9-2 树 离散数学 教学课件
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离散数学
4)i← i+1,转到步骤2).
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
2019/1/30
11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
2019/1/30 12
a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
2019/1/30
13
定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
2019/1/30 4
T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
《离散数学》课件-第九章 树(A)
• 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因 为每个分支点都有m个儿子，所以，在树中除根之 外还有mi个结点。因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
离散数学 第9章_树
是 v1 v5,v7,v8,v9,v10,v11
v2,v3,v4,v6
否
§9.2.1 基本概念
二、有向树的性质 设有向树T=<V,E>, |V|=n, |E|=m，则:
① T 中无回路； ② T 是连通图； ③ m = n 1； ④ 删去T中任何一条边后，所得到的图不连通。
避圈法 破圈法
求最小生成树 (方法一)
Kruskal避圈算法 (从边的角度) (1)将各条边按照权值从小到大的顺序排列； (2)依次选取权值最小并且没有造成回路的边； (3)总共选取n-1条边（n为图中的结点数）。
求最小生成树(方法二)
破圈法 (从边的角度) 每次删去回路中权最大的边。
举例
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之 间增加一条边，就只能得到唯一的一个基本回路。 假设n = k时，命题成立。则当n = k + 1时，因为T是连通的并有(n1)条边 ，所以每个结点的度数都至少为1，且至少有一个结点的度数为1。否则 ，如果每个结点的度数都至少为2 ，那么必然会有结点的总度数2m 2n ，即m n。这与m = n 1相矛盾，所以，至少有一个结点v的度数为1。 删除结点v及其关联的边，得到图T*，由假设知，图T*无回路。现将结点 v及其关联的边添加到图T*，则还原成T，所以，T没有回路。 在连通图T中，任意两个结点vi和vj之间必存在一条通路，且是基本通路。 如果这条基本通路不唯一，则T中必有回路，这与已知条件矛盾。进一步 地，如果在连通图T中，增加一条边(vi, vj)，则边(vi, vj)与T中结点vi和vj之 间的一条基本通路，构成一个基本回路，且该基本回路必定是唯一的。 否则，当删除边时，T中必有回路，这与已知条分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。 由树的性质知，树T中边的数目为 (x+3) 1 = x +2。 由握手定理知：2(x+2) = 41 + 31 +1 + x1 可以解出： x = 5。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学——树ppt课件
4
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
30
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
15
例16.2
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
30
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
15
例16.2
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学-树PPT课件
.
(b)
2
9.1.1 树及其基本性质
定理9.1 在(n,m)树中必有m=n-1。
连通
不包含回路
树
定理9.3 图G是树的充分必要条件是图G的每对 结点间只有一条通路。
在T中不相邻接的任意两结点间添加一条边后形 成的图有且仅有一个圈
.
3
9.1.1 树及其基本性质
定理9.2 具有两个结点以上的树必至少 有两片叶。
.
52
两步图
v1
v2
v3
v4
4
v5
v6
v7
定理9.7 图G是一个两步图的充分条件是
G的所有回路的长度为偶数。
.
53
两步图-练习
P160 9.5 已知关于人员a,b,c,d,e,f的下述事实： a 说汉语、法语和日语； b 说德语、日语和俄语； c 说英语和法语； d 说汉语和西班牙语 ； e 说英语和德语； f 说俄语和西班牙语， 是否能将6人分成两组，使同组中没有两人能相互交谈？
当且仅当一个图的每个 连通分支都是平面图时， 这个图是平面图。
(c)
.
35
9.2.1 平面图的基本概念
K5
(b) (a)
(c)
K 3,3
(d)
.
(e)
36
9.2.1 平面图的基本概念
无回路的图是平面图。
一种判别平面图的直观方法：
(1)对于有回路的图找出一个长度尽可能大的且 (2) 边不相交的基本回路。 (2) 将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定
51
两步图
v1
v2
v3
v 4 V { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 7 }
(b)
2
9.1.1 树及其基本性质
定理9.1 在(n,m)树中必有m=n-1。
连通
不包含回路
树
定理9.3 图G是树的充分必要条件是图G的每对 结点间只有一条通路。
在T中不相邻接的任意两结点间添加一条边后形 成的图有且仅有一个圈
.
3
9.1.1 树及其基本性质
定理9.2 具有两个结点以上的树必至少 有两片叶。
.
52
两步图
v1
v2
v3
v4
4
v5
v6
v7
定理9.7 图G是一个两步图的充分条件是
G的所有回路的长度为偶数。
.
53
两步图-练习
P160 9.5 已知关于人员a,b,c,d,e,f的下述事实： a 说汉语、法语和日语； b 说德语、日语和俄语； c 说英语和法语； d 说汉语和西班牙语 ； e 说英语和德语； f 说俄语和西班牙语， 是否能将6人分成两组，使同组中没有两人能相互交谈？
当且仅当一个图的每个 连通分支都是平面图时， 这个图是平面图。
(c)
.
35
9.2.1 平面图的基本概念
K5
(b) (a)
(c)
K 3,3
(d)
.
(e)
36
9.2.1 平面图的基本概念
无回路的图是平面图。
一种判别平面图的直观方法：
(1)对于有回路的图找出一个长度尽可能大的且 (2) 边不相交的基本回路。 (2) 将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定
51
两步图
v1
v2
v3
v 4 V { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 7 }
离散数学 第九章：树
4
9.1 无向树
ห้องสมุดไป่ตู้
5
9.1 无向树
如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。 如果将上图看作一个图的话，这个图就是一棵树，如下图。
1 7 4 5 2 1 6 3 2 3 2 6 5 4
7
3 4 1 5 6 7
6
9.1 无向树
一、无向树的定义 定义9.1.1 连通不含回路的无向图称为无向树，简称 连通不含回路的无向图称为无向树 无向树， 定义 常用T表示一棵树 连通分支数大于等于2， 表示一棵树。 为树。常用 表示一棵树。连通分支数大于等于 ， 森林。 且每个连通分支都是树的非连通无向图称为森林 且每个连通分支都是树的非连通无向图称为森林。平 凡图称为平凡树 平凡树。 凡图称为平凡树。 例1： ：
证明： 只要证明T是连通的 是连通的。 证明：（6）⇒（1）只要证明T是连通的。
则新边(u,v)∪T产生唯一的圈 ，显然有 产生唯一的圈C， ∀u,v∈V且u ≠ v ，则新边 u,v∈ 且 ∪ 产生唯一的圈 C-(u,v)为T中u到v的通路，故u~v,由u,v的任意性可知，T是 的通路， 的任意性可知， 是 为 中 到 的通路 由 的任意性可知 连通的。 连通的。
15
9.1 无向树
(4)T是连通的，且m=n-1; 是连通的， 是连通的 (6)T中无回路，但在 的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边，就得 中无回路， 的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边， 中无回路 但在T的任何两个不相邻的顶点之间增加一条新边 到唯一的一条含新边的初级回路。 到唯一的一条含新边的初级回路。 证明： ⇒ 证明：(4)⇒(6) 归纳法 连通且有n-1条边 条边。 若T连通且有 条边。 连通且有 必无回路。 当n=2时，m=2-1=1,故T必无回路。如果增加一条边得到且仅得到一条 时 故 必无回路 回路。 回路。 时命题成立。 设n=k-1时命题成立。 时命题成立 考察n=k时的情况。因为 是连通的，m=n-1,故每个结点 有deg(u)≥1, 时的情况。 是连通的， 故每个结点u有 考察 时的情况 因为T是连通的 故每个结点 ≥ 可以证明至少有一个结点v,使得 使得deg(v)=1;若不然，即所有结点 有 若不然， 可以证明至少有一个结点 使得 若不然 即所有结点u有 deg(u)≥2则2m≥2n，即m ≥n,与假设 与假设m=n-1矛盾。删去 及其关联的边， 矛盾。 及其关联的边， ≥ 则 ≥ ， 与假设 矛盾 删去v及其关联的边 而得到新图T’,由归纳假设可知 无回路； 由归纳假设可知T’无回路 中加入v及其关联的边又得 而得到新图 由归纳假设可知 无回路；在T’中加入 及其关联的边又得 中加入 是无回路的； 中增加新的边(u,w),则该边与 中u到 则该边与T中 到 到T，故T是无回路的；若在连通图 中增加新的边 ， 是无回路的 若在连通图T中增加新的边 则该边与 W的一条通路构成一个回路，则该回路必是唯一的，否则若删去此新边， 的一条通路构成一个回路， 的一条通路构成一个回路 则该回路必是唯一的，否则若删去此新边， T中必有回路，得出矛盾。 中必有回路， 中必有回路 得出矛盾。
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
《离散数学》树
解 用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x, 2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3 有2棵非同构的无向树, 如图所示
6
例题
例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点 的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构 的无向树. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为n7. 由握 手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8, 4度顶点为1个. T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 有3棵非同构的无向树
27
如何依据给定的权求最优二元树？
Huffman算法:
给定实数w1, w2, …, wt，求以上 述实数为权的最优二元树 。
哈夫曼算法:给定树求最优树 1、给初始权集S={ w1, w2 ,..., wt }；t个叶子vi带权 wi , i 1, 2,..., t 2、在S中找出两个权最小的数不妨记作w1,w2,用父结点v将两 个带权的儿子v1,v2连结起来,形成一个新的子树并把该子树 看作一个结点v，带权w1+w2。 3.置权集S:=（S-{w1,w2}∪{w1+w2} 4.检查S中是否只有一个元素？ 是就停止,否则转入2
分支点: 树根与内点的总称 顶点v的层数: 从树根到v的通路长度 树高: 有向树中顶点的最大层数
19
根树(续)
根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头 如右图所示 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
6
例题
例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点 的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构 的无向树. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为n7. 由握 手定理得 2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8, 4度顶点为1个. T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 有3棵非同构的无向树
27
如何依据给定的权求最优二元树？
Huffman算法:
给定实数w1, w2, …, wt，求以上 述实数为权的最优二元树 。
哈夫曼算法:给定树求最优树 1、给初始权集S={ w1, w2 ,..., wt }；t个叶子vi带权 wi , i 1, 2,..., t 2、在S中找出两个权最小的数不妨记作w1,w2,用父结点v将两 个带权的儿子v1,v2连结起来,形成一个新的子树并把该子树 看作一个结点v，带权w1+w2。 3.置权集S:=（S-{w1,w2}∪{w1+w2} 4.检查S中是否只有一个元素？ 是就停止,否则转入2
分支点: 树根与内点的总称 顶点v的层数: 从树根到v的通路长度 树高: 有向树中顶点的最大层数
19
根树(续)
根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头 如右图所示 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
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这不是三元正则树
8
3 45 6 7 12
W(T)=(1+2)×3+(3+4)×2+(5+6+7)×2+ 8×1 =67
Huffman算法的推广算法
m元正则树的分支点数s与树叶数t之间满足 (m-1)s=t-1
求m元最优树时应分两种情况讨论
(t-1)/(m-1)为整数时，说明所求树T为m元正则 树，可仿Huffman算法求最优m元树。
行遍2元有序正则树的方式：
最佳前缀码
数 频率 编码 码
码 (%)
长
0 25 01
2
1 20 11
2
2 15 001 3
3 10 100 3
4 10 101 3
5 10 0001 4
6 5 00000 5
7 5 00001 5
二元树的应用4
波兰符号法与逆波兰符号法
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问 一次.
第9章 树
9.1 无向树及生成树 9.2 根树及其应用
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的
最优3元树 ？
这不是三元正则树
78
12 3
45 6
W(T)=(1+2+3)×3+(7+8)×2+ (4+5+6) ×2+=78
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的 最优3元树
因为16=24 < 26 < 32=25，所以要用5位表示。
用不定长二进制数表示英文字母：
若规定，可用1bit表示英文字母，也可用2 bit表示英文字母。若1 位和两位不足以表示26个英文字母，可用3 bit。再不够，用4 bit。
至少需要多少位二进制数？设需要 i 位二进制数，于是， 下列的不等式成立： 26 ≤ 21＋22＋…＋2i = 2i+1–2
1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符
串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.
右图的树叶都互为前缀码
求图示的二元树产生的前缀码
解：在图中每一个分枝点引出的左侧边标记0，右 侧边标记1。
由根结点到树叶的路经上各边的标记组成的0、1 序列作为对应树叶的标记，得右图。
数据 儿子1 儿子2 …… 儿子n
链表结点的单元个数若
➢ 固定得较大 ➢ 按需分配 会浪费较多空间或使算法复杂。
所以，树的存储表示大都先转化成二元树。
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
①从根结点开始，保留父亲和最左边儿子的连线，取消 和其他儿子的连线，兄弟之间用从左到右的有向边连 接。
产生的前缀码为01,11,000,0010,0011
0
1
01
1
01
01
由任意一个前缀码求对应一个二元树
设1,01,000是一前缀码，画出对应一个二元树
解：画出一个高为3的正则二元树，给各边标记0或1，每 一个结点对应一个0、1序列，如果某个0、1序列是前缀码 的元素，则标记该结点。
将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删除，再 删除未加标记的树叶，得到要求的二元树。
解: 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优 2元树. 这里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25.
最佳前缀码
相当于求 5, 5, 10, 10, 10, 15, 20, 25 的最优2元树.
数 频率 编码 码 (%) 0 25 01 1 20 11 2 15 001 3 10 100 4 10 101 5 10 0001 6 5 00000 7 5 00001
其中1, 2, …, m为非空字符串, 且任何两个互
不为前缀。
2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码。
如 {0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前 缀码。
{0,10,010, 1010} 不是前缀码。
前缀码
一棵2元树产生一个二元前缀码:
对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标
例如：若用00表示e，用01表示t，用0001表示q。当接 收员接收到0001时，就无法区分这是et，还是q。为了 解决这个问题，引入前缀码的概念。
二元树的应用3——前缀码
设 =12…n-1n是长度为n的符号串 的前缀: 12…k , k=1,2,…,n-1 前缀码: {1, 2, …, m},
解之，得i ≥4
故用长度不超过4位的二进制数足以表示26个英文字母。
二元树的应用2
在英文中有些字母使用频率较高，另一些字母使 用频率较低。
为了减少通信中传递的信息量，人们希望用位数 较少的二进制数表示频繁使用的字符，用位数较 多的二进制数表示不常使用的字符。
这样就会大大缩短信息串的总长度。但是也产生 了一个问题。接收者如何将0、1组成的长串，准 确无误地分割成字母对应的0、1序列呢？
(t-1)/(m-1)的余数为k时，1 ≤ k ≤ m-2，说明所 求树是非正则的，
此时将k+1个较小的权对应的树叶 作为兄弟放在最高层次上，然后仿 Huffman算法求最优m元树即可。
二元树的应用1
由于树在计算机内存中可通过多重链表来表示，
各链表结点所占内存单元的个数依赖于该结点的儿子数，
若一个结点有 n 个儿子，一般要用(n+1)个单元表示该结点， （n个单元用来指出该结点的各儿子的位置），结点一般表示为：
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
②选定二叉树的左儿子和右儿子如下：处于给定结点下 方的结点作为该结点的左儿子，同一水平线上与给定 结点右邻的结点作为该结点的右儿子。
二元树的应用2
在通信中常用二进制串表示英文字母。最少用多少位二进 制数就能表26个英文字母呢？
用定长二进制数表示英文字母：
最佳前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
数码
01234 5
6
7
出现频率(%) 25 20 15 10 10 10 5 5
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前 缀码), 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要 多少个二进制数字?
8
3 45 6 7 12
W(T)=(1+2)×3+(3+4)×2+(5+6+7)×2+ 8×1 =67
Huffman算法的推广算法
m元正则树的分支点数s与树叶数t之间满足 (m-1)s=t-1
求m元最优树时应分两种情况讨论
(t-1)/(m-1)为整数时，说明所求树T为m元正则 树，可仿Huffman算法求最优m元树。
行遍2元有序正则树的方式：
最佳前缀码
数 频率 编码 码
码 (%)
长
0 25 01
2
1 20 11
2
2 15 001 3
3 10 100 3
4 10 101 3
5 10 0001 4
6 5 00000 5
7 5 00001 5
二元树的应用4
波兰符号法与逆波兰符号法
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问 一次.
第9章 树
9.1 无向树及生成树 9.2 根树及其应用
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的
最优3元树 ？
这不是三元正则树
78
12 3
45 6
W(T)=(1+2+3)×3+(7+8)×2+ (4+5+6) ×2+=78
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的 最优3元树
因为16=24 < 26 < 32=25，所以要用5位表示。
用不定长二进制数表示英文字母：
若规定，可用1bit表示英文字母，也可用2 bit表示英文字母。若1 位和两位不足以表示26个英文字母，可用3 bit。再不够，用4 bit。
至少需要多少位二进制数？设需要 i 位二进制数，于是， 下列的不等式成立： 26 ≤ 21＋22＋…＋2i = 2i+1–2
1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符
串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.
右图的树叶都互为前缀码
求图示的二元树产生的前缀码
解：在图中每一个分枝点引出的左侧边标记0，右 侧边标记1。
由根结点到树叶的路经上各边的标记组成的0、1 序列作为对应树叶的标记，得右图。
数据 儿子1 儿子2 …… 儿子n
链表结点的单元个数若
➢ 固定得较大 ➢ 按需分配 会浪费较多空间或使算法复杂。
所以，树的存储表示大都先转化成二元树。
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
①从根结点开始，保留父亲和最左边儿子的连线，取消 和其他儿子的连线，兄弟之间用从左到右的有向边连 接。
产生的前缀码为01,11,000,0010,0011
0
1
01
1
01
01
由任意一个前缀码求对应一个二元树
设1,01,000是一前缀码，画出对应一个二元树
解：画出一个高为3的正则二元树，给各边标记0或1，每 一个结点对应一个0、1序列，如果某个0、1序列是前缀码 的元素，则标记该结点。
将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删除，再 删除未加标记的树叶，得到要求的二元树。
解: 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优 2元树. 这里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25.
最佳前缀码
相当于求 5, 5, 10, 10, 10, 15, 20, 25 的最优2元树.
数 频率 编码 码 (%) 0 25 01 1 20 11 2 15 001 3 10 100 4 10 101 5 10 0001 6 5 00000 7 5 00001
其中1, 2, …, m为非空字符串, 且任何两个互
不为前缀。
2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码。
如 {0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前 缀码。
{0,10,010, 1010} 不是前缀码。
前缀码
一棵2元树产生一个二元前缀码:
对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标
例如：若用00表示e，用01表示t，用0001表示q。当接 收员接收到0001时，就无法区分这是et，还是q。为了 解决这个问题，引入前缀码的概念。
二元树的应用3——前缀码
设 =12…n-1n是长度为n的符号串 的前缀: 12…k , k=1,2,…,n-1 前缀码: {1, 2, …, m},
解之，得i ≥4
故用长度不超过4位的二进制数足以表示26个英文字母。
二元树的应用2
在英文中有些字母使用频率较高，另一些字母使 用频率较低。
为了减少通信中传递的信息量，人们希望用位数 较少的二进制数表示频繁使用的字符，用位数较 多的二进制数表示不常使用的字符。
这样就会大大缩短信息串的总长度。但是也产生 了一个问题。接收者如何将0、1组成的长串，准 确无误地分割成字母对应的0、1序列呢？
(t-1)/(m-1)的余数为k时，1 ≤ k ≤ m-2，说明所 求树是非正则的，
此时将k+1个较小的权对应的树叶 作为兄弟放在最高层次上，然后仿 Huffman算法求最优m元树即可。
二元树的应用1
由于树在计算机内存中可通过多重链表来表示，
各链表结点所占内存单元的个数依赖于该结点的儿子数，
若一个结点有 n 个儿子，一般要用(n+1)个单元表示该结点， （n个单元用来指出该结点的各儿子的位置），结点一般表示为：
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
②选定二叉树的左儿子和右儿子如下：处于给定结点下 方的结点作为该结点的左儿子，同一水平线上与给定 结点右邻的结点作为该结点的右儿子。
二元树的应用2
在通信中常用二进制串表示英文字母。最少用多少位二进 制数就能表26个英文字母呢？
用定长二进制数表示英文字母：
最佳前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
数码
01234 5
6
7
出现频率(%) 25 20 15 10 10 10 5 5
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前 缀码), 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要 多少个二进制数字?