高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附解析

【最新】单元《矩阵与变换》专题解析

一、15

1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n

x

=

的图象过点(

12

π

和点2(

,2)3

π

-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；

（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数

()y g x =图象的对称中心.

【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24

k k Z ππ

+∈. 【解析】 【分析】

（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；

（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在

()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．

【详解】

（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-

，则由条件，得sin cos 66

44sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩

，

解得 1.m n =

=-

故()2cos22sin(2)6

f x x x x π

=+=+

.

故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-

（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6

g x f x x π

ϕϕ=+=++

.

于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.

(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6

π

ϕ=

故()2sin(2)2cos 22

g x x x π

=+

=. 由22

x k =+

π

π，得().24

k x k Z ππ

=

+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24

k k Z ππ

+∈. 【点睛】

本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．

2．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα

απααα

-=⎧≤≤⎨+=⎩.

【答案】见解析. 【解析】 【分析】

求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，

()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-.

0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.

①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22

π

α≠且322π

α≠

时，即当4πα≠且34

πα≠时，

11sin cos x y D x D

D y D αα⎧

==⎪⎪⎨

⎪==-⎪+⎩

； ②当4πα=

时，方程组为22

22

x x =

⎪⎪

⎪

=⎪⎩

，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩

；

③当34πα=

时，方程组为x x =⎨

⎪=

⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨

∈⎩. 【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

3．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪

++=⎨⎪-++=⎩

.

【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪

⎪

=⎨+⎪⎪-++=

⎪-++⎩

；（2）2m =或1m =-时，无

解. 【解析】 【分析】

先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】

()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.

所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧

=⎪-⎪

⎪

=⎨+⎪⎪-++=

⎪-++⎩

；

（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】

本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．

4．解关于x ，y 的方程组21

22ax y a ax ay a +=+⎧⎨-=-⎩

.

【答案】见解析 【解析】 【分析】

根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1

22a D a a a a

=

=-+-，()2211=212x a D a a

a

+=

-+--，

221522y a a D a a

a

+=

=--.