原子振动频率
4.2第四章 固体中原子及分子的运动
4.2 扩散的微观理论
4.2.1 随机行走与扩散
因为 所以
(H U V P)
代入D=d2P
可得：
令 则
扩散系数与温度之间的关系
式中Do称为扩散常数，只与扩散机制和材料有关； ΔU是间隙扩散时溶质原子跳跃所需额外的热力学 内能，该迁移能等于间隙原子的扩散激活能Q。
空位扩散机制
扩散机制：在置换固溶体中，由于晶格中存在空位，空位周围 的原子(包括溶剂和溶质原子)由热运动可能进入空位，即原子 利用空位最后达到迁移，当存在化学位梯度时，溶质原子就会 发生定向的扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。 扩散进行有两个要求条件，一是有空位存在，二是空位周围的 原子从原来的平衡位置进入空位也要一定的激活能。
晶体缺陷对扩散起着快速通道的作用称为短 路扩散。在实际生产中这几种扩散同时进行， 并且在温度较低时，所起的作用更大。
4.3 扩散机制
1、交换机制
直接交换机制：相邻的两个原子互换 了位置。
然而由于这种正常位置上的原子对调 位置需要克服的能垒很高，引起附近 点阵原子的强烈畸变，因而无论在理 论上或是实验上，它都是失败的。
后来把这种扩散偶中由于扩散系数不同而引起对接面移动 的现象称为柯肯达尔效应。
发生柯肯达尔效应原因：溶质和溶剂原子扩散速率不同。
标记漂移产生的示意图
达肯方程
标志物
在柯肯达尔效应中，假定标记面的 移动速度计为vm，相对观察者，原 子的扩散可进行如下的分析。
影响振动频率的因素
（2）石蜡糊法
将干燥处理后的试样研细，与液体石 蜡混合，调成糊状，夹在盐片中测定。
（3）薄膜法
主要用于高分子化合物的测定。可将 它们直接加热熔融后涂制或压制成膜。也 可将试样溶解在低沸点的易挥发溶剂中， 涂在盐片上，待溶剂挥发后成膜测定。
第三节 影响振动频率的因素
影响因素有两大类： 1、外部因素------由测试条件不同造成。 2、内部因素------由分子结构不同所决定。 （1）质量效应 （2）电子效应 （3）空间效应 （4）氢键
二、内部因素
1、质量效应
分子振动方程式 v 1307 k
化学键键强越强（即键的力常数K越大） 原子折合质量越小，化学键的振动频率越大， 吸收峰将出现在高波数区。
同一周期，从左到右，X-H键力常数K值 增大， X-H伸缩振动波数增大。
同一主族，自上至下，X-H键力常数K值 减小，μ增值明显， X-H伸缩振动波数ห้องสมุดไป่ตู้小。
影响振动频率的因素
（2）试样中不应含有游离水。水本 身有红外吸收，会严重干扰样品谱， 而且会侵蚀吸收池的盐窗。
（3）试样的浓度和测试厚度应选择 适当，以使光谱图中的大多数吸收峰 的透射比处于10%~80%范围内。
二、制样的方法
1 .气体样品
气态样品 可在玻璃气槽内进行测定。 环数减小，环的张力增大，环外双键加强，吸收频率增大；
2、电子效应
包括诱导效应、共轭效应，是由于 化学键的电子分布不均匀引起的。
（1）诱导效应（I 效应）
由于取代基具有不同的电负性，通 过静电诱导作用，引起分子中电子分布 的变化。从而改变了键力常数，使基团 的特征频率发生了位移。
例：RCOR中极性基团的取代使C=O 移向高波数。
物体的声音的谐波
物体的声音的谐波声音是由物体的振动产生的，而物体的振动则会引起谐波的产生。
谐波是指在一个固定频率的振动中，其他频率的振动也同时存在的现象。
在物体发出的声音中，谐波的存在使得声音更加丰富和复杂。
首先，让我们来了解一下什么是谐波。
简单来说，谐波是在一个主频率下产生的其他频率的振动。
主频率是物体所发出的声音的基频率，即最低频率的分量。
其他频率的振动则是主频率的倍数，称为谐波频率。
例如，当一个物体以100 Hz的频率振动时，它同时也会产生200 Hz、300 Hz、400 Hz等频率的振动，这些振动就是谐波。
物体的振动是由其分子或原子的运动引起的。
当物体通过声源发出声音时，物体的分子或原子会以一定的频率相对于平衡位置上下振动。
这种振动会产生压缩和稀疏的空气波，进而形成声音。
当物体振动的频率为主频率时，声音的强度最大。
但是，除了主频率之外，物体还同时以其他频率振动，这些振动就是谐波。
谐波对于声音的质量和音色有着重要的影响。
谐波的存在使得声音更加丰富和复杂。
例如，乐器的音色正是由谐波频率和谐波强度的不同而确定的。
不同乐器之间的音色差异主要是由谐波的分布和强度的不同所引起的。
此外，人们还通过控制谐波的分布和强度来创造特定的音效和音乐效果。
在现实生活中，谐波的存在也给我们带来了一些问题。
当两个或多个物体的振动频率接近或相等时，谐波可以相互放大，产生共振现象。
共振会导致物体的振动幅度不断增大，甚至导致物体的破坏。
例如，当一个人站在桥上跳跃时，如果他的跳跃频率接近桥梁的固有振动频率，桥梁就可能发生共振而倒塌。
在工程领域中，了解谐波的特性也非常重要。
例如，某些机械设备的振动频率是固定的，如果谐波频率与设备的固有振动频率相匹配，就会引起设备的共振，导致设备的损坏。
为了避免共振，工程师们需要控制谐波的分布和强度，以减少对设备的影响。
总之，物体的声音中存在着谐波，谐波使声音更加丰富和复杂。
谐波的分布和强度决定了声音的质量和音色。
(整理)第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
德拜频率
德拜模型
爱因斯坦模型把晶体中的N个原子视为N个频率相同的各自独立的三维谐振子,完全不考虑使这些原子在平衡位置附近振动,并使它们结合成晶体的原子间相互作用.正是因为忽略了这种由于原子间相互作用而造成的晶体中原子振动的相干性,导致了爱因斯坦模型晶体热容计算结果与实验结果间的系统误差.
德拜在建立晶体模型时引入了对原子间相互作用的考虑,认为晶体中N个原子的振动不可能是独立的,而是一种复杂的耦合振动.这种复杂的耦合振动可以根据经典力学的方法,分解为3N个频率不同的单维简谐振动.于是,求取晶体热容的问题就归结为如何得到3N个振动频率的问题.德拜考虑到这些振动方式可能相当于3N个分布在频率范围D0νν→=中的波动,Dν称为德拜频率.他又进一步假设这些波动是
波长比晶体中原子间距大得多的弹性振动波,这样就可以把晶体看做是一种连续的介质,每一个振动方式相当于根据驻波条件给出的一个弹性驻波(参见《物理化学》9.3),而每个弹性驻波的能量是与同一频率的简谐振子能量相当的,整个晶体中的原子振动则是这些弹性驻波的叠加. 根据德拜的上述晶体模型,晶体中原子的振动频率分布函数可以由瑞利-普朗克空腔辐射定律来建立(参见《物理化学》9.2).。
hezm
连续介质波： Ae
Aei ( t qx)
格波：
n Aei ( t naq)
晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为
格波描述的是所以原子的集体运动，不是某一个原子的运动 相邻原子间的位相差 aq 格波的波长：
n1,n n n1
第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：
n1,n n1 n
三、原子间的相互作用力
1. 势能：
（只考虑最近邻原子间的相互作用）
1）. 假设在平衡位置时，两个原子间的相互 作用势能是 v( a ) 2）. 产生相对位移 后，相互作用势能变 为 v( a )
九、色散关系
2
4 aq sin 2 m 2
由于频率是波数的偶函数，所以有
2
aq sin m 2
(6)
q 0,
min 0
q
a
,
max 2
m
图5 一维单原子链 的 ω-q 函数关系
当0 q
a
， 与其相应频率的变化范围： 0 2
一维单原子链晶格振动
一、知识点回顾
1. 格点：原子的平衡位置 2. 晶格振动：原子在格点附近的振动 3. 格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模 具有波的形式，称为格波 一维单原子链是学习格波的典型例子！ ▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力， 再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程， 最后求解方程。
2 q
2 格波的波矢： q n
七、格波波矢的取值和布里渊区
振动的频率和周期
振动的频率和周期振动是物体在一定条件下的周期性运动。
频率和周期是描述振动的两个重要概念。
本文将介绍振动的频率和周期，并对其进行深入探讨。
一、频率的定义与计算频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）表示。
频率的计算公式为：频率 = 振动次数 / 时间。
举个简单的例子，如果一个物体在1秒内振动10次，则其频率为10Hz。
频率与振动的快慢息息相关，频率越高，振动越快。
不同振动物体的频率也有很大的差异，比如钢琴的音调高，频率就相对较高；而大钟的音调低，频率相对较低。
二、周期的定义与计算周期是指一次完整振动所经历的时间，通常用秒（s）表示。
周期的计算公式为：周期 = 时间 / 振动次数。
以前面提到的例子为例，振动10次所需要的时间是1秒，那么该物体的周期就是1s / 10 = 0.1s。
周期与频率是互为倒数的关系，即周期 = 1 / 频率，频率 = 1 / 周期。
在振动学中，周期是一个物体完成一个完整振动所需要的时间，是描述振动时间特征的重要指标。
三、振动的影响因素振动的频率和周期受到多种因素的影响，下面为大家介绍一些重要的影响因素。
1. 弹簧的硬度：在弹簧系统中，弹簧的硬度越大，振动的频率也就越高，周期相应地变短。
2. 质量的大小：质量的增加会使振动的频率减小，周期也相应延长。
这是因为质量越大，需要更大的力才能使物体振动，因此振动的频率降低。
3. 摩擦力：摩擦力会减弱振动的幅度，同时也会影响频率和周期。
摩擦力的增加使振动的频率减小，周期增加。
4. 长度和形状：振动物体的长度和形状也会对频率和周期产生影响。
一般来说，长度越长，频率越低，周期越长。
同时，物体的形状也会影响振动的频率。
四、振动的应用意义振动在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
下面为大家介绍一些振动的应用意义。
1. 音乐与乐器：振动是声音产生的基础，乐器的演奏和音乐的欣赏都离不开振动。
不同频率和周期的振动产生出不同音调的音乐。
2. 工程与建筑：振动在工程和建筑领域中起着重要的作用。
黄昆固体物理课后习题答案4
第四章 晶体的缺陷思 考 题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /∆与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /∆存在差异， 是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式L L Δ>a a Δ.3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]由于+2Ca离子的半径(0.99oA )比+K 离子的半径(1.33oA )小得不是太多,所以+2Ca 离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca 比+K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+K 离子的一个+2Ca 将引起相邻的一个+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, -+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+vA ν和+iA ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+vA E 和+iA E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为-vB ν和-iB ν, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别-vB E 为-iB E , 则由(4.47)矢可得Tk EB A A B vA vve T k ea /2+++-=νμ,Tk EB A A B i A iie T k ea /2+++-=νμ,Tk EB B B B vB vve T k ea /2----=νμ,Tk EB B B B i B iieTk ea /2----=νμ.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+vA E <+iA E ,-vB E <-iB E . 由问题1.已知, 所以有+v A ν<+i A ν, -v B ν<-iB ν. 另外, 由于+A 和-B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般-+≠B A E E , -+≠B A νν.也就是说, 一般--++≠≠≠i v i vB B A A μμμμ. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同. 9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数Tk E u B ae D /)(0222221+-=ν,空位机构自扩散系数Tk E u B ae D /)(0111121+-=ν.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费T k E u B e n N t /)(0221211+==ντ的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间T k E u u B en n N P /)(02212222111++===νττ.由以上两式得2/2n Ne tT k u B ==τ>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, 它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间T k E u B e n N t /)(0111111+==ντ.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成RTN T k e a e a D B /20/2002121εεν--==.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间21τn N 后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间21ττn Nt +=.因为τ>>21τn N ,所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.-+B A 离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的.-+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, -B 填隙离子, +A 空位, -B 空位. 也就是说, -+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. -+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, -B 空位附近都是正离子. 由此可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, -B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此,A填隙离子和-B空位的漂移方向与外电场方向一致, 而-B填隙离子和在外电场作用下, ++A空位的漂移方向与外电场方向相反.。
力学第二版习题答案第九章
第九章基本知识小结⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - c φ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 ,02022=+x dt x d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。
⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221A m kA E E p k ω==+。
⒋两个简谐振动的合成⒌阻尼振动的动力学方程为 022022=++x dt dx dtx d ωβ。
其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT ’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。
⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos202022=++； 其稳定解为 )cos(0ϕω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/ωβωω+-=f A 2202ωωβωϕ--=tg 当2202βωω-=时，发生位移共振。
9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。
已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。
问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。
解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsin φ因为是微小摆动，sin φ≈φ,∴τ= - mgh φ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。
第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
扩散
晶体中平衡位置上快速振动的原子，可借热激发获得能量，克服势垒而迁移到近邻位置，这样的原子迁移现象叫做原子扩散。
因为热能的定域涨落是随几的，所以由热激发引起的原子迁移也是随几漫步型的布朗运动。
扩散是固体中惟一的一种传质过程。
绝大多数高温固态反应，如固溶、沉淀、相变、再结晶，晶粒长大、蠕变、烧结、压焊等都是借固态扩散过程完成的。
完整晶体中的原子不能扩散，扩散过程必伴随着点缺陷（包括点阵空位、自填隙原子、填隙杂质原子）的输运。
空位和自填隙原子可由热激发产生，所以常称为热缺陷，它们也会在较低温度下辐照或范性变形时产生，并冻结在晶体之中（见晶体缺陷）。
扩散方程图1示晶体具有单位截面积时,扩散原子A沿扩散方向x的浓度分布。
在扩散区内和x轴正交的两个相邻原子面Ⅰ和Ⅱ上分别有n A1和n A2个A原子(单位面积上A原子的浓度)。
若A原子每次可以任意向＋x或-x方向跳跃，跃迁距离沿x轴的分量为Δx，跃迁频率为Γ,则每秒自Ⅰ跳到Ⅱ的A原子数为,自Ⅱ跳到Ⅰ的A原子数为,净流过中间虚拟平面S的扩散通量为：式中CΑ为每单位体积中的A原子数;是浓度梯度；负号表示扩散流朝向浓度低处；是扩散系数。
上式表明：每秒流过与扩散流正交的单位截面的扩散物质的量，正比于垂直这个截面的浓度梯度，这是斐克(FicK)第一定律。
图2示出在具有单位截面的试样中A原子的浓度分布。
在体积元d x内，A原子的积聚速率为；而流过平面Ⅰ和Ⅱ的扩散通量之差则为。
按照质量守恒定律,两者应相等。
将用泰勒级数展开，取其领先两项得：(2)故(3)代入式(1)得：(4)上式是有浓度梯度存在时的扩散方程，也就是斐克第二定律,此时扩散伴随着宏观的质量输运。
D是浓度的函数，叫做化学扩散系数或互扩散系数，常用符号愗表示。
在没有浓度梯度存在的情况下, 如纯金属 A加热后，也可根据热激活的A原子的随几漫步,推导出扩散方程：(5)其中D AA是随几漫步（无浓度梯度）的扩散系数,叫做真扩散系数。
[资料]铯原子钟
![[资料]铯原子钟](https://img.taocdn.com/s3/m/8deacf77b94ae45c3b3567ec102de2bd9705de44.png)
铯原子钟所有时钟的构造都包括两大部分：能够按照固定周期走动的装置，如钟摆；还有一些计算、累加和显示时间流失的装置，如驱动时钟指针的齿轮。
大约50年前首次研制出的原子钟增加了第三部分，即以特定的频率对光和电磁辐射作出反应的原子，这些原子用来控制“钟摆”。
目前最高级的原子钟，就是利用106个液态金属铯原子对微波辐射产生共振效应来控制时针的走动。
这样的时针每秒约走动1011次，时钟指针走动得越快，时钟计算的时间也就越精确。
每一种原子都有自己的特征振动频率。
人们最熟悉的振动频率现象，就是当食盐被喷洒到火焰上时，食盐中的元素钠所发出的橘红色的光。
一个原子可以具有多种特征振动频率，可能位于无线电波波段、可见光波段，或介于其中。
铯－133则被普遍地选用作原子钟。
将铯原子共振子置于原子钟内，需要测量其中一种的跃迁频率。
通常是采用锁定晶体震荡器到铯原子的主要微波谐振来实现。
这一信号处于无线电的微波频谱范围内，并恰巧与广播卫星的发射频率相似，因此工程师们对制造这一频谱的仪器十分在行。
秒的定义随着精确测量时间的工具不断改进推出，人们自然会怀疑时间单位本身的精确性。
时间量测单位在数学方面定义的很清楚，一秒是1/60分钟，一分钟是1/60小时，亦即一小时是1/24天，一秒等于一天的1/86400。
但事实上，因为地球在运行之速度及距离太阳的改变，一个太阳日—由正午至正午的一段时间，并非都一样长。
公元1960年以前，CIPM （世界度量衡标准会议）以地球自转为基础，定义以平均太阳日之86400分之一作为秒定义。
即1秒＝1/86400平均太阳日。
然而地球自转并不稳定，会因其它星体引力的牵引而改变。
公元1960～1967年CIPM改以地球公转为基础，定义公元1900年为平均太阳年。
秒定义更改为：一秒为平均太阳年之31556925.9747分之一。
公元1967年举行的第十三届国际计量大会 (General Conference on Weights and Measures) 选择以铯原子的跃迁做为秒的新定义，即铯原子同位素Cs133基态超精细能阶跃迁9,192,631,770个周期所经历的时间，定为1秒（称作「原子秒」），秒的新定义使计时方式进入了原子的时代，此定义一直维持至今。
原子振动频率计算公式
原子振动频率计算公式在我们探索奇妙的物理世界时，原子振动频率这个概念就像是一个神秘的小密码，而解开它的关键就是原子振动频率计算公式。
先来说说啥是原子振动。
想象一下，原子就像是一个个调皮的小精灵，在自己的小天地里不停地蹦跶。
它们的这种蹦跶不是毫无规律的，而是有一定的节奏，这个节奏就是我们说的振动频率。
原子振动频率的计算可不是一件随随便便的事儿，它有专门的公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开原子世界的大门。
那原子振动频率计算公式到底是啥呢？一般来说，简单的情况下可以用经典力学的公式来计算，就是f = (1/2π) * √(k/m) 。
这里的 f 就是原子振动频率，k 代表的是原子间的相互作用力常数，m 则是原子的质量。
举个例子吧，就好比有两个小球通过一根弹簧连在一起。
弹簧的劲度系数就类似于 k ，小球的质量就相当于 m 。
弹簧拉得越紧，劲度系数越大，小球振动就越快；小球越重，振动就越慢。
在实际的研究中，情况可要复杂得多。
科学家们得考虑各种因素，比如温度、压力，还有周围环境的影响。
这就像是在解一道超级复杂的谜题，每一个小细节都可能影响最终的答案。
我记得有一次，在给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，原子这么小，我们怎么能知道它振动的快慢呢？”我笑着回答他：“这就是科学的神奇之处呀，虽然我们看不到原子在眼前蹦跶，但是通过各种实验和计算，我们就能了解它们的秘密。
”学习原子振动频率计算公式，可不仅仅是为了在考试中拿到高分。
它对于理解物质的性质、化学反应的过程，甚至是新材料的研发都有着至关重要的作用。
比如说，在研究晶体材料的时候，通过计算原子的振动频率，我们可以知道这种材料的热学性质，比如它的导热能力怎么样。
这对于制造高效的散热材料可是非常关键的。
再比如，在化学领域，了解原子振动频率可以帮助我们理解分子之间的相互作用，从而预测化学反应的可能性和速率。
总之，原子振动频率计算公式虽然看起来有点复杂，有点让人头疼，但它却是我们探索微观世界的重要工具。
孟庆勇：原子钟频率变化的原因探究
孟庆勇：原子钟频率变化的原因探究周吉善老师对相对论动钟“变慢”还是“变快”的理论分析很深入，有很强的说服力。
鉴于相对论的悖论太多，目前最重要的工作是做好实验，然后从实验的结果中找到真正的原因。
周老师提出了一个需要三台铯束喷射速度不同的原子钟进行输出频率相互比较的实验方案，这是一个验证频移效应的非常好的实验方案，而且也可以从这个实验中找到速度或者温度、压力与频移的关系式，以便建立更好的频移效应数学模型，这个实验可以为我们弄清楚原子钟的频移效应机制提供理论分析的根据。
下面将重点就原子钟的频移问题进行探讨。
注意本文中提出了多种频移的概念：引力场引力频移、引力场阻力频移（包括引力场的横向阻力频移和纵向阻力频移），引力场传递频移，一般所说的多普勒频移，温度频移，压力频移，和爱因斯坦相对论的横向多普勒频移。
我们先不管相对论计算相对论横向多普勒频移的公式如何，首要的问题是要弄清楚事实上已经发生的习惯称之为“相对论横向多普勒频移效应”的产生机制。
广义相对论频移的物理机制，爱因斯坦做出的解释是：“一个原子吸收或发出的光的频率与该原子所处在的引力场的势有关”；而霍金的解释是“当光从地球引力场往上走，它失去能量，因而其频率下降”。
这也是学界普遍使用的解释。
太空中卫星上的原子钟与地面上的原子钟相比其振动频率的快慢不外乎有三种情况：变快，变慢，不变。
那么究竟是哪一种情况呢？原因又是什么呢？这是需要弄清楚的问题，而至关重要的是要弄清楚原子钟读数变化的根本原因。
按照狭义相对论的钟慢效应解释，运动的时钟要变慢，就是说时钟的快慢与相对于观察者的横向运动速度有关，时钟相对于观察者的横向运动将产生横向多普勒频移效应，于是时钟将会变慢。
那么，假如时钟相对论于观察者有横向运动而时钟不在引力场中就一定能够产生钟慢效应吗？并非如此。
通过理论分析可以认识到，时钟的运动速度并不是产生钟慢效应的实质，时钟的快慢与时钟相对于观察者的横向运动速度没有直接的必然的联系，钟慢效应的实质是时钟与引力场之间的相互作用。
化学键的振动频率
UV 2-10万
缺点
仪器昂贵 NMIRR
MS
5-50万
100-1000万 50-500万
仪器操作复杂、维用 护高 费
CHENLI
4
3.电磁波谱与有机光谱的对应关系
λ/nm λ/cm-1
CHENLI
5
二、红外吸收光谱 1.红外吸收光谱的定义
红外吸收光谱是分子中成键原子振动 能级跃迁而产生的吸收光谱，只有引起分 子偶极距变化的振动才能产生红外吸收。
代表不同的取向或能级只能有2i1个能级?1h的核磁共振在磁场中核的能量emih0对于1h核i12m12在磁场h0中有两个不同能级其能量差中有两个不同能级其能量差e2h0h01h核发生共振的条件射0h02射为外加电磁波的频率其它i12的自旋核的共振1h999810013c1108001615n036500010419f1000834核天然丰度在同一磁场中的相对灵敏度31p1000066核磁共振波谱仪
C3C H2C O 2C H 3HH 3C C2C H 2B H r
a bc
a bc d e
CHENLI
48
与不对称碳相连的CH2的两个质子化学不等价；有些质子等价 与否受条件限制。
H3C
H
C3H CC H H2C3H
CC Cl H
Cl
不 等 价
不 等 价
O C3H CNHa
Hb
低 温 下 不 等 价
l 1H的核磁共振
在磁场中，核的能量E = -(m/I) H0 对于1H核，I = 1/2, m = 1/2，在磁场H0中有两个不同能
级，其能量差 E = 2 H0 = h0
1H核发生共振的条件 射 = 0 = H0 / 2 （射为外加电磁波的频率）
生活中无处不在的共振现象
生活中无处不在的共振现象有关振动、共振的文章我已经写了几篇，不过那些文章所涉及的内容比较广，大多数谈的是有关振动与科学技术与生产相结合的内容，与生活有关的振动问题谈的比较少，而且零零散散。
今天我撰文想专门谈一谈在生活中与我们有关的一些共振现象。
我们知道，共振不仅在物理学上运用频率非常高，而且也是宇宙间最普遍和最频繁的自然现象之一，在某种程度上甚至可以这么说，是共振产生了宇宙和世间万物，没有共振就没有世界。
共振是宇宙间一切物质运动的一种普遍规律，人及其他的生物也是宇宙间的物质，当然共振也普遍存在于这些生命中了。
人的呼吸、心跳、血液循环等都有其自身的固有频率，人的大脑在进行思维活动时产生的脑电波也会发生共振现象。
还有，我们的喉咙之所以能够发声，是因为我们的声带在空气的摩擦之下发生振动时，每一个振动都与空气产生了一个共振，才形成一个个的音节，构成一句句语言，再经过咽腔、口腔、鼻腔、额窦等部位的振动将我们的声音放大发出（这已经是我们科学的发声方法所发出的声音了）来，才能够使我们运用这些语言表达我们的情感以及进行社会交往。
我们也可以在生活中运用共振的原理做一些有利于我们生活的事情来。
生活中的有益共振能够促进健康。
1、振动能够帮助人们消除疲劳。
有一个欧洲国家的工程师与医疗机构合作制造了一个振动台：将一个宽大沉重的大板固定在几个特制的弹簧减震器上，让它能够按照医生的指令进行振动。
振动台振动的频率一般控制在100-150HZ之间。
人只要在这个台子上站几分钟，就会感到精神振奋，浑身有劲，由于过度疲劳而增高的血压就会很快趋向正常从而达到消除疲劳的目的。
利用振动消除疲劳，关键就是准确的选择振动频率，准确的规定振动作用的强度和持续的时间。
2、振动床还能够减轻支气管哮喘患者等肺疾病人的痛苦。
病人躺在振动床上，胸廓接受10-20分钟、频率为30-45HZ的振动作用，只需要几个疗程，一般就能够使肺部净化，并且使病情得到显著的改善。
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原子振动频率
背景介绍
原子是构成物质的最基本粒子，它们在物质中的振动是物态性质的重要基础。
原子的振动频率是指原子在空间中振动的频率，它对物质的性质和行为具有重要影响。
原子振动的概念
原子振动是指原子在空间中周期性地偏离平衡位置并返回平衡位置的运动。
这种振动是由原子内部或相邻原子间的相互作用力引起的。
原子振动频率是指原子在单位时间内完成的振动周期数，通常用赫兹（Hz）表示。
影响原子振动频率的因素
原子振动频率受多个因素影响，下面将介绍其中几个重要的因素。
1. 原子种类
不同种类的原子具有不同的原子结构和相互作用力，因此它们的振动频率也不同。
例如，质量较大的原子通常振动频率较低，而质量较小的原子则振动频率较高。
2. 原子间相互作用力
原子间的相互作用力对原子振动频率具有重要影响。
原子间的相互作用力可以是化学键、万有引力或其他类型的相互作用力。
这些相互作用力的性质和强度决定了原子振动的频率。
3. 温度
温度是影响原子振动频率的重要因素之一。
在高温下，原子具有更高的动能，振动幅度增加，从而振动频率也增加。
相反，在低温下，原子的振动幅度减小，振动频率降低。
4. 晶体结构
原子在晶体中的排列方式决定了其振动频率。
晶体结构可以分为离子晶体、共价晶体和金属晶体等不同类型。
不同类型的晶体具有不同的原子间相互作用力和排列方式，因此它们的原子振动频率也不同。
原子振动频率的应用
原子振动频率在物理、化学、材料科学等领域具有广泛的应用价值。
1. 热传导
原子振动频率决定了物质的热传导性能。
在固体中，原子通过振动传递能量，高振动频率的原子能更有效地传递热能，因此固体的热传导性能也较好。
2. 光学性质
原子振动频率与物质的光学性质密切相关。
例如，在光谱分析中，原子的振动频率和光谱线的位置有直接关系。
不同原子或分子的振动频率不同，因此它们对光的吸收和发射也不同，从而呈现出不同的光谱特征。
3. 材料性能
原子振动频率对材料的力学性能、热稳定性等物理性质具有重要影响。
例如，在金属材料中，原子的振动频率与材料的硬度、韧性等机械性能密切相关。
4. 超导性
原子振动频率与材料的超导性质也有关系。
超导材料中的电子对以基于原子振动频率的声子相互作用形成库珀对，并表现出零电阻和完全抗磁性等特性。
结论
原子振动频率在理解和研究物质的性质和行为中具有重要作用。
通过研究原子振动频率，我们可以更好地理解物质的结构、性能和功能，为材料科学、能源领域等提供有益的参考和指导。
参考文献
1.Kittel, C. (2005). Introduction to Solid State Physics. John Wiley
& Sons.
2.Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics (1st
ed.). Saunders College Publishing.
3.Jaeger, G., & Cook, N. (1980). Fundamentals of Rock Mechanics.
Chapman and Hall.。