表面张力 附加压强 毛细现象

2 2 cos h gR gr
例1.一端封闭的玻璃毛细管，内直径d =2×10－5m， 管长L = 20cm,竖直将开口端插入水中，直到管内外 液面一样高。己知：大气压强P0= 1.013×105Pa ，水 的表面张力系数α = 7.3×10-2N/m，接触角θ=0 。 求：水面上一段管子的长度。
P P 内 P 外
二、球形液面下的附加压强： 以球形液滴为例。设液体的表 面张力系数为 ，附加压强：
dR
2 P P 内 P 外 R
用虚功原理证明：
R
若液滴等温地从半径R变为R+dR, 其表面积 增大dS ，体积增大dV, 这时，外力所做的功即 内外压力差所做的功为：
dW PdV
(1)
dW dS
PdV dS
对于球面， S 4R
2
(2)
(3)
4 3 , V R 3
dS 8RdR ,
代入（1），得：
R 2 同理，对凹液面： P R
P
dV 4R dR 2
2
练习题：对于一个球形液膜（如肥皂泡）来说， 液膜具有内外两个表面。因液膜很薄，内外表面 的半径可可作相等。求液膜内A点和液膜外B点 的压强差。 C
f l
下面我们从做功的角度给出表面张力系数的 另一定义： 因液面存在张力而有收缩的趋势，所以要加大 液体表面，外力必须做功。 设有一沾有液膜的金属框ABCD，AB＝l, 由 于液面有两个表面，要使AB保持平衡，必须施加
F外 2l
设AB边在F外作用下缓慢移 动一段距离 x ，则外力所 作的功为
解： PA PO 2
2 PB PO PA gh R 2 1 1 h ( ) g R r
r
h 5.5cm
2 73 10 1.01 10 5 1.44 10
5 3
1.11 10 ( Pa)
5
毛细现象及毛细管公式 一、润湿与不润湿 、 接触角：
水润湿玻璃
水银不润湿玻璃
润湿和不润湿取决于液体和固体的性质。 同一种液体，能润湿某些固体表面，但不能润 湿另一些固体表面。例如：水能润湿玻璃，但 不能润湿石蜡；水银不润湿玻璃，但能润湿锌 或铜。
例：为估计液体表面积改变时能量的变化，试计算半 径为r＝2× 10-3mm的许多水滴融合成一个半径R＝ 2mm的大水滴时所释放的能量。 解：n个水滴的总表面积为
S 4r n 融合后，大水滴的表面积为 S 4R 2 0 2 2 E S ( S S0 ) 4(r n R )
毛细管：能够发生毛细现象的细管叫毛细管。
动脑筋
为什么会发生毛细现象呢？
1、当液体湿润管壁时： 形成凹液面，这时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
PB P0 , 而 PC P0 , PB PC
根据流体静力学 原理，静止流体内 等高各点的压强相 等。因此，此时液 面不能平衡，管内 的液面要上升，直 到B、C两点的压强 相等为止。
实验表明，不同的液体对不同的固体润湿和不 润湿的程度不同。为表明这种润湿或不润湿的 程度，引入接触角的概念： 接触角：在液体、固体和空气交界处，做液体 表面的切面，此面与固体壁在液体内部所夹的 角度 就称为这种液体对该固体的接触角。


（1）当 为锐角时，液体润湿固体。 0 时， 完全润湿。 （2）当 为钝角时，液体不润湿固体。
时，完全不润湿。


二、毛细现象
将极细的玻璃管插入水中时，可以看到：管子 里的水面会升高，而且管的内径越小，水面升得 越高。如果将这样的玻璃管插入水银中，情形正 好相反，管子里的水银面会降低，而且管的内径 越小，水银面降得越低。
这种润湿管壁的液体在细管中升高，不润湿管 壁的液体在细管中降低的现象，称为毛细现象。
思考题
如图所示：在一连通管 两端吹两半径不同的肥皂 泡A、B。开通活塞后，两 肥皂泡的半径是否变化？ 如何变？
RA
A
B
RB
例题：温度为180C时，有一半径为1.44×10-5m 的水珠处在大气压强为1.01× 105Pa的空气中， 求水珠内部的压强P. ( 73 10 3 N / m)
2 解：水珠的液面是凸液面,所以 P P0 R 2 P P0 R
2
2
而水滴体积保持不变，即
R E 4R ( 1) r
3.6 10 ( J )
3
4 3 4 r n R 3 3 3
3
2 10 3 4 3.14 ( 2 10 ) ( 1) 73 10 6 2 10
3 2
弯曲液面下的附加压强 一、液体自由表面的形状及受力情况
液体的表面张力
一、表面张力现象： 许多现象说明，液体的表面有如张紧的弹性 薄膜，有收缩的趋势。（“液体表面”是指液面下
厚度约为分子引力有效作用距离的一层液体。）
表面张力现象演示：液膜收缩使细线弯曲
表面张力类似于固体内部的拉伸应力，只不 过这种应力存在于极薄的表面层内，而且不是 由于弹性形变引起的，是表面层内分子力作用 的结果。
解： 设细管插入水中后管内压强为P
2 4 P0 P R d 4 5 P P 1 . 16 10 Pa 解得 0 d
设水面上一段管子的长度为x P0 L Px 解得 x 17.5cm
例2.半径为r ＝3×10－4m的细管中注入水，管内的液面呈 半径为r的半球面，管的下端形成水滴。设水滴的形状可 看作半径为R＝3×10－3m的球体的一部分。试求管中水 柱的高度h .（水的表面张力系数α＝7.3×10－2Nm-1）
二、表面张力和表面张力系数 1. 表面张力: 设想在液面上做一长度为l的假想线段，则 表面张力的作用表现在：线段两边液面以一定 的拉力f相互作用，而且力的方向恒与线段垂直， 大小与线段长度l成正比。
f l
式中比例系数 称为表面张力系数。
2、表面张力系数：其数值等于液面上作用在每 单位长度假想线段上的表面张力。
(r R cos )
R

h
C
r
P0
P0
B

B
C
2、当液体不湿润管壁时： 形成凸液面，这时
PA P0 PC
根据流体静力 学原理，管内的液 面要下降，直到A、 B两点的压强相等 为止。 2 此时： PA P0
P0
A
C
P0
P0
A
P0
h
B
R PB P0 gh
B
•
解： 在液膜内部取一点C
2 外表面是 PC PB 凸液面， R 2 内表面是 PC PA 凹液面， R
(1)
A R
(2)
4 （1）－（2）得： PA PB R
注意： 1、液面的凹凸以和液面相接触的气体中的观 察为标准。 2、“P内 ”是液面下液体内部的压强，并不是 越往“里”越是“内”。
P0 Δ S f P
P0 Δ S f P 液 (b)凸液面
P ΔS f
气
(c)凹液面
f
f
P0
f
气
(a)水平液面
二、附加压强 2 fy 液体表面垂直方向的力 相当于对液面产生了 S 一个附加的压强，把弯曲液面内无限接近液面的 压强 P内与液面外的压强 P外之间的差值定义为附 加压强ΔP.
即，附加压强
P0
A
h
C
P0
P0
B
B
C
设毛细管的半径为 r, 凹液 面近似视为半径为R的球面 的一部分。
2 PA P0 R
2 PA P0 R
解得：
2 PB PA gh P0 gh PC P0 R
P0
A
2 2 cos h gR gr
D
A F外
C
B
W F外x 2lx S
（ 1）
S 2lx 是所增加的液面面积（两个表面）。
W 由（1）得： S 表面张力系数在数值上等于增加单位表面积时 外力所作的功 —— 表面张力系数的另一定义。
W 变为液体的表面能 E 。 在等温条件下， E S
所以，表面张力系数在数值上又等于在等温 条件下增加单位表面积时所增加的表面能。
2.决定液体表面张力系数的因素： （1）液体的种类。密度小、易蒸发的液体表面张 力系数小。 减小。 （2）液体的温度。温度升高， （3）杂质。加入杂质能使 增加或减小，能使 减少的物质称为表面活性物质。（如：肥皂）