第17章多变量积分学

多变量积分学前言正如定积分源于平面几何图形的面积计算一样，多元函数的积分学产生背景也是人类在认识自然的活动过程中所遇到的各种几何或物理问题。

例1：质量分布问题1）平面图形上质量的分布：设平面区域σ上分布有质量（密度非均匀），计算其质量。

首先将其抽象为数学问题，即进行数学化处理：将平面区域σ放在二维坐标系中，对应区域仍记为σ，设已知密度函数σ∈),(),,(y x y x f ，求质量m 。

我们从最简单的情况出发，逐步得到一般情况下的公式。

这是解决实际问题的一般程序。

i)、特殊情况 最简单、特殊的情形是均匀密度的质量分布，此时ρ≡),(y x f ，故σρS m ⋅=（σS 为σ之面积）。

ii)、一般情况 现在设考虑非均匀密度的质量分布。

设密度函数为),(y x f ，如何求质量？常规的思路：将一般、复杂的情形转化为简单、特殊的情形来处理。

方法：分割近似求和法。

具体过程：1、n 分割σ：n σσσ∆∆∆ ,,21，则当分割很细时，),(y x f （密度）在i σ∆上变化不大，因而，可在i σ∆上视为常密度的均匀质量分布，对应的质量块可由i)中的公式近似计算。

2、近似计算：任取()∈i i ηξ,i σ∆，则i i i i f m σηξ∆≈∆),(，（这里iσ∆也代表i σ∆的面积），因而∑∑∆≈∆=i i i i f m m σηξ),(。

3：取极限：采用定积分思想，可设想：∑∆=→i i i f m σηξλ),(lim 0，λ为分割细度。

这样，平面上质量分布问题在数学上就是上述形式的二元函数的和式极限问题。

2）、空间区域的质量分布：类似，在一个空间区域上密度非均匀的质量分布问题，也可表示为类似的上述极限问题：∑∆=→i i i i v f m ),,(lim 0ξηξλ，其中，V 是对应于3D 坐标系下的空间区域，),,(z y x f 定义在V 上为已知的密度函数，i v ∆为分割后的第i 个小区域，i i i i v f ∆∈),,(ξηξ，d 为分割细度。

数学上：空间区域的质量分布问题是三元函数的和式极限的问题。

3）：空间曲线（曲面）上的质量分布：类似的方法，可以给出其他情况下质量分布的计算公式。

空间曲线的质量分布：∑∆=→i i i i l f m ),,(lim 0ξηξλ；空间曲面的质量分布：∑∆=→i i i i d f m δξηξ),,(lim 0上述问题的结果具有共同的实质，数学上，它们都是多元函数某种和式的极限问题。

相似的问题还出现在几何问题中。

例2：计算空间区域V 的体积V 。

类似平面任意几何图形的面积的计算。

将空间区域V 放在3D 坐标下，作其在xoy 面内的投影区域Ω，以Ω∂为准线，平行于z 轴的直线为母线作柱面，它与V 有一条交线l ，通过l 作V 的表面分为上半部分2S 和下半部分1S ，则V 的体积可转化为以2S 为顶，以Ω为底的曲顶柱体的体积减去以1S 为顶，以Ω为底的曲顶柱体的体积。

因此，V 的体积的计算就转化为曲顶柱体体积的计算，为此，我们先计算如图曲顶柱体的体积。

已知曲顶所在的曲面方程为z =f (x,y ),曲顶在xoy 坐标平面的投影区域为Ω，计算此曲顶柱体的体积V 。

仍采用积分思想。

由于与此相近的柱体的体积计算公式是已知的：底面积×高。

故，可以通过分割近似求和来处理。

n 分割Ω：n ∆Ω∆Ω∆Ω ,,21；对应曲面S 有一个分割：n S S S ∆∆∆ ,,21，任取i ∆Ω，对应的体积可用柱体体积来近似：i i i f ∆Ω),(ηξ ,故0lim (,)i i i V f λξη→=∆Ω∑，这和平面区域上质量的分布计算公式具有相同特征。

由此可以看出：物理上和几何上都提出了在数学上实质相同的一类问题，把其具体的背景去掉，抽取其数学上的本质，进行研究，并作出相应的推广，就形成了相应的数学理论，这便是多元函数的积分学。

因此，上述质量问题用多元函数的积分表示为： ∑⎰⎰∆Ω=→Ωi i i f dxdy y x f ),(lim ),(0ηξλ -----二重积分∑⎰⎰⎰∆=→i iiivv f dxdydz z y x f ),,(lim ),,(0ζηξλ-----三重积分∑⎰∆=→i iiill f dl z y x f ),,(lim ),,(0ζηξλ------第一类曲线积分∑⎰⎰∆=→i i i i SS f dS z y x f ),,(lim ),,(0ζηξλ ------第一类曲面积分还有一类物理问题产生更复杂的多元函数的积分类型。

例3：变力做功问题。

设质点在变力F的作用下，从空间A 点沿曲线l 移动到B 点，计算变力F的功。

已知常力F作用在质点使之沿直线从A 点移动到B 点，则做功为：θcos ⋅⋅=→AB F W ，利用上述思想，可计算变力做功。

对路径曲线^AB 作n 分割,在每一小段上近似为常力做功，故∑∑→-→-⋅=⋅⋅≈i i i i i i i A A F A A F W 11cosθ，记F)},,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P =，且},,{1i i i i i z y x A A ∆∆∆=⋅→-，则∑∆+∆+∆≈]),,(),,(),,([i i i i i i i i i i i i z R y Q x P W ζηξζηξζηξ， 故，∑∆+∆+∆=]),,(),,(),,([lim i i i i i i i i i i i i z R y Q x P W ζηξζηξζηξ 这又是一种和式的极限，这种和式的极限也对应于一种多元函数的积分：第二类曲线积分： ⎰++^ABRdz Qdy Pdx 。

类似还可引入第二类曲面积分：⎰⎰++SRdzdx Qdydz Pdxdy 。

所有上述各种积分，就形成了多元函数积分学的主要内容，我们将逐次介绍以上各种积分的定义性质、计算方法和相互间的联系。

第十七章重积分本章介绍重积分的概念和计算，重点以二重和三重积分为例。

§1 二重积分正如在定积分中，我们首先引入常义定积分：即被积函数有界，积分区间[]b a,有限。

所谓区间[]b a,有限，是指对应函数轴上的线段是可求长的，这在一维空间中是很明显的事实。

在讨论二重积分时，也涉及到与定积分中线段的可求长的类似问题，即平面图形的面积可求性问题。

事实上，正如我们引言中初步提出的那样，二重积分实际是如下和式的极限：∑⎰⎰∆=→i i i f dxdy y x f σηξλσ),(lim ),(0，显然，取1≡f ，（⎰⎰Sfdxdy 应存在），σσσηξS f i i i i =∆=∆∑∑),(，因此，曲域σ的面积应该是可求的。

那么，一个平面有界区域的面积是否可求？用什么标准来衡量可求性，这是我们在介绍二重积分前应解决的问题。

一：平面区域的面积。

设2R D ⊂是有界的二维平面区域，考虑其面积的可求性。

由于D 有界，因而存在矩形],[],[d c b a R ⨯=，使R D ⊂。

n 分割[]b a ,：b a a a a n =<<<= 10； m 分割],[d c ：d c c c c n =<<<= 10过这些分点分别做坐标轴的平行线，就形成了关于区域R 的一个矩形分割T ：即T 将R 分割成若干个小矩形块：],[],[11j j i i ij c c a a R --⨯=∆，利用这些小矩形块ij R ∆与区域D 的关系，将其分为三类：（1）：D R ij ⊂∆；（2）：ij R ∆中既有D 中的点又有非D 中的点； （3）：o D R ij /=∆ 。

记第一类小矩形块的指标集为：}:),{(D R j i ij ⊂∆=I ；第二类小矩形块的指标集为：}:),{(中的点中的点又有非中既有D D R j i ij ∆=II 。

又记，)()(,)(),(),(T s ST S ST s j i ijIj i ij+==∑∑I I∈∈，其中ij S 为ij R ∆的面积。

显然：0()()R s T S T S ≤≤≤，其中R S 为R 的面积。

（类似定积分中的达步上、下和，成立类似性质：加细时，)(T S 不增，)(T s 不减，且)()(:,T S T s T T '≤'∀）记：sup (),inf ()T Ts s T S S T -∀-∀==，二者显然存在，且_0S s ≤≤-，常称-s 为D 内面积，_S 为其外面积。

定义1：对平面区域D ，若_S s =-，称D 是可求面积的且其面积_S s s ==-。

由于平面区域的面积可用定积分来表示，因而，利用定积分可积的达布的充要条件形式，可得：定理1、（可求面积的充要条件）平面区域D 可求面各的充要条件是：∃>∀,0ε分割T ，使ε<-)()(t s T S 。

证明：必要性：设平面区域D 可求面积，且其面积 为s ，则由定义：_S s s ==-，因而：21,,0T T ∃>∀ε，使22)(1εε-=->-s s T s ；22)(_2εε+=+<s S T S ，记21T T T +=，则：)()(),()(21T S T S T s T s ≥≤，因而，2)(ε-≥s T s ，2)(ε+≤s T S ，故：ε≤-)()(T s T S 。

充分性：设,,0T ∃>∀ε使ε<-)()(T s T S ，则由于)()(_T S S s T s ≤≤≤-，故，ε<-≤--)()(_T s T S s S ，由任意性，则_S s =-，即D 是可求面积的。

我们知道：线段有长度而没有面积，曲线是否也是如此？注意到平面有界区域的边界是曲线，能否用边界曲线的面积是否为0来刻划区域的面积可求性？定理2：平面有界区域D 可求面积的充要条件是边界曲线D l ∂=的面积为0。

证明：由定理1，注意到边界曲线l 的面积l s 满足：)()(0T s T S s l -≤≤即可。

注：平面曲线的面积并不一定为0。

Peano 发现将实数轴上的闭区间映射平面上的一个二维区域（如正方形）的函数)(x f y =，因而这条曲线在平面上的面积并不为0，这条曲线称为Peano 曲线。

但可证明：平面上光滑或分段光滑的连续曲线，其面积为0。

注：今后涉及到的平面区域都设为可求面积的区域。

二：二重积分的定义和性质从引言中可知，这类积分的背景源于几何中曲顶柱体的体积的计算。

当然，在物理及工程技术领域中经常遇到类似的问题，如求非均匀密度的平面质量分布、重心、转动惯量等问题。

这些问题尽管实际的背景不同，从数学上具相同的本质，都可以转化为某种和式的极限――即二重积分。