有限单元法参考答案

有限单元试题参考答案
一、问答题（50分）
1.（5分）有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？ 1）选择适当的单元类型将弹性体离散化 2）建立单元体的位移插值函数 3）推导单元刚度矩阵
4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵 5）代入边界条件和求解
2.（5分）有限元法在单元划分的时候应注意哪些问题？
1）集中载荷的作用点、分布载荷的突变点和约束的支撑点都应取为结点
2）在应力变化激烈的区域，单元划分得细一些，其它应力平缓的区域划分得粗一些
3）为了避免在计算中产生过大的误差，单元的长细比最好不要大于2
3.（5分）有限元法中建立位移函数一般有广义坐标法和插值函数法，我们经常用插值函数的哪些性质来直接建立位移函数？ 1）形函数与位移插值函数是相同次数的多项式
2）形函数N i 在结点i 处等于1，在其它结点上的值等于0 3）在单元任意一点，三个形函数之和为1
4.（10分）在有限元法中，单元刚度矩阵和整体刚度矩阵具有哪些性质？
1）单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题每列元素之和为零
2）单元刚度矩阵对角线元素总为正 3）单元刚度矩阵为对称矩阵 4）单元刚度矩阵为奇异矩阵
整体刚度矩阵前三条性质和单元刚度矩阵一样。

另外： 1） 整体刚度矩阵为奇异矩阵，排除刚体位移后为正定矩阵 2）整体刚度矩阵是带状矩阵
5.（5分）什么是等参数单元？它与三角形单元和矩形单元相比有哪些优势？ 1）在建立局部坐标系下的形状规则的标准单元与整体坐标系下形状复杂的实际单元之间的变换时，如果坐标变换函数中的形函数及插值结点与描述单元位移函数的形函数及插值结点完全相同，则这种变换我们成为等参数变换，当中的实际单元单元称为等参数单元。

（其它描述意思一样也可）
2）三角形单元和矩形单元不能适应复杂的曲线边界，等参数单元可以。

6.（10分）平面三角形单元与轴对称问题的三角形截面单元的不同之处在哪里？轴对称问题三角形截面单元刚度方程的推导当中，为了简化计算和消除在对称轴上r=0引起的麻烦，可怎样处理？
1）平面三角形单元的三个应力分量xy y x
τσσ和三个应变分量
xy y γεεx 都为常量，是常应变单元也是常应力单元。

轴对称问题的三角形截面单元有四个应变分量rz z r γεεεθ，四个应力分量
rz z r τσσσθ，其中rz z r γεεrz τ是常量，θεz r σσσθ是坐标r 、z
的函数。

不同于平面三角形单元的常应变特性和常应力特性。

2）把单元中随点变化的r,z ，近似的视为常数，用单元截面形心处的r,z ，来近似表示，这样将各个单元近似的当成常应变单元。

7.（10分）在薄板弯曲理论中做了哪些假设？如何用中面位移确定板内任一点的位移？
假设：1）变形前后板的厚度不变，即εZ=0。

2）变形前的中面法线在变形后仍为弹性曲面的法线，即γzx=0,γzy=0 3）薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移。

(u)z=0 =(v)z=0 =0
4）板内各水平层间互不挤压，即бz=0
薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度ω来表示，而薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题，只要中面挠度ω确定，任何点的位移都可确定。

薄板内不等于零的应变分量有如下三个： εx =∂u ∂x
=−z
∂2ω∂x
2 εy =
∂v ∂y
=−z
∂2ω∂y
2 γxy =
∂u ∂y
+∂v ∂x
=−2z
∂2ω∂x ∂y
二.分析题（20分）
1.（10分）对于四节点矩形单元我们通常建立如下位移函数，请分析此位移函数下单元的完备性和协调性。

⎩⎨
⎧+++=+++=xy
y x v xy
y x u 87654321αααααααα 这个位移函数是x ，y 的双线性函数，其中α1、α2、α3，和α5、α6、α7反映了刚体位移和常应变，所以这种单元是完备单元。

另外，在相邻单元的公共边界χ=±α和Y=±b 上，位移函数按线性变化，而相邻单元的边界的各点有相同的位移，这就保证了相邻单元的协调性，因此这种单元也是协调单元。

2.（10分）有限元法在拼装整体刚度矩阵时可用扩充单元刚度方程法和对号入座法。

整体刚度矩阵中非零元素集中分布在主对角元素两侧，呈带状分布，其集中程度与节点编号有关。

如下图所示平面问题的两种结点编号方式，第一种编号方式对应的整体刚度矩阵非零元素的分布已在左边矩阵中标出，请将第二种编号方式非零元素的分布在右边的矩阵中中标出（可用对号入座法）。

并分析哪种编号方式更好。

注：半带宽B=（相关节点编号最大差值+1）×（每个结点的自由度）
第一种编号方式：B=（2+1）×2=6 第一种编号方式：B=（4+1）×2=10
为了节省计算机存储空间和计算时间，应该使半带宽尽量小，所以第一种编号方式好。

①
②
③
④
⑤
⑥⑥
⑤
④
③
②①
三．计算题（30）
1.（20分）图1所示为一个平面应力状态的直角三角形单元，弹性模量为E ，泊松比μ＝0，厚度为t ，试求： （1）形函数矩阵[]N （2）应变矩阵[]B （3）单元刚度矩阵[]e
k
注：
1.平面应力状态下
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--=210001011[D]2
μμμμE 2. ()()()[]())
,,(21
21m j i y c x b a y x x x y y y x y x A i i i j m m j j m m j i ++=-+-+-=
解：
（1）[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=y -χ00χ00y
-χ00χ12
a y a y a N （2）
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=1101101010000100011000000212a
b c b c b c c c c b b b A
m m
j
j
i
i m j i m j i
B （3）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=312-1-1-01301-1-2-2-020001-1-01101-1-011002-00024Et k e
答题时需写出必要的推导过程
2．（10分）图2所示的四节点矩形单元，求出节点3的位移。

设厚度t ＝1m ，μ＝0，E 为常量。

注：对于四节点矩形单元有：
1. ()()()()()()()()⎪
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
⎪
⎪⎬⎫+-=++=-+=--=
ηξηξηξηξ1141
114
1
1141
114
1
4321N N N N →)4,3,2,1()
1)(1(41=++=i N i i i ηηξξ
2. [][][][]e
T A
e k k k k k k k k k k k k k k k k y x t B D B k ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=
=⎰⎰4443
42
41343332
3124232221141312
11d d ， [][][][][][][]()
()()()())4,3,2,1,( 3111311a 212123111311218d d d d 21
11
1
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
==⎰⎰⎰⎰--j i b a b b a a b Et B D B abt y x t B D B k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j
T
i
j
T
A
i
ij
ηηξξμξξηηηξμξμηηξμξμηξξηημηηξξμη
ξ
解：[]{}{}e
e
e
R k =δ，代入边界条件μ1＝ν1＝μ2＝ν2＝μ4＝ν4＝0，将对应的行和列划
掉没剩下的方程为：
[]⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧P P k --νμ3333， 又)4,3,2,1()1)(1(4
1
=++=i N i i i ηηξξ，且1133==ηξ，，a=1,b=1
所以
[]
411483113112113113112833⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=E E k 所以
[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧P P k --νμ3333→⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡P P E --νμ4114833 解得⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1158-νμ33E P。