含参变量正常积分

下面讨论含参量积分的连续性、
可微性和可积性.
y d(x) G
y c(x)
O
x
连续性定理
定理19.1 (连续性)(积分号下取极限) 若 f ( x, y) 在矩形区域 R [a,b][c,d] 上连续, 则函数
d
I( x) c f ( x, y)d y, x [a, b]
在[a, b]上连续.
d(x)
F ( x) f ( x, y)d y c( x)
在 [ a, b ] 上连续
可微性定理
定理19.3 (可微性) （积分号下求导数)
若 f ( x, y)及其偏导数 f ( x, y) 都在
x
矩形域 R [a,b][c,d]上连续, 则 I( x)
d
f (x, y)d y

4
例2. 求 I
1 ln(1 x) 0 1 x2 d x.
解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
I(t)
1 ln(1 tx) 0 1 x2 d x.
显然, I(0) 0, I 的偏导数
(1 x2
(1) x )(1

I, tx
)
ln(1 t x 1 x2
的 n 阶导数存在, 且 (n)( x) f ( x).
证
记 I1(u)
u
d
d x f (x, y)d y
a
c
u
I(x)d x
a
d
u
d
I2(u)
d y f (x, y)d x
c
a
H(u, y)d y
c
其中
u [a, b],
H (u, y)
u
f (x, y)d x
a
于是
I1(u)

d du
u
I(x)d x I(u)
例1
求
1
lim
dx
0 1 x2 2
解： 记
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I( )
1
dx
1 x2 2
因为

,
1


,
1

1 x2


2
都是 , x 的连续函数
所以 I( ) 在 0 连续，从而
lim I() I(0)
0
1 dx 01 x2

arctan x |10
由于 f ( x, y) 在闭区域 R 上连续, 所以一致连续,即
0, 0 , ( x1, y1), ( x2, y2 ) R, 只要 x1 x2 , y1 y2 就有 f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 所以， 0, 0, 当 x 时, 就有
d
I( x) c f x ( x, y)d y
由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 [a, b]
有连续的导函数.
在定理的条件下,求导和求积分可交换次序,
也说可在积分号下求导数
定理19.4（可微性） 如果函数 f ( x, y), f x ( x, y)
在矩形 R [a,b][ p,q] 上连续，
| fx ( x x, y) fx ( x, y) |
因此
| I( x x) I( x) x
d
c fx(x, y)d y |
d
c | f x ( x x, y) f x ( x, y) | d y
d
c d y (d c)
故 I ( x ) 在 x 可导，且
在[a, b]上可积.
b
J ( y) a f ( x, y)d x, y [c, d ]
在[c, d]上可积.
记
b
bd
b
d
a I( x)d x a[c f ( x, y)d y]d x a d xc f ( x, y)d y
d
db
d
b
c J( y)d y c [a f ( x, y)d x]d y c d ya f ( x, y)d x
d
c fx(x, y)d y |
| c [ f x ( x x, y) f x ( x, y)]d y |
d
c | f x ( x x, y) f x ( x, y) | d y
由 fx ( x, y) 在 [a,b][c,d]上连续, 从而一致连续，即
0, 0, 只要 | x | ，有
c
⑴
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
一般地，设 f (x, y ) 为区域
G {( x, y) | c( x) y d( x), a x b}
上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 [ a, b ] 连续，定义 含参量的积分
d(x)
y
F( x) f ( x, y)d y, x [a, b] c( x)
ln 2 I
4
t
1 ln(1 t 2 )
08
因此得 I
8
1

0
ln 2
1 0
ln(1 t) 1 t2
d
t
例3. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续,
验证当 | x | 充分小时, 函数
( x) 1
x ( x t)n1 f (t)d t
(n 1)! 0
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x x, y)x
所以
I( x x) I( x)
d f ( x x, y) f ( x, y) dy
x
c
x
d
c f x ( x x, y)d y
因此
| I( x x) I( x) d x
分析 对任何 x ∈ [a, b], 要证：lim I( x x) I( x) x0 即 0, 0, 当 x 时, 就有
I( x x) I( x)
证 设 x, x+Δx ∈ [a, b], d I( x x) I( x) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]d y
c( x), d( x)为定义在[a, b]上其值含于[ p, q]内的可微函数, 则函数
d(x)
F ( x) f ( x, y)d y c( x)
在 [ a, b ]上可微，且
d(x)
F ( x) c( x) f x ( x, y)d y
f ( x,d( x))d( x) f ( x,c( x))c( x)
2
[
1 2
ln(1
x2
)

t
arctan
x
ln(1 t x) 1 0

1 1 t2

1 2
ln 2

4
t

ln(1 t)
故
I I(1) I(0)
1
I(t)d t

1 0
1 1 t2

1 2
ln
0
2


4
t

ln(1
t)
d t


1 ln 2arctan 2

d(x) c( x)
f x ( x,
y)d
y

f
( x, c( x))
c( x)
f
( x,d( x)) d( x)
可积性定理
定理19.5 (可积性) 若 f ( x, y) 在矩形区域 R [a,b][c,d] 上连续, 则函数
d
I( x) c f ( x, y)d y, x [a, b]
lim
x x0
I(x)

I( x0 )
d
d

c f ( x0, y)d y
lim f ( x, y)d y
c x x0
即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序
是可交换的，或说可在积分号下取极限 .
定理19.2（连续性） 如果函数 f ( x, y) 在区域
G {( x, y) | c( x) y d( x), a x b}
a
I2 (u)

d du
d
H(u, y)d y
c
d
c Hu (u, y)d y
d
c f (u, y)d y I(u)
所以 I1(u) I2 (u), 从而 I1(u) I2(u) k ( k 为常数 )
当 u = a 时，I1(a) I2(a) 0, 于是，k = 0
c
在[a,b]上连续可微, 且
I( x) d
d
d
f (x, y)d y
f (x, y)d y
dx c
c x
分析: 要证 lim I( x x) I( x) d f ( x, y)d y
x0
x
c x
即 0, 0, 使得当 | x | 时，有
证: 把 F ( x )看作复合函数：
d
F ( x) H( x, c, d ) c f ( x, y)d y
c c( x), d d( x)
由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有
d F ( x) H dx H dc H dd
dx
x dx c dx d dx
第十九章含参量积分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
§1 含参量正常积分
设 f (x, y)是矩形域 R [a,b][c,d] 上的连续函数,
d
f (x, y)d y
确定了一个定义在[a, b]上的函数,
c
则积分
I(x)
d
f (x, y)d y,
x [a,b]
统称为累次积分或二次积分.
问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有
b
d
d
b
a d xc f ( x, y)d y c d ya f ( x, y)d x
定理19.6 （积分交换顺序）
若 f ( x, y)在矩形区域 R [a,b][c,d] 上连续, 则
b
d
d
b
a d xc f ( x, y)d y c d ya f ( x, y)d x
也在[c, d ]上连续.
定理19.1 表明,若 f ( x, y) 在矩形区域
R [a,b][c,d] 上连续, 则 d I( x) c f ( x, y)d y, x [a, b]
在[a, b]上连续. 于是对任意 x0 [a,b], 有
d
lim
x x0
c
f (x, y)d y
上连续，又函数 c( x) 与 d(x) 在区间 [a,b]上连续，
d(x)
则函数 F ( x) f ( x, y)d y, x [a, b] c( x)
在[ a, b ]上连续.
证 对积分用换元积分法，令
y c( x) t(d( x) c( x)), 于是 dy (d( x) c( x))dt
即得
I1(u) I2(u)
u
d
a d xc f ( x, y)d y
d
u
c d ya f ( x, y)d x
u
I1(u)
I(x)d x,
a
d
I2(u)
H(u, y)d y,
c
u
H (u, y) a f ( x, y)d x
取 u = b , 就得
b
d
d
b
a d xc f ( x, y)d y c d ya f ( x, y)d x
从而 F( x)
d(x)
f (x, y)d y
1
c( x)
0 f ( x,c( x) t(d( x) c( x))) (d( x) c( x))d t
因为
f ( x,c( x) t(d( x) c( x))) (d( x) c( x))
在矩形 [ a, b ]×[ 0, 1 ] 上连续，由定理 19.1得
)
及其对
t
在[0,1][0,1]上连续,
于是由定理19.3
I(t)
1
x
0 (1 x2 )(1 t x) d x
1
1t2
1
0
x 1 x2

t 1 x2

t 1 t x
d x
1
1t2
1
0
x 1 x2
t 1 x2
t 1 t x
d x

1
1 t
d
I( x x) I( x) c | f ( x x, y) f ( x, y) | d y
这说明 I( x)在[a,b] 连续
同理可证, 若 f ( x, y)在矩形域 R [a,b][c,d]上连 续, 则含参变量的积分
b
J ( y) a f ( x, y)d x
| I( x x) I( x) d f ( x, y)d y |
x
c x
证: 对任意的 x, x x [a,b]
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)
x
c
dy x
由拉格朗日中值定理，存在 (0,1) 使得