空间几何体的直观图(附问题详解)

空间几何体的直观图

[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.

知识点一用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.

2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.

3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

思考相等的角在直观图中还相等吗？

答不一定，例如正方形的直观图为平行四边形.

知识点二空间几何体直观图的画法

1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.

2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.

3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

思考空间几何体的直观图惟一吗？

答不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.

题型一画水平放置的平面图形的直观图

例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝1

2OE ，以E ′为中点画

C ′

D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .

(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.

跟踪训练1 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠A ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图.

解 (1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图①中，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332

≈2.598 cm ；

过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝1

2ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′

＝DC ＝2 cm.

(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.

题型二 由直观图还原平面图形

例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.

解①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，

过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC.

则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.

跟踪训练2如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.

解如图为原平面图形.

由斜二测画法可知，

OB＝2O′B′＝2 2 cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°. 所以四边形OABC为平行四边形，

且BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3(cm)，

故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).

题型三空间几何体的直观图

例3如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

解(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；

(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；

(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.

图3

跟踪训练3由如图所示几何体的三视图画出直观图.

解(1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.

(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.

(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2).

图1图2

求直观图的面积

例4已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为()

A.

3

2a

2 B.

3

4a

2 C.

6

2a

2 D.6a2

分析求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高.

解析如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，

因为O′A′＝

3

2a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝

3

2a，故

A′M′＝

6 2a.