2017年上海市春季高考数学试卷(解析版)

2017年上海市春季高考数学试卷

一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B=．

2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．

3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=．

4．若，则=．

5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=．

6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=．

7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．

8．已知数列{a n}的通项公式为，则=．

9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．

10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．

11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．

12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）

A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]

14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．

A．充分非必要B．必要非充分

C．充要D．既非充分也非必要

15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）

A．三角形B．长方形

C．对角线不相等的菱形D．六边形

16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则

的取值范围为（）

A．B．C．D．

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；

（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；

（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．

18．（12分）设a∈R，函数；

（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；

（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．

19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；

（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、

Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；

（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；

（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；

（3）若m=2，求n关于b的表达式．

21．（12分）已知函数f（x）=log2；

（1）解方程f（x）=1；

（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；

=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使（3）设数列{x n}中，x1∈（﹣1，1），x n

+1

得x3≥x n对任意n∈N*成立．

2017年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={1，2，3，4} ．

【考点】并集及其运算．

【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可．

【解答】解：集合A={1，2，3}，

集合B={3，4}，

则A∪B={1，2，3，4}，

故答案为：{1，2，3，4}．

【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题．

2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵|x﹣1|＜3，

∴﹣3＜x﹣1＜3，

∴﹣2＜x＜4，

故不等式的解集是（﹣2，4），

故答案为：（﹣2，4）．

【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．

3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=2﹣3i．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵2﹣1=3+6i，

∴，则，

∴z=2﹣3i．

故答案为：2﹣3i．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

4．若，则=．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值．

【解答】解：∵，

∴=﹣cosα=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=6．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值．

【解答】解：若关于x、y的方程组无解，

说明两直线x+2y﹣4=0与3x+ay﹣6=0无交点．

则，解得：a=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题．

6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=10．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由等差数列前n项和公式得=25，由此能求出a1+a5．

【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，

∴=25，

∴a1+a5=25×=10．

故答案为：10．