2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷和答案
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝．4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为．6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为．7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（﹣ln2）的值为．8．（5分）已知等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为．9．（5分）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为．11．（5分）设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是．12．（5分）若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为．13．（5分）设函数f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若对此函数图象上的任意一点B，都满足成立，则a的值为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．（1）求角A的大小；（2）若c＝7，，求a的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F∥平面ADE．17．（14分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6．（1）求实数m的值；（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）18．（16分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆C相交于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．①若m＝0，求k1k2的值；②若，求实数m的值．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．设函数f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）．（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t＝3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．（16分）已知数列{a n}，其中n∈N*．（1）若{a n}满足．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r+t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n+2﹣3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且恒成立，求k的最小值．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）直线l：2x﹣y+3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．以极点O为原点，极轴Ox 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数x、y、z，满足x+y+z＝3xyz，求xy+yz+xz的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．25．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有＝成立．（1）求a3的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列．2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．【解答】解：因为：﹣1∈A，﹣1∈B，1∈A，1∈B，2∈B，2∉A，故A∩B＝，故答案为：{﹣1，1}．2．【解答】解：∵z＝a+i，，∴a2+1＝2，∴a2＝1，∴a＝±1．故答案为：±1．3．【解答】解：n×∴n＝80故答案是804．【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，其中满足条件的有2个，故两位数是偶数的概率为：5．【解答】解：模拟流程图的运行过程如下，输入x＝﹣4时，x＝﹣4+2＝﹣2，x＝﹣2+2＝0，x＝0+2＝2，c＝2×2＝4，则输出c＝4．故答案为：4．6．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，∴＝2，解得m＝6．故答案为：6．7．【解答】解；根据题意，当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（ln2）＝e ln2+1＝3；又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣3；故答案为：﹣3．8．【解答】解：∵等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，∴，解得a1＝1，q＝2，∴a5＝＝1×24＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，∴＝＝，F到平面ABC的距离d＝＝＝2，∴三棱锥B﹣EFC的体积为：V B﹣EFC＝V F﹣BCE＝＝＝．故选：．10．【解答】解：根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M，则A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，为直线3x+4y＝7的上方以及直线部分，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小，此时P在直线3x+4y＝7上且MP与直线l垂直，此时|MP|＝＝2，∠APM＝×∠APB＝，则有r＝|MP|×sin∠APM＝2×＝1，即r的值为1；故答案为：1．11．【解答】解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，则有ω×α+＝2π，ω×β+＝3π，解可得α＝，β＝，若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则≤2π＜，解可得：≤ω＜，即ω的取值范围为[，）；故答案为：[，）．12．【解答】解：∵ab＝a+2b，a＞0，b＞0，∴ab≥8，∴1＜，∵abc＝a+2b+c，∴（ab﹣1）c＝a+2b，∴c＝＝＝1+的最大值．故答案为：13．【解答】解：设B（x，x3﹣a2x），由向量的数量积运算有：则＝（3，﹣1），＝（x，x3﹣a2x），＝（a，0），＝（x﹣a，x3﹣a2x），因为•≤，所以•≤0，即3（x﹣a）﹣（x3﹣a2x）≤0，即（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，又a＞0，由韦达定理可得，方程x2+ax﹣3＝0有一正根，一负根，由高次不等式可得：不等式（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，在x＞0时恒成立，则：x＝a为方程x2+ax﹣3＝0的正根，即2a2﹣3＝0，又a＞0，则a＝，故答案为：．14．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝；当n＝1时，有a3﹣a2＝a2﹣a1＝3，则a2＝3，a3＝6，a4＝3，a5＝，分析可得：在a4n﹣3、a4n﹣2、a4n﹣1、a4n中，最大为a4n﹣1，设b n＝a4n﹣1，则有b1＝a3＝6，且b n+1＝b n+6，变形可得：b n+1﹣8＝（b n﹣8），分析可得数列{b n﹣8}为首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则b n﹣8＝（﹣2）×（）n﹣1＝，则b n＝8﹣，则a4n﹣1＝8﹣，若对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m≥8，即m的最小值为8；故答案为：8二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．【解答】解：（1）由，得bc sin A＝bc cos A，因为A∈（0，π），所以tan A＝1，可得：A＝．……（6分）（2）△ABC中，cos B＝，所以sin B＝，所以：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，..（10分）由正弦定理，得＝，解得a＝5，…（14分）（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A＝”的，扣（1分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）16．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，…（2分）因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．…（6分）解：（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，…（8分）因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，又因为A1F⊥B1C1，在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1，…（10分）在（1）中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD，又因为A1F⊄平面ADE，AD⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE．…（14分）17．【解答】解：（1）由题f（6）＝29.6，代入，解得m＝12，（+）（2）由已知函数求导得：f′（x）＝+600•＝（12﹣x）令f′（x）＝0得x＝12，所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时．18．【解答】解：（1）椭圆C中，2c＝1，两准线间的距离为，得，所以，a ＝2，c＝1，所以，，因此，椭圆C的方程为；（2）①设点P（x0，y0），由于m＝0，则Q（﹣x0，﹣y0），由，得．所以，．②由①得A（﹣2，0）．方法一：设点P（x1，y1），设直线AP的方程为y＝k1（x+2），联立，消去y得，，由韦达定理可得，所以，，代入直线AP的方程得，所以，．由，得，整体代换得．设M（m，0），由P、Q、M三点共线得，即，化简得，所以，m＝1；方法二：设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，消去y得（4k2+3）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，由韦达定理可得，，而＝＝，化简得，得m2k2+mk2﹣2k2＝0，显然k2≠0，所以，m2+m ﹣2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（舍去）．此时，△＞0，因此，m＝1．19．【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3﹣tx2+1，得f′（x）＝3x2﹣2tx，由f′（x）＝0，得x＝0，或x＝t，因函数f（x）在（0，1）上无极值点，所以t≤0或t≥1，解得t≤0或t≥．……………………………（4分）（2）方法一：令f′（x）＝3x2﹣2tx＝p，即3x2﹣2tx﹣p＝0，△＝4t2+12p，当p＞﹣时，△＞0，此时3x2﹣2tx﹣p＝0存在不同的两个解x1，x2．……………………………………………………………………（8分）（方法二：由（1）知f′（x）＝3x2﹣2tx，令f′（x）＝1，则3x2﹣2tx﹣1＝0，所以△＞0，即对任意实数t，f′（x）＝1总有两个不同的实数根x1，x2，所以不论t为何值，函数f（x）在两点x＝x1，x＝x2处的切线平行．…………………………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为y＝（3﹣2tx1）x﹣2+t+1和y＝（3﹣2tx2）x﹣2+t+1，若两切线重合，则﹣2+t+1＝﹣2+t+1，即2[﹣x1x2]＝t（x1+x2），而x1+x2＝，化简得x1x2＝，此时＝﹣4x1x2＝﹣＝0，与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行…………………（10分）（3）当t＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，由（2）知x1+x2＝2时，两切线平行．设A（x1，﹣3+1），B（x2，﹣3+1），不妨设x1＞x2，过点A的切线方程为：y＝（3﹣6x1）x﹣2+3+1…………………………………………………（11分）所以，两条平行线间的距离d＝，化简得＝1+9，…………………………………………（13分）令＝λ（λ≥0），则λ3﹣1＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2+λ+1）＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2﹣8λ+10）＝0，显然λ＝1为一解，λ2﹣8λ+10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而＝λ（λ≥0），x1＞x2，x1+x2＝2，所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组………（16分）20．【解答】解：（1）①由{a n}满足，可得a4﹣a3＝4，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，累加可得a4＝8；②因，可得a n﹣a n﹣1＝q n﹣2，…，a2﹣a1＝1，q＝1时，a n＝n，满足题意；当q≠1时，累加得a n+1＝+a1，所以a n＝+a1，若存在r，s，t满足条件，化简得2q s＝q r+q t，即2＝q r﹣s+q t﹣s≥2＝2，此时q＝1（舍去），综上所述，符合条件q的值为1；（2）由c n＝b n+2﹣3，可知c n+1＝b n+3﹣3，两式作差可得：b n+3＝b n+2+b n+1，又由c1＝1，c2＝4，可知b3＝4，b4＝7，故b3＝b2+b1，所以b n+2＝b n+1+b n对一切的n∈N*恒成立，对b n+3＝b n+2+b n+1，b n+2＝b n+1+b n，两式进行作差可得a n+3＝a n+2+a n+1，又由b3＝4，b4＝7可知a3＝1，a4＝3，故a n+2＝a n+1+a n（n≥2），又由a n+22﹣a n+1a n+3＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2+a n+1）＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2a n+1）＝﹣a n+12+a n a n+2，n≥2，所以|a n+22﹣a n＝1a n+3|＝|a n+12﹣a n a n+2|，所以当n≥2时|a n+12﹣a n a n+2|＝5，当n＝1时|a n+12﹣a n a n+2|＝3，故k的最小值为5．[选修4-2：矩阵与变换]21．【解答】解：设直线l上一点（x，y），经矩阵M变换后得到点（x′，y′），所以＝，即，因为变换后的直线还是直线l，将点（x′，y′）代入直线l的方程，于是2ax﹣（x+dy）+3＝0，即（2a﹣1）x﹣dy+3＝0，所以，解得a＝，d＝1，………………（6分）所以矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣a）（λ﹣d）＝0，解得λ＝a，或λ＝d，所以矩阵的M的特征值为与1．…………………………………………………（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2+y2﹣2x＝0，所以圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C（1，0），半径r＝1，…………………………………………（3分）又，消去参数t，得直线l方程为：x+y﹣2＝0，…………………………………………（6分）所以圆心到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆C截得的弦长为：2＝．………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：因为x+y+z＝3xyz，所以＝3，………………………（5分）又xy+yz+xz＝∴由柯西不等式可得，（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2＝9，所以xy+xz+yz≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，所以，xy+xz+yz的最小值为3．………………………（10分）[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．【解答】解：（1）∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，又∵AD＝1，，∴A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），∵E为棱PB的中点，∴E（，）．∴＝（，1，﹣），＝（0，1，﹣），∴cos＜＞＝，∴异面直线EC与PD所成角的余弦值为；（2）由（1）得＝（，1，﹣），，，设平面BEC的法向量为，由，令x1＝1，得平面BEC的一个法向量为，设平面DEC的法向量为，由，令，得平面DEC的一个法向量为，∴cos＜＞＝，由图可知二面角B﹣EC﹣D为钝角，∴二面角B﹣EC﹣D的余弦值为﹣．25．【解答】（1）解：在＝中，令n＝1，则a1C10+a2C11＝a3﹣1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5，（2）证明：假设a1，a2，a3，…，a n是公差为2的等差数列，则a n＝2n﹣1，①当n＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝5，此时假设成立，②当n＝k时，若a1，a2，a3，…，a k是公差为2的等差数列，由a1C k﹣10+a2C k﹣11+a3C k﹣12+…+a k C k﹣1k﹣1＝（a k+1﹣1）2k﹣2，k≥2，对该式倒序相加，得（a1+a k）2k﹣1＝2（a k+1﹣1）2k﹣2，所以a k+1﹣a k＝a1+2＝1，所以a k+1＝2k+1＝2（k+1）﹣1根据①、②可知数列{a n}是等差数列．。
2019年江苏盐城南京高考数学一模试卷及解析
江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．2的焦点与双曲线py（5分）若抛物线的右焦点重合，则实数=2px．6．的值为x﹣a的值域为A，若A?[0．（5分）设函数y=e，+∞），则实数a的取值7．范围是8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S为等差数列{a}的前n项和，若{a}的前2017项中的奇数项和nnn为2018，则S的值为．2017=），f（xx）是偶函数，当x≥0时，511．（分）设函数f（．）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是若函数y=f（x，圆P3）上存在一点中，若直线y=k（x﹣12．（5分）在平面直角坐标系xOy22，则实数k的最小值为=1上存在一点Q ，满足=3 x+（y﹣1）．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．2B+sinAsinC＞19sinBsinC分）若不等式ksin对任意△ABC都成立，则实数．14（5k 的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，点M，N分别是111AB，AB的中点．11（1）求证：BN∥平面AMC；1（2）若AM⊥AB，求证：AB⊥AC．1111c=．，c 已知C的对边分别为a，b（16．14分）在△ABC中，角A，B，的值；，求cosB（1）若C=2B）的值．B=（2，求cos）若（17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略，的扇形，且弧为圆心、∠EOF=120°分别与边是以不计），其中OEMFO．N 相切于点M，BC，AD分米时，求折卷成的包装盒的容积；BE长为1（1）当？大最盒的容积成少分米时，折卷的包装多BE（2）当的长是：（a＞b＞16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C0）．18（的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交运动到点（）处时，点QNQ，Q，且点是线段OP的中点．当点P于点．的坐标为（）（1）求椭圆C的标准方程；=2y时，求直轴右侧，且，当点M，N均在y（2）设直线MN交轴于点D的方程．线BM2，其中n≥2，且n∈N，=aaa+λ（a﹣a）19．（16分）设数列{a}满足11nn12n ﹣+为常数．λ（1）若{a}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；n（2）若a=1，a=2，a=4，且存在r∈[3，7]，使得m?a≥n﹣r对任意的n∈n132N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a}不是常数列，如果存在正整数T，使得a=a对任意nnTn+的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a}中T的最小值．n+（a，b，c ∈R）．（（16分）设函数f（x）=lnx，gx）=ax20．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相0等的正实数x，x，使得g（x）=g（x）=f（x），求c的最小值；01122（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x，y），B（x，y）2112（x＜x）两点．求证：xx﹣x＜b＜xx﹣x．11112222[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22=1在矩阵M，求圆M=x的变换下所得的曲线方+y．22（10分）已知矩阵程．]：坐标系与参数方程[选修4-4的值．r）=1与曲线ρ=（r＞0）相切，求23．在极坐标系中，直线ρcos（θr+]4-5：不等式选讲[选修22的值．x+y满足x，yx3y+取最大值时=1，求当x．已知实数24，BD﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与交于点OP．25（10分）如图，四棱锥．OP=4AC=4中点，，BD=2，MOP⊥底面ABCD，点为PC所成角的余弦值；BMAP与1（）求直线所成锐二面角的余弦值．PAC2（）求平面ABM与平面0112n1n﹣．C++…nC），分）已知26．（10n∈N*nf（n=CC2C+C nnnnnn（1）求f（1），f （2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）?z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）?z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，0=1．时，y=e当x=0故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，n==6个球，基本事件总数从袋中一次随机摸出2，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，p=．个球的编号之和大于4的概率为∴摸出的2．故答案为：2p分）若抛物线y=2px的右焦点重合，则实数的焦点与双曲线6．（5．的值为6，【解答】解：∵双曲线的方程22，=5，可得=3a=4，bc=∴的右焦点为F（3，0因此双曲线），2=2px（py＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∵抛物线∴=3，解之得p=6．故答案为：6．x﹣a的值域为A，若A?[0分）设函数7．（5y=e，+∞），则实数a的取值．范围是（﹣∞，2]x A﹣【解答】解：函数y=ea的值域为x，∵e=2∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A?[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．．则α+β的值为﹣1）（tanβ﹣1）=2，58．（分）已知锐角α，β满足（tan α，1=tanαtanβtanα+tanβ+1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα【解答】解：∵（﹣，）1=═﹣∴tan（α+β∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），β=+．∴α．故答案为：9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是，] ．（0【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω＞0在区间[0，2π]上单调递增，∴，．即，]故答案为：（010．（5分）设S为等差数列{a}的前n项和，若{a}的前2017项中的奇数项和nnn 为2018，则S的值为4034．2017【解答】解：因为S为等差数列{a}的前n项和，且{a}的前2017项中的奇数nnn项和为2018，）×=1009×a=2018+a，得a=2．++所以S=aa+a+…a=1009×（a10091201711009320175奇）×=1008×a=1008×=1008+a×（a+a2=2016 …++则S=aaa+1009620162220164偶则S=S+S=2018+2016=4034．2017偶奇故答案为：4034．=）（时，≥）是偶函数，当（分）设函数（11．5fxx0fx，．）1，）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 [x若函数y=f（，][0，3可得f（x）∈【解答】解：由0≤x≤．）0，13时，f（x）∈（x＞的图象，如图所示，y=m（x）与画出函数y=f有四个不同的零点，m（x）﹣∵函数y=f个交点，4y=m的图象有∴函数y=f（x）与，），由图象可得m的取值范围为[1．），故答案为：[1，圆Px﹣）上存在一点3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（12 22的最小值为k=3﹣x +（y﹣1）=1上存在一点Q．，满足，则实数【解答】解：设P（x，y），Q（x，y）；2211y=k（x﹣3）①，则112=1②；﹣1）+（y2由=3，得，即，代入②得+=9；，3）到直线kx0此方程表示的圆心（rdk=0的距离为≤；﹣y﹣3，≤3即．解得﹣0≤k≤的最小值为﹣．∴实数k．故答案为：﹣，正六边形的顶1（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为13．的位置BA，四点均位于图中的“晶格点”处，且，“晶格点”．若AB，C，D点称为．24所图所示，则的最大值为，0）B（0【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A，（，），（﹣D的位置可以有三个位置，其中DC，那么容易得到（0，5）时，，）1，（﹣，，0），D）D（﹣32（﹣此时=），﹣，，（﹣，﹣=（﹣5=）（﹣，﹣）=，，，﹣），=22.5=21则?，?=24，?，的最大值为则24．24故答案为：2都成立，则实数对任意△＞+分）若不等式（14．5ksinBsinAsinC19sinBsinCABC k的最小值为100．22+ac＞19bc，+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：【解答】解：∵ksinkbB＞，∴k只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然c＞b时，表达式才能取得最大值，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，22，）﹣=100+10（）﹣（=20）∴＜﹣（1922=100．﹣10取得最大值当=10时，2020×﹣（）10∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，点M，N分别是111AB，AB的中点．11（1）求证：BN∥平面AMC；1（2）若AM⊥AB，求证：AB⊥AC．1111【解答】证明：（1）因为ABC﹣ABC是直三棱柱，所以AB∥AB，且AB=AB，1111111又点M，N分别是AB、AB的中点，所以MB=AN，且MB∥AN．1111所以四边形ANBM是平行四边形，从而AM∥BN．11又BN?平面AMC，AM?平面AMC，所以BN∥平面AMC；1111?侧面ABBAAA，而是直三棱柱，ABC所以AA⊥底面ABC，因为（2）ABC﹣1111111所以侧面ABBA⊥底面ABC．11又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABBA⊥底面ABC，侧面ABBA∩底面ABC=AB，1111CM⊥AB，且CM?底面ABC，得CM⊥侧面ABBA．11?侧面ABBA，所以AB⊥CM．又AB 1111又AB⊥AM，AM、MC平面AMC，且AM∩MC=M，11111所以AB⊥平面AMC．11又AC?平面AMC，所以AB⊥AC．111c=．c 已知a，b，分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为（16．14的值；，求cosB（1）若C=2B）的值．，求（2cos（）若B=为）因】解，得：（1【解答定c=，则由正弦理sinC=sinB．…（2分）sin2B=，所以分）又C=2B …（4 sinB，即．2sinBcosB=sinB cosB=，故＞0 …是△ABC的内角，所以sinB又B ．（6分）=，所以）因为cbcosA=bacosC（2，则由余弦定理，222222，得a=c． a =b+a﹣c …（10c得b+﹣分）=，…（12从而分）cosB=sinB=，所以π0又＜B＜=．=cosBcos ．﹣sinBsin= ）Bcos14（…从而（+分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略，EOF=120°分别与边的扇形，且弧不计），其中OEMF是以O为圆心、∠．M，NBC，AD相切于点分米时，求折卷成的包装盒的容积；BE长为1（1）当？最大盒的容积的分米时，折卷成包装少2（）当BE的长是多【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，EOT=∠EOF=60°在Rt中，因为∠，OET△OT=﹣．OT=，则所以MT=0MBE=MT=，即从而R=2BE=2．22﹣，﹣R=故所得柱体的底面积S=S﹣S=πRsin120°OEFOEF△扇形，EG=4又所得柱体的高．4EG=所以V=S×﹣（分米）时，折卷成的包装盒的容积为1﹣答：当4立方分米．BE长为（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积222，x（﹣）==S﹣S=SπR﹣Rsin120°OEFOEF△扇形，﹣EG=6又所得柱体的高2x 32），其中0＜x（﹣）x＜+3x所以V=S×EG=3（﹣．232，0＜x＜﹣x3+3x，f令（x）=2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，则由f′（x）=﹣3x解得x=2．列表如下：x2（2，30，2））（0﹣+（x）f′减增极大值xf（）所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q．）的坐标为（（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直的方程．BM线【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的，x方程为y=﹣，﹣）0．x=0，得点B的坐标为（令．+所以椭圆的方程为=12=4a．+将点N=1的坐标（，解得，）代入，得+=1所以椭圆C．的标准方程为﹣的方程为y=x），则直线BM0：设直线BM的斜率为k（k＞．（2）=x，中，令y=0在y=kx，得﹣P=的中点，所以xQ是线段OP．而点Q==kBN=2k．的斜率k所以直线BQBN22=．kx=0x，解得﹣x，得（联立，消去y3+4k8）M=．，得x用2k代k N，又=2所以x=2（x﹣x），得2x=3x，NMNNM k=，解得．，又k故2×＞==30×y=BM的方程为x所以直线﹣2，其中n≥2，且n∈）+满足=aaaλ（a﹣aN，a（19．16分）设数列{}11n1nn2﹣+为常数．λ（1）若{a}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；n（2）若a=1，a=2，a=4，且存在r∈[3，7]，使得m?a≥n﹣r对任意的n∈n123N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a}不是常数列，如果存在正整数T，使得a=a对任意nnTn+的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a}中T的最小值．n2，+λd﹣d）（a+d）（（【解答】解：1）由题意，可得aa=nn2=0，又d≠0，所以λ﹣1）dλ=1．化简得（（2）将a=1，a=2，a=4，代入条件，312可得4=1×4+λ，解得λ=0，a=aa，所以数列{a}是首项为1，公比q=2所以的等比数列，nn11n﹣+n1﹣．所以a=2n 欲存在r∈[3，7]，n1n1﹣﹣对任意n∈n﹣m?2m?2N*都成立，≥n﹣r，即r≥使得1n﹣≥对任意n∈，所以m则7≥n﹣m?2N*都成立．==，则b﹣b﹣=，b令nn1n+所以当n＞8时，b＜b；当n=8时，b=b；当n＜8时，b＞b．n1n9n1n8++的最小值为m=b；=，所以所以b的最大值为b8n9（3）因为数列{a}不是常数列，所以T≥2，n①若T=2，则a=a恒成立，从而a=a，a=a，23n41n2+所以，2=0，又λ≠0，所以a=a，可得{a所以λ（a﹣a）}是常数列，矛盾．n1221所以T=2不合题意．=（*），满足a=a恒成立．②若T=3，取a nnn3+22．a由λ=aa+（a﹣a），得λ=7122312．7+a则条件式变为a=a1nn1n﹣+222；）﹣aa=a+λ（a由2=1×（﹣3）+7，知a123k3k123k﹣﹣222；）a﹣aa7，知+=aaλ（）由（﹣31=2×+13k23k13k1+﹣222；）a﹣（+λa=aa，知+31由=2×（﹣）7a13k13k3k22++所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．+（a，b，c∈R）．（16分）设函数f（x）=lnx，gx）=ax20．（（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相0等的正实数x，x，使得g（x）=g（x）=f（x），求c的最小值；02121（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x，y），B（x，y）2121（x＜x）两点．求证：xx﹣x＜b＜xx﹣x．11122221=，所以f′（1））=0，又f′（x=1，）由【解答】解：（1f（x）=lnx，得f（1）﹣=a，（x）=ax）+，所以g′x当c=0时，g（，=a﹣b1所以g′（）处有相同的切线，x）的图象在x=1f（x）与g（因为函数，所以，即；﹣a=，解得b=，）（xaf（x）＞0，又b=3﹣，设t=f2（）当x＞1时，则000．）在（0，+∞）上有相异两实根x，x则题意可转化为方程axt+﹣c=t（＞0212﹣（c+t）x+（3﹣a）的方程即关于xax=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x，x．21，得，所以2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．c所以＞23a0因为时取等号）=3≥2?（当且仅当a=，＜＜，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3又﹣t＜0，所以．．3故c的最小值为（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，﹣）1，所以，两式相减，得b=xx（21要证明xx﹣x＜b＜xx﹣x，112221﹣）＜xx﹣x，xxx﹣x＜x（1即证12211221＜＜即证，＜﹣﹣＜1即证1ln﹣＜lnt＜t﹣t＞1，此时即证11．令=t，则﹣）=﹣1，所以φ′（（=＞0，令φt）=lntt+所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．﹣＜lnt成立；1＞0，即=0，所以φ（t）=lnt1+﹣）又φ（11=＜0=﹣，，所以﹣t+1m′（t）（再令mt）=lnt）单调递减，（mt所以当t＞1时，函数也成立．10，即lnt＜t﹣﹣）（1=0，所以m（t）=lntt+1＜又m．xxx﹣﹣，综上所述，实数xx满足xxx＜b＜11221122分．请202（在21.22.23.24四小题中只能选做题，每小题10分，计][选做题图选修把答案写在答题纸的指定区域内）[4-1：几何证明选讲]垂直，与⊙O的直径，直线DEO相切于点EAD为⊙分）如图，已知（21．10AB．到直径，求切点．若于点DEDDE=4EABEF的距离【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22=1在矩阵yM，求圆x的变换下所得的曲线方22．（10分）已知矩阵M=+程．22上任意一点，y+）是圆，解：设【解答】P（xyx=100，则=1设点P（x，y）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），00=，则，解得，…（即5分），=1，得代入=122的变换下所得的曲线方程为yM=1（．…10分）∴圆x在矩阵+=1]4-4：坐标系与参数方程[选修的值．）相切，求rr＞0θ）+=1与曲线ρ=r（23．在极坐标系中，直线ρcos（，转化为：=1θ，+）ρcos【解答】解：直线（222，y=rr＞0）转化为：x+曲线ρ=r（由于直线和圆相切，．则：圆心到直线的距离d=．所以r=1]4-5：不等式选讲[选修22的值．x，求当x+y．已知实数x，y满足x+3y取最大值时=1242222）]）≥（][1x?1+【解答】解：由柯西不等式，得[x++（（）2，2即．x+y）≥（222）3y+y=1，所以（分），所以﹣，…（5x而x+．）=时，（x由+，得，所以当且仅当x=，yy=max分）（10值为．…x所以当+y 取最大值时x，OBD交于点ABCDABCD的底面是菱形，AC与P．25（10分）如图，四棱锥﹣．OP=4，BD=2，AC=4MOP⊥底面ABCD，点为PC中点，所成角的余弦值；与BM1（）求直线AP所成锐二面角的余弦值．PACABM2（）求平面与平面【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．，=（01，﹣1，2（﹣2，0，4）），===cos＜=，＞．所成角的余弦值为与BM分）故直线AP．…（5，=（﹣1，﹣1，2）．（2（﹣）=2，1，0）的一个法向量为=（x，y，z设平面ABM），，得=（2，4则，令x=2，3）．的一个法向量为PAC又平面）1，0，，=（0===．＜∴cos＞所成锐二面角的余弦值为与平面分）（…．10故平面ABMPAC0112n1n﹣．CC+，nf（n）=C…C++2CnC26．（10分）已知n∈N*nnnnnn（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．CC=CC【解答】解：（1）由条件，nf（n）①，）=1．在①中令n=1，得f（1=6，得f（2）=3．在①中令n=2，得2f（2），故f（=10．3）在①中令n=3，得3f（3）=30．）=）猜想f（n（2n?+要证猜想成立，只要证等式2 ?=+…+成立．n?n2n①，…++xx由（1+x）+x=+=（1++nxx）两边同时对②，x求导数，可得+2x+n3x2n1n1﹣﹣（?）=可乘，得n（1++x等x把+式①和②x…+相+x ）2n1 2nn21﹣﹣③．x）+ n+（x2x+ 3nn的系数为等式右的左等式边系数为边x，nx?n…?3?2+?+++nC+C=CC+3?，n…+?=+2??=C．CCCn根据等式③恒成立，可得= 成立．）（故fn。
南京市、盐城市2019届高三年级数学第二次模拟考试参考答案(终稿)
南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{ x |1＜x ＜4} 2．－2 3． 18 4． 16 5．356． －4 7．y ＝±233x 8． 3 9．4＋4 3 10．(－2，3) 11．±21 12．2 13．(－9，13) 14．2＋12二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：(1)由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0． ·································································· 2分 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以（λ2－1）sin 2α＝0． ····································· 4分 因为0＜α＜π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0．又因为λ＞0，所以λ＝1． ···································································· 6分 (2)由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a ·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45． ···························· 8分因为0＜α＜β＜π2，所以—π2＜α－β＜0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－35． ············································· 10分所以tan(α－β)＝sin(α－β) cos(α－β)＝－34， ······················································· 12分因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β) tan β＝12． ···································· 14分16．(本小题满分14分)证明：(1)连接A 1B ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点． ································ 2分在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE ∥A 1C ． 又因为DE ⊄平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，所以DE //平面ACC 1A 1． ···································································· 6分 (2)由(1)知DE ∥A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥DE ． ······························· 8分 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝D ，AB 1，DE ⊂平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE ． 又因为AE ⊂平面ADE ，所以AE ⊥BC 1． ············································· 10分 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ．······················· 12分 因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC ＝B ，BC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥平面BCC 1B 1． ································································· 14分17．(本小题满分14分)解：过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H ．在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α． ··········································· 4分 由图可知，点P 处观众离点O 处最远． ····················································· 5分 在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos(α＋2π3) ·········· 7分＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin(2α＋π3)＋1600． ·················································· 10分因为α∈(0，π3)，所以当2α＝π6时，即α＝π12时，(OP 2)max ＝8003＋1600，即(OP )max ＝203＋20．······································· 12分因为203＋20＜60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． ········································ 13分 答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求． ········································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝ 2 ，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ···························································· 2分(2)解法1设直线的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0．因为直线l 交椭圆C 于两点，所以△＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)( 8k 2－2)＞0，解得－22＜k ＜22． ············································································ 4分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2．①设AB 中点为M (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－2)＝－2k1＋2k 2． ································ 6分 当k ≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，即k QM ·k ＝－2k1＋2k 2－0 4k 21＋2k 2－m ·k ＝－1．解得m ＝2k 21＋2k 2． ············································································ 8分当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k 21＋2k 2．因此m ＝2k 21＋2k 2．由0≤k 2＝m 2(1－m )＜12，解得0≤m ＜12． ············································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1， ······························································ 12分 消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0，所以x 1，x 2也是此方程的两个根，所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m ． ························································ 14分 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18． 所以m ＝2k 21＋2k 2＝15． ······································································ 16分解法2①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，依题意⎩⎨⎧x 122＋y 12＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12 (x 0≠0)．又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 02＝－12x 0(x 0－2)．当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 02＝－12x 0(x 0－2)．(i) ···································· 4分又因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，所以(x 0－m )(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0， 即y 02＝－(x 0－m )(x 0－2)．(ii) ····························································· 6分 由(i) (ii)，解得x 0＝2m ，因此y 02＝2m －2m 2． ········································ 8分 因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内，所以(2m )22＋(2m －2m 2)＜1，解得m ＜12．又y 02＝2m －2m 2≥0，得0≤m ≤1．综上，0≤m ＜12． ·········································································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1，消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0． (iii) ················· 12分 当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 02＋x 02)x 2－4x 02x ＋4x 02－4y 02＝0． 将(i)带入上式化得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0．(iv)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式． ····················· 14分由①可知m ＝x 02，代入(iii)化得x 2－2x 0x －2x 0＝0．(v)因为(iv)(v)是同一个方程，所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15． ············································································ 16分19．(本小题满分16分)解：(1)当a ＝2时，f (x )＝ln x －2x －2x ＋3，f '(x )＝1x －8(x ＋3)2，则f '(1)＝12． 又因为f (1)＝0，所以函数f (x )图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0． ·············································································· 2分 (2)因为 f (x )＝ln x －2x －2x －1＋2a所以f '(x )＝1x －4a (x －1＋2a )2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x (x －1＋2a )2＝(x －1)2＋4a 2－4a x (x －1＋2a )2， ··········· 4分 且f (1)＝0．因为a ＞0，所以1－2a ＜1． ①当4a 2－4a ≥0时，即a ≥1时，因为f '(x )＞0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)＝0，所以a ≥1满足条件． ······································································· 6分 ②当4a 2－4a ＜0时，即0＜a ＜1时，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞) 当x ∈(1，x 2)时，f '(x )＜0，则f (x )在(1，x 2)上单调递减，所以当x ∈(1，x 2)时，f (x )＜f (1)＝0，这与x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立矛盾． 所以0＜a ＜1不满足条件．综上，a 的取值范围为[1，＋∞)． ·························································· 8分 (3)①当a ≥1时，因为f '(x )≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不存在极值，所以a ≥1不满足条件． ······································· 9分 ②当 12＜a ＜1时，1－2a ＜0，所以函数f (x )的定义域为(0， ＋∞)，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)列表如下：由于f (x )在(x 1 ，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以12＜a ＜1不满足条件． ······························································ 11分③当a ＝12时，由f '(x )＝0，得x ＝2．列表如下：此时f (x )仅存在极小值，不合题意，所以a ＝12不满足条件．····································································· 12分④当0＜a ＜12时，函数f (x )的定义域为(0，1－2a )∪( 1－2a ， ＋∞)，且0＜x 1＝1－2a －a 2＜1－2a ，x 2＝1＋2a －a 2＞1－2a ．列表如下：所以f (x )存在极大值f (x 1)和极小值f (x 2)，················································ 14分 此时f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a＝ln x 1x 2－4a (x 1－x 2)(x 1－1＋2a )( x 2－1＋2a )因为0＜x 1＜1－2a ＜x 2，所以ln x 1x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1－1＋2a ＜0，x 2－1＋2a ＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以0＜a ＜12满足条件．综上，所以a 的取值范围为(0，12)． ·························································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1)因为(a 1a 2)2＝a 13a 3，所以a 22＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列． ················ 2分设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或13． ················································································· 4分(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a 1n ＋1a n ＋1n －1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a 1n ＋2a n ＋2n ，两式相除得a n ＋12＝a 1a n ＋2n a n ＋1n －1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n ＋2n ，(*) ······························ 6分 由（*），得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋3n ＋1，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋3n ＋1a n ＋2n ，即a n ＋22n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋3n ＋1， 所以a n ＋22＝a n ＋1a n ＋3，即a n ＋12＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *， ···························· 8分 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a n ＋12＝a n a n ＋2， n ∈N *，因此数列{a n }为等比数列． ······························································ 10分 ②当0＜q ≤2时，由n ＝1时，可得0＜a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2 n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2 n －1＝2n －1，所以0＜q ≤2满足条件． ································································· 12分 当q ＞2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1(1－q n )1－q≤2n－1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1． ···················································· 14分 因为q ＞2，0＜a 1≤1，所以a 1－q ＋1＜0， 因此a 1q n ＜(q －1)2n ，即(q 2)n ＜q －1a 1，由于q2＞1，因此n ＜log q 2 q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q ＞2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为0＜q ≤2． ··············································· 16分南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝1，a ＝4， a －3＝1，即⎩⎨⎧b ＝1，a ＝4． ·································································· 4分(2)因为|A |＝2×3－1×4＝2， ······································································ 6分所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －42 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －21． ··········································· 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)化为普通方程为：3x －y ＋2＝0． ······ 2分设P (cos θ，3sin θ) ，则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|(3)2+1＝|6cos(θ＋π4)＋2|2， ················ 6分取θ＝－π4时，cos(θ＋π4)＝1，此时d 取最大值，所以距离d 的最大值为6＋22． ······························································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥12时，有2x －1－x ≥2，得x ≥3． ······················································ 4分当x ＜12时，有1－2x －x ≥2，得x ≤－13． ··················································· 4分综上，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－13}． ··········································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16． ···························· 2分同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16．因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以 P (M )＝P 1＋P 2＝16＋16＝13．答：甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13． ····································· 4分(2)随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4， ··············································· 5分 则P (X ＝0)＝C 04×(13)0×(23)4＝1681， P (X ＝1)＝C 14×(13)1×(23)3＝3281， P (X ＝2)＝C 24×(13)2×(23)2＝2481， P (X ＝3)＝C 34×(13)3×(23)1＝881， P (X ＝4)＝C 44×(13)4×(23)0＝181， ························································ 8分 概率分布为：数学期望E (X )＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43． ······················· 10分23．（本小题满分10分）解：(1)当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0个或6个，则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1个或5个，则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2个或4个，则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2；因此T 的最小值为2． ······································································ 3分(2)首先证明：任意n ，k ∈N *，n ≥k ，有C k n ＋1＞C kn ．证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n ＞0，所以C k n ＋1＞C kn ．设2n 个点中含有p (p ∈N ，p ≤2n )个染红色的点， ①当p ∈{0，1，2}时，T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝(2n －2)(2n －3)(2n －4)6＝4×(n －1)(n －2)(2n －3)6， 因为n ≥4，所以2n －3＞n ，于是T ＞4×n (n －1)(n －2)6＝4C 3n ＞2C 3n ． ·············································· 5分②当p ∈{2n －2，2n －1，2n }时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同上可得T ＞2C 3n ． ········································································· 6分 ③当3≤p ≤2n －3时，T ＝C 3p ＋C 32n －p ，设f (p )＝C 3p ＋C 32n －p ，3≤p ≤2n －3， 当3≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)－f (p )＝C 3p ＋1＋C 32n －p －1－C 3p －C 32n －p ＝C 2p －C 22n －p －1， 显然p ≠2n －p －1，当p ＞2n －p －1即n ≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)＞f (p )， 当p ＜2n －p －1即3≤p ≤n －1时，f (p ＋1)＜f (p )，即f (n )＜f (n ＋1)＜…＜f (2n －3)；f (3)＞f (4)＞…＞f (n )；因此f (p )≥f (n )＝2C 3n ，即T ≥2C 3n ．综上，当n ≥4时，T ≥2C 3n ． ················································· 10分。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。
高三数学专题--2019届南京市、盐城市高三一模数学试卷
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 时间(单位:分钟) 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图7．设函数1x xy e a e =+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x -≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2c b =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，求cos()4B π+的值．有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第17题-图甲 F第17题-图乙如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷江苏卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8= 0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________. 12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABAC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分） 15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值；（2）若sinAa =cosB2b，求sin(B+π2)的值．16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a +y2b=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学
江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学数 学(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑, 其中11n i i x x n ==∑. 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 那么U A ð= .2.复数2(12)i -的共轭复数是 .3.某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 那么该组数据的方差为 .4.袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意 摸出2个小球, 那么摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列{}n a 中, 假设9753=++a a a , 那么其前9项和9S 的值为 .6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 那么目标函数23z x y =+的 最大值为 .7.如下图是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 那么ϕ的最小值为 .②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③假如两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行；④假如两个平面相互垂直,那么通过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.那么所有真命题的序号是.10.在ABC ∆中,假设9cos 24cos 25A B -=,那么BC AC的值为. 11.如图,在等腰三角形ABC 中,底边2=BC ,=,12AE EB =,假设12BD AC ⋅=-,那么⋅=. 12.1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点,点P 是椭圆的上任意一点,那么121||PF PF PF -的取值范围是. 13.假设x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+,那么cos 4y x 的值为.14.函数02,()(2),2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩,假设关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根,其最大根为,那么函数225()6724g t t t =-+的值域为. 【二】解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题总分值14分)在直三棱柱111C B A ABC -中,AB BC ⊥,D 为棱1CC 上任一点.(1)求证：直线11A B ∥平面ABD ；(2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .16、(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C 、(1)假设cos(A ＋)＝sinA ，求A 的值；(2)假设cosA ＝，4b ＝c ，求sinB 的值、17、(本小题总分值14分)近年来，某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采纳太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C 〔单位：万元〕与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100k C x x k x =≥+为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释(0)C 的实际意义,并建立F 关于x 的函数关系式；(2)当x 为多少平方米时,F 取得最小值？最小值是多少万元？18.(本小题总分值16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点M ,椭圆的离心率e =1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B .①假设直线MA 过坐标原点O ,试求2MAF ∆外接圆的方程；②假设AMB ∠的平分线与y 轴平行,试探究直线AB 的斜率是否为定值？假设是,请给予证明；假设不是,请说明理由.19、(本小题总分值16分)关于定义在区间D 上的函数()f x ,假设任给0x D ∈,均有0()f x D ∈,那么称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭,并说明理由； 假设函数3()1x a g x x +=+在区间[3,10]上封闭,求实数a 的取值范围； 假设函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭,求,a b 的值.20、(本小题总分值16分)假设数列{}n a 是首项为612t -,公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)假设数列{}n b 是等比数列,试证明:关于任意的(,1)n n N n ∈≥,均存在正整数n c ,使得1nn c b a +=,并求数列{}n c 的前n 项和n T ； (3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅,且{}n d 中不存在如此的项k d ,使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立〔其中2≥k ,*∈N k 〕,试求实数的取值范围、附加题部分〔本部分总分值40分，考试时间30分钟〕21、[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.〔选修4—1：几何证明选讲〕如图，圆O 的直径8=AB ,C 为圆周上一点,4=BC ,过C 作圆的切线,过A 作直线的垂线AD ,D 为垂足,AD 与圆O 交于点E ,求线段AE 的长、B.〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3,求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C 、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中,A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点,B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点,求AB 的最小值.D 、(选修4-5：不等式选讲〕设12,,,n a a a ⋅⋅⋅基本上正数,且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1,求证：12(1)(1)(1)2n n a a a ++⋅⋅⋅+≥.[必做题]第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22、〔本小题总分值10分〕某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1P 32=,乙的命中率为2P ,在射击比武活动中每人射击两发子弹那么完成一次检测,在一次检测中,假设两人命中次数相等且都许多于一发,那么称该射击小组为“先进和谐组”.假设2P 21=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 计划在2018年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,假如5≥ξE ,求2P 的取值范围.23、〔本小题总分值10分〕n x x f )2()(+=,其中*N n ∈、(1)假设展开式中含3x 项的系数为14,求n 的值；(2)当3=x 时,求证：)(x f *)s N +∈的形式.参考答案【一】填空题1.{}0,22.34i -+3.454.235.276.267.38.6π9.①③④10.2311.012.[0,2]+13.－114.41[,1)25-- 【二】解答题15.(1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB …………4分 而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,因此直线EF ∥平面ABD …………7分(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,因此1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =,因此AB ⊥面11BCC B ……………11分又AB ABD ⊂面,因此平面ABD ⊥平面11BCC B …………………14分17、解:(1)(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费………………………………2分 由(0)24100k C ==,得2400k =………………3分 因此24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++……………………………7分(2)因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥=+………………10分 当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号…………………………13分因此当x 为55平方米时,F 取得最小值为59.75万元………………………14分(说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分)18.解:(1)由e =，2222289c a b a a -==，得229a b =，故椭圆方程为222219x y b b +=……3分又椭圆过点M ，那么2218219b b+=，解得24b =，因此椭圆的方程为221364x y += …………………5分(2)①记12MF F ∆的外接圆的圆心为T .因为13OM k =,因此MA 的中垂线方程为3y x =-,又由M ,2F (),得1MF的中点为，而21MF k =-， 因此2MF 的中垂线方程为y x =-，由3y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得T …………8分 因此圆T=， 故2MAF ∆的外接圆的方程为221254x y ⎛⎛++= ⎝⎝………………10分(说明:该圆的一般式方程为22200x x y y +-=) (3)设直线MA 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为k -.联立直线MA与椭圆方程：221364y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 整理得()()2229113162108180k x k x k k ++-+--=，得1x =， 因此2x =-，整理得21x x -=，21x x +=-………13分又()()212221y y kx kx k x x -=-++-+-=-++=3210891k k -+=+，因此212113AB y y k x x -===-为定值………………16分19、解:(1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,因此()f x 的值域为[-3,0]………2分而[-1,0][2,1]⊄-,因此()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的………………4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意…………8分综上所述,实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,因此2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,因此()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解………………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a h a b≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分 ⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解…………………………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分20、解:(1)因为{}n a 是等差数列,因此(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,因此当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,因此13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,因此113232t --=⨯=,即1t =,因此612n a n =-………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n n c N -=+∈,那么116(23)12n n c n a b -+=+-=,因此命题成立…7分 数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+--…………………9分 (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,因此 ①假设3222t -<,即74t <,那么1n n d d +>,因此当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得74t ≤<…………13分 ②假设32232t ≤-<,即7944t ≤<,那么当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分 ③假设321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥, 那么当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列,当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 那么由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=……………15分 综上所述,的取值范围是t ≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥………16分 附加题答案21.A.解：连结AC BE OC ,,，那么AE BE ⊥、 ∵4=BC ,∴4===BC OC OB ,即OBC ∆为正三角形,∴ 60=∠=∠COB CBO ……………………………………………4分 又直线切⊙O 与C ，∴60DCA CBO ??， ∵AD l ^，∴906030DAC ?-=………………………6分而3021=∠=∠=∠COB ACO OAC ,∴60=∠EAB ………8分在Rt △BAE 中，∠EBA=30°，∴421==AB AE ……………10分 B 、解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………1分 因为31=λ方程)(=λf 的一根，因此1=x ……………………………………3分由04)1)(1(=---λλ,得12-=λ…………………………………………5分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α,那么⎩⎨⎧=--=--022022y x y x ,得y x -=……………8分令1,1-==y x 则,因此矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α…………10分C 、解:圆的方程可化为()2214x y ++=,因此圆心为()1,0-,半径为2…………………3分又直线方程可化为70x y +-=……………………………………………5分因此圆心到直线的距离d ，故min ()AB=2 (10)分D 、解:因为1a 是正数，因此11a +≥………………………………………5分同理1(2,3,)j a j n +=≥，将上述不等式两边相乘，得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,因此12(1)(1)(1)n n a a a +++≥2……………………………10分 22.解:(1)可得=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31……………………4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=,而ξ～),12(P B ,因此P E 12=ξ,由5≥ξE ,知512)9498(222≥⋅-P P ,解得1432≤≤P (10)分23.解:(1)因为28812rrr r x C T -+=,因此6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n ………5分 (2)由二项式定理可知,01201122(22222nn nn n n n n n n C C C C --=++++,设(2n x +==+，而假设有(2n +=+,a b N *∈，那么(2n -=,,a b N *∈ (7)分∵(2(21n n ⋅=⋅=，∴令,a s s N *=∈，那么必有1b s =-……………………………………9分∴(2n +必可表示成的形式，其中s N *∈ (10)分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数、。
2019年盐城市高考数学一模试卷(及答案)
24．已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y 1 x2 4
的焦点，离心率为 2 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
MA 1 AF ， MB 2 BF ，求 1 2 的值.
D． 1 AB 3 AC 44
6．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A． 1 4
B． 1 3
C． 1 2
D． 2 3
7．已知 sin cos 0 ，且 cos cos ，则角 是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
8．若 , 是一组基底,向量 =x +y (x,y∈R),则称(x,y)为向量 在基底 , 下的坐标,
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出.现有抛物线 y2 2 px( p 0) ，如图一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两 次反射后沿平行 x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为 4，则该抛物线的方程为
__________．
20．已知 OA 1 ， OB 3 ， OA • OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30 ，设
(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的长度为 2 5 ，求直线 l 的普通方程．
22．已知 a ， b ， c 分别为 ABC 三个内角 A , B , C 的对边， c 3asinC ccosA .
【真题】2019年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
15．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
（1）若 a=3c，b=
2
，cosB=
2
，求
c
的值；（2）若
sin
A
cos
B
，求
sin(B
)
的值．
3
a 2b
2
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16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E．
sin A sin B
2b b
从而 cos2 B (2sin B)2 ，即 cos2 B 4 1 cos2 B ，故 cos2 B 4 . 5
因为 sin B 0 ，所以 cos B 2sin B 0 ，从而 cos B 2 5 . 5
因此 sin
B
π 2
cos
B
25 5
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间 想象能力和推理论证能力.满分 14 分.
10．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的 x
最小值是 ▲ .
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自
然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ .
置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：
2019.1南京盐城两地2019届高三年级数学一模试卷及答案解析
南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考 数 学 试 题 2019.01(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.若集合(,1]A =-∞，{}1,1,2B =-，则AB = ▲ ．2.设复数z a i =+（其中i 为虚数单位），若2zz =，则实数的值为 ▲ ．3.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n = ▲ ．4.从1,2,3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 ▲ ．5.如图所示流程图中，若输入x 的值为4-，则输出c 的值为 ▲．6.若双曲线2212x y m-=的离心率为2，则实数m 的值为 ▲ ． 7.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()+1x f x e =，则()ln 2f -的值为 ▲ ．8.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，3=7S ，则5a 的值为▲ ． 9.如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4PA =，AC 1BC =，,E F 分别为,AB PC 的中点，则三棱锥B EFC -的体积为 ▲ ．10.设(){},347A x y x y =+≥，点P A ∈，过点P 引圆()()222+1=0x y r r +>的两条切线,PA PB ，若APB ∠的最大值为3π，则r 的值为 ▲ ． 11.设函数()sin()3f x x πω=+，其中0ω>.若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围是▲ ．C第9题ABPEF12.若正实数,,a b c 满足2ab a b =+，2abc a b c =++，则c 的最大值为 ▲ ．13.设函数()()320,0f x x a x a x =->≥，O 为坐标原点，()3,1A -，(),0C a ，对函数图象上的任意一点B ，都满足OA OB OA OC ⋅≤⋅成立，则a 的值为 ▲ ．14.若数列{}n a 满足1414242430,3n n n n a a a a a ----=-=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n N *∈，且对任意n N *∈都有n a m <成立,则m 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，若2S AB AC =⋅. （1）求角A 的大小； （2）若7c =，4cos 5B =，求a 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是棱1,BC CC 上的点(其中点D 不同于点C )，且A D D E⊥，F 为棱11B C 上的点，111A F B C ⊥于点F .求证：(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ；(2) 1//A F 平面ADE .17. (本小题满分14分)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，其中x 为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.（1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln 6 1.8=）第16题18. (本小题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线()():l y k x m mR =-∈与椭圆交于P Q 、两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k .①若0m =，求12k k 的值； ②若1214k k =-，求实数m 的值.19. (本小题满分16分)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 设函数()32()1f x x tx t R =-+∈.（1）若函数()f x 在(0,1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行；（3）当=3t 时，函数()f x 的图象存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组.20. (本小题满分16分)已知数列{}n a , 其中n N *∈.（1）若{}n a 满足()1+10n n n a a q q n N -*-=>∈，.① 当12, 1 q a ==且时，求4a 的值；② 若存在互不相等的正整数,,r s t ，满足2s r t =+，且,,r s t a a a 成等差数列，求q 的值；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n c ，+2=3,n n c b n N *-∈，若2121+21, 2, n n n a a a a a k +==-≤且恒成立，求k 的最小值.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4—2：矩阵与变换）直线:230l x y -+=经矩阵 01 a M d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值.B .（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长.C ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,x y z 满足3x y z xyz ++=，求xy yz zx ++的最小值.[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,1AD =,PA AB ==点E 是棱PB 的中点.(1)求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B EC D --的余弦值.PE23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且对任意*n N ∈，都有01212312(1)2n n n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅成立. （1）求3a 的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列.南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1,1- 2. 1± 3. 80 4.135. 46. 67. 3-8. 16 9.10. 1 11. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 87 13. 14. 8二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由2S AB AC =⋅，得sin cos bc A bc A =,所以tan 1A =,因为()0,A π∈，所以4A π=6分（2）ABC ∆中，4cos 5B =,所以3sin 5B =，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=分由正弦定理sin sin a c A C ==，解得=5a ..................................14分 （评分细则：第一问解答中不交代“()0,A π∈”而直接得到“4A π=”的，扣1分；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣1分.）16．证明：（1）在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面ABC . ... .. ....................2分因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥,又因为DE AD ⊥，在平面11B BCC 中，1BB 与DE 相交，所以AD ⊥平面11B BCC ，又因为AD ⊂平面ADE ,所以平面⊥ADE 平面11B BCC ..................6分(2) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB ⊥平面111A B C . ...................... ....... ..................8分 因为1A F ⊂平面111A B C ,所以11BB A F ⊥,又因为111A F BC ⊥，在平面11B BCC 中1111BBB C B =，所以1A F ⊥平面11B BCC , . ........ .............. .................. .............. ..........................10分在（1）中已证得AD ⊥平面11B BCC ，所以//1F A AD ，又因为1A F ⊄平面ADE ，AD ⊄平面ADE ,所以//1F A 平面ADE . ........ .............. .................. ..................... ..... .... ... ........................14分（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱1BB 与底面垂直”，从而得到“1BB AD ⊥和11BB A F ⊥”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“1A F ⊄平面ADE ”，扣2分.）17．（1）由题()629.6f =，代入()()2600ln 6422,144xf x m x x x m R x =-+-≤≤∈+，解得12m =……5分 （2）由已知函数求导得：])144()12(6001)[12()144(14460012)(22222+++-=+-+-='x x x x x x x x x f令0)(='x f 得12=x ，…………………………………………………………………9分答：（1）实数m 的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..…………………14分 （评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）18．解：（1）椭圆C 的离心率为12c e a ==，两准线间的距离为228a c =得24a c =，所以2a =，1c =，所以23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=.…………………………………………3分 （2）设00(,)P x y ，由于0m =，则00(,)Q x y --，由2200143x y +=得2200334x y =-，………5分 所以202000122200003334==22444x y y y k k x x x x --⋅==-+-+--……………………………………8分（3）由（1）得()2,0A -.方法一：设11(,)P x y ，设直线AP 的方程为AP ：()12y k x =+，联立()2211432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2222111(34)1616120k x k x k +++-=，所以21121161234A k x x k -⋅=+，………………10分 所以211216834k x k -=+， 代入()12y k x =+得11211234k y k =+，所以21122116812(,)3434k k P k k -++……12分由1214k k =-得2114k k =-，整体代换得211221124212(,)112112k k Q k k --++………………………13分 设(),0M m ，由P Q M 、、三点共线得//PM QM ，即22111122221111122421268()()3411211234k k k k m m k k k k ---⋅-=⋅-++++，化简得()()211164=0m k -+，所以=1m …16分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立()221143:x y l y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得22222(34)84120k x m k xm k +-+-=，所以21228+34mk x x k =+，2212241234m k x x k -⋅=+………10分 而()()()()22121212121212121212122+2+2+2++44k x x m x x m k x m k x m y y k k x x x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦=⋅=⋅==-++， ……13分化简得()2222223121416164k m m k mk k -=-++，即2222+20m k mk k -=，显然20k ≠，所以2+20m m -=，解得=1m 或2m =-（舍去）此时1 0=∴>∆m ， ……………………16分19. 解：（1）由函数32()1f x x tx =-+，得2()32f x x tx '=-，由()0f x '=，得0x =，或23x t =， 因函数()f x 在(0,1）上无极值点，所以203t ≤或213t ≥，解得0t ≤或32t ≥. …………4分 （2）方法一:令()232=f x x tx p '=-，即2320x tx p --=，2=412t p ∆+，当243t p >-时，0∆>，此时2320x tx p --=存在不同的两个解12,x x .………………………………………………8分（方法二：由（1）知2()32f x x tx '=-，令()1f x '=，则23210x tx --=，所以2(2)120t ∆=-+>，即对任意实数t ，()1f x '=总有两个不同的实数根12,x x ，所以不论t 为何值，函数()f x 在两点1x x =，2x x =处的切线平行.……………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为()2321111322+1y x tx x x tx =--+和()2322222322+1y x tx x x tx =--+，若两切线重合，则323211222+1=2+1x tx x tx -+-+,即()()221122122+x x x x t x x +=+，即()()21212122x x x x t x x ⎡⎤+-=+⎣⎦，而12x x +=23t ，化简得212=9t x x ⋅，此时()()2222121212444099t t x x x x x x -=+-=-=，与12x x ≠矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t ，函数()f x 的图象总存在两条切线相互平行…………………………………10分（3）当=3t 时32()3+1f x x x =-，2()36f x x x '=-，由（2）知12+=2x x 时，两切线平行.设()32111,3+1A x x x -,()32222,3+1B x x x -,不妨设12x x >，过点A 的切线方程为()23211113623+1y x x x x x =--+………………………………………11分所以，两条平行线间的距离d ==化简得()()262111=1+911x x ⎡⎤---⎣⎦，………………………………………13分 令()()211=0x λλ-≥，则()23191λλ-=-，即()()()221191λλλλ-++=-，即()()218100λλλ--+=，显然=1λ为一解，2810=0λλ-+有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而()()2112121=0, , =2x x x x x λλ-≥>+，所以1x 有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ................................……16分20．解：（1）由434a a -=，322a a -=，211a a -=，累加得48a =.………………………3分（2）①因11n n n a a q -+-=，所以21n n n a a q ---=，，211a a -=，当1q =时，n a n =，满足题意；当1q ≠时，累加得1111n n q a a q +-=+-，所以1111n n q a a q--=+-……………………………5分若存在,,r s t 满足条件，化简得2s r t q q q =+，即22r s t s q q --=+≥=，此时1q =（舍去）……………………………………………………………………………7分 综上所述，符合条件q 的值为1. ………………………………………………………………8分（2）②由*2,3N n b c n n ∈-=+可知331-=++n n b c ,两式作差可得：123++++=n n n b b b ，又由4,121==c c ，可知7,443==b b 故123b b b +=，所以n n n b b b +=++12对一切的*N n ∈恒成立……11分 对123++++=n n n b b b ，n n n b b b +=++12两式进行作差可得123++++=n n n a a a ,又由7,443==b b 可知3,143==a a ，故)2(,12≥+=++n a a a n n n …………………………13分又由)()(121213122++++++++⋅-+=-n n n n n n n n a a a a a a a a )2()(1121++++⋅-+=n n n n n a a a a a2,221≥+-=++n a a a n n n ,所以2221312n n n n n n a a a a a a +++++-=- ，……………………………15分 所以当2≥n 时5||221=-++n n n a a a ,当1=n 时3||221=-++n n n a a a ,故k 的最小值为5.………16分附加题答案21（A ）解：设直线l 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到点(,)x y ''， 所以 01 d a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即x axy x dy '=⎧⎨'=+⎩，因变换后的直线还是直线l ，将点(,)x y ''代入直线l 的方程， 于是2()30ax x dy -++=，即(21)30a x dy --+=，所以2121a d -=⎧⎨-=-⎩，解得321a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………6分所以矩阵M 的特征多项式0()()()01a f a d dλλλλλ-==--=--，解得a λ=或d λ=，所以矩阵的M 的特征值为32与1.…………………………………10分 21（B ）解：由2cos ρθ=，得22c o s ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)C ，半径1r =，…………………………………………………3分又212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l方程为20x +-=，……………………………6分 所以圆心到直线l 的距离12d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为. ……………………………………………………………………10分 21.（C ）因1xyz =，所以22222x y y z y +≥=，同理22222y z z x z +≥，22222z x x y x +≥，……………………………………………5分三式相加，得2222222(2()6x y y z z x x y z ++≥++=），所以2222223x y y z z x ++≥，当且仅当222222==x y y z z x 取等，即1x y z ===，所以222222x y y z z x ++的最小值为3. …………………………………………………10分22.解：（1）因PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因PA AB =1AD =，所以(0,0,0)A，B，,0)C ，(0,1,0)D，P ，…2分 因E 棱PB的中点，所以E .所以2(EC =，(0,1,PD =，所以cos ,EC PD <>==EC 与PD 分 （2）由（1）得2(EC =，(0,1,0)BC =，(2,0,0)DC =， 设平面BEC 的法向量为1111(,,)nx y z =，所以111100y y +=⎪=⎩， 令11x =，则11z =，所以面BEC 的一个法向量为1(1,0,1)n =，设平面DEC 的法向量为2222(,,)n x y z =，所以22220220x y z +-=⎪=， 令2z =，则21y =，所以面DEC 的一个法向量为2n =，所以12cos ,n n <>=B EC D --为钝角，所以二面角B EC D --的余弦值为. ……………………………………………10分23.（1）解：在012112312(1)2nn n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅中，令1n =，则01112131a C a C a +=-，由11a =，23a =，解得35a =. ………………………3分（2）假设1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2的等差数列，则21k a k =- ①当1n =时，123=1,3,5a a a ==, 此时假设成立………………………………………………4分 ②当n k =时，若1a ，2a ，3a ，，k a 是公差为2等差数列…………………………………5分 由0121211213111(1)2kk k k k k k k a C a C a C a C a ------+++++=-⋅，2k ≥，对该式倒序相加，得1211()22(1)2k k k k a a a --++=-⋅，所以1112k k a a a +-=+=，1212(1)1k a k k +=+=+-根据①、②可知数列{}n a 是等差数列.………………………………………………10分。
2019年江苏省南京市高考数学一模模拟数学试卷(解析版)
2019年江苏省南京市高考数学迎一模模拟数学试卷一．填空题（每题5分，共70分）1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B=．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是．4．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x 的值为．7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为．8．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a2b﹣．（填“＞”、“＜”或“=”）9．△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是．10．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M 是线段A1F上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是．12．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c 的值为．13．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f （x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是．14．若实数x，y满足x﹣4=2，则x的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．（1）求证：AE∥面DBC；（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．17．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P 的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n的最小值．20．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h （x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．[选做题]（选修4-2：矩阵与变换）21．已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ﹣）=2．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．24．已知（x+2）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．（1）求a0及S n=a i；（2）试比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（每题5分，共70分）1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x﹣2≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A={x|﹣2≤x≤2}，由B中不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】特称命题．【分析】根据特称命题的等价条件，建立不等式关系即可．【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．4．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出所有情况，让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况，能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况，所以P（任取三条，能构成三角形）==．故答案为：5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为30．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数．【解答】解：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3，而总数为100，因此频数为30．故答案为30．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x 的值为﹣4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2﹣2x+2=26，即可解得x的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，当输出的y的值为26时，显然x＜4，有x2﹣2x+2=26，解得：x=﹣4或x=6（舍去）故答案为：﹣47．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F 到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．8．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a＜2b﹣．（填“＞”、“＜”或“=”）【考点】不等式比较大小．【分析】作差即可得出大小关系．【解答】解：∵a≠b，a＜0，∴a﹣（2b﹣）=＜0，∴a＜2b﹣．故答案为：＜．9．△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则的取值范围是（﹣2，6）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求则的取值范围．【解答】解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），则=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m）．又∵点M在△ACD的内部（不含边界），∴1＜4m＜3，＜m＜，则═（1，4m）•（﹣3，4m）=16m2﹣3，∴﹣2＜16m2﹣3＜6，故答案为：（﹣2，6）．10．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q （q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．11．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F是棱BC的中点，M 是线段A1F上的动点，则△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是1．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F 在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值．【解答】解：由题意，就是求M到DD1与CC1距离和的最小值，由于A1F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF 上的点到D，C距离和的最小值，如图所示，O为所求，则由射影定理，可得，DO=，sin∠ADO=cos∠CDO=，∴CO==1，∴△MDD1与△MCC1的面积和的最小值是（1+）=+，故答案为： +．12．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则实数c 的值为．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，∴△=0，∴a2+4b=0，∴b=．∵关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），∴方程f（x）=c﹣1的两根分别为：m﹣4，m+1，即方程：﹣x2+ax=c﹣1两根分别为：m﹣4，m+1，∵方程：﹣x2+ax=c﹣1根为：，∴两根之差为：2=（m+1）﹣（m﹣4），c=﹣．故答案为：．13．若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k﹣1）x﹣1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f （x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是{2} ．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令=，则．由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣lnx为增函数，从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min=m（1）=1，即k≤2．综上，k=2．故答案为：{2}．14．若实数x，y满足x﹣4=2，则x的取值范围是[4，20]∪{0} ．【考点】基本不等式；函数的零点与方程根的关系．【分析】本题可以采用代数法和几何法，通过换元，数形结合，分类讨论求解变量x的取值范围．【解答】解：方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x＞0时，解答如下：令t=∈[0，]，原方程可化为：﹣2t+=，记函数f（t）=﹣2t+，g（t）=，t∈[0，]，这两个函数都是关于t的函数，其中x为参数，f（t）的图象为直线，且斜率为定值﹣2，g（t）的图象为四分之一圆，半径为为，问题等价为，在第一象限f（t），g（t）两图象有公共点，①当直线与圆相切时，由d=r解得x=20，②当直线过的点A（0，）在圆上的点（0，）处时，即=，解得x=4，因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，综合以上分析得，x∈[4，20]∪{0}．方法二：【代数法】令t=∈[0，]，原方程可化为：x﹣4t=2，因为x﹣y=x﹣t2≥0，所以x≥t2≥0，两边平方并整理得，20t2﹣8xt+x2﹣4x=0（*），这是一个关于t的一元二次方程，则方程（*）有两个正根（含相等），，解得，x∈[4，20]∪{0}．特别地，当x=0时，y=0，符合题意．故答案为：[4，20]∪{0}．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．∴tan（θ+）===﹣；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（﹣θ）==+=．16．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．（1）求证：AE∥面DBC；（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD ⊥DC．【解答】证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．17．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．【考点】正弦定理．【分析】（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km…12分18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P 的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得=b，解得b．又离心率e==，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．（2）把x=代入椭圆方程可得：，可得⊙D的方程为：．令x=0，解得y，可得|AB|，利用S△ABD=即可得出．（3）由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，联立解得E．设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．解得P．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．可得F．即可证明2m﹣k为定值．【解答】（1）解：∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，∴=b，化为b=1．∵离心率e==，b2=a2﹣c2=1，联立解得a=2，c=．∴椭圆C的方程为=1；（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=±．∴⊙D的方程为：．令x=0，解得y=±，∴|AB|=，∴S△ABD===．（3）证明：由（1）知：A1（﹣2，0），A2（2，0），B2（0，1），∴直线A1B2的方程为，由题意，直线A2P的方程为y=k（x﹣2），k≠0，且k≠，由，解得．设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴2x1=，∴x1=，y1=k（x1﹣2）=．∴．设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，．即=，∴x2=，∴F．∴EF的斜率m==．∴2m﹣k=﹣k=为定值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式＞2010的n的最小值．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【分析】（1）利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式＞2010的n的最小值．【解答】（1）证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n﹣1=S n﹣1+n﹣1，n≥2，两式相减得a n=2a n﹣1+1，n≥2，即a n+1=2（a n﹣1+1），n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1，n∈N*；（2）解：b n=（2n+1）a n+2n+1=（2n+1）•2n，∴T n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n，∴2T n=3•22+5•23+…+（2n+1）•2n+1，两式相减可得﹣T n=3•2+2•22+2•23+…+2•2n﹣（2n+1）•2n+1，∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2∴＞2010可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式＞2010的n的最小值为10．20．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h （x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（﹣1）﹣2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；（2）①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明．【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a=﹣2．由f′（1）=g（﹣1）﹣2，得a+1=b﹣2，所以b=1．所以h（x）=﹣x2+lnx+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0得．所以h（x）极大=h（）=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②证明：由题意得，即，①×②得．因为x1，x2＞0，所以﹣b（x1+x2）＞0，所以，因为0＜﹣b＜，所以e﹣b＞1，所以x1x2＞＞＞e2，所以＞1．[选做题]（选修4-2：矩阵与变换）21．已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】利用矩阵的乘法，求出MN，（NM）﹣1，利用变换得到的点的坐标为（8，4），即可求实数a，b的值．【解答】解：依题意，NM==，…由逆矩阵公式得，（NM）﹣1=，…所以=，即有a=5，b=﹣．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ﹣）=2．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；（2）设P（cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=2，整理得：ρ（sinθcos﹣cosθsin）=ρsinθ﹣ρcosθ=2，即ρsinθ﹣ρcosθ=4，则直角坐标系中的方程为y﹣x=4，即x﹣y+4=0；（2）设P（cosα，3sinα），∴点P到直线l的距离d==≥=2﹣，则P到直线l的距离的最小值为2﹣．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设ξ为随机变量，若为整数，则ξ=0；若为小于1的分数，则ξ=﹣1；若为大于1的分数，则ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）数对（x，y）共有16种，利用列举法求出使为整数的种数，由此能求出概率P（ξ=0）．（2）随机变量ξ的所有取值为﹣1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以；（2）随机变量ξ的所有取值为﹣1，0，1，ξ=﹣1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故，ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），故，∴P（ξ=0）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ﹣1 0 1Pξ的数学期望为．24．已知（x+2）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a n（x﹣1）n（n∈N*）．（1）求a0及S n=a i；（2）试比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，并说明理由．【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【分析】（1）令x=1，则，再令x=2，则，可得S n=a i 的值．（2）要比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n﹣1）3n+2n2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．猜测当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论．【解答】解：（1）令x=1，则，令x=2，则，所以S n=a i =4n﹣3n．（2）要比较S n与（n﹣2）3n+2n2的大小，只要比较4n与（n﹣1）3n+2n2的大小．当n=1时，4n＞（n﹣1）3n+2n2，当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，当n=4或5时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．猜想：当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2．下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时结论成立，即4k＞（k﹣1）3k+2k2，两边同乘以4，得4k+1＞4[（k﹣1）3k+2k2]=k3k+1+2（k+1）2+[（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2]，而（k﹣4）3k+6k2﹣4k﹣2=（k﹣4）3k+6（k2﹣k﹣2）+2k+10=（k﹣4）3k+6（k﹣2）（k+1）+2k+10＞0，所以4k+1＞[（k+1）﹣1]3k+1+2（k+1）2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞（n﹣1）3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，；当n=2或3时，4n＜（n﹣1）3n+2n2，S n＜（n﹣2）3n+2n2；当n≥4时，．第31页（共31页）。
【数学】2019南京盐城高三一模数学试卷及答案
此时满足 d = 2r ，又因为 d = 2 ，解得 r = 1。 【点评】隐形圆问题，求出 P 点满足的轨迹。分析题目得出直线与圆相切。难度中等。
11.设函数 f (x) = sin(x + ) ，其中 0 ，若函数 f (x) 在 0, 2 上恰有 2 个零点，则 的取值范围是
容量为 n 的样本，其中样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本的容量
【答案】 80 【解析】 A 产品占 2 = 20% ，16 20% = 80
2+3+5 【点评】考查分层抽样概念，样本容量概念，属于基础题型。
4. 从 1，2，3 中选 2 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率是
【点评】本题主要考察了三角形面积公式和正弦定理在三角形中的应用，属于中等难度.
16. （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， D, E 分别是棱 BC,CC1 上的点（其中点 D 不同于点 C ），且
AD ⊥ DE ， F 为棱 B1C1 上的点， A1F ⊥ B1C1 于点 F .
在 ABC 中，设 a,b,c 分别为角 A, B,C 的对边，记 ABC 的面积为 S ，若 2S = AB AC ,
（1）求角 A 的大小;
（2）若 c = 7,cos B = 4 ，求 a 的值. 5
【解析】(1)因为 2S = AB AC = bc cos A 且 S = 1 bc sin A 得： sin A = cos A , 2
因为在 △ABC 中， A (0, ) , 所以 sin A = cos A = 2 ，即 A= .
2
4(2)Biblioteka 由 cos B = 4 得： sin B = 3 ,
2019南京盐城一模数学
2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝a ＋i (其中i 为虚数单位)．若zz ＝2，则实数a 的值为________．3. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.4. 从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5. 在如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值为________．(第5题)(第9题)6. 若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为________．7. 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln 2)的值为________．8. 已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n .若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．9. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E 、F 分别为AB 、PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．10. 设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>o)的两条切线PA 、PB.若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．11. 设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f(x)在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12. 若正实数a 、b 、c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 13. 设函数f(x)＝x 3－a 2x(a>0，x ≥0)，O 为坐标原点，A(3，－1)，C(a ，0)．若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为________．14. 若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m 成立，则m 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记△ABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →. (1) 求角A 的大小；(2) 若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的点，且A 1F ⊥B 1C 1.求证：(1) 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2) A 1F ∥平面ADE.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝m ln x－x＋600xx2＋144－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln 6＝1.8)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．(1) 若函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，求t的取值范围；(2) 求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*, 若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试(一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y ＋3＝0经过矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d 变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t(t 为参数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知正实数x 、y 、z ，满足x ＋y ＋z ＝3xyz ，求xy ＋ yz ＋xz 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C0n＋a2C1n＋a3C2n＋…＋a n C n n＝(a n＋2－1)·2n－1成立．＋1(1) 求a3的值；(2) 证明：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. {－1，1}2. ±13. 804. 135. 46. 67. －38. 169. 36 10. 1 11. ⎣⎡⎭⎫56，43 12. 87 13. 6214. 815. (1) 由2S ＝AB →·AC →，得bc sin A ＝bc cos A ， 因为A ∈(0，π)， 所以tan A ＝1，即A ＝π4.故A 的大小为π4.(6分)(2) 在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以sin B ＝35，所以sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A·sin B ＝7210.(10分)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a 22＝77210，解得a ＝5.故a 的值为5.(14分)16. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC.(2分) 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.又因为AD ⊥DE ，在平面BCC 1B 1中，BB 1与DE 相交， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1.(8分) 因为A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1F.又因为A 1F ⊥B 1C 1，在平面BCC 1B 1中，BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.(10分)在(1)中已证得AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD.又因为A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE.(14分) 17. (1) 由题意，得f(6)＝29.6，代入f(x)＝m ln x －x ＋600xx 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，得m ln 6－6＋600×662＋144－6＝29.6，解得m ＝12.(5分)(2) 由已知函数求导得f ′(x )＝12－x x ＋600·144－x 2（x 2＋144）2＝(12－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋600（12＋x ）（x 2＋144）2. 令f ′(x )＝0得x ＝12，(9分)当x 变化时，所以函数在x ＝12处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．(12分)答：(1) 实数m 的值为12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为12时．(14分)18. (1) 在椭圆C 中，2c ＝2，两准线间的距离为2·a 2c ＝8，即a 2c ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①由(1)得，点A(－2，0)，设点P(x 0，y 0)， 由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)． 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.故k 1k 2的值为－34.(8分)②由(1)得，点A(－2，0)．设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0， 所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分) 所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)，得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分) 由k 1k 2＝－14得k 2＝－14k 1， 整体代换得点Q(24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k )．(13分) 设M(m ，0)，由P 、Q 、M 三点共线，得PM →∥QM →，即12k 13＋4k 21·⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21·(6－8k 213＋4k 21－m)， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，解得m ＝1.故实数m 的值为1.(16分)19. (1) 由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx ，由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝23t. 因为函数f(x)在区间(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1， 解得t ≤0或t ≥32. 故t 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(4分)(2) 由(1)知f′(x)＝3x 2－2tx ，令f′(x)＝1，则3x 2－2tx －1＝0，所以Δ＝(－2t)2＋12>0，即对任意实数t ，f′(x)＝1总有两个不同的实数根x 1，x 2， 所以不论t 为何值，函数f(x)的图象在点x ＝x 1，x ＝x 2处的切线平行．(8分)设这两条切线的方程分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1.若两条切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]＝t(x 1＋x 2)．又x 1＋x 2＝2t 3， 所以x 1x 2＝t 29， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，即x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾， 所以这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行．(10分)(3) 当t ＝3时，f(x)＝x 3－3x 2＋1，则f′(x)＝3x 2－6x ，由(2)知当x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1>x 2，则过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分)所以两条平行线间的距离d ＝||2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）1＋9（x 21－2x 1）2 ＝||（x 2－x 1）[]2（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－3（x 1＋x 2）1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋9[(x 1－1)2－1]2，(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ≥0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)(λ2－8λ＋10)＝0，显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有三解．又(x 1－1)2＝λ(λ≥0), x 1>x 2, x 1＋x 2＝2，所以x 1有三解，所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)20. (1) ①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分)②因为a n ＋1－a n ＝q n －1，所以a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1，当q ＝1时，a n ＝n ，满足题意； 当q ≠1时，累加得a n ＋1＝1－q n1－q＋a 1， 所以a n ＝1－q n －11－q ＋a 1.(5分) 若存在r ，s ，t 满足条件，化简得2q s ＝q r ＋q t ，即2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s ＝2，此时q ＝1(舍去)．(7分)综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2) 由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，又由c 1＝1，c 2＝4，可知b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1，所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1，又由b 3＝4，b 4＝7可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n ≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5；当n ＝1时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)21. A . 设直线l 上一点(x ，y )，经矩阵M 变换后得到点(x ′，y ′)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 01d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝x ＋dy ， 因为变换后的直线还是直线l ，将点(x ′，y ′)代入直线l 的方程，得2ax －(x ＋dy )＋3＝0， 即(2a －1)x －dy ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝2，－d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，d ＝1，(6分) 所以令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a 0－1λ－d ＝(λ－a )(λ－d )＝0， 解得λ＝a 或λ＝d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1.(10分) B. 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2－2x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1，0)，半径r ＝1.(3分)又⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝12t ，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，(6分)所以圆心到直线l 的距离d ＝||1－212＋（3）2＝12，所以直线l 被圆C 截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3. (10分) C. 因为x ＋y ＋z ＝3xyz ，所以1xy ＋1yz ＋1zx＝3.(5分) 又(xy ＋yz ＋zx )·⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ≥(1＋1＋1)2＝9， 所以xy ＋yz ＋zx ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，所以xy ＋yz ＋zx 的最小值为3. (10分)22. (1) 因为PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．又因为PA ＝AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)．(2分) 因为E 为棱PB 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫22，0，22， 所以EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，PD →＝(0，1，－2)， 所以cos 〈EC →，PD →〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63， 所以异面直线EC 与PD 所成角的余弦值为63.(6分) (2) 由(1)得EC →＝⎝⎛⎭⎫22，1，－22，BC →＝(0，1，0)，DC →＝(2，0，0)． 设平面BEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 1＋y 1－22z 1＝0，y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝1，所以平面BEC 的一个法向量为n 1＝(1，0，1)．设平面DEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x 2＋y 2－22z 2＝0，2x 2＝0，令z 2＝2，则y 2＝1，所以平面DEC 的一个法向量为n 2＝(0，1，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝21＋1×1＋2＝33， 由图可知二面角BECD 为钝角，所以二面角BECD 的余弦值为－33. (10分)23. (1) 在a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1中，令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 11＝a 3－1， 由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5. (3分)(2) 假设a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列，则a k ＝2k －1. ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5, 此时假设成立；(4分) ②当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，a 1，a 2，a 3，…，a k 是公差为2的等差数列．(5分)由a 1C 0k －1＋a 2C 1k －1＋a 3C 2k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)·2k －2，k ≥2， 对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2k －1＝2(a k ＋1－1)·2k －2，所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，所以a k ＋1＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1. 根据①、②可知数列{}a n 是等差数列．(10分)。
2019年江苏高考数学试题及答案
2 1 n21 n绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据 x , x ,…, x的方差s = ∑( x - x ) ，其中 x = ∑ x ．12nn i =1n i =1柱体的体积V = Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．1锥体的体积V = Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1. 已知集合 A = {-1, 0,1, 6}， B = {x | x > 0, x ∈ R }，则 A B = ▲ .2. 已知复数(a + 2i)(1+ i) 的实部为 0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ▲.3. 下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ .注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。
本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4. 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
iiy4 4. 函数 y 的定义域是 ▲ .5. 已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲.6. 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 22 - = 1(b > 0) 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是b2▲ .8. 已知数列{a }(n ∈ N *) 是等差数列， S 是其前 n 项和.若a a+ a = 0, S = 27 ，则 S 的值是 ▲. nn2 58989. 如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的体积是 120，E 为CC 1 的中点，则三棱锥 E -BCD 的体积是 ▲.10. 在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y = x +4(x > 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x +y =0 的距离的 x最小值是 ▲.11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y =ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ .12. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边 AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若 AB ⋅ AC = 6 A O ⋅ EC ，AB则的值是 ▲ .AC13. 已知tan α =- 2 ，则sin ⎛2α + π ⎫ 的值是 ▲ .⎛ π ⎫ 3 4 ⎪ tan α + ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭ 7 + 6x - x 2⎨1 y 14. 设 f (x ), g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数， f (x ) 的周期为 4， g (x ) 的周期为 2，且 f (x ) 是奇函数.当 x ∈ (0, 2] 时， f (x ) = ⎧k (x + 2), 0 < x ≤ 1 ， g (x ) = ⎪ - ,1 < x ≤ 2，其中 k >0.若在区间(0，9]上，关 ⎪⎩ 2于 x 的方程 f (x ) = g (x ) 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1） 若 a =3c ，b =2，cos B = ，求 c 的值；3（2） 若sin A = cos B ，求sin(B + π) 的值． a 2b 216．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面 DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : x a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的焦点为 F 1（–1、0），b 2F 2（1，0）．过 F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，l 与圆 F 2: (x -1)2 + y 2 = 4a 2交于点 A ，与椭圆 C交于点 D .连结 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B ，连结 BF 2 交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1．1- (x -1)2 2 25已知DF1= ．2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16 分）设函数f (x) = (x -a)(x -b)(x -c), a, b, c ∈ R 、f ' (x) 为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ' (x) 的零点均在集合{ - 3,1, 3} 中，求f（x）的极小值；⎢2 2⎥ （3） 若a = 0, 0 < b … 1, c = 1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤4．2720．（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n } (n ∈ N * ) 满足：a 2a 4 = a 5 , a 3 - 4a 2 + 4a 1 = 0，求证:数列{a n }为“M －数列”；1 22（2）已知数列{b n }满足: b 1 = 1, S = b - b ，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和．n n n +1①求数列{b n }的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n } (n ∈ N *) ，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c k ≤ b k ≤ c k +1成立，求 m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）已知矩阵 A = ⎡3 1 ⎤⎣ ⎦（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A ⎛ 3,π ⎫, B ⎛ 2, π ⎫ ，直线l 的方程为 ρ sin ⎛θ + π ⎫ = 3 . 4 ⎪ 2 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设 x ∈ R ，解不等式|x |+|2 x -1|>2 .【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设(1+x)n=a +a x +a x2++a x n, n…4,n ∈N*.已知a2= 2a a .012n3 2 4（1）求n的值；（2）设(1+ 3)n=a +b 3 ，其中a, b ∈N*，求a2- 3b2的值.23.（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n = {(0, 0), (1, 0),(2, 0),⋯,(n, 0)} ，B ={(0,1),(n,1)}, C= {(0, 2), (1, 2),(2, 2), , (n, 2)}, n ∈N*.n n令Mn =AnBnCn.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.解析版绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第20 题，共20 题)。
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a1＝1，a2＝2，且
恒成立，求 k 的最小值．
[选修 4-2：矩阵与变换] 21．（10 分）直线 l：2x﹣y+3＝0 经过矩阵 M＝
变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征
值． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．以极点 O 为原点，极轴 Ox
所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为
（t 为参数），
求直线 l 被圆 C 截得的弦长． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知正实数 x、y、z，满足 x+y+z＝3xyz，求 xy+yz+xz 的最小值． [必做题]（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 24．（10 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AD＝1，
，点 E 是棱 PB 的中点． （1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣EC﹣D 的余弦值．
25 ．（ 10 分 ） 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 3 ， 且 对 任 意 n∈N* ， 都 有
对此函数图象上的任意一点 B，都满足
成立，则 a 的值为
．
14．（5 分）若数列{an}满足 a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，
＝
＝，
其中 n∈N*，且对任意 n∈N*都有 an＜m 成立，则 m 的最小值为
．
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
（2）设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2． ①若 m＝0，求 k1k2 的值；
②若
，求实数 m 的值．
19．（16 分）若函数 y＝f（x）在 x＝x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y＝f（x）的 极值点．设函数 f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）． （1）若函数 f（x）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围； （2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行； （3）当 t＝3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样 的平行切线共有几组？请说明理由．
的值为
．
9．（5 分）如图，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝4，
，BC＝1，E，F 分别为 AB，
PC 的中点，则三棱锥 B﹣EFC 的体积为
．
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10．（5 分）设 A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点 P∈A，过点 P 引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的
两条切线 PA，PB，若∠APB 的最大值为 ，则 r 的值为
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17．（14 分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的 号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外 地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示， 近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 x 为每天的时刻．若在凌晨 6 点
请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（14 分）在△ABC 中，设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，记△ABC 的面积为 S，
且
．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 c＝7，
，求 a 的值．
16．（14 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 AD⊥DE，F 为棱 B1C1 上的点，且 A1F⊥B1C1． 求证： （1）平面 ADE⊥平面 BCC1B1； （2）A1F∥平面 ADE．
20．（16 分）已知数列{an}，其中 n∈N*．
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（1）若{an}满足
．
①当 q＝2，且 a1＝1 时，求 a4 的值；
②若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2s＝r+t，且 ar，as，at 成等差数列，求 q 的值． （2）设数列{an}的前 n 项和为 bn，数列{bn}的前 n 项和为 cn，cn＝bn+2﹣3，n∈N*，若
．
11．（5 分）设函数
，其中 ω＞0．若函数 f（x）在[0，2π]上恰有 2 个
零点，则 ω 的取值范围是
．
12．（5 分）若正实数 a，b，c 满足 ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则 c 的最大值为
．
13．（5 分）设函数 f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O 为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若
．
5．（5 分）如图所示流程图中，若输入 x 的值为﹣4，则输出 c 的值为
．
6．（5 分）若双曲线
的离心率为 2，则实数 m 的值为
．
7．（5 分）已知 y＝f（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）＝ex+1，则 f（﹣ln2）
的值为
．
8．（5 分）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a2＝2，S3＝7，则 a5
时刻，测得空气质量指数为 29.6． （1）求实数 m 的值； （2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）
18．（16 分）已知椭圆
的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间
的距离为 8，直线 l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆 C 相交于 P、Q 两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
，则实数 a 的值为
．
3．（5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现用
分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件．那么此样本的容
量 n＝
．
4．（5 分）从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为
2019 年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）
1．（5 分）已知集合 A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则z＝a+i（其中 i 为虚数单位），若