11 _一道题的错解分析与一类题的解法规律_的再解析

烄１２ｍ２ ＋ １２ｍ－２＝ｎ 故有烅烆１２ｎ２＋１２ｎ－２＝ｍ 注 意 到 ｍ ≠ｎ，两 式 相 减 后除以 ｍ－ｎ 得 ｍ ＋ｎ＋３＝０，代 入 方 程 组 后 知
ｍ、ｎ 为方程
ｘ２＋ｘ－４＝２（－ｘ－３）即 ｘ２＋３ｘ＋２＝０ 的
两根ｘ１＝－２，ｘ２＝－１，故 ｍ＝ －２，ｎ＝ －１，满 足
ｍ＜ｎ≤－１２．故得本题第四解 Ｍ＝［－２，－１］，又
槡２２ａ，当
ｄ
＝ｃ（θ＝
π ２
）时 ，
Ａ′Ｂ′ ｍａｘ＝２ 槡ａ２－ｃ２；
（２） 若
ｃ＞
槡２
２
ａ，
当
ｄ ＝
槡２
２
ａ
（θ ＝
ａｒｃｔａｎ ａ 或θ＝π－ａｒｃｔａｎ ａ ）时，
槡２ｃ２－ａ２
槡２ｃ２－ａ２
Ａ′Ｂ′ ｍａｘ＝ａｃ２ ．
证明 如图１，过点Ｏ 作直线ｌ的垂线，垂足为 Ｍ，连结ＯＢ，设 ＯＭ ＝ｄ，直线ｌ的倾斜角为θ．则易
Ｍ ＝ ［－１８７，＋ ∞ ）为 本 题 一 解 ．
由烅烄ｙ＝ １２ｘ２ ＋ １２ｘ－２ｘ２ －ｘ－４＝０， 烆ｙ＝ｘ
得ｘ１＝１－２槡１７，ｘ２＝１＋２槡１７，函 数 ｆ（ｘ）的
图象与直线ｙ＝ｘ 交于（ｘ１、ｘ１）、（ｘ２，ｘ２）两点．
图２
４０
数学通报 ２０１２年 第５１卷 第２期
０，ｎ＝１－２槡１７（舍），取ｎ＝１＋２槡１７＞
９，故得本题的 ８
［ ］ 第 六 解 Ｍ ＝ －１８７，１＋２槡１７ ， 又 ｆ（ｘ） 在
（ ］ ［ ） －１２，１＋２槡１７ 递增，可知 Ｍ＝ －１８７，１＋２槡１７ 为
本题第七解．
（３）－
１ ２
≤ｍ
＜ｎ
时
，函
数
ｆ（ｘ）在
［ｍ，ｎ］递
增，故应在ｘ＝ｍ 取得最 小值ｆ（ｍ）＝ｍ，在 ｘ＝ｎ 取 得 最 大 值ｆ（ｎ）＝ｎ，故 有
图１
ห้องสมุดไป่ตู้
烄ｍ＜ｎ≤ｒ ①若 ｍ、ｎ 满 足烅ｆ（ｍ）＝ｎ，则 Ｍ ＝ ［ｍ，ｎ］或 Ｍ ＝
烆ｆ（ｎ）＝ｍ
（ｍ，ｎ）也 是 问 题 的 解 ．
｛ ②若 ｍ１、ｎ１
满足
ｍ１＜ｒ＜ｎ１≤２ｒ－ｈ ｆ（ｈ）＝ｎ１
则 Ｍ＝［ｈ，ｎ１］也是问题的解．
③若 ｍ２，ｎ２ 满足
｛ｍ２＜ｒ＜２ｒ－ｈ＜ｎ２则
ｆ（ｎ２）＝ｎ２
过这一区间），这同样是对题目理解上的偏 差 和 对
直观图象的过份相信而产生的错觉． 下 面 ，我 们 给 出 此 类 问 题 的 一 般 问 题 解 之 ． 设二次 函 数 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），记
－２ｂａ＝ｒ，４ａｃ４ａ－ｂ２ ＝ｈ，方 程 ｆ（ｘ）＝ｘ 的 判 别 式 △＝（ｂ－１）２－４ａｃ，则ｆ（ｘ）的 定 义 域 与 值 域 都 是 区间 Ｍ 的求解结果应是：
［ ］ ［ ） －１８７，１＋２槡１７ 或 Ｍ＝ －１８７，１＋２槡１７ ．
原解答的错 因，除 文 ［１］、［２］所 刊 三 条 外，再 就是：误认为 Ｍ 必 是 区 间，并 且 只 能 是 闭 区 间 或 一端无界的半 开 半 闭 区 间，而 这 个 一 端 无 界 的 半
开半闭区间又 必 须 在 对 称 轴 右 边 （对 称 轴 不 能 穿
烄１２ｍ２ ＋ １２ｍ－２＝ｍ 得
烆１２ｎ２ ＋ １２ｎ－２＝ｎ
ｍ
＝１－２槡１７＜
－
１ ２
与 ｍ≥－１２矛盾．
［ ） 综上，我们得本题的七个解：Ｍ＝ －１８７，＋∞ ，
［ ） （ ） 或 Ｍ＝ １＋２槡１７，＋∞ 或 Ｍ＝ １＋２槡１７，＋∞ ，或
Ｍ＝ ［－２，－１］，或 Ｍ ＝ （－２，－１），或 Ｍ ＝
Ｍ
＝ ［ｈ，ｎ２ ］或
Ｍ＝
［ｈ，ｎ２）也 是 问 题 的 解 ．
烄ｒ≤ｍ３＜ｎ３ ④ 若 ｍ３，ｎ３ 满 足烅ｆ（ｍ３）＝ｍ３ 则 Ｍ ＝ ［ｍ３，
烆ｆ（ｎ３）＝ｎ３ ｎ３］或 Ｍ＝ （ｍ３，ｎ３）或 Ｍ ＝ （ｍ３，ｎ３］或 Ｍ ＝ ［ｍ３， ｎ３）也 是 问 题 的 解 ．
请 读 者 仿 上 给 出 ａ＜０ 时 解 的 情 况 ．
引理１ 已 知 圆 Ｏ：ｘ２ ＋ｙ２ ＝ａ２，定 点 Ｃ（ｃ， ０），过点 Ｃ 的 直 线ｌ 的 倾 斜 角 为θ，直 线ｌ与 圆Ｏ 相交于点Ａ、Ｂ，弦 ＡＢ 在ｙ 轴上的射 影 为Ａ′、Ｂ′，
则 Ａ′Ｂ′ ＝２ｄ 槡ａｃ２－ｄ２ （其 中 ｄ 为 圆 心 Ｏ 到 直
线ｌ 的距离）．
（１）若
０≤ｃ≤
间解：如 Ｍ ＝ ｛－１｝∪ ［４，＋ ∞ ）或 Ｍ ＝ ｛－１｝∪ （４，＋ ∞），都 是 原 题 的 解．同 样，反 例 也 不 是 只 有 三 解 ，而 有 更 多 的 解 ．
两文对反例未 作 解 答，我 们 现 对 其 稍 作 修 改
（设定 Ｍ 为区间）后再行解答如下：
变题 已知函数ｆ（ｘ）＝ １２ｘ２＋ １２ｘ－２ 的 定
义域与值域都是某个区间 Ｍ，求 Ｍ．
（ ） 解 ｆ（ｘ）＝
１ ２
ｘ＋
１ ２
２－１８７≥ －１８７，在 ｘ＝
－
１ ２
取等
号 ．因
此
，函
数
的
图
象
开
口
向
上 ，对
称
轴
（ ） ｘ＝
－
１ ，顶 ２
点
－１２，－１８７ ．对 称 轴 从 区 间
［－１８７，＋∞）内穿过 ｘ 轴．因此，ｆ（ｘ）的定义域为
［－１８７，＋∞）时，其 值 域 也 是［－１８７，＋ ∞）．因 此，
如 图 ２，因 －
１ ２
∈ （ｘ１，ｘ２ ），易 知
Ｍ＝
［１＋２槡１７，＋ ∞ ）为 本 题 第 二 解，从 而 知 Ｍ ＝
（ ） １＋２槡１７，＋∞ 为本题第三解．
现设 Ｍ＝［ｍ，ｎ］（ｍ＜ｎ），则
（１）ｍ＜ｎ≤ －
１ ２
时
，函
数
ｆ（ｘ）在
区
间
［ｍ，ｎ］
内递减，若 这 样 的 区 间 Ｍ 存 在，则 ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｍ 取最大值ｆ（ｍ）＝ｎ，在ｘ＝ｎ 取最小值ｆ（ｎ）＝ｍ，
ｆ（ｘ）在［－２，－１］递 减，故 又 得 本 题 第 五 解：Ｍ ＝ （－２，－１）．
（２）当 ｍ＜－１２＜ｎ 时，函数ｆ（ｘ）在区间［ｍ，
（ ） ｎ］上 取 最 小 值 ｆ －１２ ＝ －１８７，又 对 称 轴 ｘ＝
（ ） （ ） －１２，故ｆ
－１８７
＝ｆ
９ ８
．
当
－ １２
＜ｎ≤
９ ８
时
，由
图
２
可
知
ｆ（ｘ）在
区
间
［ （ ）］ ［ｍ，ｎ］的 值 域 为 －１８７，ｆ －１８７ ，故 ｎ ＝
（ ） （ ） ｆ
－１８７
＝
１ ２
－１８７＋
１ ２
２
－１８７＝
－１１０２３８＜
－
１ ２
与 ｎ＞ － １２ 矛 盾 ．
当ｎ＞９８时，由图２知ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上的值域为
［ ］ －１８７，ｆ（ｎ） ，故ｎ＝１２ｎ２＋１２ｎ－２，得ｎ２－ｎ－４＝
图１
由图１可知，所求的 Ｍ＝［４，＋∞）． 文［１］、［２］认 为，上 述 解 答 的 结 果 是 正 确 的， 但解题过程是错误的．两文先分析了错因，再给 出 了 “通 解 ”（分 类 讨 论 ），得 到 同 原 解 同 样 的 结 果 ．接 着 给 出 一 个 反 例 ，说 按 原 解 法 只 能 得 到 一 解 ，而 按 “通解”则反例有三解，两文最后给出ｆ（ｘ）为一 般 一次函数时的解题规律． 我们基本上认 同 两 文 的 观 点，但 认 为 两 文 的 分 析 仍 然 有 误 ．原 题 原 解 答 不 仅 过 程 不 完 善 ，而 且 解答结果也是不完备的． 如 图 １，函 数 ｆ（ｘ）的 图 象 开 口 向 上 ，对 称 轴 ｘ ＝１，顶点（１，－５），当 ｘ∈Ｒ 时，ｆ（ｘ）∈ ［－５，＋ ∞）．由于－５＜１．知 对 称 轴 从 区 间 ［－５，＋ ∞）内 穿过ｘ 轴．故当ｆ（ｘ）的 定 义 域 为 ［－５，＋ ∞）时， 函数ｆ（ｘ）的值域仍是［－５，∞）．因此，Ｍ ＝［－５， ＋∞）为其一解．而原解 答 并 无 此 解，另 外，由 图 １ 知，Ｍ＝［４，＋∞）为其解，那么 Ｍ＝（４，＋∞）也应 为其解．还有，原题并未设定 Ｍ 为区间，还有非区
（１）ａ＞０ 且 △ ＜０ 时 ，问 题 无 解 ． （２）ａ＞０且 △ ＝０ 时，方 程 ｆ（ｘ）＝ｘ 有 重 根 ｘ０，则 Ｍ＝［ｘ０，＋∞）或 Ｍ ＝（ｘ０，＋ ∞）为 问 题 的 二解． （３）ａ＞０且 △ ＞０ 时，方 程 ｆ（ｘ）＝ｘ 有 相 异 二实根ｘ１、ｘ２ 设ｘ１＜ｘ２，则 ｒ≤ｘ１＜ｘ２ 时，Ｍ ＝［ｘ１，ｘ２］或 Ｍ ＝ （ｘ１，ｘ２）． 或 Ｍ ＝ ［ｘ１，ｘ２）或 Ｍ ＝ （ｘ１，ｘ２］或 Ｍ ＝ ［ｘ１，＋ ∞），或 Ｍ ＝ （ｘ１，＋ ∞）或 Ｍ ＝ ［ｘ２，＋ ∞）或 Ｍ ＝ （ｘ２ ，＋ ∞ ）均 为 问 题 的 解 ． ｘ１＜ｒ＜ｘ２ 时，除 必 有 Ｍ ＝ ［ｈ，＋ ∞）或 Ｍ ＝ ［ｘ２，＋∞）或 Ｍ＝（ｘ２，＋∞）为问题的解之外，
参考文献 １ 董振海，陈先竹，曹 军．—道 题 的 错 解 分 析 与 一 类 题 的 解 法 规
律 ，数 学 通 报 ，２００２，４：２８ ２ 曹 军 ．分 析 错 解 原 因 ，探 求 解 法 规 律 ．中 学 数 学 ，２００１，４：２０
２０１２年 第５１卷 第２期 数学通报
３９
“一道题的错解分析与一类题的解法规律” 的再解析
汤先键 汤敬鹏
（甘 肃 省 兰 州 市 ５７ 中 ７３００７０）
题目 已知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｘ２ －２ｘ－４ 的 定 义 域与值域都是 Ｍ，求 Ｍ．