数据的分析章节教材分析

第二十章“数据的分析”简介

课程教材研究所左怀玲

从《标准》看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有四章。这四章内容采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。统计部分的三章内容按照数据处理的基本过程来安排。我们在7年级上册和8年级上册分别学习了“第4章数据的收集与整理”“第12章数据的描述”，本章是统计部分的最后一章，主要学习分析数据的集中趋势

和离散程度的常用方法。

在前两章中，我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法，将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处理工作后，数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些代表数据一般水平（典型水平）或分布状况的特征量。对于统计数据的分布的特征，可以从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数据远离其中心值（平均数）的趋势，三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。根据《标准》的要求，本

章从就前两个方面研究数据的分布特征。

全章教学约需15课时（不包括选学内容的课时数），具体内容和课时分配如下：

20．1 数据的代

表

约6课时

20．2 数据的波

动

约5课时

20．3 课题学

习

约2课时

数学活

动

小

结

约2课时

一、教科书内容与课程学习目标

本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。

下面是本章知识展开的结构框图。

本章知识的展开顺序如下图：

对于一组数据利用统计图表整理和描述以后，数据分布的一些面貌和特征就可以通过这些图表反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些特征量来表示这组数据的集中趋势或典型水平。这些特征量代表这组数据频数分布中大量数据向一点集中的情况，从而反映出数据资料的典型水平。例如，要想比较某校同年级两个班某学科的测验分数，不能将两个班每个学生的测验成绩一一列举出来进行比较。因为每个学生的分数由于多种因素的影响，大多是不相同的，用个别学生的成绩进行比较是得不出什么结果的。如果能够对每个班的学生成绩进行整理、加工之后，计算出一个或几个统计量来代表全班的测验水平，再比较就非常简单明了了。很显然，这个能够代表全班成绩水平的统计量应该具有以

下特点之一：

1．能够表明全班测验成绩中心点的统计量；

2．能够表明全班测验成绩排序最中间的统计量；

3．能够表明全班测验成绩出现最多的统计量；

4．能够表明全班测验成绩分布范围的统计量。

这些统计量之所以能够代表全班成绩去进行比较，是因为它们从不同的角度度量了全班测验成绩集中于哪一点或哪一个范围，因此把它们统称为集中趋势的度量，常用度量集中趋势的特征量有平均数、中位数、众数和分位数等，本章研究前三个统计量。

统计中常用的平均数有算数平均数（简单算数平均数和加权算数平均数）、调和平均数、几何平均数等。根据《标准》的要求，本章着重研究了加权平均数。本章第20.1节开始，首先给出一个农业方面的实际问题，要求根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一个计算加权平均数的问题。教科书没有直接给出利用加权平均数解决问题的做法，而是设置一个讨论栏目，给出一种学生中常见的一种错误解法（即直接求平均数的平均数），让学生讨论这种解法，通过讨论发现错误，找到产生错误的原因，借此给出正确的解法，引进加权平均数的概念。通过比较解决这个实际问题的正确与错误的解法，也使学生对“权”的意义和作用有所体会。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更好地说明这一点，教科书安排了2个例题，从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数。在求n个数的算数平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算数

平均数的公式进行简化，比如可以写成，如果将分别看成是的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权”的意义并不是很突

出。教科书在这里将两者统一起来，为的是使学生对加权平均数有一个较全面的认识。接下去，教科书又通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。利用计算器的统计功能可以方便地求出一组数据的平均数，但由于不同品牌的计算器的操作步骤不同，因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功能的使用，而是概要地介绍了一下过程。到此为止，教科书中涉及到的问题都是针对全体数据，不涉及样本数据的问题。本节最后，教科书结合一个例题，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深

的体会。

本章在第20.1.2小节，通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。对于中位数的这个作用，教科书通过一个比较典型的考察体育比赛成绩的例子来体现。另外，在这个例子中，也体现了用样本估计总体的思想。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。对于众数的这个作用，教科书也是通过一个典型的销售量问题来研究，在这个例子中，同样也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书结合一个具体问题，编写了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也样学生经历了一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。在这个过程中也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科