2019-2020学年(浙江专版)高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第七节 抛物线教案 文.doc

2019-2020学年（浙江专版）高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第八章第七节抛物线教案文

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1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．

2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

3．理解数形结合思想．

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

(0,0)

1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？

提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？

提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p

2；若抛物线方程为x 2

＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p

2

.

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )

A ．y 2＝－8x

B ．y 2

＝－4x

C ．y 2＝8x

D ．y 2

＝4x

解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2

＝8x .

2．抛物线y 2

＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选B 因为抛物线y 2

＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.

3．抛物线y ＝2x 2

的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18

，而抛物线x

2

＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2

4

＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为

________________．

解析：由c 2

＝9－4＝5，得F (－5，0)，

则抛物线方程为y 2

＝－45x .

答案：y 2

＝－45x

5．设抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

4，1， ∴2p ×p

4＝1，解得p ＝ 2. ∴B ⎝

⎛⎭

⎪⎫

24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝32

4

. 答案：32

4

前沿热点(十二)

与抛物线有关的交汇问题

1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．

2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．

[典例] (2013·浙江高考) 已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0,1)．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．

[解题指导] (1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．

(2)直线AB 与抛物线相交，可得出A ，B 两点坐标之间的关系，再由AO 、BO 与直线l 交于M ，N 两点，可求出|MN |的表达式，用k 来表示，利用函数即可求最值．

[解] (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2

＝2py (p >0)，则p

2

＝1，p ＝2，

所以抛物线C 的方程为x 2

＝4y .

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.

从而|x 1－x 2|＝4k 2

＋1.

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝y 1x 1

x ，

y ＝x －2，

解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－

x 214

＝8

4－x 1

. 同理点N 的横坐标x N ＝8

4－x 2.

所以|MN |＝2|x M －x N |

＝2⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪

⎪x 1－x 2x 1x 2－x 1＋x 2＋16

＝8 2 k 2

＋1|4k －3|

.

令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3

4

.

当t >0时， |MN |＝2 2 25

t

2

＋6

t

＋1>22；

当t <0时， |MN |＝2 2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是8

5

2.