二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理知识点及11种答题技巧【知识点及公式】1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理解题技巧
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理各种题型解题技巧知识讲解
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
二项式定理常见题型
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。
用丁i =C；a n」b r表示。
3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。
(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。
二项式定理的高考常见题型及解题对策
题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项1． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r rr r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，2．基本概念：①二项式展幵式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展幵式。
②二项式系数: 展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展幵式中的第r 1项C：a nr b r叫做二项式展幵式的通项。
用T r 1 C n r a n r b r表示。
3．注意关键点：①项数：展幵式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn.C , .C n', ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n Cn C：x CnX2 L c；x r L C；x n(n N )令a 1,b x, (1 x)n C O C：X C'x2 L C；x r L ( 1)n C；x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为变形式 c n C ； L c n L C ：2③奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令a 1,b1 ,④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n式系数c 2取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式n 1 n 1系数cF , C 王同时取得最大值⑥系数的最大项： C (a bx)n 展幵式中最大的项，般米用待定系数法。
设展幵式中各项系数分别从而解出r 来6.二项式定理的^一种考题的解法: 题型一：二项式定理的逆用； 例：c n Cn 6 c 3 62 L Cn 6n 1Cn ,-• C n kCnc 0 c n C ： L c n LC ： 2n ,c 0 c n c ；c n 3 L ( 1)n C n n (1 1) 从而得到：c 0 c 2 c 4 c'rc n CnLc ；r 112n 2n1⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时, 则中间一项的二项为AA, ,A n1，设第r 1项系数最大，应有A 1 A r 1A r A r解：（1 6）n C0c n 6 C；62C；63L C：6n与已知的有一些差距,练: C n 3C2 9C3 L 3n 1C n .设S n C n 3C： 9C3 L 3n 1C：，贝y解:3S n C：3 C232C；33L C；3n C0 C：3 C^2C；33 L C：3n 1 (1 3)n 1(1 3)n 1 4n 1S n3 3题型二：利用通项公式求x n的系数；例：在二项式（4 3F）n的展幵式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知C：2 45，即C；45，n；n 90 0，解得n 9（舍去）或n 10，由1 2 10 r 2rT r i G0（x 刁）10 r（x；）r，由题意-r 3,解得r 6，4 3贝y含有X3的项是第7项T6 1 C10X3 210x3,系数为210。
二项式定理各种题型解题技巧
，由题意 ，
则含有 的项是第 项 ,系数为 。
练：求 展开式中 的系数
解： ，令 ,则
故 的系数为 。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 的展开式中的常数项
解： ，令 ，得 ，所以
练：求二项式 的展开式中的常数项
解： ，令 ，得 ，所以
练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解： 与已知的有一些差距，
练：
解：设 ，则
题型二：利用通项公式求 的系数；
例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数
解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 的系数最小， 系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项
解：由 解出 ,假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最大的项为 ,有
练：在 的展开式中系数最大的项是多少
练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少
解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。
练：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少
解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于
例：写出在 的展开式中，系数最大的项系数最小的项
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理
1．二项式定理：
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二项式定理知识点及11种答题技巧1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
【二项式定理的十一种考题的解法】题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L解：012233(16)6666n n nn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，123211221666(666)6n n nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222rr r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？ 解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n nn a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462nT C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2nx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+Q1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r rr T C x +=⋅Q111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。