《矩形中的折叠问题》专题练习
中考数学矩形的折叠中的距离或线段长度问题专题练习
中考数学矩形的折叠中的距离或线段长度问题专题练习【典例】在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A’处，折痕为PQ ，当点A’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动. 若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A’在BC 边上可移动的最大距离为.A D (Q )CB PA'5534 A DC B (P )A'Q 332图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A '的最左端和最右端位置.当点Q 与点D 重合时，A '的位置处于最左端，当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA '或CA '的长度，二者之差即为所求.①当点Q 与点D 重合时，A '的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'Q =AQ ，所以以点Q 为圆心，以AQ 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'QA 的角平分线，与AB 的交点即为点P .由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，'4A C ===②当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'PA 的角平分线，与AD 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
矩形的折叠问题(专题)
→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折 叠这个三角形，使C点与AB边上的 一点D重合。当∠A满足什么条件时， 点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证 明D为AB中点。 条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ， 在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两 直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处， 折痕为EF。若CD=3，EF=4， 则AD¹ +BC¹ = 。
中考数学矩形的折叠与剪拼专题训练试题
矩形的折叠与剪拼专题训练1、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，那么AG 的长为〔 〕A ．1B ．34C ．23D ．22、如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔 〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3、形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔 〕．A 、3B 、2C 、3D 、324、四边形ABCD 是矩 ，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，那么DE :AC =A ′GDBCAA BCD图2A ．1:3B ．3:8C ．8:27D ．7:255、图5，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．假设65EFB ∠=°，那么1AED ∠等于_______度．6、，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为A ．15︒或者30︒B ．30︒或者45︒C ．45︒或者60︒D ．30︒或者60︒7、 方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,假设M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，那么A ′N =; 假设M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点〔2n ≥,且n 为整数〕，那么A ′N =〔用含有n 的式子表示〕CA BCDE AEDCFB D 1C 1 图58、，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.〔1〕试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.〔2〕假设AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.9、个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大间隔．．．．〔看守点到本区域内最远处的间隔〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间是，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大间隔相等．请答复：〔1〕牧童B 的划分方案中，牧童 ▲ 〔填A 、B 或者C 〕在有情况时所需走的最大间隔 较远；〔2〕牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕10、问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设13CE CD =，那么AM BN 的值等于 ；假设14CE CD =，那么AMBN 的值等于 ；假设1CE CD n =〔n 为整数〕，那么AMBN的值等于 ．〔用含n 的式子表示〕 联络拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，那么AMBN的值等方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 F图〔1〕A BCDEFMN，的式子表示〕于．〔用含m n11、以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：〔1〕现有5个形状、大小一样的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形〔画出一个符合条件的平行四边形即可〕；〔2〕如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小〔画图并直接写出结果〕.12、将正方形沿图中虚线〔其中x ＜y 〕剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形〔非正方形〕． 〔1〕画出拼成的矩形的简图；〔2〕求xy的值．13、正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能互相全等的四个三角形外，你还能用三种不同的．．．方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。
中考折叠类问题练习题含答案
中考折叠类问题练习题含答案一、填空题（共10小题；共50分）1. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与Cʹ重合．若AB=3，则CʹD的长为．2. 如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55∘，∠DAF的度数．3. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=6cm，把△ABC沿对角线AC折叠，得到△ABʹC，且BʹC与AD相交于点E，则AE的长为cm．4. 如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为．5. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为．6. 如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为．7. 折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=6cm，BC=10cm，折痕AE的长．8. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6，AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为．9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．10. 如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为．答案第一部分1. 32. 20∘3. 1034. 2√3【解析】由题意可知，BC=AO=OC，EO⊥AC，∴∠EAC=∠ECA=∠BCE=30∘，∵BC=3，∴CE=2√3．5. 4.8【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90∘，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90∘，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，{∠D=∠E,OD=OE,∠DOP=∠EOG,∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP．设AP=EP=x，则PD=GE=6−x，DG=x，∴CG=8−x，BG=8−(6−x)=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+(8−x)2=(x+2)2，解得：x=4.8．∴AP=4.8．6. 3√37. 103√10cm【解析】提示：AB=6，AF=10，BF=8，FC=2．设EF=DE=x，EC=6−x．∵EF2=EC2+FC2，∴EF=10．3∵AE2=AF2+EF2，√10．∴AE=1038. 89. 53【解析】设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90∘．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD−CE=3−x．在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2=52−32=16，∴AF=4，DF=5−4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得EF2=DE2+DF2，即x2=(3−x)2+12，，解得：x=53故答案为5．310. 3。
专题36 矩形与折叠问题(解析版)
专题36 矩形与折叠问题一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CB 1的长为（ ）A ．cmB ．C ．8cmD ．10cm【答案】B【分析】 根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB 1为正方形，得到BE ＝AB ，根据EC ＝BC ﹣BE 计算得到EC ，再根据勾股定理可求答案．【详解】解：∵∵AB 1E ＝∵B ＝90°，∵BAB 1＝90°，∵四边形ABEB 1为矩形，又∵AB ＝AB 1，∵四边形ABEB 1为正方形，∵BE ＝AB ＝6cm ，∵EC ＝BC ﹣BE ＝2cm ，∵CB 1cm ．故选B ．【点睛】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，9AD =，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE ∆的面积为（ ）A．12B．10C．8D．6【答案】D【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角∵ABE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，∵BE＝ED．∵AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝9．∵BE＝9−AE，根据勾股定理可知AB2∵AE2∵ BE2，32∵AE2∵∵9-AE∵2∵解得AE＝4．∵∵ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：D．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将∵ABE沿AE所在的直线折叠得到∵AFE，延长AF交CD 于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接EG ，由折叠的性质可得BE ＝EF 又由E 是BC 边的中点，可得EF ＝EC ，然后证得Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），得出FG ＝CG ＝2，继而求得线段AG 的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．【详解】解：连接EG ，∵E 是BC 的中点，∵BE ＝EC ，∵∵ABE 沿AE 折叠后得到∵AFE ，∵BE ＝EF ，∵EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∵∵C ＝90°，∵∵EFG ＝∵B ＝90°，∵在Rt∵EGF 和Rt∵EGC 中，EF EC EG EG=⎧⎨=⎩， ∵Rt∵EGF ∵Rt∵EGC （HL ），∵FG ＝CG ＝2，∵在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝CG +DG ＝2+1＝3，∵AF ＝AB ＝3，∵AG ＝AF +FG ＝3+2＝5，∵BC ＝AD ＝．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键．4．在矩形纸片ABCD 中，AB =6，AD =10．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm【答案】C【分析】 根据翻折的性质，可得BA ′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A ′C ，根据勾股定理，可得A ′C ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵当P 与B 重合时，BA ′=BA =6，CA ′=BC ﹣BA ′=10﹣6=4cm ，∵当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA cm ，CA ′最远是8，CA ′最近是4，点A ′在BC 边上可移动的最大距离为8﹣4=4cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．5．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后得到1∠，再把纸片铺平，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．130°D ．115°【答案】D【分析】 点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，结合∵1的度数即可求出∵EFB 的度数，利用矩形的性质AD∵BC 即可求出结果．【详解】点B 折叠后的点为G ，根据折叠的性质，可得∵GFE=∵BFE ，∵∵1=50°，∵∵BFE=（180°-50°）÷2=65°，∵ABCD 是矩形，∵AD∵BC ，∵∵DEF=∵BFE=65°，∵∵AEF=180°-65°=115°，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，将矩形沿BD 折叠，点A 落在点E 处，DE 与BC 交于点F ，则重叠部分BDF ∆的面积是( )A ．20B ．16C ．12D ．10【答案】D【分析】 根据折叠的性质可得∵ADB=∵EDB,由平行可得∵ADB=∵CBD,推出∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,在Rt∵DCF 中根据勾股定理列出方程求出x ,再根据面积公式求出∵BDF 的面积即可．【详解】∵AD∵BC,∵∵ADB=∵CBD,∵∵BDE 是∵BDA 折叠后的图形,∵∵ADB=∵EDB,∵∵CBD=∵EDB,设BF 为x ,则DF 为x ,CF 为8－x ,在Rt∵DCF 中,()22284x x -+=解得:x =5．∵S ∵BDF =154102⨯⨯=． 故选D ．【点睛】本题考查折叠中矩形的性质,关键在于利用勾股定理列出方程求解．7．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD 折叠，使点C 落到点C '的位置，若BC '平分ABD ∠，则DBC ∠的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】 根据折叠的性质，得到DBC DBC'∠=∠，再根据角平分线的性质得到''ABC DBC ∠=∠ ,得到∵ABC 被平均分成了3份，求出解决即可.【详解】解：∵把一张长方形纸片ABCD 沿BD 折叠∵DBC DBC'∠=∠∵BC '平分ABD ∠∵''ABC DBC ∠=∠∵DBC ∠=13∵ABC=30° 故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质以及角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠与角平分线的性质，找到相等的角.8．将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∵CED'=70°，则∵EAB 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°【答案】D【分析】首先根据折叠的性质得出∵DEA=∵D′EA=55°，然后由余角的性质得出∵DEA=∵EAD′=35°，进而得出∵D′AB=20°，最后即可得出∵EAB.【详解】根据折叠的性质，∵CED'=70°，得 ∵DEA=∵D′EA=18070552︒-︒=︒ ∵∵ADE=∵AD′E=90°∵∵DAE=∵EAD′=90°-55°=35°∵∵D′AB=90°-∵DAE -∵EAD′=90°-35°-35°=20°∵∵EAB=∵EAD′+∵D′AB=35°+20°=55°故答案为D.【点睛】此题主要考查折叠的性质以及余角的性质，熟练掌握，即可解题.9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，其中15AB cm =，10AD cm =.将纸片沿EF 折叠，//EF AD ，若9AE cm =，折叠后重叠部分的面积为（ ）A ．230cmB ．260cmC ．250cmD ．290cm【答案】B【解析】【分析】 根据折叠的性质，可知折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，即可得解.【详解】根据题意，得折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD 的面积减去长方形AEFD 的面积，∵10AD cm =，9AE cm =，//EF AD∵2=151091060ABCD AEFD S S S AB AD AE AD cm -=-=⨯-⨯=阴影长方形长方形故答案为B.【点睛】此题主要考查折叠的性质和长方形的面积求解，熟练掌握，即可解题.10．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B C D．6【答案】A【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵∵CEO是∵CEB翻折而成，∵BC=OC，BE=OE，∵B=∵COE=90°，∵EO∵AC，∵O是矩形ABCD的中心，∵OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∵AE=CE，在Rt∵ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=33，在Rt∵AOE中，设OE=x，则AE=33-x，AE2=AO2+OE2，即（33-x）2=32+x2，解得x=3，∵AE=EC=33-3=23．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键．11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果∵BAF =60°，则∵DAE 的大小为（ ）A ．10°B ．15 °C ．20 °D ．25°【答案】B【分析】 由题意可知90BAD ∠=︒，12FAE DAE DAF ∠=∠=∠．再由DAF BAD BAF ∠=∠-∠，即可求出DAE ∠的大小．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∵90BAD ∠=︒，∵FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∵12FAE DAE DAF ∠=∠=∠， ∵906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∵130152DAE ∠=⨯︒=︒． 故选：B ．【点睛】 本题考查矩形的折叠问题，根据折叠的性质推出12FAE DAE DAF ∠=∠=∠是解答本题的关键． 12．如图，长方形ABCD 中，点O 是AC 的中点，E 是AB 边上的点，把∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，则图中全等的三角形有（ ）对．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 由长方形的性质利用“SSS ”即可证明ADC CBA ≅，再由折叠的性质可知∵BCE ∵∵OCE ，即可得出结论90EOC EBC ∠=∠=︒，从而推出90EOA EOC ∠=∠=︒，最后由O 点为AC 中点，利用“ASA ”即可证明OCE OAE ≅，最后又可推出∵OAE ∵∵BCE ，即可选择．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∵在ADC 和CBA △中AD CB CD AB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵()ADC CBA SSS ≅；∵∵BCE 沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，∵∵BCE ∵∵OCE ；∵O 点为AC 中点，∵AO =CO ．∵∵BCE ∵∵OCE ，∵90EOC EBC ∠=∠=︒，∵在∵OCE 和∵OAE 中，90AO CO EOA EOC OE OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵()OCE OAE ASA ≅；∵∵BCE ∵∵OCE ，OCE OAE ≅，∵∵OAE ∵∵BCE综上，图中全等三角形有4对．故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质以及全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键． 13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】 根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1，∵A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键．14．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．20【答案】C【分析】 由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】 解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若∵EDF 是等腰三角形，则∵BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º【答案】C【分析】 由翻折可知：∵BDF∵∵BCD ，所以∵EBD=∵CBD ，∵E=∵C=90°，由于∵EDF 是等腰三角形，易证∵ABF=45°，所以∵CBD=12∵CBE=22.5°，从而可求出∵BDC=67.5°． 【详解】解：由翻折的性质得，∵DBC=∵EBD ，∵矩形的对边AD∵BC ，∵E=∵C=90°，∵∵DBC=∵ADB ，∵∵EBD=∵ADB ，∵∵EDF 是等腰三角形，∵E=90°，∵∵EDF 是等腰直角三角形，∵∵DFE=45°，∵∵EBD+∵ADB=∵DFE ， ∵∵DBF=12∵DFE=22.5°， ∵∵CBD =22.5°，∵∵BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 16．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C．2D【答案】D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∵BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∵DA′G＝∵A＝90°，∵∵BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt∵A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∵x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∵AG＝32，∵在Rt∵ADG中，DG=故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．如图，在矩形纸片ABCD中，BC a=，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）A ．12aB ．25aC ．2aD ．3a 【答案】D【分析】首先证明∵OBC 是等边三角形，在Rt∵EBC 中求出CE 即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵OB=OC ，∵BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO ，∵BC=OB=OC ，∵∵OBC 是等边三角形，∵∵OBC=60°，∵∵EBC=∵EBO=30°，∵BE=2CE根据勾股定理得：EC=3a ， 故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵OBC 是等边三角形． 18．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A【分析】 根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可．【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒，180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型，42AHG AEG ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键．19．如图，已知长方形ABCD ，将∵DBC 沿BD 折叠得到∵DBC′，BC′与AD 交于点E ，若长方形的周长为20cm ，则∵ABE 的周长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】 根据现有条件推出∵EDB=∵EBD ，得出BE=DE ，可知∵ABE 的周长=AB+AD ，是长方形的周长的一半，即可得出答案．【详解】由折叠可知：∵CBD=∵C′BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵AD∵BC，∵∵ADB=∵CBD，∵∵ADB=∵C′BD，∵∵EDB=∵EBD，∵BE=DE，∵∵ABE的周长=AB+AD，∵长方形的周长为20cm，∵2（AB+AD）=20cm,∵AB+AD=10cm,∵∵ABE的周长为10cm，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，推出BE=DE是解题关键．20．如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，若∵ADE = 30°，EH = 2，则BC的长度为（）A．8B．7C．6.5D．6【答案】D【分析】由折叠的性质可得∵E＝∵C＝∵A=90°，再证明∵ABH∵∵EDH，得到AB的长，再求出∵DBC=30°，在Rt∵BCD 中即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵C＝90°，∵将一块长方形纸片ABCD 沿BD 翻折后，∵∵E ＝∵C ＝∵A=90°，又∵AHB=∵EHD ，AB=ED∵∵ABH∵∵EDH∵∵ABH=∵ADE = 30°，AH=EH = 2∵BH=2AH=4∵CD=AB= =∵∵ABH= 30°，∵∵HBC=60°∵翻折，∵∵DBC=30°6=故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，含30°的直角三角形的性质，求出AB 的长是本题的关键． 21．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：∵把ABF 翻折，点B 落在C 边上的点E 处，折痕为AF ，点F 在BC 边上；∵把ADH 翻折，点D 落在AE 边上的点G 处，折痕为AH ，点H 在CD 边上，若610AD CD ==，，则EH EF=（ ）A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】A【分析】利用翻折不变性可得10AE AB ==，推出8DE =，2EC =，设BF EF x ==，在Rt EFC △中，2222(6)x x =+-，可得103x =，设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，可得3y =，由此即可解决问题．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，10AB CD ==，6AD BC ==，由翻折不变性可知：10AB AE ==，6AD AG ==，BF EF =，DH HG =，4EG ∴=，在Rt ADE △中，8DE ==，1082EC ∴=-=，设BF EF x ==，在Rt EFC △中有：2222(6)x x =+-，103x ∴=， 设DH GH y ==，在Rt EGH △中，2224(8)y y +=-，3y ∴=，5EH ∴=， ∴531023EH EF ==，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′地位置，ED ′的延长线与BC 相交于点G ，若∵EFG =68°，则∵1的度数是（ ）A ．112°B ．136°C ．144°D ．158°【答案】B【分析】由AD//BC，∵EFG=68°，根据两直线平行，内错角相等，可求得∵DEF的度数，然后由折叠的性质，求得∵DEG 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD//BC，∵EFG=68°，∵∵DEF=∵EFG=68°，由折叠的性质可得：∵FEG=∵DEF=68°，∵∵DEG=∵DEF+∵FEG=136°，∵AD//BC，∵∵1=∵DEG=136°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．12B．53C．25D．13【答案】B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF 中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt∵ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∵AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt∵ABF中，BF4，∵CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，在Rt∵ECF中，CE2+FC2＝EF2，∵x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∵DE＝3﹣x＝53，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．24．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，已知2BC=，则线段EG的长度为（）A．1B C D．2【答案】B【分析】由折叠的性质可得AE=12AD=12BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ， ∵AE=12AD=12BC=1，EF∵AD ， ∵∵AEF=90°，∵再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处∵AG=AD=2，=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．25．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，若68AFE ∠=︒，则'∠C EB 等于（ ）A ．68︒B ．80︒C ．44︒D ．55︒【答案】C【分析】 根据矩形的性质可得AD//BC ，根据平行线的性质可得∵CEF =∵AFE ，根据折叠的性质可得∵CEF =∵C′EF ，根据平角的定义即可得答案．【详解】解：∵ABCD 是长方形，∵68AFE ∠=︒，∵∵CEF =∵AFE=68°，∵将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在点C '，D 处，∵∵CEF =∵C′EF =68°，∵'∠C EB =180°-∵CEF -∵C′EF=44°，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，翻折变换的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．26．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．∵ABE∵∵CDE【答案】B【分析】 由折叠的性质和平行线的性质可得∵ADB=∵CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证∵ABE∵∵CDE ，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，∵∵CBD=∵DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，∵∵EDB=∵DBC'，∵∵EDB=∵EBD ，故选项C 正确；∵BE=DE ，∵AD=BC ，∵AE=CE ，故选项A 正确；在∵ABE 和∵CDE 中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明12AE BE =， 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 27．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C【分析】 因为图形对折，所以首先∵CDB∵∵ABD ，由于四边形是长方形，进而可得∵ABE∵∵CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵∵BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∵CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∵∵CDB∵∵ABD （SSS ），∵∵CBD=∵ADB∵EB=ED∵CE=AE又AB=CD∵∵ABE∵∵CDE ，∵图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．28．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：∵ DF CF =；∵BF EN ⊥；∵BEN 是等边三角形；∵3BEF DEF S S =△△．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A ．∵∵∵B ．∵∵∵C ．∵∵∵D ．∵∵∵∵【答案】B【分析】 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF ＝FM ＝DF ，即可判断∵；易求得∵BFE ＝∵BFN ，则可得BF∵EN ，即可判断∵；易证得∵BEN 是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，即可判断∵；易求得BM ＝2EM ＝2DE ，即可得EB ＝3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断∵．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵∵D ＝∵BCD ＝90°，DF ＝MF ，由折叠的性质可得：∵EMF ＝∵D ＝90°，即FM∵BE ，CF∵BC ，∵BF 平分∵EBC ，∵CF ＝MF ，∵DF ＝CF ；故∵正确；∵∵BFM ＝90°−∵EBF ，∵BFC ＝90°−∵CBF ，∵∵BFM ＝∵BFC ，∵∵MFE ＝∵DFE ＝∵CFN ，∵∵BFE ＝∵BFN ，∵∵BFE ＋∵BFN ＝180°，∵∵BFE ＝90°，即BF∵EN ，故∵正确；∵在∵DEF 和∵CNF 中，90D FCN DF CFDFE CFN ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝ ∵∵DEF∵∵CNF （ASA ），∵EF ＝FN ，∵BF 垂直平分EN ，∵BE ＝BN ，假设∵BEN 是等边三角形，则∵EBN ＝60°，∵EBA ＝30°，则AE ＝12BE ， 又∵AE ＝12AD ，则AD ＝BC ＝BE ，而明显BE ＝BN ＞BC ，∵∵BEN 不是等边三角形；故∵错误；∵∵BFM ＝∵BFC ，BM∵FM ，BC∵CF ，∵BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM ，∵BE ＝3EM ，∵S ∵BEF ＝3S ∵EMF ＝3S ∵DEF ；故∵正确．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．29．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【分析】 由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10，AB=CD=6，∵∵B=∵BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt∵ABF 中，8BF ===，∵CF=BC -BF=10-8=2，在Rt∵EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，∵（6-x ）2=x 2+22， ∵x=83， ∵EC=83． 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．30．如图，已知长方形ABCD 中6cm AB =，10cm BC =，在边CD 上取一点E ，将ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，CE 的长是（ ）A ．3B ．2.5C ．83D ．2【答案】C【分析】 要求CE 的长，应先设CE 的长为x ，由将∵ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F 可得Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，所以AF=10cm ，EF=DE=6-x ；在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，已知AB 、AF 的长可求出BF 的长，又CF=BC -BF=10-BF ，在Rt∵ECF 中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即：（6-x ）2=x 2+（10-BF ）2，将求出的BF 的值代入该方程求出x 的值，即求出了CE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC=10cm ，CD=AB=6cm ，根据题意得：Rt∵ADE∵Rt∵AFE ，∵∵AFE=90°，AF=10cm ，EF=DE ，设CE=x cm ，则DE=EF=CD -CE=（6-x ）cm ，在Rt∵ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，即62+BF 2=102，∵BF=8cm ，∵CF=BC -BF=10-8=2（cm ），在Rt∵ECF 中，由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2，即（6-x ）2=x 2+22，∵36-12x +x 2=x 2+4，∵x =83，即CE=83cm ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．如图，将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点B '处，B C '交AD 于点E ，若125∠=︒，则2∠等于（ ）A ．25︒B ．30C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】 根据折叠的性质得到∵ACB '=125∠=︒，由长方形的性质得到AD∵BC ，即可得到∵2=∵BCB '=2∵1=50︒.【详解】由折叠可知：∵ACB '=125∠=︒，∵四边形ABCD 是长方形，∵AD∵BC ，∵∵2=∵BCB '=2∵1=50︒，故选：C.【点睛】此题考查折叠的性质，长方形的对边平行的性质，平行线的性质：两直线平行内错角相等.32．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E.若CBD 35∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）．A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30【答案】B【分析】 根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到ADB ∠和EDB ∠的度数，然后即可得到ADE ∠的度数．【详解】解：由折叠的性质可得，CDB EDB ∠∠=，AD //BC ，CBD 35∠=︒，CBD ADB 35∠∠∴==︒，C 90︒∠=，CDB 55∠∴=︒，EDB 55∠∴=︒，ADE EDB ADB 553520∠∠∠∴=-=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．33．如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10AD cm =，则折痕EF 的长为（ ）．A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．【详解】根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt∵ABF中，根据勾股定理得，BF=6∵CF=4在Rt∵CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故选D【点睛】本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．34．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若EFC'∠=︒，那么ABE122∠的度数为（）A．24︒B．32︒C．30D．26︒【答案】D【分析】由折叠的性质知：∵EBC′、∵BC′F都是直角，∵BEF=∵DEF，因此BE∵C′F，那么∵EFC′和∵BEF互补，这样可得出∵BEF 的度数，进而可求得∵AEB 的度数，则∵ABE 可在Rt∵ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∵BEF=∵DEF ，∵EBC′、∵BC′F 都是直角，∵BE∵C′F ，∵∵EFC′+∵BEF=180°，又∵∵EFC′=122°，∵∵BEF=∵DEF=58°，∵∵AEB=180°-∵BEF -∵DEF=64°，在Rt∵ABE 中，∵ABE=90°-∵AEB=26°．故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．35．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到','BC D C D ∆与AB 交于点E ，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒【答案】D【分析】 根据矩形的性质，可得∵ABD=40°，∵DBC=50°，根据折叠可得∵DBC'=∵DBC=50°，最后根据∵2=∵DBC'-∵DBA 进行计算即可．【详解】解：140,//CD AB ∠=︒，40,50ABD DBC ∴∠=︒∠=︒，由折叠可知'50DBC DBC ∠=∠=︒，2504010DBC ABD '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∵DBC′和∵DBA 的度数．36．如图，在长方形ABCD 中，将∵ABC 沿AC 对折至∵AEC 位置，CE 与AD 交于点F ，如果AB ＝2，BC ＝4，则AF 的长是（ ）．A ．2B ．2.5C ．2.8D ．3【答案】B【分析】 根据题意，根据轴对称的性质，得AB=AE=CD=2，BC=AD=4；通过证明AEF CDF △≌△得=EF FD ，再通过直角AEF 中勾股定理，计算得AF 的长．【详解】根据题意得：AB=AE=CD=2，BC=AD=4设AF=x ，则FD=AD -AF=4-x∵90AEC D AFE DFC AE CD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵AEF CDF △≌△∵=EF FD∵4EF FD x ==-∵222AE EF AF +=∵()22224x x +-=∵ 2.5x =∵AF 的长是2.5故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、矩形、勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．37．如图，矩形ABCD 沿着对角线BD 进行折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ，16AD =，8AB =，则DE 的长（ ）．A ．10B ．6C ．8D ．【答案】A【分析】 先根据翻折变换的性质得出CD=C′D ，∵C=∵C′=90°，再设DE=x ，则AE=16-x ，由全等三角形的判定定理得出Rt∵ABE∵Rt∵C′DE ，可得出BE=DE=x ，在Rt∵ABE 中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE 的长．【详解】解：∵Rt DC B '△由Rt DCB △翻折而成，∵8CD C D AB '===，90C C '∠=∠=︒，设DE x =，则16AE x =-，∵90A C '∠=∠=︒，AEB DEC '∠=∠，∵ABE C DE '∠=∠，在Rt ABE △与Rt C DE '△中，90A C '∠=∠=︒，AB C D '=，ABE C DE '∠=∠∵Rt Rt ABE C DE '≌△△，∵BE DE x ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即()222816x x +-=，解得10x =，即10DE =，故选A ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．38．如图，长方形ABCD 中，AD BC 6==，10AB CD ==，点E 为射线DC 上的一个动点，ADE 与AD E '关于直线AE 对称，当'AD B 为直角三角形时，DE 的长为() A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【答案】D【分析】 分两种情况： 当E 点在线段DC 上时， 当E 点在线段DC 的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．【详解】解：分两种情况讨论：∵当E 点在线段DC 上时，AD E '△∵ADE ，90AD E D '∴∠=∠=︒，90AD B '∠=︒，180AD B AD E ''∴∠+∠=︒，B ∴、D 、E 三点共线，1122ABE S BE AD AB AD AD AD ''=⋅=⋅=，， BE AB 10∴==，8BD '===，1082DE D E '∴==-=；∵当E 点在线段DC 的延长线上时，如下图，90ABD CBE ABD BAD ''''''∠+∠=∠+∠=︒，CBE BAD ''∴∠=∠，在ABD ''△和BEC △中，D BCE AD BCBAD CBE '''''∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠'⎩， ABD ''∴△∵BEC ，BE AB 10∴==，8BD ''==，81018DE D E BD BE ''''∴==+=+=，综上所知，DE 2=或18，故选：D ．【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．39．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB ＝2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：∵∵ABN＝60°；∵AM＝1；∵AB∵CG；∵BMG是等边三角形；∵点P为线段BM上一动点，点H是BN的中点，则PN＋PH．其中正确结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【分析】∵根据折叠的性质得出AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，再根据含30度的直角三角形判定定理即可得出∵ENB ＝30°，即可得出∵ABN＝60°；∵根据折叠的性质得出∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，根据勾股定理即可求出AM的值；∵直接根据矩形的性质即可得出；∵根据∵ABM＝30°，得出∵MBG＝∵BMA＝60°，再根据折叠的性质和等量代换即可得出∵BGM是等边三角形；∵根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH＝BE，结合题意得出PE＝PH，再根据三点共线时值最小及勾股定理即可判断．【详解】解：由折叠可知，AE=BE，AB=BN，∵NEB=90°，在Rt∵BEN中，∵BN＝AB＝2BE，∵∵ENB＝30°，∵∵ABN＝60°，故∵正确；由折叠可知，∵ABM＝∵NBM＝30°，设AM=x，则BM=2x，x2+22=(2 x)2，∵x＞0，解得：x，即AM =∵错误； ∵∵ABG ＝90°，∵AB ∵CG ，故∵正确；∵∵ABM ＝30°，∵∵MBG ＝∵BMA ＝60°，由折叠可知，∵BMG ＝∵BMA ＝60°，∵∵MBG ＝∵BMG ＝∵MGB ＝60°,∵∵BGM 是等边三角形，故∵正确，连接PE ．∵点H 是BN 的中点，∵BH ＝BE ＝1，∵∵MBH ＝∵MBE ，∵E 、H 关于BM 对称，∵PE ＝PH ，∵PH +PN ＝PE +PN ，∵E 、P 、N 共线时，PH +PN 的值最小，EN ∵正确，故选为B ．【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．40．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）A ．2b a -B ．22b a -C ．32b a +D ．12b a + 【答案】B【分析】 如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵PEQ 是等腰直角三角形，进而可得∵MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．【详解】解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∵EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∵EQP =11904522DQP ∠=⨯︒=︒， ∵∵PEQ =90°，∵∵PEQ 是等腰直角三角形，如图4，∵MN ∵PQ ，∵∵MNE 是等腰直角三角形，∵EG ∵MN ，∵EG=MG=NG =12MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣12b ）＝b ﹣a ， ∵MN =2EG =22b a -．故选：B∵【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．41．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB ＝3，则 BC 的长为（ ）AB ．2C ．1.5 D【答案】D【分析】 设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．【详解】设BC x =，四边形ABCD 是矩形，90,B AD BC x ∴∠=︒==，由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，OA OC x ∴==，四边形AECF 是菱形，AE CE ∴=，。
矩形折叠问题(解析版)-中考数学训练
矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。
解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
问题：根据已知信息，求翻折后各边长。
模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.3【答案】B 【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，CD =AB =9，CD ∥AB ，∠D =90°，∴∠FEB +∠EFC =180°，∴∠EFC =∠C FE =60°，∴∠C FD =180°-∠EFC -∠C FE =60°，∴∠DC F =30°，∴C F =2DF ，又∵C F =CF ，CF +DF =9，∴DF =3，C F =6，∴C D =62-32=33，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.32【答案】A 【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出EF BF=13，再证明△DEF ∽△CFB ，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，∠ABE =∠FBE ，∴tan ∠ABE =tan ∠FBE =13，∴EF BF =13，∵∠EFB =∠C =∠D =90°，∴∠DFE +∠DEF =90°，∠DFE +∠BFC =90°，∴∠DEF =∠BFC ，∴△DEF ∽△CFB ，∴EF FB =DF CB=13，∵BC =AD =3，∴DF =1，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明△DEF ∽△CFB ．3.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83B.-35，2C.-45，145D.-45,125【答案】D【分析】过D 作DF ⊥AO 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD =AB =3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为1,3 ，∴AO =1，AB =3，根据折叠可知CD =BC =OA ，而∠ADC =∠AOE =90°，∠DEC =∠AEO∴△CDE ≌△AOE ，∴OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴3-m 2=m 2+12，解得m =43，∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF而AD =AB =3，∴AE =CE =3-43=53，∴AE AD =EO DF =AO AF ，即533=43DF =1AF，∴DF =125,AF =95，∴OF =95-1=45，∴D 的坐标为-45,125，故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.2【答案】C【分析】首先设AG=x，由矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=4-x2，解此方程即可解决问题．【详解】解：设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2+AB2=5，由折叠的性质可得：A D=AD=3，A G=AG=x，∠DA G=∠A=90°，∴∠BA G=90°，BG=AB-AG=4-x，A B=BD-A D=5-3=2，∵在Rt△A BG中，A G2+A B2=BG2，∴x2+22=4-x2，解得：x=3 2，∴AG=32．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2，得到AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明△DEF∽△HFG，于是可对②进行判断；根据S四边形BGDE=S矩形ABCD -S△ABG-S△EBC可对③进行判断．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC=45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；在△DEF中，DF=2，设DE=a，则CE=EF=6-a∴6-a2=a2+22解得a=8 3∴EC=6-83=103∵SΔABG=12×6×3=9，S△BCE=12×10×103=503，∴S四边形BGDE =S矩形ABCD-S△ABG-S△EBC=6×10-9-503=1033≠35．所以③不正确．∵DF=2,DE=83,EF=103，GH=3,HF=4,GF=5∴DF GH =DEHF=EFFG∴△DEF∽△HFG故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为()A.185B.6C.325D.365【答案】D【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，交AE 于H ，∵BC =12，点E 为BC 的中点，∴BE =6，又∵AB =8，∴AE =AB 2+BE 2=36+64=10，由折叠知，BF ⊥AE (对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH =AB ×BE AE=245，则BF =485，∵FE =BE =EC ，∴∠EFB =∠EBF ，∠EFC =∠ECF ，∵∠EFB +∠EBF +∠EFC +∠ECF =180°，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=122-485 2=365，故选：D ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，M 是BC 上的点，且CM =3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是()A.3B.5516C.4D.7316【答案】B 【分析】连接PM ，证明△PBM ≌△PC M 即可得到CM =C M =PB =3，证明△PBH ≌△C MH ，得出BH =HC =x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，∴CD =AB =8，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∵CM =3，∴BM =11-3=8，根据折叠可知，CD =PC =8，∠C =∠C =90°，C M =CM =3，∴∠B =∠C ，∴BM =PC =8，∵PM =PM ，∴Rt △PBM ≌Rt △PC M HL ，∴C M =PB =3，∵∠PHB =∠C HM ，∠B =∠C ，∴△PBH ≌△C MH ，∴BH =HC ，设BH =HC =x ，则HM =8-x ，∵HM 2=HC 2+C M 2，∴8-x 2=x 2+32，解得：x =5516，∴BH =5516，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM =PC =8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-1【答案】B【分析】根据题意先求BD =2AB =22，OD =2，再求BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，进而根据△ODM ∽△CDF 的线段比例关系，即可求出OM 的长．【详解】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =BC =CD =2，∠BCD =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，∴BD =2AB =22，OD =2，由折叠的性质可知，∠OEF =∠DCB =90°，∠EDF =∠CDF ，DE =CD ，∴∠BEF =90°，∴∠BFE =∠FBE =45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，∵∠DCB =∠COD =90°，∠EDF =∠CDF ，∴△ODM ∽△CDF ，∴OM CF =OD CD ，即OM 22-2=22，∴OM =2-2．故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ⊥EC ，垂足为F ，若CD =1,CF =2，则线段AE 的长为()A.5-2B.3-1C.13D.12【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD= BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥EC，∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠DEC=∠FCB ∠BFC=∠CDE BC=EC∴△BFC≌△CDE(AAS)，∴DE=CF=2，∴CE=CD2+DE2=12+22=5，∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5-2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()525【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数(或相似)求出BF，则根据FC=BC2-BF2计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴△ABE与△AFE关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=12BC=3∴AE=AB2+BE2=42+32=5∵sin∠BAE=BEAE =BG AB∴BG=BE⋅ABAE =3×45=125∴BF=2BG=2×122=245∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°∴FC=BC2-BF2=62-2452=185故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()17151715【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF= BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB AD=BE=3 ，∴ΔAFD≌ΔEFB(AAS)，∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，即5-x2=x2+32，解得：x=85，则DF=BF=5-85=175，∴cos∠ADF=ADDF =3175=1517，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．12.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC 【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，∴BC=AD=8,AB=CD=6∴BD=BC2+CD2=10故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=AB=6，DH=CD=6∴DG=4,BH=BD-HD=4∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2故B选项正确，∵EG⊥BD,HF⊥DB,∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则EG=a，∴ED=AD-AE=8-a，∵∠EDG=∠ADB∴tan∠EDG=tan∠ADB即EGDG=ABAD=68=34∴a 4=34∴AE=3，同理可得CF=3若FG∥CD则CFBF=GDBG∵CF BF =35,GDBG=46=23，∴CF BF ≠GD BG，∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD =BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a，∴AB=22a=2AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x =b 2-a 2b =a 2，即DF =FO =a 2，GE =a 2+b 2=3a ，∴GE DF =3aa 2=6，∴GE =6DF ；故③正确；∴OC OF =2a a 2=22，∴OC =22OF ；故④正确；∵∠FCO 与∠GCE 不一定相等，∴△COF ∽△CEG 不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD ，AD :AB =2:1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE =∠D =90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH =AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A ，B 的对应点分别为A ，B ，∴EA =EA ，FB =FB ，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°．∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE=∠D=90°．∴△EFH∽△GAD．∴EF AG =FH AD．∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH=AB．∴EF AG =FHAD=ABAD=12=22；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF=CE2-EF2=52-32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG⎳BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB=30°，∠DEF=12∠DEB=75°，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 、D点的对称点为D ，若∠FPG=90°，△A EP的面积为8，△D PH的面积为2，则矩形ABCD的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+52【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H=12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠FPG=90°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即12⋅x ⋅12x =2，∴x =22(负根舍弃)，∴AB =CD =22，D ′H =DH =2，D ′P =A ′P =CD =22，A ′E =2D ′P =42，∴PE =42 2+22 2=210，PH =22 2+2 2=10，∴AD =42+210+10+2=52+310，故选D .【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为()A.1113B.1315C.1517D.1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP (AAS )，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4-x 、BF =PC =3-x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∠EOF =∠BOP∠E =∠B =90°OF =OP，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =4-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x )2+32=(4-x )2，解得：x =35，∴DF =4-x =175，∴cos ∠ADF =AD DF =1517，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．19.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若AB =6，则DP 的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，可得PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =AD =6，∠B =∠C =∠D =90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE =12AB =3，由翻折可知：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，∴AD =AF ，∠AFP =∠D =90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP =AP AF =AD ，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，∴PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2=EC 2+CP 2，∴(3+x )2=32+(6-x )2，解得x =2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm ．【答案】53##123【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明ΔFEG ∼ΔFBM ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接DF ,如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =4,∠A =∠B =∠C =∠CDA =90°.∵点M 为BC 的中点，∴BM =CM =12BC =12×4=2由折叠得，ME =CM =2,DE =DC =4,∠DEM =∠C =90°,∴∠DEF =90°，∠FEG =90°,设FE =x ,则有DF 2=DE 2+EF 2∴DF 2=42+x 2又在Rt ΔFMB 中，FM =2+x ,BM =2，∵FM 2=FB 2+BM 2∴FB =FM 2-BM 2=(2+x )2-22∴AF =AB -FB =4-(2+x )2-22在Rt ΔDAF 中，DA 2+AF 2=DF 2,∴42+4-2+x 2-22 2=42+x 2,解得，x 1=43,x 2=-8(舍去)∴FE =43,∴FM =FE +ME =43+2=103∴FB =2+43 2-22=83∵∠DEM =90°∴∠FEG =90°∴∠FEG =∠B ,又∠GFE =∠MFB .∴△FEG ∼ΔFBM∴FG FM =FE FB ,即FG 103=4383∴FG =53,故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P处，折痕为EF ．(1)求证：△PDE ≌△CDF ；(2)若CD =4cm ,EF =5cm ，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm 【分析】(1)利用ASA 证明即可；(2)过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF=∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，∠P =∠CPD =CD ∠PDE =∠CDF,∴△PDE≌△CDF(ASA)；(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴GF=EF2-EG2=3cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,即x2+42=3+x2，解得，x=7 6，∴BC=BG+GC=76+3+76=163(cm)．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由见解析(3)AP=4011cm或2413cm【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；(2)根据折叠的性质，可证RtΔBQM≅RtΔBQC HL，即可求解；(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP= PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：∵AE=BE=12AB，AB=BM∴BE=12BM∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM =12∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ =∠CBQ(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =CD -DF -FQ =8-4-1=3(cm )，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm )由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+52=x +3 2解得：x =4011∴AP =4011cm ；当点Q 在点F 的上方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =5cm ，DQ =3cm ，由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+32=x +5 2解得：x =2413∴AP =2413cm ．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =2AB ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG ≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°，2-1.(3)52a【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；(2)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=90°∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,∠AFG=∠ADG=90°,又∠AFB=45°∴∠GFC=45°,∴∠FGC=45°,∴GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,∴FC=BC-BF=2x-x=(2-1)x∴GF=2FC=(2-2)x∴GF AF =(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°∴∠APR=45°.∴AR=PR又AR2+PR2=AP2=a22=a24∴AR=PR=24a,∴DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2∴DP =AR 2+PR 2=24a 2+324a 2=52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．(1)如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：△CDG ∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．(2)如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②23；(2)不全等，理由见解析【分析】(1)①先根据同角的余角相等得出∠DCG =∠AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF =x ，先证得△AEF ~△ADC ，得出EF AE =CD AD=24=12，再结合折叠的性质得出AE =EG =2x ，AG =4x ，AH =2EF =2x ，再由△CDG ~△GAH ，得出比例式AG DC =AH DG =HG CG ，求出EF 的长，从而得出HGCG的值，即可得出答案；(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF~△ACG，得出比例式AEAC =AFAG，得出EF=5 4，AE=52，AF=545，从而判定△GCF与△AEF是否全等．【详解】(1)①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG~△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF⎳CD⎳AB∴△AEF~△ADC∴EF CD =AE AD∴EF AE =CDAD=24=12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF⎳AB∴EF AH =EGAG=12∴AH=2EF=2x ∵△CDG~△GAH∴AG DC =AHDG=HGCG∴4x2=2x4-4x=HGCG∴x=34∴4x2=32=HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC=CGHG =23(2)不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC=AB2+AD2=22+42=25由②可知：AE=2EF∴AF=AE2+EF2=5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF~△ACG∴AE AC =AF AG∴2EF 25=54∴EF=54∴AE=52，AF=545∴FC=AC-AF=25-545=345∴AE≠FC，EF≠FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE= 2EF是解题的关键．。
中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)
中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。
【最新】九年级数学-1.思想方法专题：矩形中的折叠问题--精选练习
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.◆类型二矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A．2 3 B.32 3 C.3 D．6第3题图第4题图4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.◆类型三矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案1．65 2.6 23．A解析：由题意可得∠OCE＝∠BCE，∠COE＝∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠CAE＝∠OCE.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAE.∴∠BCE＝∠OCE＝∠ACD＝30°，∴BE＝12CE .在Rt △BCE 中，CE 2－BE 2＝BC 2，即CE 2－⎝⎛⎭⎫12CE 2＝32，∴CE ＝2 3.故选A. 4．36 解析：设EC ＝3x cm ，FC ＝4x cm ，则DE ＝EF ＝5x cm ，∴AB ＝DC ＝8x cm.又∵BF ∶AB ＝3∶4，∴BF ＝6x cm ，∴AD ＝BC ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解得x ＝1(取正值)．∴AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，∴矩形ABCD 的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝5，∴BC ＝2，OC ＝5.∵把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，∴B ′C ＝BC ，∠B ′＝∠B ＝90°，∴AO ＝CB ′，∠AOD ＝∠B ′.又∵∠ADO ＝∠CDB ′，∴△AOD ≌△CB ′D ，∴AD ＝CD .设OD ＝x ，则AD ＝CD ＝5－x .在Rt △AOD 中，AD 2＝OA 2＋OD 2，∴(5－x )2＝22＋x 2，∴x ＝2.1.∴D 点的坐标为(0，2.1)．6.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE＝EC ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF ＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，AD ＝BC .由折叠的性质可得∠ADE ＝∠A ′DE ＝12∠ADC ＝45°，AE ＝EG ，BC＝CH ，∴∠AED ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴AE ＝AD ＝BC ，∴EG ＝CH ；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE ＝∠A ＝90°，GF ＝AF ＝ 2.由(1)可知∠ADE ＝45°，∴∠DFG ＝90°－∠ADE ＝45°＝∠ADE ，∴DG ＝GF ＝2，∴DF ＝DG 2＋FG 2＝2，∴AD ＝AF ＋DF ＝2＋2.由折叠的性质可知∠AEF ＝∠GEF ，∠BEC ＝∠HEC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90°.又∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠BEC ＝∠AFE .由(1)可知AE ＝AD ＝BC .在△AEF 与△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴△AEF ≌△BCE (AAS)，∴AF ＝BE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝22＋2.。
矩形折叠问题(学生版)-中考数学训练
矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。
解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
问题：根据已知信息，求翻折后各边长。
模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.32.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.323.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83 B.-35，2 C.-45，145 D.-45,125 4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.25.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为()A.185B.6 C.325D.3657.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=11，M是BC上的点，且CM=3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C 处，折痕为MN，当PC 与线段BC交于点H时，则线段BH的长是()A.3B.5516C.4 D.73168.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-19.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为()A.5-2B.3-1C.13D.1210.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()A.3B.175C.72D.18511.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()A.817B.715C.1517D.81512.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C 分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD，AD:AB=2:1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD于点G，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.5315.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为()A.3B.4C.5D.616.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =12．将纸片折叠，使点B落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ,FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF ⊥BG ；②GE =GF ；③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F 与点C 重合时，∠DEF =75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠(点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上)，使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A 、D 点的对称点为D ，若∠FPG =90°，△A EP 的面积为8，△D PH 的面积为2，则矩形ABCD 的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+5218.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为()A.1113B.1315C.1517D.171919.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为__ _________．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG=______cm．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．(1)求证：△PDE≌△CDF；(2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．(1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．(2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．。
沪科版2019-2020年八年级数学下册 思想方法专题：矩形中的折叠问题(含答案解析)
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 矩形折叠问题中求角的度数1．如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在点D′处．若∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60°第1题图 第2题图2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕FG 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接BE.若∠AEF ＝20°，则∠FGB 的度数为( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° ◆类型二 矩形折叠问题中求长度 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点O.若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，得到菱形AECF.若AB ＝3，则BC 的长为( ) A ．2 B ．1 C . 3 D . 5 5．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点F 处，则DE 的长是【方法18①】( )A ．3B .245C ．5D .8916第5题图 第6题图6．(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，BE ＝1.折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则EC 的长为( )A . 3B ．2C ．3D ．2 3 7．★(2017·安庆潜山县期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．第7题图第8题图◆类型三矩形折叠问题中求面积8．(2017·阜阳市期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A 重合，则△AEF的面积是()A．8 B．10 C．12 D．149．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．参考答案与解析1．A 2.C 3.C4．C解析：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE，∠FCO＝∠ECO.由折叠可得∠ECO＝∠ECB.又∵∠FCO＋∠ECO＋∠ECB＝90°，∴∠FCO＝∠ECO＝∠ECB＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴CE＝2BE，∴AE＝2BE.∵AB＝AE＋BE＝3，∴BE＝1，CE＝AE＝2，∴BC＝CE2－BE2＝ 3.故选C.5．C解析：四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝BC2＋CD2＝10.由折叠可得BF ＝AB ＝6，EF ＝AE ，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴∠DFE ＝90°.设DE ＝x ，则EF ＝AE ＝8－x .在Rt △DEF 中，DE 2＝EF 2＋DF 2，即x 2＝(8－x )2＋(10－6)2，解得x ＝5.即DE ＝5.故选C.6．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°.∵∠BAE ＝30°，BE ＝1，∴AE ＝2BE ＝2×1＝2，∠AEB ＝90°－∠BAE ＝90°－30°＝60°，∠EAC 1＝∠BAD －∠BAE ＝90°－30°＝60°.由折叠可得∠AEB 1＝∠AEB ＝60°.∴∠AC 1E ＝180°－∠EAC 1－∠AEB 1＝60°，∴△AEC 1是等边三角形，∴EC 1＝AE ＝2.由折叠可得EC ＝EC 1＝2.故选B.7.185 解析：如图，连接BF 交AE 于点H .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.由折叠可得BF ⊥AE ，BH ＝12BF .∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH＝125，∴BF ＝2BH ＝245.由折叠可得FE ＝BE ，∴FE ＝BE ＝CE ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF ＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.8．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝4.由折叠可得AG ＝CD ＝4，∠G ＝∠D ＝90°，DF ＝GF .设AF ＝x ，则GF ＝DF ＝8－x .在Rt △AGF 中，AF 2－GF 2＝AG 2，即x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5，即AF ＝5.∴S △AEF ＝12AF ·AB ＝12×5×4＝10.故选B.9．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.由折叠可得∠F ＝∠B ，AF ＝AB ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝8.由折叠可得CF ＝BC ＝8.由(1)可知△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .设EF ＝DE ＝x ，则CE ＝8－x .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DE ＝3，∴AE ＝AD －DE ＝5，∴S 阴影＝12AE ·CD ＝12×5×4＝10.。
人教版数学八年级下册专题训练：矩形中的折叠问题.doc
学校班级姓名思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，即(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
矩形中的折叠问题
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么 y ∠DAE等于
A E O C x D B
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
例题展示பைடு நூலகம்
例1、 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD 折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。
E
（1）根据图像，你能发现图中有 A 哪些相等的线段和角吗？ （2）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。 （3）若AB=4，BC=8，求AF。 （4）在（3）的条件下，试求 B 重叠部分△DBF的面积。
A
F
D
B
C
例题展示
例1、 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD 折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。
E
（2）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。 解：（2）∵矩形ABCD，∴∠C=90° A 又∵翻折，∴∠E=∠C=90° ∵∠ADE=20°，∴∠EFD=70° ∵AD∥BC，∴∠FDB=∠DBC B 又∵∠FBD=∠DBC ∴∠FBD=∠FDB ∴FBD=35°
A
F
D
B
C
例题展示
例1、 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD 折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。
E
（4）在（3）的条件下，试求 重叠部分△DBF的面积。 ∵AF=3，AD=BC=8， ∴DF=5， ∴S△DBF =DF×AB÷2=10
A
F
D
B
C
拓展补充：
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F 处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。
初中数学解题技巧专题---矩形中的折叠问题
参考答案与解析 ．1 B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠DEF
＝矩形180，°－∠1A2＝5°9＝0°5，5°∴.根∠据A折BE叠＝可11知0°∠－B9E0F°＝＝2∠0°D.故EF选＝B5.5°，∴∠BED＝110°.∵四边形 ABCD 为 ．2 B 3.C 4.C
点 A 恰好落在对角线 BD 上的 F 处，则 DE 的长是( )
． ． 24
89
A 3 B. 5 C 5 D.16
5．★(2016·威海中考)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC 的中点，将
△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内的点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为 ． ________
2．如图，某数第学1兴题趣图小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片第AB2C题D图，使 AD 和 BC
重合，得到折痕 点 B，得到折痕
BEMF，，把同纸时片得展到平线；段(B2)N再.观一察次探折究叠可纸以片得，到使∠点AABM落的在度E数F 上是，( 并使) 折痕经过
A◆．类2型5°二
． ． B 30° C 36° 折叠中求线段长
与△CDE 中，∠∠FA＝EF∠＝D∠，CED，∴△AFE≌△CDE. ＝ ， AF CD
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF ＝DE.在 △Rt CED 中，由勾股定理得 ＋ ＝ ，即 DE2 CD2 CE2 ＋ ＝ － ，∴ ＝ ， DE2 42 (8 DE)2 DE 3
．D 45°
3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD＝4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，
折叠几何综合专题---16道题目(含答案)
折叠几何综合专题---16道题目(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EFAF ＝FHEF ，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ；(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°，∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.02如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ，若DE ＝4，BD ＝8.(1)求证：AF ＝EF ；(2)求证：BF 平分∠ABD .证明：(1)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵△BED 是△BCD 对折得到的，∴ED ＝CD ，∠E ＝∠C ，∴ED ＝AB ，∠E ＝∠A ，(2分)又∵∠AFB ＝∠EFD ，∴△ABF ≌△EDF (AAS)，∴AF ＝EF ；(4分)(2)在Rt △BCD 中，∵DC ＝DE ＝4，BD ＝8，∴sin ∠CBD ＝DC BD ＝12， ∴∠CBD ＝30°，(5分)∴∠EBD ＝∠CBD ＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F 重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
专题2.3(2)矩形的折叠问题-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
作点A关于直线MN的对称点A´,连接A´B,与MN交点即为点P.
此时PA+PB=PA´+PB=A´B= 42+62 =2 13
N
B
针对训练
矩形的折叠
查漏补缺
如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形AB沿AE折
叠到AF,延长EF交DC于G,连接AG,FC,现在有如下4个结论：①∠EAG=45º；
b
2
O
D
a
2
G
a
2
C
矩形折叠
强化训练
提升能力
5.如图,矩形AOBC边OB,OA分别在x轴,y轴上,点A坐标为(0,3),∠OAB=60º,
3 3
3
以AB为对称轴对折后,使C点落在D点处,则D点坐标为__________.
( 2 ,- 2 )
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A´处,
5
a
考虑两三角形面积分别是4和1,
AD=2a+ 5a+ 2 a+ 2 =5+3 5，
∴相似比为2:1.
设AB=a,则A´P=D´P=a,D´H=0.5a,A´E=2a, ∵AB=2.
5
EP= 5 a,PH=
a
∴矩形ABCD面积为2×(5+3 5)=10+6 5.
2
强化训练
矩形折叠
提升能力
11.如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE、折叠该纸
知识梳理
A
E
矩形折叠的常见类型
C´
D
矩形的折叠问题
(3)矩形的两组对边平行且相等和四个角都是直角
在矩形的折叠问题中，求线 段长时，常设未知数，找到 相应的直角三角形，利用勾 股定理或相似三角形的性质 建立方程，利用方程思想解 决问题。
例3.如图，在矩形ABCD中，
D
AB=10，BC=6.
先把它对折，折痕为EF，展开后再 E
折成如图所示，使点B落在EF上的
(A)1100 (B) 1150 (C) 1200 (D) 1300
根据矩形的性质AD∥BC,有∠AEF=∠EFC. 再由折叠的特征可知: ∠BFE=∠EFG=1/2(1800-∠1)=650, 所以∠EFC=∠EFG+∠1=650+500=1150 由此得∠AEF=1150
故选（B）
D
10
C
例2.如图，在矩形ABCD中， x
F
B
(i)a、b、c三者存在关系是a2 b2 c2.说理如下：
连接BE，则BE BE
有（1）知，BE BF c,所以BE c
在ABE中，AE2 AB2 BE2
所以a 2 b2 c2
(ii)a、b、c三者存在的关系是a b c.说理如下：
有（1）知，BF BF c,BE c
D
B’
给予证明。
EA
C
F
B
解析: (1)由题意得BF BF,BFE BFE
在矩形ABCD中, AD//BC,所以BEF BFE
所以BFE BEF,
所以BF BE,所以BE BF.
（2）设AE=a,AB=b,BF=c, 试猜想a、b、c之间的一种 关系，并给予证明。
D B’
A’ EA
(2)a、b、c三者关系不唯一，有两种情况C;
在ABE中，AE AB BE