(完整word版)高等数学复习第一至第四章公式默写资料
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高数复习公式word版
高等数学知识点总结（公式）第一章 极限 1.常用极限：1||1||0)80)7sin )6)1(,)1()52arctan ,2arctan )4ln ,ln )31(,,0),1(,0,)2;0,1,1,1)1lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim 1lim lim lim lim 01010100000>∞<=>∞<==++++++==+=+-==-∞=+∞=<+∞==>=+∞==-∞=+∞=∞=∞→∞→→→∞→-∞→+∞→→+∞→-∞→+∞→-∞→+∞→∞→→→→+-+q q q nm nm n m b a b x b x b a x a x a k x kxe ax e x ax x x x a a a a a a x xx nn nm nnm m x x axx a x x x x x x x x x x x x x x x x x x xππ9）下列极限不存在也不为无穷：xx x x x x a x x x x 1000lim lim lim lim lim ;1cos ;1sin ;cos ;sin →→→∞→∞→2.常用的等价无穷小（当0→x 时）sinx~x tanx~x 1-cosx~22x arcsinx~x arctanx~xln(1+x)~x 1-x a ~xlnx 第二章 导数 1.导数基本公式2.双曲函数：3.求导法则：2''''''''''')()()())(()(v uv v u v u uv v u uv v u v u Cu Cu -=+=-+=-+=y=f(x)的反函数为x=g(y)则)(1)('y g x f =)0)(('≠y g 复合函数求导 4.高阶导数2''1''2211)(arcsin cos )(sin )0()(0)(ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan x x x x x uxx C ax x aa a x x x x x x x x x x u u a x x -==>==='='⋅-='⋅='-='='-2'2'''222211)cot (11)(arccos 1)(ln )(11)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x xx e e x x arc x x x x x x x x +-=--===+-='+='--='-='xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦xn n x ax n n ax n n n n n n nn n n n n n n a a y a y ab n x e b a y bx e y n x y x y n x y x y a n y x a x a x a a y x n y x y xn y x y nn x n y x y )(ln ,).8arctan ),sin()(,sin ).7)2cos(,cos ).6)2sin(,sin ).5!,).4)1()!1()1(),1ln().3!)1(,1).20)1()1(,).1)(22)()()()(22101)(1)()(===++==+==+===++++=+--=+=-==<≥+--==-+-φφππααααααα5.莱布尼茨公式)()(0)()(k k n nk kn n v u uv C -=∑=三角公式6.基本初等函数的微分公式2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±dxx x arc d dx xx d dxxx d dxxx d dx xx d dx ax x d e e d adx a a d xdx x x d xdx x x d x x d xdx x d xdx x d xdx x d dx ux x d C d a x x x x u u 222222111)cot ()1611)(arctan )1511)(arccos )1411)(arcsin )131)(ln )12ln 1)(log )11)()10ln )()9cot csc )(csc )8tan sec )(sec )7csc )(cot )6sec )(tan )5sin )(cos )4cos )(sin )3)()20)()1+-=+=--=-=====-==-==-====- 第三章 中值定理和导数应用1.费马引理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必达法则。
高数大一知识点总结前四章
高数大一知识点总结前四章在大一的学习生活中，高等数学是一个非常重要的课程。
对于初学者来说，高数可能是一个挑战，因为它包含了许多新的概念和方法。
然而，只要我们掌握了一些基本的知识点，就能够更好地理解和应用高数。
下面，我将总结前四章的知识点，希望能够对大家的学习有所帮助。
第一章：数列与极限1. 数列的概念和表示方式：数列是按照一定规律排列的一组数，通常用通项公式表示。
2. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列等。
常数数列的通项公式是恒等于一个常数；等差数列的通项公式是数列的第一个项加上公差与项数的乘积；等比数列的通项公式是数列的第一个项乘以公比的n-1次方。
3. 数列极限：当数列的项数逐渐增加时，数列可能会无限接近于某个数或取得无穷大的值。
这个无限接近的数被称为数列的极限。
第二章：函数与连续1. 函数的概念与性质：函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。
函数有定义域和值域两个重要的概念。
同时，函数有奇偶性、周期性等性质。
2. 基本初等函数：常见的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 函数的图像与性质：通过研究函数的图像，我们可以了解函数的性质，如单调性、极值点、零点、拐点等。
4. 连续性与间断点：函数在某一点处的极限等于函数在该点处的取值时，我们称该函数在该点处连续。
函数的间断点有可去间断、跳跃间断和无穷间断三种情况。
第三章：导数与微分1. 导数的概念与计算：导数描述了函数在某一点附近的变化率。
导数的计算可以使用极限的方法，也可以使用导数的基本性质进行计算。
2. 导数的性质与应用：导数有用于判断函数的增减性、求解极值和绘制函数图像的重要作用。
导数可以用于线性逼近、速度、密度和最优化等实际问题的求解。
3. 高阶导数与微分：高阶导数是导数的导数，它描述了函数在某一点处的曲率和变化率。
微分是函数值的增量与自变量的增量之间的关系。
第四章：不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分是求解原函数的过程，常用的记号是∫f(x)dx。
(完整word版)高数部分知识点总结(word文档良心出品)
1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-aa a 02偶函数偶函数。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
(完整word版)高中数学公式及知识点总结大全(精华版)
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
(完整word版)成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)
成人高考高升专数学常用知识点及公式第1章 集合和简易逻辑知识点1：交集、并集、补集1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现知识点2：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。
若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。
题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发：①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况第2章 不等式和不等式组知识点1：不等式的性质1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”）解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。
2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。
3. 如：6x+8>9x-4，求x ？ 把x 的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除-3得x<4（记得改变符号）。
(完整版)高等数学笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
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x
x
三角函数公式： · 诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
C
a2 x2
dx
a 1
ln x aa
C
x2 a2 2a x a
dx 1 ln a x C
a2 dxx2
2a a arcsin
x xC
a2 x2
a
dx cos2
x
sec
x2dx
tgx
C
dx sin 2
x
csc2
xdx
ctgx
C
sec x tgxdx sec x C
csc x ctgxdx csc x C
]
b
抛物线法 f (x)
b3na[( y0 yn ) 2( y2 y4 yn2 ) 4( y1 y3 yn1 )]
a
定积分应用相关公式：
功：W F s
水压力：F p A
引力：F
k
m1m2 r2
,
k为引力系数
函数的平均值：y
1
b
f (x)dx
ba a
均方根： 1
b
f 2 (t)dt
(arccos x) 1 1 x2
(arctgx) 1 1 x2
(arcctgx) 1 1 x2
基本积分表：
高等数学知识点总结及公式大全
高等数学知识点总结及公式大全《高等数学知识点总结及公式大全》摘要：本文对高等数学的知识点进行了全面总结，同时提供了常用的公式大全，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的内容。
第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的概念、有界性、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续性：极限的定义、无穷小与无穷大、函数的连续性等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、可导性、导数运算法则等。
2. 常用函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶微分的概念。
第三章：积分与数列级数1. 不定积分与定积分：不定积分的定义、基本积分公式、换元积分法等。
2. 定积分的概念与性质：定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。
3. 数列与级数：数列的概念、收敛性、级数的概念、收敛判别法等。
第四章：微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
2. 二阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
第五章：无穷级数1. 数列极限：数列极限的概念、单调有界数列的性质、数列极限的计算等。
2. 函数项级数：函数项级数的概念、收敛性、收敛域等。
附录：公式大全1. 三角函数的基本公式。
2. 求导法则与微分公式。
3. 函数的积分公式。
4. 数列与级数的常用公式。
总结：高等数学是大学数学的重要组成部分，本文通过全面总结了高等数学的主要知识点，为读者提供了常用的公式大全，为学习和应用高等数学提供了便利。
读者可以通过阅读和实践来深入理解和掌握高等数学的相关内容，并在实际问题中灵活运用。
希望本文对读者有所启发和帮助！。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
(完整版)高数一知识点
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
高一数学必修一公式默写-打印版
高一数学必修一公式默写-打印版介绍这份文档提供了高一数学必修一的公式默写内容，可以用于打印，以便学生在研究和复过程中使用。
公式列表以下是高一数学必修一的公式列表：1. 一次函数的标准方程：$$y = kx + b$$2. 一次函数的斜率公式：$$k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 -x_1}}$$3. 二次函数的标准方程：$$y = ax^2 + bx + c$$4. 二次函数的顶点坐标：$$x_v = -\frac{b}{{2a}}, y_v = -\frac{{\Delta}}{{4a}}$$5. 二次函数的判别式：$$\Delta = b^2 - 4ac$$6. 二次函数的轴对称线方程：$$x = -\frac{b}{{2a}}$$7. 平方差公式：$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$8. 二项式定理：$$(a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n$$9. 直角三角形勾股定理：$$a^2 + b^2 = c^2$$10. 三角形面积公式：$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot\sin(C)$$使用说明学生可以使用这份打印版文档进行公式默写练。
建议按照顺序逐个默写公式，并在旁边标注出公式的名称。
默写过程中可以对照课本内容，以确保正确记忆和理解公式。
小结这份文档为高一数学必修一的公式默写提供了方便的打印版，能够帮助学生复习和记忆数学公式。
学生可以根据自己的需要，通过不断的练习来提高默写公式的准确性和熟练度。
高等数学各章重要公式及知识点归总
第一章 函数类1. y=x 1，x ≠0 →y=□1，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞）类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞）2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ）3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称4.Sinx sin[arcsinx]=x →arcsinx arcsin[sinx]=xEg.f[f-1(3)]=3基本初等函数幂函数：y=x u，u取任意的实数共同点（1，1）偶函数：图像关于y轴对称y=x2指数函数（变化最快）：y=a x，a＞0且a≠12共同点（0，1）共同点（1，0）y=e x反函数是y=log e x=lnxsinx ：ππ单调增区间：z k k π2πk π2π-∈++），（cotx:→1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称偶函数：cosx y=x对称2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的3.周期函数：sinx，cosx→T=2πtanx，cotx→T=πtanx·cotx=1 sin0=0Sin2x=2sinxcosxCos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x2.特殊角度→函数值反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx arcsinx:arccox:arctanx：arccotx:arctanx，arccotx 2234πarctan3=3π定义域： -1≤x≤1复合函数：y=f（u),u=g（x）， y=f[g(x)] Z⊂D 复合1.y=u2，u=sinx→y=sin2x2.y=u3，u=cosv，v=2x+3→y=cos3（2x+3）条件：3.y=arccosu，u=x2+3→y=arccos（x2+3）×初等函数：由基本的初等函数经过有限次的四则运算及复合得到的函数 复合函数的分解：1.由内到外，分解的每一步必须为基本初等型 2.遇到四则运算或基本初等型则停止 x 的最大整数称为x 的整数部分，记作：[x] [e]=2 [π]=3x-1＜[x]≤x x=t 2+2→y 与xy=3t引入参数，导致y 与x 有联系幂指函数：y=u （x ）v （x ）→1.lny=lnu （x ）v （x ）=v （x ）lnu （x ）2.）（）（）（）（x lnu x v x lnu e ey x v ==，恒等变形函数的性质：必须在所给的定义域内单调性，有界性，周期性，奇偶性1.常见的有界函数：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx2.有界函数的运算：有界+有界=有界有界-有界=有界有界×有界=有界无穷大量±有界一定＞0+∞+有界=+∞－∞+有界=-∞周期函数：sinx→T=2πcosx→T=2πtanx→T=πcotx→T=π奇偶性：1.偶函数：图像关于y轴对称，f（x0）=f（-x0）2.奇函数：图像关于原点对称，f（x0）=-f（-x0）常见的奇函数：sinx，tanx，cotx，arcsinx，arctanx，x n（n为奇数）常见的偶函数：cosx，x n（n为偶数），|x|常熟C C,C≠0→偶函数0，可奇可偶奇偶运算规则：偶偶：+ - ×÷是偶函数→x2，1-x2，x2（1-x）2，1+x2，，cosx1=secx奇奇：+ - 是奇函数x+x3×÷是偶函数x×x=x2x·sinx sin4x=sinx·sinx·sinx·sinx 1+x21+x2 1-x2奇偶：×÷是奇函数x×x2=x3+ - 可奇，可偶，非奇非偶极限等差数列： 1，2，3，4，……，n ，…… 公差d=1，通项x n =n=1+（n-1）×1通项x n =x 1+（n-1）d →等差数列：首项x 1，公差d前n 项和，（求和公式）：2nxn +x1）（等比数列：2，22，23，24，……，2n 公比q=2，x n =2n =2·2n-1 1k =4.1k z =∞k 3=13+23+33+……+n 3=]2n 1n [）（+ 2 5.1n 1-n 131-2121-111n n 12?11?11k k 1z n 1k ++⋯⋯++=++⋯⋯++=+=）（）（=1n 1-1+ =1n n + 数列极限的定义：若不存在常数a ，则极限不存在，或x n 发散几何含义：当n>N 时，所有的点x n 都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N 个）在其外数列的性质：极限存在的充要条件：左极限=右极限1.唯一性2.有界性：|x n -a|＜ξ3.保号性：∀ξ＞0，∃n ＞N ，使得|x n -a|＜ξ 若a ＞0，n ＞N 时，x n ＞0 若a ＜0，n ＞N 时，x n ＜0 去心领域：只考虑点a 邻近的点，不考虑点a ，即考虑点集（a-δ，a ）∪（a ，a+δ），称这个点集为点a 的去心邻域函数的极限性质：1.函数极限的唯一性：若A =∞→→）（x f lim x x0x ，则极限必唯一2.函数极限的局部有界性3.函数极限的局部保号性：若A =→）（x f lim x0xA ＞0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＞0A ＜0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＜0无穷小（无穷小量）与无穷大常数的极限永远是本身关系：1.∞=→）（x f lim x0x →0x f 1limx0x =→）（互为倒数关系2.0x f 0x f lim x0x ≠=→）（且）（→∞=→）（x f 1limx0x01=∞ ∞=01总结：极限不存在的三种情形 1.limf （x ）=∞ 2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→方法一：000=⨯=⨯有界）无穷小量（即无穷小量有界函数 方法二:四则运算：（极限存在，则可以拆） 1.lim[f （x ）±g （x ）]=limf （x ）±limg （x ）=A ±B 2.lim[f （x ）·g （x ）]=limf （x ）·limg （x ）=A ·B 3.）（）（）（）（）（0x lim g x lim f x g x f lim≠==B BA 4.limC ·f （x ）=C ·limf （x ）=C ·A C 是常数 5.lim[f(x)]n =limf （x ）·limf （x ）……=A n总结：x →x 0时，x 0在初等函数定义域内，可直接将值代入求极限 方法三：消0因子法（0）方法四：抓大头思想（∞∞） 方法五：利用分子有理化求极限 方法六：先求和再求极限 方法七：先求积再求极限方法八：利用夹逼准则求极限（找两边） 极限存在准则：1.夹逼准则（1）x n ≤y n ≤z n ，且a zn lim a xn lim n n ==∞→∞→，→a yn lim n =∞→→ 2.□→00·∞→∞⨯=⨯→001000 →01⨯∞=∞⨯∞→∞∞②e x 1limx1x =+→）（ ①∞1 e x11limxx =+∞→）（ ②1+形式→e □1lim 0□□1=+→时）（e n 11lim nn =+∞→）（ ③互为倒数总结：若今后遇到∞1型①若)()](1[lim x g x f + 为∞1，则原式=）（）（x g x limf e②若）（x g )]([lim x f 为∞1，则原式=）（x g ]1)([lim e ⨯-x f方法十：利用等价无穷小求极限 → 无穷小的比较→型→0，∞，c （c ≠0）注意1.因子：只有乘除关系，等价必须是因子 2.非0因子直接代入方法十一：利用左右极限求极限左极限：0-0x x x x x f lim -0＜），（→ 右极限：+→+00x x x x x f lim 0＜），（极限存在的充要条件：若A A =→→=+→→→）（）（）（x f lim x f lim x f lim 0-0x x x x x x左极限=右极限极限不存在：1.limf （x ）=∞2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→注意：分段函数分界点要分左右极限连续与间断→极限的应用设f （x ）在x 0的邻域内又定义，如果）（）（0x x x f x f lim 0=→，则称f （x ）在x 0处连续。
高一数学1-4章知识点总结
高一数学1-4章知识点总结在高一数学的学习过程中，我们学习了许多有关数学的基础知识和方法。
本文将对高一数学1-4章的知识点进行总结，帮助同学们复习和回顾学习内容。
1. 第一章：函数与方程1.1 函数的概念函数是两个集合之间的一种对应关系。
其中，自变量的集合叫做定义域，因变量的集合叫做值域。
我们通过自变量的不同值，对应得到不同的函数值。
1.2 函数的表示方式常见的函数表示方式有几何表示法、解析表示法和数据表示法。
其中，解析表示法最常用，用公式表达函数。
1.3 一次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的图像。
1.4 二次函数二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以通过抛物线的开口方向和顶点来确定二次函数的性质。
2. 第二章：平面几何初步2.1 直线与角直线是由无数个点连成的路径，没有起点和终点。
角是由两条射线共同端点组成的图形。
2.2 同位角与对应角同位角是指两条直线被一条交线所切割而形成的对应角，它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被一条交线所切割而形成的对应角，它们的度数相等。
2.3 三角形三角形是由三条线段组成的封闭图形。
根据三角形内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2.4 相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
我们可以利用相似三角形的性质来解决一些几何问题。
3. 第三章：集合与函数3.1 集合的基本概念集合是由确定的对象组成的整体，其中的对象称为元素。
我们可以用文字描述和列举法表示一个集合。
3.2 集合的运算常见的集合运算有并集、交集和补集。
并集是指所有属于两个集合中的元素构成的新集合。
交集是指同时属于两个集合的元素构成的新集合。
补集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素构成的新集合。
大一高数知识点总结每章
大一高数知识点总结每章高等数学是大学必修的一门数学课程，它为我们打下了坚实的数学基础。
在大一学习过程中，我们主要学习了高数的一至八章内容，这些章节中包含了许多重要的知识点和概念。
下面我将对每一章的知识点进行总结。
第一章：函数与极限在这一章中，我们首先学习了函数的概念和性质。
函数是表达两个变量之间关系的一种方式，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。
我们学习了函数的定义域、值域以及函数图像的性质。
接着，我们深入研究了极限的概念，包括极限的定义、性质和计算方法。
极限是现代数学的基石，理解它的概念和运算方法对后续的学习非常重要。
第二章：导数与微分导数是函数在某一点处的变化率，它在物理、经济学和工程学等领域中具有重要的应用。
在这一章中，我们学习了导数的定义、性质和计算方法。
我们研究了常见函数的导数公式，并学习了利用导数求解极值问题的方法。
微分是导数的重要应用之一，它用于描述函数在某一点附近的近似变化。
第三章：微分中值定理与导数的应用微分中值定理是寻找函数在某一区间内的极值点的重要工具。
它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
利用这些定理，我们可以解决一些实际问题，比如求解最大值/最小值、证明存在性等。
这一章还介绍了导数在物理、生物和经济等领域的应用。
第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，它用于求解函数的原函数。
在这一章中，我们学习了不定积分的定义和基本性质，掌握了各种基本积分公式。
通过变量替换和分部积分等方法，我们可以解决一些复杂的积分问题。
第五章：定积分与其应用定积分是描述曲线下面面积的数学工具，它在几何学和物理学中有广泛的应用。
在这一章中，我们学习了定积分的定义和性质，掌握了基本的计算方法。
我们还研究了定积分在几何、物理和经济学等领域中的应用，比如计算曲边梯形的面积、求解物体的体积和质量等。
第六章：微分方程微分方程是描述物质运动、电路变化和自然增长等现象的数学模型。
在这一章中，我们学习了常微分方程的基本概念和解法。
(完整word版)高中数学公式总结默写版
高中数学公式总结（2）必需条件： ____________________（3）充要条件： ____________________.一、会合二、函数1、若会合 A 中有 n (n N ) 个元素，则会合A的全部不一样的子集个数为______，全部非空真子集的ax2 bx c 的图象的对称轴方程是______________，极点坐标是 ___________。
1、二次函数y个数是 ______。
用待定系数法求二次函数的分析式时，分析式的想法有 3 种形式，即 ____________________，2、若A I B A A U B B _____________________________________ 和____________________ .3、真值表2、f ( x) ax2 bx c 0恒建立的充要条件是ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ_________________;真真 f ( x) ax2 bx c 0 恒建立的充要条件是_____________________;真假 f ( x) ax 2 bx c 0 恒建立的充要条件是_________________;假真f ( x) ax 2 bx c 0 恒建立的充要条件是_________________;假假4、常有结论的否认形式3、单一性单一增：① _________________________________________; ② ___________________________;原结论反设词原结论反设词单一减：① _________________________________________; ② ___________________________;是不是起码有一个一个也没有4、奇偶性(1) 前提：(2) 奇函数： ______________________________________; 其图像 _______________________;大于不大于起码有 n 个至多有（ n 1）个偶函数： ______________________________________; 其图像 _______________________;(3) 若函数y f ( x) 是奇函数，且在x 0处有定义，则_____________;对全部 x ，建立存在某 x ，不建立p 或 q p 且 q(4) 多项式函数P( x) a n x n a n 1 x n 1 L a0的奇偶性：多项式函数 P(x) 是奇函数______________________________________;.多项式函数 P(x) 是偶函数______________________________________;.5、充要条件5、定义域：6、同样函数：_________________________,_____________________;7、函数图象：(1)指数函数：(2)对数函数：(3) 幂函数：（4）三角函数8、对称性与周期性：(1) 若 f ( a x) f (a x) ，则_______________;若 f (a x) f (b x) ，则_______________;(2) 若 f ( x a) f ( x a) ，则_______________;若 f ( x) f (x a) ，则 _______________;(3) 若 f ( x a)1，则 _______________; 若f (x a) f ( x) ，则 _______________;f ( x)9、计算：m(1) a n ________________; n a n _____________________(2) a r a s _______________; (a r)s _______________；(ab)r _______________.(3) log a M log a N _____________; log a M log a N _____________; log a n M m_____________;(4)o_____________;log a N_____________; log a______ 0 ; log a ______ 1 .a a10、导数：(1) C __________;(2) ( x n ) ' ____________;(3) (sin x) _____________;.(4) (cos x) _____________; ( 5) (ln x) _____________;(6) (log a x ) _____________;.(7) ( e x ) _____________;(8) (a x ) _____________;11、图像变化（1）f ( x)f ( x a) ：___________________________________;（ 2）f ( x) f ( x) a ：___________________________________;（3）f ( x)f (| x |) ：___________________________________;（4）f ( x) | f (x) |： ___________________________________;三、三角函数1、若点P( x, y)，点 P 到原点的距离记为r ，则sin=_____， cos =_____， tan=____。
高等数学复习第一至第四章公式默写资料
三角函数公式：平方关系：倍角公式：tan 2α=半角公式：==2cos2sinαα和差角公式：和差化积公式：积化和差公式：=βcos sin a =βsin cos a=βcos cos a=βsin sin a反三角函数性质：=+=+x arc x arc x x cot tan arccos arcsin=±=±)cos()sin(βαβα=-=+=-=+βαβαβαβαcos cos cos cos sin sin sin sin ==αα2cos 2sin ==αα3cos 3sin等价无穷小：两个重要极限：几个常用的极限：导数公式：高阶导数公式======(n)(n)(n)m (n)(n)(n)x (uv)x)()(x kx)(kx)()(a 莱布尼茨公式：ln cos sin='='='='='=')x ()(a )x ()x ()x ()x (a x log csc sec cot tan ='='='=')x (arc )x ()x ()x (cot arctan arccos arcsin ~tan ~tan ~arcsin ~sin x arc x x x ~1~cos 1~1e ~1ln 1nx x x --x ）（）（++====>-∞→+∞→∞→∞→anx arc anx arc n ）（ααx x n n n n t lim t lim lim 0lim =====-∞→+∞→→+∞→∞→+x arc x arc x e e x x xx x x x -x cot lim cot lim lim lim lim 0中值定理与导数应用： 时：当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：罗尔定理：费马引理：x x =)(F ====)(0)(0x f x R x f n 时即为麦克劳林公式：余项：泰勒展开式：=+=+===m x x ）（x ）（x x e 11ln cos sin 式：常用的五个麦克劳林公基本积分表：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=-=+====22222222csc sec cot t an a x dxx a dxx a dxx a dxxdx xdx xdx xdx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=±====⋅=⋅==2222cot csc tan sec sin cos ax dx chxdx shxdx dx a xdx x dx x x x dx x dx x曲率：====∆∆==→∆K a K dsd s K K s 的圆：半径为直线：点的曲率：平均曲率：弧微分公式：.lim M 0αα⎰⎰⎰=-=-=+dx x a dx a x dx a x 222222。
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三角函数公式：
平方关系：
倍角公式：
tan 2α=
半角公式：
==2
cos
2
sin
α
α
和差角公式：
和差化积公式：
积化和差公式：
=βcos sin a =βsin cos a
=βcos cos a
=βsin sin a
反三角函数性质：=+=+x arc x arc x x cot tan arccos arcsin
=±=±)cos()sin(βαβα=-=+=-=+βαβαβαβαcos cos cos cos sin sin sin sin =
=αα2cos 2sin =
=
αα3cos 3sin
等价无穷小：
两个重要极限：
几个常用的极限：
导数公式：
高阶导数公式
==
====(n)(n)(n)
m (n)(n)(n)x (uv)x)()(x kx)(kx)()(a 莱布尼茨公式：ln cos sin
='='='='='=')x ()(a )x ()x ()x ()x (a x log csc sec cot tan =
'='='=')x (arc )x ()x ()x (cot arctan arccos arcsin ~
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1~cos 1~1e ~1ln 1
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中值定理与导数应用： 时：当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：
罗尔定理：
费马引理：
x x =)(F =
==
=)(0)(0x f x R x f n 时即为麦克劳林公式：余项：泰勒展开式：
=
+=
+===
m x x ）（x ）（x x e 11ln cos sin 式：常用的五个麦克劳林公
基本积分表：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰=-=-=-=+====222
22
222csc sec cot tan a x dx
x a dx
x a dx
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xdx xdx xdx xdx ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
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2
22cot csc tan sec sin cos a
x dx chxdx shxdx dx a xdx x dx x x x dx x dx x
曲率：
====∆∆==→∆K a K ds
d s K K s 的圆：半径为直线：点的曲率：平均曲率：弧微分公式：
.lim M 0α
α
⎰
⎰⎰=
-=-=+dx x a dx a x dx a x 222222。