2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝________.

解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3]

2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．

解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.

答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)

3．(2013·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2

，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，

则不等式f (x )

________．

解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.

当x ≥0时，由x 2<2，得0≤x <4；

当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.

综上，f (x )

答案 {x |x <4}

4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．

解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关

系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx

－a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．

答案 (2,3)

5．(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．

解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋

2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)

6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1

＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________.

解析 由于不等式ax －1x ＋1

＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.

答案 －2

7．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．

解析 不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2

－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin 2 α－cos 2α≤0，即4sin 2 α≤1，所以sin 2 α≤14，

即－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦

⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦

⎥⎤5π6，π

8．(2014·福州期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________.

解析 原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.

答案 [－4,3]

二、解答题

9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集．

解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，

即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，

得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.

①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；

③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；

当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2014·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．

解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .

①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，

f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，

只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；

②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，

由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.

综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]．

法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，

得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧ Δ＞0，a ＜－1，

g (－1)≥0.