常微分期末考试题B

3、曲线 xy 1满足方程 ____C__．
A． y
x 0 B ． xy
y 1 C ． xy
y
0
D
．
2
x
y
1
4、如果 et , e2t sin t,sin t 是二阶线性方程 L[ x] x a1 (t )x a2 (t )x f (t) 的解，
则下列是 L[ x] 0 的解的是 __C____．
A． et e2t 2sin t B． et 2sin t C． e2t
陕西科技大学 试题纸
课程 常微分方程
班级
学号
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题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 阅卷人
一、填空题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
1、微分方程 y''' y'' sin x y' 2xy sin x 0 的阶数是 程.
，是否为齐次线性方
2、当 M ( x, y), N ( x, y) 满足
x y dx y y 3dy C
即
1x
0ຫໍສະໝຸດ Baidu
４ /8
y ln x
2、 y 2 y
1 y4 4
1
C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
2
2y
解：令 2 y yt 则原方程消去 y 后，有
y 2 1 yt
y 2t 2 由此，得 y 1 t dy
t
1 t2
1 dt
y 1 t2
dy dx
y
1 t 2 dt
y 1、求方程 dx
(y3
ln x)dy
0
x
2、求方程 y2 y 1
2
2 y 的通解
3、求方程 (2 xy
x2 y
y3 )dx
( x2
y2 )dy
0 的通解
3
dy
4、求解方程
6y
xy2 的通解
dx x
5、求解方程 x '' x ' 2x 8sin 2t 的一个特解
r ' r uuuur
ur
四、（本题 10 分） 试求方程组 x Ax f (t ) 的解 (t).
时，方程 M (x, y)dx N ( x, y) dy 0 称
为恰当方程，或称全微分方程。
3、若 X i (t )(i 1,2, , n) 为齐次线性方程的 n 个线性无关解， 则这一齐线性方程的
所有解可表为
dy 4、方程
1 y2 的常数解是
．
dx
5、方程 y '' 2 y ' y xex 的特解可设为 ________________
所以 x
1
1
t 2 dt c t c
故原方程的通解为
1
x
c
t
………………………………１分
y 1t
t
3、（２ xy + x2 y
y3 )dx
( x2
y2)dy 0
3
解：因为 M 2x x2 y2 , N 2x
y
x
又因为 M y
N N
x
所以方程有积分因子： u(x)= ex
方程两边同乘以 ex 得：
ex (2 xy x2 y
1c y = x6
此外方程还有解 y=0.
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x2
x6
或者
8
y
x 8 c ，这就是原方程的解。 8
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
y
1、
dx x
( y3
ln x)dy
0
解 因为 M 1 N ，所以原方程是全微分方程
yx x
取 ( x0 , y0 ) (1, 0) ，原方程的通解为
１ /8
1 A. u y 2
1 B. u
xy
1 C. u x 2
1 D. u x 2 y2
5、函数 V1( x, y) ( x y) 2 y4 与 V2( x, y) x2 y2 ______．
A．均为常正的 B ．均为定正的 C．V1 常正， V2 定正 D． V1 定正， V2 常正
三、解下列微分方程 （本题共 5 小题，分值 :6+6+6+6+12，满分 36 分）
y3 )dx
ex ( x2
y2 )dy 0
3
［ ex(2 xy
x2 y)dx
ex x2dy]
[ ex
y3 dx
ex y2dy]
0
3
也即方程的解为
ex x2 y ex y3 c． 3
5、 x '' x ' 2x 8sin 2t ; 解：x '' x ' 2x 0 的通解是 x C1et C2e 2t , 设原方程的特解
dx 证明：○1 构造等价积分式
x
y( x) y(0) 2 x(1 y)dx ，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解； 0 ………………………………………………２ 分
○2 进行迭代
y0 y(0) 0;
y1 y(0) y2 y(0) …………
x
2 x(1
0
y0 )dx
x
2x(1
0
y1 )dx
2
1
12
et
(0)
,A
, f (t )
1
43
1
五、证明题（ 本题共 2 小题，分值 :10+9 ，满分 19 分 ）
1、已知方程 dy 2 y,并且满足 y(0) 1,证明方程解存在唯一性 . dx
2、给定方程 x''' 5x'' 6 x' f (t ) ，其中 f (t) 在
t 上连续，设
1 t , 2 t 是上
性方程 否 .
2、若 (t ) 和 (t) 都是 x' A(t ) x 的基解矩阵，则
(t) 和 (t ) 具有的关系是
________ (t) (t)C 其中 C 为 n*n 奇异矩阵 __________________。
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y f ( x, y)
x
3、初值问题 y( x0 )
的解满足积分方程 y( x) y0
D． sin t
5、函数 V1( x, y) ( x y) 2 y4 与 V2( x, y) ( x y)2 ___D___．
A．均为常正的 B ．均为定正的 C．V1 常正， V2 定正 D． V1 定正， V2 常正
三、解下列微分方程 （本题共 5 小题，分值 :6+6+6+6+12，满分 36 分）
二、单选题 ( 本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
xdy ydx
1、1.
x2
______
x A. d
y
y B. d
x
C. d xy
D. d ln | xy |
2、 t 2x'' tx ' x 0 的通解为 _________（ c1, c2 为任意常数）
A. x c1t c2t 2
B. x
2
取 v2
2
则基解矩阵 (t )
et
e 5t
et 2e5t
(t ) 1( 0)
et
e5t
10 11
1
et
e t 2e5t 2 2 1
et
t
(t )
1(s) f (s)ds
t0
3 e5t 1 et 2 20 4 5 3 e5t 1 et 1 10 2 5
因此方程的通解为： (t ) (t ) 1(0)
dy
1、一阶线性方程
p(x) y q( x) 的积分因子是 ___B___．
dx
p ( x)dx
p ( x) dx
q ( x)dx
q ( x )dx
A． p e
B． p e
C． p e
D． p e
３ /8
dy 2、方程
y 2 通过点 (3, 1) 的解的最大存在区间是 ___A___．
dx
A.(2 ， ) B.(0 ， ) C.(- , ) D.(- ,3)
ur
四、（本题 10 分） 试求方程组 x Ax f (t ) 的解 (t).
6 sin t
5
2 cost ;
5
1
12
et
(0)
,A
, f (t )
1
43
1
解： det( E A)
12
( 1)( 5) 0
4
3
1 1, 2 5
( 1 E A)v1 0 得 v1
1
取 v1
1
1
( 2E A)v2 0 得 v2
y0
f ( s, y( s)) ds 。
x0
4、
是恰当方程 , 则
32 x
C。
2
dx
ax by
5 、 二 维 平 面 自 治 系 统 dt
的 奇 点 (0,0) ， 当 参 数 满 足 条 件
dy
cx dy
dt
a d 0, ad bc 0 时，为稳定的奇点。
二、单选题 ( 本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
x
给 yn
y( 0)
2 x (1
0
yn 1 )dx; 求极限得：
ex2 1 y(0)
x
2 x(1
ex2
1)dx ，所以 ex2
1是方程的解……………………２ 分
0
○5 证明解是唯一的
设 y f(x), y h(x) 均为方程的解，并且两者不相等，则 f (0) h(0) 0 ，
G( x) f ( x) h( x) G ' (x) f ' ( x) h' ( x) 2 x(1 f ( x)) 2x(1 d(G( x)e ) x2 G ' (x)e x2 2xG( x)e x2 0
证明 : 任取 t 0 a, b ，根据解的存在唯一性定理，…………………………… 2 分
x ' =A(t)x 分别满足初值条件
1
0
0
1
x1 (t 0)
, x2 (t0 )
,
, xn (t0 )
0 0
……………………………………… 2 分
0
0
1
的解 x1(t), x2 (t), xn (t) 一定存在 . ……………………………………………… 2 分
4、求方程 dy 6 y xy 2的通解。 dx x
解：这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= y 1 ,算得 dz dx
y 2 dy ．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 dx
dz
代入原方程得到
dx
6 z x ，这是线性方程，求得它的通解为 x
c z= x 6
x2
．．２分
8
带回原来的变量
y，得到
t
(t ) t0
1( s) f (s)ds
3 e5t 1 et e t 2
20 4
5
3 e5t 1 et e t 1
10 2
5
…………… 2 分
６ /8
五、证明题（ 本题共 2 小题，分值 :10+9 ，满分 19 分 ） 1、已知方程 dy 2x(1 y), 并且满足 y(0) 0, 证明方程解存在唯一性 .
又 因 为 这 n 个 解 x1(t), x2 (t), xn (t ) 的 朗 斯 基 行 列 式 W (t 0) 1 0 ， 所 以
x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 一定是线性无关的，即证的所求。………………………… 3 分
８ /8
５ /8
是 x A sin t B cost ,
将 x A sin t B cost 代 入 原 方 程 得
( 6 A 2B)sin t (2 A 6B) 8sin 2t ,
所以有 6A 2B 8
2A 6B 0
6 A
5,
2 B
5
所以原方程的通解是 x C1et C 2e 2t
r ' r uuuur
述方程的两个解。证明极限 lim 1 t t
2 t 存在。
２ /8
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学号
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题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 阅卷人
一、填空题 ( 本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
1、微分方程 ( y ''' ) 2 y '' sin x ( y' )5 2xy sin x 0 的阶数是 3 ，是否为齐次线
x； x2 1 x4 ;
2
yn
x2
x4
x6
2! 3!
x2n ex2 1; …………………………………………２ 分 n!
○3 证明迭代的序列是收敛的
lim 由于构造的迭代序列收敛于一级数，及
yn ex2 1 ，证明 yn 是收敛的；
n
………………………………………………２ 分
○4 证明收敛到的级数极为方程的解
dx G( x)ex2 C
h( x))
2xG(x) ；
而当 x=0 时， G(0)=0， C 0, G (x) 0 ，与 f ( x) h( x) 相矛盾，所以解是唯
７ /8
一的 . 证毕 . ………………………………………………………………………
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2分文
2、 n 个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在 n 个线性无关解向量。
c1t c2et
C. x
1 c1t c2
t
D. x
11
c1 t
c2 t 2
3、 .微分方程的 y ' y2' 2 x x4 , y' 2 x x2 x4 y y2 公共解为 _______
3
2
2
3
A. y x 1 B. y x 1 C. y x D. y x
4、 ydx ( y x)dy 0 的积分因子为 _______