们说 的似乎都有一定的道理 ， 我们 比较两数的大小还可
标” 明确指 出： “ 通过义务教育阶段 的数学学 习， 学生能获得适应社
会生活和进一步发展所必需 的数学的基础知识 、 基本技能 、 基本思
想、 基本 活动 经 验 。 ” 从“ 双基 ” 到“ 四基 ” 的变 化 上 可 以看 出 ， 课 程 标
准重视在数学教学中渗透数学 的基本思想 ，重视数学思想对学生
在小学数学教学 中几个特例进行初步探索 ，为教师 的教学设计提 中 ， 初步体会 了“ 无限逼 近” 的含 义 ， 基 本上 知道 ０ ． ９ ９ …无 限接 近 供参考 。 １ ， 最后就真的等于 １的本质 。
一
、
０ ． 真的等于 １ 吗
二、 “ 一 尺 之棰 ， 日取 其 半 。 万世不竭” 真 的 取 不 完 吗
思 维 发 展 的作 用 。
纵观小学教材 ， 极 限思想蕴含在小学数学诸多知识领域 中。 如 何在小学生的头脑 中播 下极 限思想 的“ 种 子” ， 让其 “ 生根” “ 发芽 ” ，
也就是 ０ ． ９ ＝ １
通过上面 的教学 ，改变了学 生总以为在那遥远 的地方一定还 为 以后 成 长 为 枝 繁 叶 茂 数 学 分析 的 “ 参 天 大 树 ”打 下 坚 实 的基 础 有 一个 ９的思 维 定 式 吧 。 其实 ， 既然 是 无 限 ， 哪有 末 尾 。 正如“ 时 间 呢？ 本 文将立足 于小学数学这一特定的教 育阶段 ， 针对“ 极限思想” 无所谓始终 ” “ 宇宙无边无际”一样。学生在思考解决 问题 的过程
小学六年级《圆的面积》完整版
洛阳市新安县新城实验学校问题·卓雅“QlP ”问题导学型课堂学习模式案例之六年级语文《圆的面积》学习方案设计学校名称： 洛阳市新安新城实验课程名称： 数 学内容主题： 《圆的面积》教材版本： 人教版六年级下册 教师姓名： 韩俊杰 教 龄:2 5年学习过程设计（第1课时）学习过程设计（第2课时）学习过程设计（第3课时）附件：1.《圆的面积》问题导读-评价单2.《圆的面积》问题解决-评价单3.《圆的面积》问题训练-评价单参考文献：【1】韩立福：《韩立福有效教学法》，首都师范大学出版社，2012年3月版。
【2】韩立福：《有效备课》长春：东北师范大学出版社。
2009.4洛阳市新安县新城实验学校问题·卓雅“QlP”问题导学型课堂学习模式之------《圆的面积》问题导读-评价单六年级数学组设计人：韩俊杰审核人：韩俊杰班级组名姓名时间：2013年12月17日【学习目标】知识技能：1.通过操作、观察，能推导出圆面积的计算公式，掌握圆的面积公式，并能正确的计算圆的面积。
2.培养学生观察、操作、分析、归纳的能力，以及逻辑推理能力。
3.培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
过程方法：4.如何利用已有知识，运用数学思维方法，动手实践，推导、归纳出圆的面积计算公式。
5.怎样渗透极限、转化、以直代曲等数学思想方法，发展空间观念。
情感态度价值观：6.通过小组合作交流，培养合作精神和创新意识，提高动手实践和数学交流的能力，体验数学探究的成功和乐趣【重点难点】1．重点：圆的面积计算公式的推导和应用。
2．难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。
【关键问题】掌握圆面积的计算方法【学法提示】1．自主探究学习法：请同学们采用阅读六字诀认真阅读教材，自主完成课后问题和《问题导读评价单》上的预习评价部分。
2．合作讨论学习法：采取讨论学习的方法，进行小组合作讨论，每位同学将讨论后的结果总结在工具单上。
准备课堂中参展示分享。
六年级上册数学书第五十五页答案山海关人教版
六年级上册数学书第五十五页答案山海关人教版一、选择题1、设集合A= {x|-2<x<4}、B = {2,3,4,5},则A∩B=A、{2}B、{2,3}C、{3,4,}D、{2,3,4}2、已知z=2-i，则X=A、6-2iB、4-2iC、6+2iD、4+2i3、已知圆锥的底面半径为5，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A、2C、4D、414、下列区间中，函数f(x)=7sin(45X)单调递增的区间是A、(0, X)B、(X ,X)C、(X0,)D、(0,0)5、已知F1,F2是椭圆C：4的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A、13B、12C、9D、66、若tanX=-2,则 X=B、45C、90D、07、若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则A、eb<aB、ea<bC、0<a<ebD、0<b<ea8、有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A、甲与丙相互独立B、甲与丁相互独立C、乙与丙相互独立D、丙与丁相互独立9、有一组样本数据x1，x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则A、两组样本数据的样本平均数相同B、两组样本数据的样本中位数相同C、两组样本数据的样本标准差相同D、两组样本数据的样本极差相同10、已知O为坐标原点，点P1(cosX,sinX),P2(cosY，-sinY),P3(cos(X+Y),sin(X+Y))，A(1，0),则A、X=7 Y=8B、X=7 Y=8C、X=8 Y=7D、 X=8 Y=711、已知点P在圆X =16上，点A（4,0），B（0,2），则A、点P到直线AB的距离小于10B、点P到直线AB的距离大于2C、当∠PBA最小时，|PB|=3D、当∠PBA最大时，|PB|=312、在正三棱柱ABC-中，AB=A，点P满足X=15 ，其中λ∈[0,1]，X∈[0,1]，则A、当λ=1时，P的周长为定值B、当X=1时，三棱锥P=0C、当X=2时，有且仅有一个点PD、当X=1时，有且仅有一个点P三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、已知函数f(x)=4是偶函数，则a=____________14、已知O为坐标原点，抛物线C的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为____15、函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为_______。
发现特殊值渗透极限思想极限思想在小学数学中的应用和渗透
发现特殊值渗透极限思想极限思想在小学数学中的应用和渗透“鸡兔同笼”问题作为人教版六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容，教材中先后呈现了列表法、假设法、方程法、抬足法四种不同的解决问题的策略。
此问题蕴含着丰富的数学思想方法，适合于小学低中高各年段，每个年段都有不同的侧重方法，与学生的发展思维相适。
以“鸡兔同笼”为教学素材，苏教版作为替换策略的练习题，北师大版把课题定位为《尝试与猜测》，而人教版则体现多种策略解决问题。
作为“通性通法”的尝试列表法解题策略，在六年级人教版多种策略中如何定位？反复思考之后，我以为，通过引导学生发现特殊值，渗透极限逼近思想，把猜测变成确定的规律，将尝试列表法进行优化，有其独特的教育价值。
教学片断：例：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”以史激趣，导入新课后，题目化简为：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。
鸡和兔各有几只？”学生尝试猜测，探索规律。
1.任意猜：（交流后，汇报你是怎么猜的，以及猜想的情况）。
2.有序猜：出示表格四个组，同桌合作从四个方向猜。
左起，右起，中间靠左，中间靠右开始猜。
3.发现特殊值，渗透极限逼近思想。
（1）由四种猜法，得一完整表格。
（课件出示）（2）认真观察，从表格中你能不能发现“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”（学生独立思考）（3）需要帮助吗？课件提示：（脚数16，头数8，16是8的2 倍）（4）再观察，你发现什么？（小组交流）（5）越靠近2倍，鸡的只数和兔子只数有什么变化？越靠近4倍呢？（6）现在让你猜兔子和鸡的只数，你会怎么猜？ 4.尝试解决例题，并说说你的想法。
片段反思：教学时，让学生经历尝试、有序列举（填表）、调整，进一步培养了学生有序思考的习惯。
通过观察表格，适时地抛出了问题：“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”引发学生的认知冲突，突显学生的深刻思考，引导发现特殊值“当兔的只数是0只，全部是鸡时，脚的只数是头数的2倍。
小学数学教材中常见的数学思想
小学数学教材中常见的数学思想【摘要】近年来，“数学思想”作为一个教育热点问题得到了国内诸多学者的广泛关注。
但从研究成果来看，大多数文献归纳缺乏科学性和系统性，系统归纳小学数学思想的文献并不多，对于小学数学思想的研究并没有深入到某项数学思想的实践应用。
介于此，本文立足于小学这一特定的教育阶段，以北师大版小学数学教材作为支撑点，初步对小学数学教材中常见的数学思想进行梳理。
【关键词】小学数学; 北师大版;数学教材;数学思想随着基础教育改革的不断深化，“数学思想”已越来越被广大数学教育工作者所关注，《全日制九年义务教育数学课程标准(实验稿)》在“总体目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”[1]本文将从数学思想的概念入手，在明确数学思想在小学数学中的重要性的基础上，研究小学数学教材中常见的数学思想，并对数学思想在小学数学教学中的渗透进行初步的探索。
1.数学思想的概念有关数学思想的概念，目前教育界还没有统一的界定，丁石孙在《数学思想的发展》一文中认为：数学思想就是人们对于数学的看法 [2]，蔡上鹤认为，数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识 [3]，张奠宙与过伯祥认为：数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用来泛指某些具有重大意义的、内容比较丰富、体系相对完整的数学成果。
[4]对于数学思想的认识之所以出现如此大的差异，主要是人们看待数学思想的角度不同，有的学者从数学领域内部来认识数学思想，有的学者从哲学的角度认识数学思想。
笔者在研究本课题时，试图从数学教育的角度加以释义，认为数学思想是一种理性认识，是对数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法的抽象概括，也就是把数学思想看成是从某些具体数学内容和方法中提炼上升的数学观点，比一般的数学内容和方法具有更高的抽象和概括水平。
在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”-最新教育文档
在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是其他相关数学分支（如复变函数、实变函数）的理论基础。
极限也是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。
因此，我们可以尝试挖掘体现极限思想的知识点，在小学数学教学中渗透极限思想。
一、关键点――大张旗鼓地渗透所谓关键点，即极限思想是认识一些新知的基础，没有对极限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的内涵。
小学阶段这样的知识点较多，如“圆面积公式”、“循环小数”、“角的认识”等，在教学这些知识点时要及时进行渗透，让学生在认识新知的同时体验极限思想的无穷魅力。
如，教学“射线的初步认识”一课时，一位教师经历了如下教学片断：师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。
生：它是直的，用直尺可以量出长度。
生：它有两个端点……师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线。
生：好了！（得意）生：不对！直线是没有长短的……师：为什么？生：因为直线可以向两边无限延长。
师：无限延长是什么意思？生：就是无限的长，没完没了的意思……师：下面请同学们仔细观察老师的演示。
师：（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。
师：（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……（学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）师：这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢？生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。
师：射线是直线的一半吗？生：是的，因为在直线上点一个点，就可以得到两条射线。
生：不对，它们都是可以无限延长的，所以无法比较，不能说谁是谁的一半……让学生一下子认识到图形的无限性有一定难度，上述教学中，教师通过让学生自己动手，使其建立起对“线段”、“射线”、“直线”的直观感悟。
在红外线的演示下，学生轻松建立了对“直线”、“射线”的“无限”的空间感观。
14、极限思想
极限思想──小学数学思想方法的梳理1．极限思想的概念。
我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。
我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。
刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。
为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式其中称为数列的通项。
其实，数列的通项an可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an＝f（n），其定义域为全体正整数。
如2，4，6，…，2n，…1，-1，1，-1，1，-1，…都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。
通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项（N+1及大于它的每一项,即+1,+2+3,…）与常数a的差的绝对值总小于ε（在数轴上可以直观地理解为两个点和a的距离总小于ε），那么就说数列的极限为a。
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子叫做无穷级数，其中前n项的和可记作，称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数的和，记作2．极限思想的重要意义。
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。
高中物理学科核心素养
高中物理学科核心素养物理学科核心素养是学生在接受物理教育过程中逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，是学生通过物理学习而内化的带有物理学科特性的品质，是学生在学习物理过程中逐步形成的知识积淀、思维品质、能力表现、科学思想以及科学的情感、态度和价值观的综合体现。
高中物理学科核心素养包括以下几个方面。
1.物理观念从物理学视角形成的关于物质、运动与相互作用、能量等的基本认识，是物理概念和规律等在头脑中的提炼和升华。
“物理观念”包括物质观念、运动观念、相互作用观念、能量观念及其应用等要素。
2.科学思维科学思维是从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系的认识方式，是基于经验事实建构理想模型的抽象概括过程；是分析综合、推理论证等科学思维方法的内化；是基于事实证据和科学推理对不同观点和结论提出质疑、批判，进而提出创造性见解的能力与品质。
“科学思维”主要包括模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等要素。
其中，学科思想方法属于科学思维的范畴，是高中物理学科核心素养的基本构成要素之一。
3.实验探究实验探究是提出物理问题，形成猜想和假设，获取和处理信息，基于证据得出结论并做出解释，以及对实验探究过程和结果进行交流、评估、反思的能力。
“实验探究”主要包括问题、证据、解释、交流等要素。
4.科学态度与责任科学态度与责任是在认识科学本质，理解“科学•技术•社会•环境”（STSE）的关系基础上逐渐形成的对科学和技术应有的正确态度以及责任感。
“科学态度与责任”主要包括科学本质、科学态度、科学伦理、STSE等要素。
20XX年高考全国卷物理试题以“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值为考查内容，以基础性、综合性、应用性、创新性为考查要求”，落实物理考试大纲的考核要求，强化能力立意，引导学生科学素养的培养。
20XX年高考考纲的修订和20XX年高考物理试题的特点要求物理教学要注重对基本概念、基本规律、基本思想方法的理解和掌握；要形成完整的知识体系，提升分析、综合能力，提升运用物理知识解决实际问题能力；要注重理论密切联系实际，关注社会进步和科学发展，关注生产、生活，学以致用，学有所用。
圆的面积教学设计与策略
[U1]创设现实情境，学生为了帮老师的忙，积极思维，引起问题意识。
[U2]通过多媒体演示圆的面积让学生在充分直观感知圆面积的基础上，概括出圆面积的意义。
][U3]建立猜想，使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象, 让学生带着悬念去探索推导公式,与后面得出圆面积计算公式后的验证前后呼应。
[U4]用旧知探索新知的兴趣,并明确用转化的数学思想方法[U5]调动学生的多种感官参与学习，发挥学生的主体作用，培养学生主动探究、互助合作的精神。
[U6]电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。
使学生进一步明确拼成的长方形与圆之间的对应关系，有效地突破了本课的难点。
[U7]通过电脑验证，使学生进一步明确圆可以拼成的近似的长方形，渗透化曲为直的方法，极限的思想。
[U8]前后呼应，而且突出了数学的应用价值。
分享顶《圆的周长》教学设计方案学习者分析：小学六年级的学生有一定的数学知识基础，而且在之前的课程中学习了圆的认识、了解了圆的特征；他们易接受新知识，有很强的好奇心和求知欲；在认知活动中喜欢直观形象的操作有一定的自主探究和合作学习的能力，并愿意参与分组讨论学习。
教学目标：一、情感态度与价值观1.通过学习圆周率的有关资料，激发学生爱祖国情感和学习数学的兴趣。
2.初步学会透过现象看本质的辩证思维方法。
二、过程与方法通过观察、比较、分析、综合和小组合作的学习活动，体验合作学习的过程和方法；掌握圆周长的计算方法。
三、知识与技能1.通过动手操作，测量圆的周长和直径，计算出周长与直径的比值，理解圆的周长的意义。
2.会运用圆周长的计算公式正确解决有关圆周长的实际问题。
教学重点：推导圆周长的计算公式，准确计算圆的周长。
教学难点：理解圆周率的意义。
教学资源：1. 网上下载的课件。
2. 每个同学准备的圆、线绳、卷尺。
3. 教师自制的多媒体课件4. 上课环境为多媒体大屏幕环境。
教学过程：一、创设情境，导入新课1、播放课件。
极限的概念说课稿
播放
3
二、授课
n （ 1） ; n 1
n （ 2） 2 ;
数学理论篇
单调增加趋近于1 单调增加但无极限 单调增加趋近于0
单调数列不一定有极限
1 （ 3） ;
（4） ( 1) n 1 ；
n (1) （ 5） n
n 1
n
数学文化篇
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割， 则与圆周合体而无所失矣”
它包含了 ―用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
的重要极限思想
2
二、授课
1、割圆术：
数学文化篇
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
2
二、授课
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
x1 x1
x2 1 lim( x 1) 2 lim g ( x) lim x1 x1 x1 x 1
y f(x)=x+1
y f(x)=x+1 (1,2)
极限与有无 定义无关
x
(1,2)
-1 O
1
-1 O
1
x
图１
图2
3
二、授课
数学理论篇
定义4 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心领域内有 定义. 如果当 x x0 ( x x0 ) 时,函数 f ( x ) 无限接 近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( x ) 当 x x0
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二、授课
（一）数列的极限
定义1 按一定次序排列的一列数
数学理论篇
这一列有序的数就叫数列. 记为x n .其中的每个数称 为数列的项, x n 称为通项(一般项).
六年级数学上册 第55页 比的基本性质导学案
数学科第三单元第55页比的基本性质导学案【学习目标】1、理解和掌握比的基本性质，并会把比化成最简单的整数比。
2、学会转化的数学思想方法，培养思维的灵活性。
3、养成与人合作的意识，并能与他人互相交流思维的过程和结果。
【学习重难点】1、重点是理解比的基本性质，掌握化简比的方法。
2、难点是正确应用比的基本性质化简比。
【学习过程】一、复习1、什么叫做比？比的各部分名称是什么？____________________________________________________________________23（0除外），（）不变。
4、分数的基本性质：分数的（）和（）同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
二、小组合作探讨(一)学习例9:求出下面每个比的比值, 把上面比值相等的比填入等式：4:5=（） 16:20=（）50:40=（） 40:50=（）（）：（）=（）：（）=（）：（）1、观察上面等式，联系分数的基本性质，想一想，在比中有什么相应的规律？2、什么是比的基本性质？如何理解比的基本性质中“0除外”3、上面三个相等的比，哪个比的前项和后项只有公因数1 ？________________________ ___________________________ （二）学习例10.1、从例9中你了解到哪些信息,并说一说“最简单的整数比”的含义合作探究1：动笔尝试，有困难的可以交流讨论，根据课本例题的提示完成填空。
（1）12:18=（ ÷ ）：（ ÷ ）= 2 ： 3想一想比的前项和后项同时除以6，这个实际是什么？ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 对比第（1）题两个比化简的结果，你发现了什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________ _（2）65：43 =（ × ）：（ × ）= 10 ： 9比较第（2）题中两个题的区别，想一想当一个比的前后项是分数，而不是整数时，为什么要同时乘以12？怎样把它化成最简单的整数比？_____________________________________________________________________________________________ ___________________________________（3）1.8:0.09=（ × ）：（ × ）=（ ）：（ ）=（ ）：（ ）为什么前后项同时乘以100？观察小数比的化简，你发现了什么规律？____________________________________________________________________________________ ___________________________________________三、当堂检测：独立完成P55“练一练”，组长检查核对，提出质疑。
析“极限思想”在人教版高中物理必修中的应用
析“极限思想”在人教版高中物理必修教材中的应用沙希文 黑龙江省佳木斯市第一中学摘要：“授人以鱼，不如授人以渔”，思想和方法的教育有时会比知识本身的传授显得更为重要。
本文概括、归纳了极限思想在高一必修教材中的5处应用，望能通过本文使我们学到解决一类问题的方法。
关键词：极限思想 高中物理 教材 应用极限思想是微积分和分析数学的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。
当这种趋势趋于某个值或是某个微小过程时，我们可以近似的将这个变化的量看成不变的量，这种处理问题的思想我们称为极限思想。
利用极限思想我们往往能够化动为静，化曲为直，从而得到化难为易，化繁为简的效果。
公元3 世纪刘徽创立的割圆术，就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率π的。
并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。
新课程注重科学思想方法的渗透，为学生掌握科学的思维方法创造了基本的条件。
极限思想的方法在新课程中多处出现，值得重视。
现归纳如下:一、 知识讲解：平均速度和瞬时速度——渗透极限思想（必修一P16） 如果在时间t ∆内物体的位移是x ∆,t x ∆∆表示的是物体在时间间隔t ∆内的平均快慢程度，称之为平均速度，即tx v ∆∆=。
平均速度只能粗略地描述运动的快慢，为了使描述精确些，可以把t ∆取得小些。
物体在从t 到t t ∆+这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异就小些。
t ∆越小，运动的描述就越精确。
可以想象，如果t ∆非常非常小，就可以认为tx ∆∆表示的是物体在时刻t ∆的速度，这个速度叫瞬时速度。
教材中从简单的直线运动入手，先介绍平均速度t x v ∆∆=，再介绍在0→∆t 时，v v →的思想方法，这样处理较清晰地体现了极限思想，但回避了严格的极限概念和计算。
二、实验：用平均速度代表瞬时速度——利用极限思想(必修一P21)如图，根据D 、G 两点间的位移x ∆和时间t ∆，就可算出纸带在这两点间的平均速度t x v ∆∆=.要求不高时tx ∆∆可以大致表示E 点的瞬时速度。
关注物理新课程中的极限思想
程结 构和 内容 ，来 到 了我们 身 边． 作 为 教 师 ， ３ 极 限思 维 的教学 需要循 序 渐进 极 限思 想就 是有 限与无 限思 想．是 高 等数 更应 以理性 的 眼光 来审视 新课程 内容 和结构 方
面 的变化． 笔者在 学 习和实践 的过程 中发 现数 学 中的微积 分． 微积分 高 中阶段 不作要 求． 但 学微元 法在 物理新 旧课程 中有较大 的改 变． 为 这 种逐 渐 逼 近 、无 限 分 割 法 的极 限 思 想 要 渗 什么要 改变 ？改变后 的内容 应该 如何教 学 ？笔 透 ，新 教材 中用 了极 限的思 想 ，但 不使 用极 限 的语 言 ，既解 决 了 问题 ，又 留下 了思 考 空 间． 者 对此有 点 陋见 ，供 大家参 考． １ 新 旧教材 的 比较 这种 将有 限 问题转 化为无 限问题 来解 决 的方法
应 用 数 学 处 理 物 理 问 题 的 能 力 是 现 行
关注 新课程中的 物理 极限思想
顾 成 纲
（ 江省上 虞市 城南 中学 浙 ３２０ ） １３０
一
《 考试大纲》 中物理 学科考 查 的五大 能力之 将 学 生这方 面 的能力 列为考 查 内容 ，是物 理学作 为 一 门精 确科 学与 数学有 着 密不可 分 的
动 的位移 当成 匀加速 运动 的位移．
一
圆周运动 的加速 度 的方 向教学 ，从速 度的
师 ：但我 们将 时间分 成若 干等分 ，由于每 变化量 开始 ，真正体 现 ： “ 物体 速 度变 化 的快 段 时 间都很 短 ，速 度 的变化不大 ，可 以将 每 慢 ” 这一 加速度 的本质 含义． 段 时间都 当成匀速 直接运 动．每 一段匀速 运
物理新 课 程 （ 教 版 ） 必 修 １中瞬 时 速 是学 生 的难 点 ．在 教学 中需要循 序 渐进． 人 如用 逐渐 逼 近 法 由平 均 速 度 认 识 瞬 时 速 度 的定义 ，匀 变速 直 线 运动 位移 公 式 的推 导 ， 必修 ２中探 究 弹性 势 能的表达式 ，向心加速 度 度 ，用 无 限分 割法理 解变 速运动 的速 度图象 与 的方 向等 内容 的教 材都用 数学微元 法 加 以了定 坐标轴 所包 围 面积为 位移． 是学 生第一 次接 触 义 和分析． 原 教材 有 的仅 作 为课 后 阅 读 内容 ， 教材 中 的微 元 思想 ，教师必 须设 置好 台阶 ，遵 如瞬 时速度 的理解 ，匀变速 直线运 动位 移公 式 循认 知 规律 ，逐 步掌握 此知识 ．下 面介 绍几个
人教版小学数学六年级上册 极限思想推导圆的面积公式 名师教学教案 教学设计反思
知识讲解（难点突
破）
1.明确圆的面积的概念。
(1)老师出示一个圆,提问:谁能联系我们學过的图形的面积说一说圆的面积是什么?
學生回答,老师归纳:圆所围成的平面的大小叫做圆的面积。
(2)圆的大小是由什么决定的?
(3)展示由“曲”变“直”的渐变图。
引导學生逐层观察圆周曲线的变化情况,把圆等分的份数越多,圆周曲线就越来越直,当我们继续分下去……圆周曲线就变成一条近似的直线段了,用这样的小块拼摆的图形就更近似于我们學过的图形。
2.學生动手操作,推导圆的面积公式。
为了研究方便,我们把圆等分成16份,圆周部分近似看作线段,其中的一份是个近似的三角形,
(1)指导學生动手摆學具,并思考几个问题:
你摆的是什么图形?
你摆的图形的面积与圆的面积有什么关系?
所摆图形的各部分相当于圆的什么?
你如何推导出圆的面积?
(2)學生动手摆學具,然后发言。
拼成长方形:
老师说明:如果分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会越接近长方形。
课堂练习
（难点巩
固）
求下面各圆的面积。
小结1.在敎學实践中贯穿“转化”的思想方法。
这是一种基本的数學思想和方法。
2.學生已有根据平行四边形、长方形面积公式推导圆面积公式的经验。
3.注意圆面积求法和周长求法区分,有时學生易混淆。
在自主探究中渗透数学的极限思想
在自主探究中渗透数学的极限思想——人教版六年级上册《圆的面积》教学片段及反思【教学背景】《圆的面积》是六年级上册第四单元的内容，本单元是在学生掌握了直线图形的周长和面积，并且对圆已有初步认识的基础上进行学习的。
从认识圆入手，到圆的周长和面积，与直线图形的学习顺序是一致的。
但是，学习圆是从学习方形到学习曲线图形，无论是内容本身，还是研究问题的方法都有所变化。
我设计的这节课，想要达到的教学目标就是让学生初步认识研究曲线图形的基本方法——“化曲为直”、“化圆为方”，同时也感受了曲线图形与直线图形的内在联系，体味极限思想。
【课堂写真】片断一：师点击大屏幕，出现画圆过程。
师：图上画了一个什么图形？生：圆。
师：圆的周长怎样求？生：C=πd C=2πr （课件出示公式）师：在我们没有学习周长公式之前是用什么方法得到圆的周长的呢？生1：在圆片上做个记号，从记号位置开始在直尺上滚动一周回到记号位置。
（课件演示）生2：用绳子绕圆一周后拉直测量绳子的长度。
（课件演示）师：不论是用绳子绕圆一周后拉直测量还是在直尺上滚动一周直接测量出圆的周长都是把曲线变成直线，这样的方法我们把它叫做化曲为直。
（板书）2、师：我们继续研究圆的有关知识——圆的面积。
（板书）（反思：用这两个方法，提醒学生在过去有关圆的学习中，我们就已经使用了化曲为直的方法来解决特殊的曲线图形，为后面化圆为方的面积研究打下了铺垫。
）片段二：1、师：不妨我们先来回顾以前所学过的平面图形的面积，（课件显示）还记得这些图形的面积怎样求吗？生：正方形的面积等于边长乘边长，长方形的面积等于长乘宽，平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积等于底乘高除以二，梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以二。
师：那面积公式的推导过程还记得吗？生1：叙述平行四边形的面积公式推导过程（课件显示）。
生2：叙述三角形的面积公式推导过程（课件显示）。
生3：叙述梯形的面积公式推导过程（课件显示）。
思想方法 1.极限思维法
思想方法 1.极限思维法1．极限思维法：如果把一个复杂的物理全过程分解成几个小过程，且这些小过程的变化是单一的．那么，选取全过程的两个端点及中间的极限来进行分析，其结果必然包含了所要讨论的物理过程，从而能使求解过程简单、直观，这就是极限思想方法．极限思维法只能用于在选定区间内所研究的物理量连续、单调变化(单调增大或单调减小)的情况．2．用极限法求瞬时速度和瞬时加速度(1)公式v ＝Δx Δt中当Δt →0时v 是瞬时速度． (2)公式a ＝Δv Δt中当Δt →0时a 是瞬时加速度． 【典例】 为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm 的遮光板，如图1－1－4所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt 1＝0.30 s ，通过第二个光电门的时间为Δt 2＝0.10 s ，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt ＝3.0 s ．试估算：(1)滑块的加速度多大？(2)两个光电门之间的距离是多少？即学即练 如图1－1－5所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，在AB 、ABC 、ABCD 、ABCDE 四段轨迹上运动所用的时间分别是1 s 、2 s 、3 s 、4 s ，已知方格的边长为1 m ．下列说法正确的是( )．A ．物体在AB 段的平均速度为1 m/sB ．物体在ABC 段的平均速度为52m/s C ．AB 段的平均速度比ABC 段的平均速度更能反映物体处于A 点时的瞬时速度D ．物体在B 点的速度等于AC 段的平均速度附：对应高考题组1．[2010·上海综合(理)，4]右图是一张天文爱好者经长时间曝光拍摄的“星星的轨迹”照片．这些有规律的弧线的形成，说明了( )．A ．太阳在运动B ．月球在公转C ．地球在公转D ．地球在自转2．(2012·上海卷，23)质点做直线运动，其s －t 关系如图所示．质点在0～20 s 内的平均速度大小为______ m/s ；质点在________时的瞬时速度等于它在6～20 s 内的平均速度．【典例】解析 (1)遮光板通过第一个光电门的速度v 1＝L Δt 1＝0.030.30m/s ＝0.10 m/s 遮光板通过第二个光电门的速度v 2＝L Δt 2＝0.030.10m/s ＝0.30 m/s 故滑块的加速度a ＝v 2－v 1Δt≈0.067 m/s 2. (2)两个光电门之间的距离x ＝v 1＋v 22Δt ＝0.6 m. 答案 (1)0.067 m/s 2 (2)0.6 m即学即练解析 由v ＝x t 可得：v AB ＝11 m/s ＝1 m/s ，v AC ＝52m/s ，故A 、B 均正确；所选取的过程离A 点越近，其阶段的平均速度越接近A 点的瞬时速度，故C 正确；由A 经B 到C 的过程不是匀变速直线运动过程，故B 点虽为中间时刻，但其速度不等于AC 段的平均速度，D 错误．答案 ABC附：对应高考题组1．答案 D2．解析 质点在0～20 s 内的位移为16 m ，由平均速度v ＝s t 可得v ＝1620m/s ＝0.8 m/s ；s －t 图象切线的斜率表示速度，连接6 s 、20 s 两个时刻对应的位移点得直线MN ，如图所示，直线MN 的斜率等于6～20 s 这段时间内的平均速度，用作平行线的方法上下平移MN 得直线b 、a ，与图象相切于10 s 和14 s 在图线上对应的位置，这两个时刻的瞬时速度与6～20 s 内的平均速度相等．答案 0.8 10 s 和14 s。
六年级上册数学说课稿-4 用极限思想推导圆的面积公式-冀教版
六年级上册数学说课稿-4 用极限思想推导圆的面积公式-冀教版一、教材内容分析本节课是关于圆的面积公式的推导。
在圆的周长已知的情况下，如何求出它的面积是本节课的难点。
本节课的内容相较于其他几个界限的公式，更具挑战性，需要学生们深入思考并学以致用。
本课时主要的教学内容包括：1.圆的面积公式的推导2.极限思想的应用3.根据圆的性质推导出圆的面积公式二、教学目标1.了解圆的基本概念和性质。
2.掌握圆的面积公式的推导方法。
3.理解极限思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。
4.能够灵活应用数学知识解决实际问题。
三、教学重难点教学重点：1.圆的面积公式的推导方法。
2.极限思想的应用。
教学难点：1.极限思想的理解和应用。
2.圆的面积公式的证明思路。
四、教学过程设计步骤一：引入本课的教学目标是推导圆的面积公式。
那么，在之前的课程中，我们已经掌握了圆的周长公式，请问在桌面上画一个圆，如何求出它的面积呢？步骤二：情境演示老师展示课件中，圆面积公式的演示图，并采用计算器进行计算。
步骤三：引入极限思想老师提问：你们认为圆的面积公式是如何推导出来的呢？请思考在计算机上画一个圆，如何求出它的面积？通过引入极限思想的方法，让学生明白，圆的周长和面积的公式本质上都是“极限”的概念。
步骤四：具体分析1.圆的基本概念和性质。
教师要求学生们重新回忆圆的周长公式、圆的定义等相关知识，建立起圆的基础概念和性质。
2.圆的面积公式的推导方法。
接着，教师介绍由弧长推导圆面积公式的步骤和方法。
教师可以通过计算机程序模拟的方式，让学生们更好地理解这个过程。
同时，引导学生们自己思考推导圆面积公式的不同方法和步骤，加深他们的理解。
3.极限思想的应用。
教师在讲解推导过程时，要结合极限思想进行讲解，让学生从数学思维上从容处理新概念和新方法，培养学生的逻辑思维能力。
步骤五：测验练习老师通过一些简单的习题，检查学生掌握情况和练习能力。
五、教学体会与总结本课时的设计自始至终都围绕圆的面积公式的推导展开。
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第55课时极限思想
学习内容
课本第107～108页例2，第110～111练习二十二第4～8题，成长小档案。
学习目标
会用“图形”来帮助解决数的问题，体会极限思想。
课文讲解
例2，无限数列求
和。
这是一个等比数
列，第一个加数是
1/2，后面每个加数是
前一个加数的1/2。
要
求它的和，用图形表
示，可直观地发现结果
是1。
体会到数形结合
可以完美地解决问题。
找规律，正方形
数，是本课的学习基
础。
数的问题可以用形
来帮助解决，数形结合
可以完美地解决问题，
是本课的新知。
辅导精要
例2，略读课文，了解课文的主要内容：无限的加数，求它的和，用图形来帮助。
读题。
计算1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/64＋…
分析。
加数的规律：第一个加数是1/2，后面每个加数是前一个加数的1/2。
省略号表示：按照这个规律写加数，加数的个数是无限的。
求它的和是多少。
尝试。
1/2＋1/4＝3/4，3/4＋1/8＝7/8，7/8＋1/16＝15/16。
合并算式：
1/2＋1/4(＝3/4)＋1/8(＝7/8)＋1/16(＝15/16)＋1/32(＝31/32)＋1/64(63/64)＋…＝？。
观察。
这些算式的得数，发现：分子与分母只相差1份，分的份数越多，它们的和越接近1。
但和是多少，无法确定。
画图。
可以用一个圆表示1，也可以用一条线段表示1，还可以用一个正方形表示1。
让孩子在本子上画图，在图形里表示加法算式及其相加的过程：每增加一个加数，就图里表示出它们的和。
归纳：图形也印证了它们的和越来越接近1。
推断。
这样的分数，无限地继续加下去，最后的和是1。
即1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/64＋1/128＋ (1)
阅读课文。
在题目上批注3/4，7/8，15/16，…。
在第108页图批注加法算式。
反思。
在加法算式不好确定它的和，借助图形就能确定它的和是1。
画图解决问题很直观。
习题解析
第4题，巩固练习。
读题，理解题目的情境复杂，用画图方法帮助解答。
把“当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点”与线段图连线。
在“小狗已经到达马路
的终点”批注“走200m”。
想像：小亮走完这条马路另一半，小狗也走200m。
答案：200×2＝400（m）。
答：略。
第5题，巩固练习。
整体读题，再把题目的条件分
3层。
第一层，至“用时20分钟”；观察坐标图，3个图
都用向上的斜线表示离家的时间和距离。
第二层，至“锻炼了10分钟”；观察图形，第2图
没有画平行线而只画向下的斜线。
所以，这是描述妈妈
的。
第三层，至“用了15分钟”；观察图形，第1图斜
度大，第3图斜度小。
所以，第1图描述小兰的，第3
图描述爸爸的。
第6题，巩固练习。
组合问题。
读题，情境复杂，
用小精灵提示的方法：画图解决问题。
第一步，小林已经下了4盘。
与每人都连线，画4
条。
第二步，小兵下了1盘。
不再连线。
第三步，小强下了3盘。
除小兵外，与其他人都连线，画3条。
第四步，小芳下了2盘。
已有2条。
观察图形，小刚也是2条连线。
所以，小刚下了2盘，分别与小林、小强的。
第7题，巩固练习。
读题，在“杨辉三角”下划线，
批注“贾宪三角形，帕斯卡三角形”。
规律：除第一行外，每行中首项和末项都是1，其
余各项均为上一行“双肩”上两数之和。
第6行，1，6，15，20，15，6，1；第7行，1，7，
21，35，35，21，7，1；…。
第8题，选学内容。
读题，从整体观察：“右图”是
一个正方形，边长是（a＋b），面积是（a＋b）2。
从部
分观察：左上角正方形的面积是a2，右下角正方形的面
积是b2，2个长方形的面积都是ab，它们的总面积是a2
＋2ab＋b2。
所以：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。
成长小档案。
读方框里的内容。
浏览本单元的课文，
指出图中同学的话相对应的课文内容。
再根据自己学习
过程中的感受，用肯定的语句说说自己的收获，进行自
我评价；也可以让孩子从读、说、听、写等方面对自己
的学习行为进行评价。
拓展与提高
1．在正方形数中，从1开始，第n个平方数可表示为前一个平方数加上第n个奇数。
如 52＝42＋9。
2．正方形数还可以表示成n2＝1＋1＋2＋2＋…＋ n－1＋n－1＋n。
如42＝1＋1＋2＋2＋3 ＋3＋4，即在32个正方形上添加一行和一列小正方形，即得到42正方形。
这对于计算较大的数的正方形数非常有用，如： 522＝502＋50＋51＋51＋52＝2500＋204＝2704。